2024年新高中考試數(shù)學(xué)解答題模擬訓(xùn)練-立體幾何（答案版）

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】專題04立體幾何1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖多面體中，四邊形是菱形，，平面，，(1)證明：平面平面；(2)在棱上有一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接交于，連接，，證明，利用平面，證明平面，從而平面平面；（2）建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出二面角，再求得的值，即可得到的坐標(biāo)，再利用空間向量法求出點(diǎn)到面的距離．【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接交于，連接，，因?yàn)槭橇庑?，所以，且是的中點(diǎn)，所以且，又，，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；?）解：取的中點(diǎn)，由四邊形是菱形，，則，是正三角形，，，又平面，所以以為原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)在棱上存在點(diǎn)使得平面與平面的夾角為，則，，，，，，則設(shè)，，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，即，令，，得平面的法向量可以為，，解得，所以，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，得，所以點(diǎn)到平面的距離.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐E-ABCD中，，，E在以AB為直徑的半圓上（不包括端點(diǎn)），平面平面ABCD，M，N分別為DE，BC的中點(diǎn)．(1)求證：平面ABE；(2)當(dāng)四棱錐E-ABCD體積最大時(shí)，求二面角N-AE-B的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取EC的中點(diǎn)的F，連接MF，NF，證得，得到，利用線面平行的判定定理得到平面，同理得到平面，證得平面平面，進(jìn)而得到平面.（2）過E作交AB于O，證得平面ABCD，取CD的中點(diǎn)G，連接OG，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以AB為x軸，以O(shè)E為y軸，以O(shè)G為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：如圖所示，取EC的中點(diǎn)的F，連接MF，NF，因?yàn)镸，F(xiàn)分別為ED和EC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平?

（2）解：如圖所示，過E作交AB于O，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，故EO為四棱錐E-ABCD的高，要使四棱錐E-ABCD體積最大，則E為弧的中點(diǎn)，所以O(shè)與AB的中點(diǎn)，取CD的中點(diǎn)G，連接OG，因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，，所以EO，AB，OG兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以AB為x軸，以O(shè)E為y軸，以O(shè)G為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以，可得，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可得，令，則平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，則，由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二成角的余弦值為．3．（2023春·河南焦作·高二博愛縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱臺(tái)的下底面和上底面分別是邊和的正方形，側(cè)棱上點(diǎn)滿足.(1)證明：直線平面；(2)若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）延長和交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，即可得到，從而得到為中點(diǎn)，即可得到且，從而得到，即可得解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】（1）證明：延長和交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，由，故，所以，所以，所以，所以為中點(diǎn)，又且，且，所以且，故四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則.所以.設(shè)平面的法向量，由，得，取，故所求角的正弦值為，所以直線與平面所成角的正弦值為.4．（2023春·廣東清遠(yuǎn)·高二陽山縣南陽中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，，且，底面ABCD是邊長為2的菱形，．(1)證明：平面PAC⊥平面ABCD；(2)若，求平面PAB與平面PBC夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）連接，證明BD⊥平面APC，再由平面ABCD，得出平面APC⊥平面ABCD．（2）作輔助線，利用線面垂直的判定證明PH⊥平面ABCD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）連接DB交AC于點(diǎn)O，連接PO．因?yàn)锳BCD是菱形，所以BD⊥AC，且O為BD的中點(diǎn)．因?yàn)镻B＝PD，所以PO⊥BD．又因?yàn)锳C，平面APC，且，所以BD⊥平面APC．又平面ABCD，所以平面APC⊥平面ABCD．（2）取AB中點(diǎn)M，連接DM交AC于點(diǎn)H，連接PH．因?yàn)?，所以△ABD是等邊三角形，所以DM⊥AB．又因?yàn)镻D⊥AB，，平面PDM，所以AB⊥平面PDM．所以AB⊥PH．由（1）知BD⊥PH，且，所以PH⊥平面ABCD．由ABCD是邊長為2的菱形，在△ABC中，，．由AP⊥PC，在△APC中，，所以．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為x軸、y軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，．設(shè)平面PAB的法向量為，所以，令得．設(shè)平面PBC的法向量為，所以，令得．設(shè)平面PAB與平面PBC的夾角為．所以，所以，平面PAB與平面PBC夾角的余弦值為．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱矩形，且，過棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接(1)證明：；(2)若，平面與平面所成二面角的大小為，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證平面，得，再證平面，得，然后證明平面，得證；（2）以為原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求二面角得的長，然后利用棱錐體積公式計(jì)算．【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，由底面為矩形，有，而，平面，所以平面，又平面，所以．又因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以．而，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以得證．（2）如圖，以為原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，設(shè)，（），則，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，由，所以是平面的一個(gè)法向量；由（1）知，，所以是平面的一個(gè)法向量．因?yàn)槠矫媾c平面所成二面角的大小為，則，解得（負(fù)值舍去）．所以，．6．（2023·湖南長沙·長沙一中?？寄M預(yù)測）如圖所示的在多面體中，，平面平面，平面平面，點(diǎn)分別是中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)若，求平面和平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理和線面平行及面面平行的判定定理即可完成證明,（2）方法一先建系求法向量，再利用向量法求兩平面的夾角，方法二利用幾何法找到面面角，利用三角形知識(shí)求兩平面的夾角.【詳解】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)辄c(diǎn)分別是中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）方法一：因?yàn)?，所以，由?）知平面平面，所以，所以兩兩相互垂直，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，則，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，由，得，即，解得，取，得，設(shè)平面和平面的夾角為，則，所以平面和平面的夾角的余弦值為.方法二：因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面和平面的夾角即二面角.如圖，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則為二面角所成平面角.在中，，在中，，在直角梯形中，因?yàn)椋?所以，所以在中，，所以，利用三角形等面積可得，所以，因?yàn)?，所以，過點(diǎn)作于，則，所以，在中，，所以，所以平面和平面夾角的余弦值為.7．（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且，，.是棱PD上的點(diǎn)，且四面體的體積為(1)證明：；(2)若過點(diǎn)C，M的平面α與BD平行，且交PA于點(diǎn)Q，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）解法一：取AB中點(diǎn)O，連接PO，CO.推導(dǎo)得到平面，平面PBC，根據(jù)體積即可得出答案；解法二：先證明平面PAB.過M作交AP于點(diǎn)N，證明得到平面PBC，根據(jù)體積即可得出答案；（2）解法一：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合平面向量基本定理，求出平面的法向量，計(jì)算即可得出答案；解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，計(jì)算即可得出答案；解法三：通過作圖，作出二面角的平面角，構(gòu)造直角三角形，即可得出答案.【詳解】（1）解法一：如圖1，取AB中點(diǎn)O，連接PO，CO.因?yàn)椋?，所以，?又因?yàn)槭橇庑危?，所以?因?yàn)?，所以，所?又因?yàn)槠矫?，平面ABCD，，所以平面.因?yàn)?，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，所以.因?yàn)椋渣c(diǎn)M到平面PBC的距離是點(diǎn)D到平面PBC的距離的，所以.解法二：如圖2，取AB中點(diǎn)O，連接PO，CO，因?yàn)?，，所以，，，又因?yàn)槭橇庑?，，所以?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)槠矫鍼AB，平面PAB，，所以平面PAB.所以，.過M作交AP于點(diǎn)N，，所以.又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，所以.因?yàn)椋?，所以，所以N是PA的中點(diǎn)，所以M是PD的中點(diǎn)，所以.（2）解法一：由（1）知，，，.如圖3，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，，.因?yàn)椋O(shè)，則，因?yàn)椋?，，，故存在?shí)數(shù)a，b，使得，所以，解得，所以.設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得到平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面與平面夾角是，又因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，則.所以平面與平面夾角的余弦值是.解法二：由（1）知，，，，如圖3，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即.取，得到平面的一個(gè)法向量.因?yàn)椋O(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以設(shè)平面的法向量為，則，即.取，得到平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面與平面夾角是，又因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，則.所以平面與平面夾角的余弦值是.解法三：在平面內(nèi)，過C作交AD延長線于點(diǎn)E，交AB延長線于點(diǎn)F，因?yàn)槭橇庑?，所?如圖4，在平面PAD內(nèi)，作交EM的延長線于點(diǎn)，設(shè)交AP于點(diǎn)Q.所以，四邊形是平行四邊形，，.所以，所以，所以點(diǎn)Q是線段PA上靠近P的三等分點(diǎn).如圖5，在平面PAB內(nèi)，作，交AB于T，因?yàn)槠矫妫云矫?，所以，因?yàn)椋?，在平面?nèi)，作，交BC于點(diǎn)N，連接QN，過A作交BC于K，在中，，，所以，所以，因?yàn)?，，，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，因?yàn)槠矫妫?所以是二面角的平面角.在中，，所以.所以平面與平面夾角的余弦值是.8．（2023·湖南長沙·周南中學(xué)校考二模）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，平面.(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接、，由三角形的中位線定理可得，進(jìn)而由直三棱柱可得，所以平面，再由平面，得，再由線面垂直的性質(zhì)可得平面，從而推出平面，再由面面垂直的性質(zhì)即可證明；（2）由（1）知平面，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，設(shè)出，結(jié)合立體幾何的體積公式，和基本不等式可求出，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方向向量與平面的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合向量的夾角與線面角的關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接、，如圖所示：，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，又是的中點(diǎn)，，又在直三棱柱中，有，平面，平面，平面，且面，平面平面，，平面，且平面，，又，且、平面，平面，又，平面，平面，面平面.（2）由（1）知平面，則，設(shè)，則，，，，由基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即三棱錐的體積最大，此時(shí)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則有，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，取，解得，設(shè)直線與平面所成的角為，，故直線與平面所成角的正弦值為.9．（2023·廣東梅州·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點(diǎn)．將沿EF翻折至，得到四棱錐，P為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若平面平面EFCB，求直線與平面BFP所成的角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)Q，可得四邊形EFPQ為平行四邊形，則，由直線與平面平行的判定定理證明即可；（2）取EF中點(diǎn)O，BC中點(diǎn)G，可得平面EFCB，兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出與平面BFP的法向量的坐標(biāo)，利用向量夾角公式求解.【詳解】（1）取的中點(diǎn)Q，連接,則有，且，又，且，故，且，則四邊形EFPQ為平行四邊形，則，又平面，平面，故平面．（2）取EF中點(diǎn)O，BC中點(diǎn)G，由平面平面EFCB，且交線為EF，故平面EFCB，此時(shí)，兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則可得，，，，由P為中點(diǎn)，故，則，，，設(shè)平面BFP的法向量，則，即，故取，故所求角的正弦值為，所以直線與平面BFP所成的角的正弦值為．10．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測）在三棱錐中，底面為等腰直角三角形，.(1)求證：；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，可證，即，從而證得面，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，過S作面，垂足為D，連接，以D為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及二面角的計(jì)算公式，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)為E，連結(jié)，∵，∴，在和中，∴，∴，∵的中點(diǎn)為E，∴，∵，∴面，∵面，∴（2）過S作面，垂足為D，連接，∴∵，平面∴，同理，∵底面為等腰直角三角形，，∴四邊形為正方形且邊長為2.以D為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，則，解得，取，則，∴，設(shè)平面的法向量，則，解得，取，則，∴，設(shè)平面與平面夾角為故平面與平面夾角的余弦值為.11．（2023·湖南岳陽·湖南省平江縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的六面體中（其中平面EDC），四邊形ABCD是正方形，平面ABCD，，且平面平面．(1)設(shè)為棱的中點(diǎn)，證明：四點(diǎn)共面；(2)若，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直以及面面垂直的性質(zhì)證明平面，平面，進(jìn)而證明，即可求解，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面法向量以及向量的夾角即可求解平面夾角.【詳解】（1）連接,由于四邊形ABCD是正方形，所以,又平面，平面,所以,平面，所以平面，由于為棱的中點(diǎn)，，所以,又平面平面，平面平面，平面,所以平面,因此,所以四點(diǎn)共面，（2）由于兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,,設(shè)，由（1）知,故，解得，故,,設(shè)平面，的法向量分別為則即，取，則，即，取，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則12．（2024秋·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）如圖，三棱柱中，側(cè)面為矩形，且為的中點(diǎn)，．(1)證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接與交于點(diǎn)，連接，則，利用線面平行的判定定理即可證明；（2）由已知條件得面，則，由得.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由面得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，由求得，然后利用向量夾角公式求解即可.【詳解】（1）連接與交于點(diǎn)，連接為三棱柱，為平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)又為的中點(diǎn)，則，又平面平面，平面．（2）解法1：，面面，，，即以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，面，則平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的法向量為，則，即令設(shè)平面與平面的夾角為，平面與平面的夾角的余弦值是．解法2：設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)且，點(diǎn)為的中點(diǎn)為矩形，又平面，在中，，可得為等腰直角三角形，其中而點(diǎn)為的中點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)且，又在Rt中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，在中，，且點(diǎn)為的中點(diǎn)且即為平面與平面的夾角在中，．平面與平面的夾角的余弦值是．13．（2023·上海虹口·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，，O為AC的中點(diǎn)．(1)證明：⊥平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角為，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由等腰三角形三線合一得到，由勾股定理逆定理得到，從而證明出線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，利用空間向量及二面角列出方程，求出答案.【詳解】（1）在中，，O為AC的中點(diǎn)．則中線，且；同理在中有，則；因?yàn)?，O為AC的中點(diǎn)．所以且；在中有，則，因?yàn)?，平面ABC，所以⊥平面ABC．（2）由（1）得⊥平面ABC，故建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，而，，，設(shè)平面PAM的一個(gè)法向量為，由得，，令，又x軸所在直線垂直于平面PAC，∴取平面PAC的一個(gè)法向量，，平方得，令，，．14．（2023·天津·高三專題練習(xí)）已知正三棱柱中，側(cè)棱長為，底面邊長為2，D為AB的中點(diǎn).(1)證明：；(2)求二面角的大小；(3)求直線CA與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)(3)【分析】（1）由正三棱柱的性質(zhì)可得平面，再利用線面垂直的判定定理即可證明平面，即可得；（2）以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量與二面角的幾何關(guān)系即可求得二面角的大小為；（3）根據(jù)（2）中結(jié)論，利用線面角與空間向量的關(guān)系即可得直線CA與平面所成角的正弦值為.【詳解】（1）由為正三棱柱可知，平面，又平面，所以，由底面是邊長為2的正三角形，D為AB的中點(diǎn)，所以；又，平面，所以平面；又平面，所以；（2）取線段的中點(diǎn)分別為，連接，易知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示;由側(cè)棱長為，底面邊長為2可得，，由D為AB的中點(diǎn)可得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得；即；易得即為平面的一個(gè)法向量，所以，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為銳角，所以，即；即二面角的大小為.（3）由（2）可知，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線CA與平面所成的角為，所以，即直線CA與平面所成角的正弦值為.15．（2022·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，，，，，E是邊AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成角為.(1)在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線平面PBE，并說明理由；(2)若二面角P—CD—A的大小為，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.【答案】(1)在平面PAB內(nèi)存在一點(diǎn)M，為AB，CD延長后的交點(diǎn)，使得直線CM//平面PBE(2)【分析】（1）將AB，CD延長交于一點(diǎn)M，先證明CM//BE，利用線面平行的判定定理即可證明CM//平面PBE.（2）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.（1）將AB，CD延長交于一點(diǎn)M，則M在平面PAB內(nèi).∵，BC//AD∴CE//BM且CE=BM，∴四邊形BCDE為平行四邊形，∴CM//BE.∵平面PBE，平面PBE，所以CM//平面PBE.所以在平面PAB內(nèi)存在一點(diǎn)M，為AB，CD延長后的交點(diǎn)，使得直線CM//平面PBE（2）由已知可得，AD⊥DC，CD⊥PA，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD.所以∠PDA為二面角P—CD—A的平面角，所以∠PDA=30°.建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AP=2則A(0，0，0)，P(0，0，2)，，，∴，，設(shè)平面PCE的法向量為，由，不妨設(shè)x=2，則.設(shè)直線PA與平面PCE所成角為，則，所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為.16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知四棱錐的底面為直角梯形，平面，.(1)若點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)請(qǐng)判斷下列條件：①直線AM與平面ABCD所成角的正切值為；②中哪一個(gè)條件可以推斷出平面（無需說明理由），并用你的選擇證明該結(jié)論；(2)若點(diǎn)為棱上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），試探究上是否存在一點(diǎn)N，使得平面ADN平面BDN？若存在，請(qǐng)求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)②，證明見解析(2)存在，【分析】（1）先連接、交于，確定是的幾等分點(diǎn)，再確定是的幾等分點(diǎn)．（2）建立空間直角坐標(biāo)系，平面垂直，對(duì)應(yīng)法向量垂直，數(shù)量積為，列出方程求解．【詳解】（1）條件②可以推斷平面.如圖，連接，相交于點(diǎn)，連EM.在梯形中，有，，.又因?yàn)?，所以，故，又平面，平面，所以平?故當(dāng)時(shí)，平面.（2）以A為原點(diǎn)，AD，AB，AP分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，B(0，2，0)，設(shè)，則對(duì)于平面ADN，設(shè)其法向量，滿足，即，故取對(duì)于平面BDN，設(shè)其法向量，滿足，即，故取，若平面ADN平面BDN，則，即，解得，此時(shí)N為PC的中點(diǎn)，.17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱臺(tái)中，.(1)求證：平面平面；(2)若四面體的體積為2，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）延長三條側(cè)棱交于點(diǎn)，判斷出，為中點(diǎn).取的中點(diǎn)，證明出和，進(jìn)而證明出平面，利用面面垂直的判定定理即可證明平面平面.（2）先由體積關(guān)系求出.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【詳解】（1）（1）延長三條側(cè)棱交于點(diǎn).因?yàn)樗裕謩e為中點(diǎn)，且.因?yàn)?，所?取的中點(diǎn)，則.因?yàn)樗运?，則，故，即.因?yàn)椋?平面,平面,所以平面.又平面，故平面平面.（2）因?yàn)?，所?而,所以，解得：.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，設(shè)為面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，所以，不妨設(shè)，則面的一個(gè)法向量.同理可求得面的一個(gè)法向量.由圖示，二面角的平面角為銳角，所以，所以二面角的余弦值為.18．（2023春·廣東·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，為等邊三角形．(1)求證：；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，，依題意可得、，即可得到平面，從而得證；（2）取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)闉榱庑吻?，所以為等邊三角形，故．又在等邊三角形中，，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?；?）由，，可得就是二面角的平面角，所以，在中，，所以為邊長為的等邊三角形，由（1）可知，面底面，取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在的方向?yàn)?，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，在中，，，可得，，，，故，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有，令，則，得，設(shè)直線與平面所成角為，則有，故直線與平面所成角的正弦值為.19．（2023春·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知矩形中，，，是的中點(diǎn)，如圖所示，沿將翻折至，使得平面平面.(1)證明：；(2)若是否存在，使得與平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）根據(jù)為矩形，且是中點(diǎn)得到，利用勾股定理得到，然后利用面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，再結(jié)合平面即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)得到，然后利用向量的方法求與平面所成的角的正弦值，列方程求即可.【詳解】（1）依題意矩形，，，是中點(diǎn)，所以，又，所以，，，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面，又平面，所?（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，，，，設(shè)是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，，假設(shè)存在滿足題意的，則由.可得，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得，，即，設(shè)與平面所成的角為，所以解得（舍去），綜上，存在，使得與平面所成的角的正弦值為.20．（2023春·陜西西安·高二陜西師大附中?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，，，E為棱AB的中點(diǎn).(1)證明：平面平面ABCD；(2)若，，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面、面面垂直的判定定理分析證明；（2）建系，利用空間向量求二面角.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，∵底面ABCD為菱形，則，又∵分別為的中點(diǎn)，則，故，注意到，平面，則平面，∵平面，則，又∵，E為棱AB的中點(diǎn)，則，平面，∴平面，且平面，故平面平面ABCD.（2）若，，則為等邊三角形，且為的中點(diǎn)，故，由（1）得，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，取，則，，所以，取平面的法向量，則，設(shè)二面角為，則，可得，所以二面角的正弦值為.21．（2023春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形是正方形，平面，，，，F(xiàn)為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析.(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求得，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；（2）求出平面的法向量，求解兩個(gè)平面的夾角.【詳解】（1）依題意，平面，且四邊形是正方形以A為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，取的中點(diǎn)M，連接．，則，∴，∴，∵平面平面，∴平面．（2），F(xiàn)為的中點(diǎn)，則，，，又，平面，故為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，?令，得，，故．設(shè)二面角的大小為，則，由圖知，所求二面角為鈍角，所以二面角的大小是22．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）中國正在由“制造大國”向“制造強(qiáng)國”邁進(jìn)，企業(yè)不僅僅需要大批技術(shù)過硬的技術(shù)工人，更需要努力培育工人們執(zhí)著專注、精益求精、一絲不茍、追求卓越的工匠精神，這是傳承工藝、革新技術(shù)的重要基石．如圖所示的一塊木料中，是正方形，平面，，點(diǎn)，是，的中點(diǎn)．(1)若要經(jīng)過點(diǎn)和棱將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線，請(qǐng)說明理由并計(jì)算截面周長；(2)若要經(jīng)過點(diǎn)B，E，F(xiàn)將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析.【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理可得平面，設(shè)的中點(diǎn)為，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得就是應(yīng)畫的線，然后根據(jù)線面垂直的判定定理結(jié)合條件可得截面周長；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，可得平面的法向量，設(shè)平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得的位置，進(jìn)而即得.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又平面，設(shè)平面平面，則，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，又，所以，即為，就是應(yīng)畫的線，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，即截面為直角梯形，又，所以，，所以，截面周長為；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，設(shè)平面，設(shè)，又，∴，，由，可得，即，即為的三等分點(diǎn)，連接，即就是應(yīng)畫的線.23．（2023春·福建漳州·高二福建省華安縣第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在三棱錐中，是正三角形，平面平面，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)若，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，問：點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，平面與平面所成的銳二面角最小.【答案】(1)證明見解析；(2)點(diǎn)G為BD的中點(diǎn)時(shí).【分析】（1）由面面垂直可得AE平面BCD，得出CDAE，再由CDEF可得CD平面AEF，即可得出平面平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出銳二面角的余弦值，當(dāng)最大，最小，即可得出此時(shí)點(diǎn)G為BD的中點(diǎn).【詳解】（1）(1)因?yàn)椤鰽BC是正三角形，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，所以AEBC，又因?yàn)槠矫鍭BC平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE平面ABC，所以AE平面BCD，又因?yàn)镃D平面BCD，所以CDAE，因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，所以EF//BD，又因?yàn)锽DCD，所以CDEF，又因?yàn)镃DAE，AE∩EF，AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD平面AEF，又因?yàn)镃D平面ACD，所以平面ACD平面AEF.（2）在平面BCD中，過點(diǎn)E作EH⊥BD，垂足為H,設(shè)BC=4，則，DF=FC=l，.以為正交基底，建立如圖空間直角坐標(biāo)系E-xyz,則,設(shè)，則,，設(shè)平面AEG的法向量為,由，得，令，故，設(shè)平面ACD的法向量為，則,即，令，則,設(shè)平面AEG與平面ACD所成的銳二面角為,則，當(dāng)最大，此時(shí)銳二面角最小，故當(dāng)點(diǎn)G為BD的中點(diǎn)時(shí)，平面AEG與平面ACD所成的銳二面角最小.24．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，平面平面，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，.(1)證明：平面；(2)若，且與平面所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）設(shè)的交點(diǎn)為，連接，可證得，再由線面平行的判定定理即可證明；（2）取的中點(diǎn)為，連接，由面面垂直的性質(zhì)定理可證得則平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，再由二面角的向量公式即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)的交點(diǎn)為，連接，已知為的重心，所以，，所以在中，，所以，所以平面，平面，則平面.（2）因?yàn)樗运詾榈冗吶切危?，又因?yàn)?，所以，所以，取的中點(diǎn)為，連接，則，平面平面，平面平面，則平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榕c平面所成的角為，所以，設(shè)菱形的邊長為，所以，所以，因?yàn)?，所以，，設(shè)平面，，令，所以，設(shè)平面，，令，所以，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.25．（2023·上海徐匯·上海市南洋模范中學(xué)?？既＃┤鐖D，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形是邊長為的正方形，為中點(diǎn)，且.(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由勾股定理證明，再由，可證平面，即得，由，可證平面；（2）由題意證明得兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)，求解平面的法向量，設(shè)，再由向量夾角的公式代入計(jì)算得，根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式代入計(jì)算，可得答案.【詳解】（1）證明：由題知，，又，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，在正中，為中點(diǎn)，于是，又，平面，所以平面（2）取中點(diǎn)為中點(diǎn)為，則，由（1）知，平面，且平面，所以，又，所以，平面所以平面，于是兩兩垂直.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S?軸?軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，于是.設(shè)，則.由于直線與平面所成角的正弦值為，，即，整理得，由于，所以于是.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示的圓柱中，AB是圓O的直徑，，為圓柱的母線，四邊形ABCD是底面圓O的內(nèi)接等腰梯形，且，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)．(1)證明：平面ABCD；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)取的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，AC，可證明四邊形AGFC是平行四邊形，從而證明平面平面ABCD，從而得證.（2）題意知CA，CB，兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，AC，因?yàn)?，平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，因?yàn)?，，所以四邊形AGFC是平行四邊形，，又平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，因?yàn)?，所以平面平面ABCD，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面ABCD．（2）設(shè)，由，得，因?yàn)?，所以，由題意知CA，CB，兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得，取，得，連接BD，因?yàn)?，，，所以平面，所以平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．27．（2023·北京·模擬預(yù)測）如圖①，在梯形中，，，，為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，連接，，得到如圖②的幾何體，在圖②的幾何體中解答下列兩個(gè)問題．(1)證明：；(2)請(qǐng)從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求二面角的余弦值．①四棱錐的體積為2；②直線與所成角的余弦值為．注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過證明線面垂直來證得.（2）選①，結(jié)合四棱錐的體積，證得平面；選②，結(jié)合直線與所成角的余弦值，證得平面；由此建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：在圖①中因?yàn)?，，為中點(diǎn)所以，，所以為平行四邊形，所以，同理可證，在圖②中，取中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）若選擇①：因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面且交線為，所以過點(diǎn)作，則平面，因?yàn)?，所以四棱錐的體積，所以，所以與重合，所以平面，建系如圖，則，，，，平面法向量為，設(shè)平面法向量為，因?yàn)?，，所以，得，設(shè)二面角的大小為，則，所以二面角的余弦值為.若選擇②：因?yàn)?，所以即為異面直線與所成角，在中，，所以所，以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面且交線為，所以平面，建系如圖，則，，，，平面法向量為，設(shè)平面法向量為，因?yàn)椋?，所以，得，設(shè)二面角的大小為，則，所以二面角的余弦值為.28．（2023·山東淄博·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┰谒睦忮F中，平面平面，，為的中點(diǎn).(1)求證：；(2)若，，，，點(diǎn)在棱上，直線與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明；（2）由邊長關(guān)系，根據(jù)勾股定理證明得，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，設(shè)，利用空間向量的夾角公式，根據(jù)直線與平面的夾角列式計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)，求解平面的法向量，再利用點(diǎn)到平面的距離公式列式求解距離即可.【詳解】（1）∵，為的中點(diǎn)，∴又∵平面平面，平面平面，∴平面，又平面，∴（2）由，，可知四邊形為等腰梯形，易知，∵，∴建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，平面的法向量為，設(shè)，則，，，∵直線與平面所成角為，∴，∴①∵點(diǎn)在棱上，∴，即，∴，，代入①解得或（舍去）.，，，設(shè)平面的法向量為，，令，得，，所以點(diǎn)到平面的距離【點(diǎn)睛】對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.29．（2023春·江蘇徐州·高二徐州市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為梯形，底面ABCD，，，，E為PA的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面BCE；(2)若二面角P-BC-E的余弦值為，求三棱錐P-BCE的體積．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）線面垂直的性質(zhì)可得，若為中點(diǎn)，連接，由正方形的性質(zhì)及勾股定理可得，再由線面垂直的性質(zhì)有面，最后根據(jù)面面垂直的判定證結(jié)論.（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)求相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，再求面、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示，結(jié)合二面角的余弦值求參數(shù)m，最后求、向量法求到面的距離，再由體積公式求棱錐的體積.【詳解】（1）因?yàn)榈酌鍭BCD，面，則，由，，則，又，則，若為中點(diǎn)，連接，易知：為正方形，則，又，即，所以，綜上，，即，又，則面，又面，所以平面平面BCE.（2）由題設(shè)，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，若，則，，，，，所以，，，若為面的一個(gè)法向量，則，令，則，若為面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，整理得，所以，即，易得：，由底面ABCD，面，則，又，即，由，則面，面，即，所以在直角△中，，在△中，、、，即，則，所以.由上有：且面的一個(gè)法向量，則，故到面的距離，所以.30．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）如圖，在以P，A，B，C，D為頂點(diǎn)的五面體中，平面ABCD為等腰梯形，，平面PAD⊥平面PAB，.(1)求證：△PAD為直角三角形；(2)若，求直線PD與平面PBC所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）作于H，連BD，證明，再結(jié)合面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)、判定推理作答.（2）在平面內(nèi)過點(diǎn)P作，以P為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算作答.【詳解】（1）在等腰梯形中，作于H，連BD，如圖，則，且，則，即，而，因此，，即，因平面平面，平面平面，平面，而，則平面，又平面，于是有，，平面，則有平面，平面，因此，，所以為直角三角形.（2）在平面內(nèi)過點(diǎn)P作，因平面平面，平面平面，則平面，因此，兩兩垂直，以點(diǎn)P為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，有，從而得，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，，設(shè)直線PD與平面所成角為，則有，所以直線PD與平面所成角的正弦值為.31．（2023秋·四川眉山·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.(1)求證：；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)可證得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）取的中點(diǎn)，連接，證明出平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，求出的值，即可求得棱的長.【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，平面，平面，所以?（2）解：取的中點(diǎn)，連接，，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，則、、、、，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，由題意可得，，解得，則.32．（2023秋·廣東江門·高三江門市棠下中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，且，，，．(1)求證：；(2)在線段PD上是否存在一點(diǎn)M，使二面角的余弦值為？若存在，求三棱錐體積；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）證明，結(jié)合，證明平面PAC，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，求出平面MAC的一個(gè)法向量，結(jié)合平面ACD法向量以及條件可推出即M為PD中點(diǎn)，即可求得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，，，所以，又因?yàn)椋?，，所以，所以，又因?yàn)槠矫鍭BCD，且平面ABCD，所以，又因?yàn)?，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，又因?yàn)槠矫鍼AC，所以．（2）在BC上取點(diǎn)E，使，則，故以A為原點(diǎn)，以，，分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，，在平面MAC中，，，設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為，則，令，則，，所以，可取平面ACD法向量為，所以，即，解得，所以M為PD中點(diǎn)，所以三棱錐的高h(yuǎn)為1，．33．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點(diǎn)，記平面與平面的交線.(1)證明：直線平面.(2)若在直線上且為銳角，當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明線面平行，進(jìn)而由線面平行的性質(zhì)得到線線平行，結(jié)合面面垂直證明線面垂直；（2）根據(jù)體積關(guān)系求出邊長，建系求出法向量，求出二面角即可.【詳解】（1）證明分別是的中點(diǎn)，,平面,平面平面平面，平面平面.平面平面，平面平面，平面平面.平面（2）是的中位線，又，當(dāng)時(shí)，又因?yàn)楣蚀藭r(shí)以為原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，令平面的法向量為則令則令平面的法向量為則令則因?yàn)?，因?yàn)槎娼菫殁g角，所以二面角的余弦值為.34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，，平面平面．(1)證明：平面平面；(2)若，，，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，利用線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而得到平面，然后根據(jù)面面垂直的判定定理即得；（2）根據(jù)題意以為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，從而求解.【詳解】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕驗(yàn)樵诘冗吶切沃?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，，所以四邊形為矩形，即，，，所以，設(shè)，，，，以為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，，，所以，，，，設(shè)平面和平面的法向量分別為，，則，，即，，取，，則，，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.35．（2023春·湖北武漢·高二武漢市第四十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，二面角為直二面角.(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，進(jìn)而得出.然后即可根據(jù)線面垂直的判定定理得出平面，然后即可得出；（2）取中點(diǎn)為，連結(jié).取中點(diǎn)為，連結(jié).由已知可證平面，.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量，即可根據(jù)向量法求出答案.【詳解】（1）由題意知平面平面，又平面平面，，平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)椋?，平面，平面，所以平?因?yàn)槠矫妫?（2）取中點(diǎn)為，連結(jié).取中點(diǎn)為，連結(jié).因?yàn)?，點(diǎn)是中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?因?yàn)辄c(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，所以，則.則，.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，則，所以是平面的一個(gè)法向量.設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成的角的正弦值為.36．（2023秋·江蘇鹽城·高三?？计谀┤鐖D所示，正方形ABCD所在平面與梯形ABMN所在平面垂直，，，，.(1)證明：平面；(2)在線段CM（不含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角的余弦值為.若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1