滬科版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題特訓(xùn) 專題4.2 角【十大題型】（原卷版+解析版）

專題4.2角【十大題型】【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1角的概念及角的度量】 2【題型2角的單位及其換算】 2【題型3角的計(jì)數(shù)問(wèn)題】 3【題型4鐘面上角的特征】 4【題型5方向角】 5【題型6與角平分線相關(guān)的角的運(yùn)算】 7【題型7與角n等分線相關(guān)的角的運(yùn)算】 8【題型8在三角板中的角的運(yùn)算】 11【題型9余角和補(bǔ)角的計(jì)算】 13【題型10同（等）角的余角和補(bǔ)角相等的運(yùn)用】 14【知識(shí)點(diǎn)1角的概念】定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部．【知識(shí)點(diǎn)2角的表示方法】表示方法A圖例A記法適用范圍用三個(gè)大寫字母表示BOBOAOB或BOA任何情況下都適應(yīng).表示端點(diǎn)的字母必須寫在中間.用一個(gè)大寫字母表示AAA以這個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的角只有一個(gè).用數(shù)字表示111任何情況下都適用.但必須在靠近頂點(diǎn)處加上弧線表示角的范圍，并注上數(shù)字或希臘字母.用希臘字母表示【題型1角的概念及角的度量】【例1】（2022·甘肅蘭州·七年級(jí)期末）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．由兩條射線組成的圖形叫做角B．角的大小與角的兩邊長(zhǎng)度有關(guān)C．角的兩邊是兩條射線D．用放大鏡看一個(gè)角，角的度數(shù)變大了【變式1-1】（2022·山東淄博·期中）∠ACB的兩邊分別是（

A．射線AC、BC B．射線CA，CB C．線段AC，BC D．直線CA，CB【變式1-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，用量角器度量∠AOB，可以讀出∠AOB的度數(shù)為_(kāi)_____°．【變式1-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．∠AOB也可用∠O來(lái)表示B．∠β與∠BOC是同一個(gè)角C．圖中共有三個(gè)角：∠AOB，∠AOC，∠BOCD．∠1與∠AOB是同一個(gè)角【題型2角的單位及其換算】【例2】（2022·山東煙臺(tái)·期中）若∠1=25°15′，∠2=25°13′3A．∠3>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠3 C．∠1>∠3>∠2 D．∠1>∠2>∠3【變式2-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）下面等式成立的是（

）A．83.5°=83C．15°48'【變式2-2】（2022·江蘇·江陰市敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：(1)45°10′﹣21°35′20′′；(2)48°39′+67°31′﹣21°17′；(3)42°16′+18°23′×2．【變式2-3】（2022·天津南開(kāi)·七年級(jí)期末）如圖1是一個(gè)14【題型3角的計(jì)數(shù)問(wèn)題】【例3】（2022·福建龍巖·七年級(jí)期末）在銳角∠AOB內(nèi)部，畫(huà)出1條射線，可以畫(huà)出3個(gè)銳角；畫(huà)出2條不同的射線，可以畫(huà)出6個(gè)銳角；畫(huà)出3條不同的射線，可以畫(huà)出10個(gè)銳角．照此規(guī)律，畫(huà)19條不同的射線，可以畫(huà)出銳角的個(gè)數(shù)為（）A．165 B．186 C．199 D．210【變式3-1】（2022·山東·泰安市泰山區(qū)樹(shù)人外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中）如圖所示，∠AOB=90°，則圖中銳角有（）A．12個(gè) B．14個(gè) C．15個(gè) D．16個(gè)【變式3-2】（2022·黑龍江牡丹江·七年級(jí)期末）如圖，線段條數(shù)為m，小于平角的角的個(gè)數(shù)為n，則n?m的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式3-3】（2022·湖南婁底·七年級(jí)期末）在一幅七巧板中，有我們學(xué)過(guò)的（

）A．8個(gè)銳角，6個(gè)直角，2個(gè)鈍角 B．12個(gè)銳角，9個(gè)直角，2個(gè)鈍角C．8個(gè)銳角，10個(gè)直角，2個(gè)鈍角 D．6個(gè)銳角，8個(gè)直角，2個(gè)鈍角【知識(shí)點(diǎn)3鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題】鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問(wèn)題．【題型4鐘面上角的特征】【例4】（2022·貴州·仁懷市周林學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．3時(shí)30分，時(shí)針與分針的夾角是90° B．6時(shí)30分，時(shí)針與分針重合C．8時(shí)45分，時(shí)針與分針的夾角是30° D．9時(shí)整，時(shí)針與分針的夾角是90°【變式4-1】（2022·河南洛陽(yáng)·七年級(jí)期末）時(shí)鐘的分針從8點(diǎn)整轉(zhuǎn)到8點(diǎn)20分，分針旋轉(zhuǎn)了（）度．A．20 B．120 C．90 D．150【變式4-2】（2022·山東煙臺(tái)·期中）當(dāng)分針指向12，時(shí)針這時(shí)恰好與分針成120°的角，此時(shí)的時(shí)刻是______．【變式4-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）鐘面角是指時(shí)鐘的時(shí)針與分針?biāo)傻慕牵惶?4小時(shí)中，當(dāng)鐘面角為0°時(shí)，時(shí)針與分針重合_____次．【知識(shí)點(diǎn)4方向角】在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．【題型5方向角】【例5】（2022·山東煙臺(tái)·期末）如圖，某海域中有A，B兩個(gè)小島，其中B在A的北偏東40°方向，那么小島A相對(duì)于小島B的方向是（

）A．南偏東40° B．北偏東50° C．南偏西40° D．北偏西50°【變式5-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，甲從A點(diǎn)出發(fā)向北偏東70°方向走到點(diǎn)B，乙從點(diǎn)A出發(fā)向南偏西15°方向走到點(diǎn)C，則∠BAC的度數(shù)是（）A．85° B．105° C．125° D．160°【變式5-2】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，漁船A的方向可以由距小島20km和在小島的西南方向這兩個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)確定．問(wèn)：(1)漁船B相對(duì)小島的位置應(yīng)怎樣表述？(2)小島的北偏東30°方向，距離小島30km處是哪艘漁船？【變式5-3】（2022·重慶綦江·七年級(jí)期中）某部隊(duì)在大西北戈壁灘上進(jìn)行軍事演習(xí)，部隊(duì)司令部把部隊(duì)分為“藍(lán)軍”、“紅軍”兩方．藍(lán)軍的指揮所在A地，紅軍的指揮所地B地，A地在B地的正西邊（如圖）．部隊(duì)司令部在C地．C在A的北偏東60°方向上、在B的北偏東30°方向上．(1)∠BAC=______°；(2)演習(xí)前，司令部要藍(lán)軍、紅軍派人到C地匯報(bào)各自的準(zhǔn)備情況．紅軍一輛吉普車從B地出發(fā)、藍(lán)軍一部越野車在吉普車出發(fā)3分鐘后從A地出發(fā)，它們同時(shí)到達(dá)C地．已知吉普車行駛了18分鐘．A到C的距離是B到C的距離的1.7倍．越野車速度比吉普車速度的2倍多4千米．求越野車、吉普車的速度及B地到C地的距離（速度單位用：千米/時(shí)）．【知識(shí)點(diǎn)5角的比較與運(yùn)算】角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．【知識(shí)點(diǎn)6角的和、差關(guān)系】如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．【知識(shí)點(diǎn)7角平分線】從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=12∠【題型6與角平分線相關(guān)的角的運(yùn)算】【例6】（2022·江西省遂川縣教育局教學(xué)研究室七年級(jí)期末）如圖，∠AOB=90°，∠BOC=α(0°<α<180°)，(1)如圖1，當(dāng)OC在OB左側(cè)，且α=80°(2)當(dāng)OC的位置不確定時(shí)，請(qǐng)利用備用圖，畫(huà)出相關(guān)圖形，探究∠DOE的大小與α(3)當(dāng)∠DOE的度數(shù)為36°時(shí)，請(qǐng)直接寫出α【變式6-1】（2022·山東煙臺(tái)·期末）有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角，∠AOB=∠COD，且OE為∠BOC的角平分線．(1)如圖1，請(qǐng)?zhí)剿鳌螦OE和∠DOE的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，∠AOE和∠DOE是否仍然滿足（1）中關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若∠AOB=90°，∠AOC=64°，求出∠BOE的度數(shù)．【變式6-2】（2022·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末）如圖1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．(1)∠BOM＝________；(2)若在圖1中畫(huà)射線OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小；(3)如圖2，若線段OA與OB分別為同一鐘表上某一時(shí)刻的時(shí)針與分針，∠AOB＝60°，在時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，OM始終平分∠AOB，則經(jīng)過(guò)多少分鐘后，∠BOM的度數(shù)第一次等于50°．【變式6-3】（2022·內(nèi)蒙古·察哈爾右翼前旗教學(xué)研究室七年級(jí)期末）已知∠AOB內(nèi)部有三條射線，其中，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC（1）如圖1，若∠AOB=90°，∠AOC=30°，求∠EOF的度數(shù)；（2）如圖2，若∠AOB=α，求∠EOF的度數(shù)（用含α的式子表示）；（3）若將題中的“平分”條件改為“3∠EOB=∠COB，3∠COF=2∠COA”，且∠AOB=α，用含α的式子表示∠EOF的度數(shù)為．【題型7與角n等分線相關(guān)的角的運(yùn)算】【例7】（2022·貴州畢節(jié)·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、C、B三點(diǎn)在一直線上，從點(diǎn)C引射線CD、CE、CF，∠DCE＝13∠ECA，∠FCE＝13∠(1)求∠DCF的大小，并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)∠DCE＝1n∠ECA，∠FCE＝1n∠ECB時(shí)，直接寫出∠DCF的大?。ㄓ煤咀兪?-1】（2022·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)期末）如圖，在∠AOB的內(nèi)部有3條射線OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝1n∠BOC，∠BOD＝1n∠AOB，則∠DOE＝________°．（用含【變式7-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）已知:∠AOB和∠COD是直角．（1）如圖，當(dāng)射線OB在∠COD內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄俊螦OD和∠BOC之間的關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)射線OA,射線OB都在∠COD外部時(shí)，過(guò)點(diǎn)О作射線OE，射線OF，滿足∠BOE=13∠BOC，∠DOF=（3）如圖3，在（2）的條件下，在平面內(nèi)是否存在射線OG，使得∠GOF:∠GOE=2:3，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，若存在，求出∠GOF的度數(shù)．【變式7-3】（2022·江蘇淮安·七年級(jí)期末）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠AOC＝12∠BOC，則稱射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．如圖1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，則∠AOC＝12∠BOC，所以射線OC是射線OA在∠【解決問(wèn)題】(1)在圖1中，若作∠BOC的平分線OD，則射線OD（填“是”或“不是”）射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”；(2)如圖2，∠AOB的度數(shù)為n，射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，ON平分∠AOB，則∠MON的度數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）；(3)如圖3，射線OB先從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒1°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；10秒后射線OC也從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒5°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與射線OA的延長(zhǎng)線重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．問(wèn)：當(dāng)射線OC運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，射線OA，OB，OC中恰好有一條射線是余下兩條射線中某條射線在余下兩條射線所組成的角內(nèi)的一條“友好線”？【題型8在三角板中的角的運(yùn)算】【例8】（2022·陜西·西安市雁塔區(qū)第二中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）將一副三角板如圖1擺放．∠AOB=60°，∠COD=45°，OM平分∠AOD，ON平分∠COB．(1)∠MON=___________；(2)將圖1中的三角板OCD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，求∠MON；(3)將圖1中的三角板OCD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，求∠MON．【變式8-1】（2022·山東棗莊·七年級(jí)期中）如圖，將兩個(gè)直角三角板的頂點(diǎn)疊放在一起進(jìn)行探究．(1)如圖①，將一副直角三角板的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，若CE恰好是∠ACB的平分線，請(qǐng)你猜想此時(shí)CB是不是∠ECD的平分線，并簡(jiǎn)述理由；(2)如圖②，將一副直角三角板的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，若CB始終在∠DCE的內(nèi)部，請(qǐng)猜想∠ACE與∠DCB是否相等，并簡(jiǎn)述理由．【變式8-2】（2022·福建福州·七年級(jí)期末）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李磊同學(xué)將一副宜角三角板ABC、ADE按如圖1放置，點(diǎn)A、C、D在同一直線上，（∠EAD=30°、∠BAC=45°），并將三角板ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，且始終保持0°<∠CAD≤30°．(1)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖2，當(dāng)點(diǎn)A、C、E在同一直線上時(shí)，則∠BAD=____；(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖3，當(dāng)∠BAE=30°時(shí)．請(qǐng)說(shuō)明AC平分∠DAE；(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖4，當(dāng)∠BAE=4∠CAD時(shí)，求此時(shí)∠CAE的度數(shù)．【變式8-3】（2022·安徽·宿城第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）以直線AB上一點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC，使∠BOC=30°，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)放在O處，即∠DOE=90°．(1)如圖1，若直角三角板DOE的一邊OE放在射線OA上，則∠COD=______；(2)如圖2，將直角三角板DOE繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置，①若OE恰好平分∠AOC，則∠COD=______；②若OD在∠BOC內(nèi)部，請(qǐng)直接寫出∠BOD與∠COE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；(3)將直角三角板DOE繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（OD與OB重合時(shí)為停止）的過(guò)程中，恰好有∠COD=15∠AOE，求此時(shí)【知識(shí)點(diǎn)8余角和補(bǔ)角】（1）定義：一般地，如果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．類似地，如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．（2）性質(zhì)：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的補(bǔ)角相等．【題型9余角和補(bǔ)角的計(jì)算】【例9】（2022·河南平頂山·七年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，CO⊥AB，∠1=28°，OE是∠AOD的平分線，OF⊥OE．(1)求∠AOE的度數(shù)．(2)找出圖中與∠BOF互補(bǔ)的角，并求出∠BOF補(bǔ)角的度數(shù)．【變式9-1】（2022·河南·鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校經(jīng)開(kāi)校區(qū)七年級(jí)階段練習(xí)）一個(gè)角的余角比它的補(bǔ)角的15【變式9-2】（2022·新疆·烏魯木齊市第136中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，OC為任意一條射線，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．(1)圖中∠AOD的補(bǔ)角是和；∠BOD的余角是和．(2)已知∠COD=40°，求∠COE的度數(shù)．【變式9-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)）已知：如圖所示，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOC=50°．（1）求出∠AOB及其補(bǔ)角的度數(shù)；（2）求出∠DOC和∠AOE的度數(shù)，并判斷∠DOE與∠AOB是否互補(bǔ)，并說(shuō)明理由；（3）若∠BOC=α，∠AOC=β，則∠DOE與∠AOB是否互補(bǔ)，并說(shuō)明理由．【題型10同（等）角的余角和補(bǔ)角相等的運(yùn)用】【例10】（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在同一平面內(nèi)，∠AOB=∠COD=90°，∠AOF=∠DOF，點(diǎn)E為OF反向延長(zhǎng)線上一點(diǎn)（圖中所有角均指小于180°的角）．下列結(jié)論：①∠COE=∠BOE；②∠AOD+∠BOC=180°；③∠BOC?∠AOD=90°；④∠COE+∠BOF=180°．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式10-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AOE是一條直線，OB⊥AE,OC⊥OD，圖中互補(bǔ)的角有（

）A．4對(duì) B．5對(duì) C．6對(duì) D．7對(duì)【變式10-2】（2022·河北秦皇島·七年級(jí)期中）如圖，已知直線AB、CD、EF、MN相交于點(diǎn)O，CD⊥AB，OC平分∠EOM，圖中∠EOC的余角的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式10-3】（2022·福建·廈門市松柏中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，∠AOB=90°，直線b經(jīng)過(guò)點(diǎn)O．在下面的五個(gè)式子中：①180°?∠2；②∠3；③2∠1+∠2；④2∠3?2∠1?∠2；⑤180°?∠1，等于∠2的補(bǔ)角的式子的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5專題4.2角【十大題型】【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1角的概念及角的度量】 2【題型2角的單位及其換算】 3【題型3角的計(jì)數(shù)問(wèn)題】 6【題型4鐘面上角的特征】 8【題型5方向角】 10【題型6與角平分線相關(guān)的角的運(yùn)算】 13【題型7與角n等分線相關(guān)的角的運(yùn)算】 21【題型8在三角板中的角的運(yùn)算】 29【題型9余角和補(bǔ)角的計(jì)算】 37【題型10同（等）角的余角和補(bǔ)角相等的運(yùn)用】 41【知識(shí)點(diǎn)1角的概念】定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部．【知識(shí)點(diǎn)2角的表示方法】表示方法A圖例A記法適用范圍用三個(gè)大寫字母表示BOBOAOB或BOA任何情況下都適應(yīng).表示端點(diǎn)的字母必須寫在中間.用一個(gè)大寫字母表示AAA以這個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的角只有一個(gè).用數(shù)字表示111任何情況下都適用.但必須在靠近頂點(diǎn)處加上弧線表示角的范圍，并注上數(shù)字或希臘字母.用希臘字母表示【題型1角的概念及角的度量】【例1】（2022·甘肅蘭州·七年級(jí)期末）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．由兩條射線組成的圖形叫做角B．角的大小與角的兩邊長(zhǎng)度有關(guān)C．角的兩邊是兩條射線D．用放大鏡看一個(gè)角，角的度數(shù)變大了【答案】C【分析】根據(jù)角的定義和性質(zhì)解答即可．【詳解】A.由公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，故原說(shuō)法不正確；B.角的大小與角的兩邊長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，故原說(shuō)法不正確；C.角的兩邊是兩條射線，正確；D.用放大鏡看一個(gè)角，角的度數(shù)不變，故原說(shuō)法不正確；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查角的概念，具有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的兩條邊．角的大小與邊的長(zhǎng)短沒(méi)有關(guān)系．【變式1-1】（2022·山東淄博·期中）∠ACB的兩邊分別是（

A．射線AC、BC B．射線CA，CB C．線段AC，BC D．直線CA，CB【答案】B【分析】根據(jù)角的定義可進(jìn)行求解．【詳解】解：∠ACB的兩邊分別是射線CA，CB故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查角的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，用量角器度量∠AOB，可以讀出∠AOB的度數(shù)為_(kāi)_____°．【答案】120【分析】根據(jù)角的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：看內(nèi)圈的數(shù)字可得：∠AOB=120°，故答案為：120．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正確使用量角器是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．∠AOB也可用∠O來(lái)表示B．∠β與∠BOC是同一個(gè)角C．圖中共有三個(gè)角：∠AOB，∠AOC，∠BOCD．∠1與∠AOB是同一個(gè)角【答案】A【分析】根據(jù)角的表示方法：角可以用一個(gè)大寫字母表示，也可以用三個(gè)大寫字母表示．其中頂點(diǎn)字母要寫在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母來(lái)記這個(gè)角，否則分不清這個(gè)字母究竟表示哪個(gè)角．角還可以用一個(gè)希臘字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字（∠1，∠2…）表示進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A、∠1與∠AOB是同一個(gè)角，不可用∠O來(lái)表示，說(shuō)法錯(cuò)誤；B、∠β與∠BOC是同一個(gè)角，說(shuō)法正確；C、圖中共有三個(gè)角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，說(shuō)法正確；D、∠1與∠AOB是同一個(gè)角，說(shuō)法正確；故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角的概念，關(guān)鍵是掌握角的表示方法．【題型2角的單位及其換算】【例2】（2022·山東煙臺(tái)·期中）若∠1=25°15′，∠2=25°13′3A．∠3>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠3 C．∠1>∠3>∠2 D．∠1>∠2>∠3【答案】A【分析】首先∠1、∠2已經(jīng)是度、分、秒的形式，故將∠3化為度、分、秒的形式；再根據(jù)三個(gè)角的度數(shù)進(jìn)行大小比較，即可得到結(jié)論．【詳解】∵∠1=25°15′，∠2=25°13′3∴∠3>∠1>∠2．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的大小比較，熟練掌握同一角的單位比較角的大小并靈活運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）下面等式成立的是（

）A．83.5°=83C．15°48'【答案】D【分析】根據(jù)角度的運(yùn)算法則，以及角的換算，即可得到答案.【詳解】解：A、83.5°=83°30'，故A錯(cuò)誤；B、90°?57°23'27''=32°36'?C、15°48D、41.25°=41°15故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了角度的加減運(yùn)算，以及角的單位換算，解題的關(guān)鍵是掌握角度的運(yùn)算法則和角度的60進(jìn)位制.【變式2-2】（2022·江蘇·江陰市敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：(1)45°10′﹣21°35′20′′；(2)48°39′+67°31′﹣21°17′；(3)42°16′+18°23′×2．【答案】(1)23°34′40′′(2)94°53′(3)79°2′【分析】（1）根據(jù)度分秒之間的進(jìn)率即可解答；（2）根據(jù)度分秒之間的進(jìn)率即可解答；（3）先計(jì)算乘法，再計(jì)算加法即可．（1）解：45°10′﹣21°35′20′′=23°34′40′′．（2）解：48°39′+67°31′﹣21°17′=116°10′-21°17′=94°53′．（3）解：42°16′+18°23′×2=42°16′+36°46′=79°2′．【點(diǎn)睛】本題考查度分秒的計(jì)算，1°=60′，【變式2-3】（2022·天津南開(kāi)·七年級(jí)期末）如圖1是一個(gè)14【答案】

2n，

2°48′45″【分析】從特殊到一般，探究規(guī)律后即可解決問(wèn)題．【詳解】第一次在圖1中畫(huà)了一條線，將圖1等分成2份，第二次又加了兩條線，將圖1等分4=22份，第三次由加了四條線，將圖1等分成8=23份，第四次又加了八條線，將圖1等分成16=24份，第n（n＞1）次可將圖1等分成2n份．當(dāng)n=5時(shí)，圖1中的每份的角度是90°×12故答案為2n，2°48′45″．【點(diǎn)睛】本題考查了度分秒的換算、規(guī)律型：圖形變化類等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握從特殊到一般的探究方法，屬于中考?？碱}型．【題型3角的計(jì)數(shù)問(wèn)題】【例3】（2022·福建龍巖·七年級(jí)期末）在銳角∠AOB內(nèi)部，畫(huà)出1條射線，可以畫(huà)出3個(gè)銳角；畫(huà)出2條不同的射線，可以畫(huà)出6個(gè)銳角；畫(huà)出3條不同的射線，可以畫(huà)出10個(gè)銳角．照此規(guī)律，畫(huà)19條不同的射線，可以畫(huà)出銳角的個(gè)數(shù)為（）A．165 B．186 C．199 D．210【答案】D【分析】根據(jù)已知條件得出規(guī)律為從一個(gè)角的內(nèi)部引出n條射線所得到的銳角的個(gè)數(shù)是12【詳解】在銳角∠AOB內(nèi)部，畫(huà)出1條射線，可以畫(huà)出3個(gè)銳角；畫(huà)出2條不同的射線，可以畫(huà)出6個(gè)銳角；畫(huà)出3條不同的射線，可以畫(huà)出10個(gè)銳角；……∴從一個(gè)角的內(nèi)部引出n條射線所得到的銳角的個(gè)數(shù)是1+2+3+?+(n+1)=1∴畫(huà)19條不同的射線，可以畫(huà)出銳角的個(gè)數(shù)為12故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角的概念，解題的關(guān)鍵是找到規(guī)律．【變式3-1】（2022·山東·泰安市泰山區(qū)樹(shù)人外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中）如圖所示，∠AOB=90°，則圖中銳角有（）A．12個(gè) B．14個(gè) C．15個(gè) D．16個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)角的分類求解即可，順時(shí)針?lè)较驍?shù)，以O(shè)B為邊可得4個(gè)銳角，以O(shè)C為邊可得4個(gè)銳角，以O(shè)D為邊可得3個(gè)銳角，以O(shè)E為邊可得2個(gè)銳角，以O(shè)F為邊可得1個(gè)銳角，即可求得答案【詳解】解：順時(shí)針?lè)较驍?shù)，以O(shè)B為邊可得4個(gè)銳角，以O(shè)C為邊可得4個(gè)銳角，以O(shè)D為邊可得3個(gè)銳角，以O(shè)E為邊可得2個(gè)銳角，以O(shè)F為邊可得1個(gè)銳角，共有銳角4+4+3+2+1=14個(gè)故選B【點(diǎn)睛】本題考查了交點(diǎn)分類，角的個(gè)數(shù)，分類討論是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)角的個(gè)數(shù)時(shí)，不要將直角算進(jìn)去．【變式3-2】（2022·黑龍江牡丹江·七年級(jí)期末）如圖，線段條數(shù)為m，小于平角的角的個(gè)數(shù)為n，則n?m的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根據(jù)線段的定義和小于平角的角的性質(zhì)得出m，n的值，再代入求解即可．【詳解】由題意得m=7，n=8故n?m=8?7=1故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題考查了線段和平角的問(wèn)題，掌握線段的定義和平角的定義是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·湖南婁底·七年級(jí)期末）在一幅七巧板中，有我們學(xué)過(guò)的（

）A．8個(gè)銳角，6個(gè)直角，2個(gè)鈍角 B．12個(gè)銳角，9個(gè)直角，2個(gè)鈍角C．8個(gè)銳角，10個(gè)直角，2個(gè)鈍角 D．6個(gè)銳角，8個(gè)直角，2個(gè)鈍角【答案】B【分析】根據(jù)一副七巧板圖形，查出銳角，直角和鈍角的個(gè)數(shù)即可．【詳解】5個(gè)等腰直角三角形，5個(gè)直角，10個(gè)銳角，1個(gè)正方形，4個(gè)直角，1個(gè)平行四邊形，2個(gè)鈍角，2個(gè)銳角，在一幅七巧板中根據(jù)12個(gè)銳角，9個(gè)直角，2個(gè)鈍角．故選擇B．【點(diǎn)睛】本題考查角的分類，平面圖形，掌握角的分類，平面圖形是解題關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)3鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題】鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問(wèn)題．【題型4鐘面上角的特征】【例4】（2022·貴州·仁懷市周林學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．3時(shí)30分，時(shí)針與分針的夾角是90° B．6時(shí)30分，時(shí)針與分針重合C．8時(shí)45分，時(shí)針與分針的夾角是30° D．9時(shí)整，時(shí)針與分針的夾角是90°【答案】D【分析】根據(jù)時(shí)針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)，可得答案．【詳解】解：A、3時(shí)30分時(shí)，時(shí)針在3與4中間位置，分針在6上，可以得出分針與時(shí)針的夾角是2.5大格，所以分針與時(shí)針的夾角是2.5×30=75°，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、6時(shí)30分，時(shí)針與分針的夾角等于15°，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、8時(shí)45分，時(shí)針與分針的夾角是30×14D、9時(shí)整，鐘面上的時(shí)針與分針的夾角=3×30=90°，故本選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角，確定時(shí)針與分針相距的份數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·河南洛陽(yáng)·七年級(jí)期末）時(shí)鐘的分針從8點(diǎn)整轉(zhuǎn)到8點(diǎn)20分，分針旋轉(zhuǎn)了（）度．A．20 B．120 C．90 D．150【答案】B【分析】根據(jù)時(shí)鐘上一大格是30°，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：由題意得：4×30°=120°，∴時(shí)鐘的分針從8點(diǎn)整轉(zhuǎn)到8點(diǎn)20分，分針旋轉(zhuǎn)了120度，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角，熟練掌握時(shí)鐘上一大格是30°是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·山東煙臺(tái)·期中）當(dāng)分針指向12，時(shí)針這時(shí)恰好與分針成120°的角，此時(shí)的時(shí)刻是______．【答案】8點(diǎn)鐘或4點(diǎn)鐘【分析】根據(jù)鐘表上每一個(gè)大格之間的夾角是30°，當(dāng)分針指向12，時(shí)針這時(shí)恰好與分針成120°的角，應(yīng)該得出，時(shí)針距分針應(yīng)該是4個(gè)格，應(yīng)考慮兩種情況．【詳解】解：∵鐘表上每一個(gè)大格之間的夾角是30°，∴當(dāng)分針指向12，時(shí)針這時(shí)恰好與分針成120°的角時(shí)，距分針成120°的角時(shí)針應(yīng)該有兩種情況，即距時(shí)針4個(gè)格，∴只有8點(diǎn)鐘或4點(diǎn)鐘是符合要求．故答案為：8點(diǎn)鐘或4點(diǎn)鐘．【點(diǎn)睛】本題主要考查了鐘面角的有關(guān)知識(shí)．距分針成120°的角時(shí)針應(yīng)該有兩種情況，分類討論的應(yīng)用是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）鐘面角是指時(shí)鐘的時(shí)針與分針?biāo)傻慕牵惶?4小時(shí)中，當(dāng)鐘面角為0°時(shí)，時(shí)針與分針重合_____次．【答案】22【分析】求出相鄰兩次鐘面角為0之間間隔的時(shí)間，即可得出答案．【詳解】鐘面上，分針轉(zhuǎn)一圈即360°需要60分鐘，即分針的速度是每分鐘6°，時(shí)針轉(zhuǎn)一圈需要12個(gè)小時(shí)，時(shí)針的速度是每分鐘360°則相鄰兩次鐘面角為0之間間隔的時(shí)間是：360°一天有24×60=1440（分鐘），則鐘面角為0的次數(shù)為：144065.45故答案為：22．【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角問(wèn)題．求出相鄰兩次鐘面角為0之間間隔的時(shí)間是解答本題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)4方向角】在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．【題型5方向角】【例5】（2022·山東煙臺(tái)·期末）如圖，某海域中有A，B兩個(gè)小島，其中B在A的北偏東40°方向，那么小島A相對(duì)于小島B的方向是（

）A．南偏東40° B．北偏東50° C．南偏西40° D．北偏西50°【答案】C【分析】根據(jù)B在A的北偏東40°方向，即可得出直線AB與B點(diǎn)正南方向的夾角為40°，再根據(jù)A的位置即可得到答案．【詳解】解：B在A的北偏東40°方向，∴小島A相對(duì)于小島B的方向是南偏西40°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查位置和方向，解題的關(guān)鍵是熟練掌握位置和方向的判斷方法．【變式5-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，甲從A點(diǎn)出發(fā)向北偏東70°方向走到點(diǎn)B，乙從點(diǎn)A出發(fā)向南偏西15°方向走到點(diǎn)C，則∠BAC的度數(shù)是（）A．85° B．105° C．125° D．160°【答案】C【分析】首先求得AB與正東方向的夾角的度數(shù)，即可求解．【詳解】根據(jù)題意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了方向角，正確理解方向角的定義是關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，漁船A的方向可以由距小島20km和在小島的西南方向這兩個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)確定．問(wèn)：(1)漁船B相對(duì)小島的位置應(yīng)怎樣表述？(2)小島的北偏東30°方向，距離小島30km處是哪艘漁船？【答案】(1)漁船B在小島南偏東60°方向的25km處(2)漁船D【分析】（1）根據(jù)漁船B和小島的位置，距離關(guān)系即可解答.(2）根據(jù)圖像查找即可解答.【詳解】(1)根據(jù)題中給的形式可得漁船B在小島南偏東60°方向的25km處.(2）根據(jù)圖像可得小島的北偏東30°方向，距離小島30km處是漁船D.【變式5-3】（2022·重慶綦江·七年級(jí)期中）某部隊(duì)在大西北戈壁灘上進(jìn)行軍事演習(xí)，部隊(duì)司令部把部隊(duì)分為“藍(lán)軍”、“紅軍”兩方．藍(lán)軍的指揮所在A地，紅軍的指揮所地B地，A地在B地的正西邊（如圖）．部隊(duì)司令部在C地．C在A的北偏東60°方向上、在B的北偏東30°方向上．(1)∠BAC=______°；(2)演習(xí)前，司令部要藍(lán)軍、紅軍派人到C地匯報(bào)各自的準(zhǔn)備情況．紅軍一輛吉普車從B地出發(fā)、藍(lán)軍一部越野車在吉普車出發(fā)3分鐘后從A地出發(fā)，它們同時(shí)到達(dá)C地．已知吉普車行駛了18分鐘．A到C的距離是B到C的距離的1.7倍．越野車速度比吉普車速度的2倍多4千米．求越野車、吉普車的速度及B地到C地的距離（速度單位用：千米/時(shí)）．【答案】(1)30(2)越野車為204千米/時(shí)、吉普車的速度為100千米/時(shí)，B地到C地的距離為30千米【分析】（1）∠BAC=90°?60°；（2）設(shè)吉普車的速度為x千米/時(shí)，越野車的速度為（2x+4）千米/時(shí)，B到C距離為1860x千米，A到C的距離為（1）解：∠BAC=90°?60°=30°，故答案為：30（2）解：設(shè)吉普車的速度為x千米/時(shí)，則越野車的速度為（2x+4）千米/時(shí)，B到C距離為1860x千米，A到C的距離為由題意，得1.7×18解得x=100，則2x+4=204，1860答：越野車為204千米/時(shí)、吉普車的速度為100千米/時(shí)，B地到C地的距離為30千米．【點(diǎn)睛】本題考查了方位角和一次方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)出合適未知數(shù)，找到等量關(guān)系列出方程是解題關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)5角的比較與運(yùn)算】角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．【知識(shí)點(diǎn)6角的和、差關(guān)系】如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．【知識(shí)點(diǎn)7角平分線】從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=12∠【題型6與角平分線相關(guān)的角的運(yùn)算】【例6】（2022·江西省遂川縣教育局教學(xué)研究室七年級(jí)期末）如圖，∠AOB=90°，∠BOC=α(0°<α<180°)，(1)如圖1，當(dāng)OC在OB左側(cè)，且α=80°(2)當(dāng)OC的位置不確定時(shí)，請(qǐng)利用備用圖，畫(huà)出相關(guān)圖形，探究∠DOE的大小與α(3)當(dāng)∠DOE的度數(shù)為36°時(shí)，請(qǐng)直接寫出α【答案】(1)85°(2)∠DOE=45°+12(3)18°或162°【分析】（1）利用角平分線的定義和角的和差關(guān)系求解；（2）分OC在OB左側(cè)，OC在∠AOB內(nèi)部，OC在OA（3）將∠DOE（1）解：由題意得，∠AOB=90°，∵OD，OE分別是∠AOB，∴∠DOB=1∴∠DOE即∠DOE的度數(shù)是85°（2）解：分三種情況討論，當(dāng)OC在OB左側(cè)時(shí)，如下圖所示：∠DOE當(dāng)OC在∠AOB∠DOE當(dāng)OC在OA下方時(shí)，如下圖所示：∠DOE綜上可知，∠DOE=45°+12α（3）解：由（2）可知，∠DOE45°?12α=36°解得α=18°，或α=162°，或即α的度數(shù)為18°或162°．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義和角的和差關(guān)系，需要注意OC的位置有多種可能，掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022·山東煙臺(tái)·期末）有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角，∠AOB=∠COD，且OE為∠BOC的角平分線．(1)如圖1，請(qǐng)?zhí)剿鳌螦OE和∠DOE的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，∠AOE和∠DOE是否仍然滿足（1）中關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若∠AOB=90°，∠AOC=64°，求出∠BOE的度數(shù)．【答案】(1)∠AOE＝∠DOE，理由見(jiàn)解析(2)∠AOE＝∠DOE，理由見(jiàn)解析(3)∠BOE的度數(shù)為13°或77°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，由OE為∠BOC的角平分線，得∠BOE＝∠COE，進(jìn)而推出∠AOE＝∠DOE；（2）與（1）同理；（3）分兩種情況，∠AOC在∠AOB的內(nèi)部或∠AOC在∠AOB的外部，根據(jù)角的和差關(guān)系，由∠AOB＝90°，∠AOC＝64°，得∠BOC=∠AOB?∠AOC＝26°或∠BOC=∠AOB+∠AOC＝154°，然后根據(jù)角平分線的定義，由OE為∠BOC的角平分線，得∠BOE＝12∠BOC＝13°或∠BOE＝12∠（1）解：∠AOE＝∠DOE，理由如下：∵OE為∠BOC的角平分線，∴∠BOE＝∠COE，∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＋∠BOE＝∠COD＋∠COE，∴∠AOE＝∠DOE．（2）∠AOE＝∠DOE，理由如下：∵OE為∠BOC的角平分線，∴∠BOE＝∠COE，∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB?∠BOE＝∠COD?∠COE，∴∠AOE＝∠DOE．（3）解：當(dāng)∠AOC在∠AOB的內(nèi)部時(shí)，如圖所示：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝64°，∴∠BOC=∠AOB?∠AOC＝26°，∵OE為∠BOC的角平分線，∴∠BOE＝12∠BOC當(dāng)∠AOC在∠AOB的外部時(shí)，如圖所示：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝64°，∴∠BOC=∠AOB+∠AOC＝154°，∵OE為∠BOC的角平分線，∴∠BOE＝12∠BOC綜上分析可知，∠BOE的度數(shù)為13°或77°．【點(diǎn)睛】本題主要考查角的和差關(guān)系、角平分線的定義，熟練掌握角的和差關(guān)系、角平分線的定義，是解決本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末）如圖1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．(1)∠BOM＝________；(2)若在圖1中畫(huà)射線OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小；(3)如圖2，若線段OA與OB分別為同一鐘表上某一時(shí)刻的時(shí)針與分針，∠AOB＝60°，在時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，OM始終平分∠AOB，則經(jīng)過(guò)多少分鐘后，∠BOM的度數(shù)第一次等于50°．【答案】(1)30°(2)20°(3)8011【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義即可得出答案；（2）根據(jù)題意分類討論，分為射線OC在∠AOB內(nèi)部和外部?jī)煞N情況計(jì)算即可；（3）根據(jù)鐘表轉(zhuǎn)動(dòng)求出時(shí)針和分針轉(zhuǎn)動(dòng)的速度，再根據(jù)分針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度-時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度=∠AOB增加的度數(shù)，建立方程解出答案即可．（1）解：∵∠AOB＝60°，OM平分∠AOB，∴∠BOM=1（2）當(dāng)射線OC在∠AOB內(nèi)部時(shí)，如圖所示，∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，∴∠BON=1∴∠MON=∠BOM?∠BON=30°?10°=20°；當(dāng)射線OC在∠AOB外部時(shí)，如圖所示，∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，∴∠BON=1∴∠MON=∠BOM+∠BON=30°+10°=40°；綜上所述，∠MON的度數(shù)為20°或（3）∵OM平分∠AOB，∠BOM＝50°∴∠AOB=2∠BOM=100°設(shè)經(jīng)過(guò)x分鐘后，∠BOM的度數(shù)第一次等于50°，∵分針OB的運(yùn)動(dòng)速度為每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)：360°60時(shí)針OA的運(yùn)動(dòng)速度為每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)：360°12×60∴6°x?0.5°x=100°?60°，解得x=80所以經(jīng)過(guò)8011分鐘后，∠BOM【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，分類討論思想，一元一次方程的應(yīng)用之行程問(wèn)題，分類討論思想和方程思想是本題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022·內(nèi)蒙古·察哈爾右翼前旗教學(xué)研究室七年級(jí)期末）已知∠AOB內(nèi)部有三條射線，其中，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC（1）如圖1，若∠AOB=90°，∠AOC=30°，求∠EOF的度數(shù)；（2）如圖2，若∠AOB=α，求∠EOF的度數(shù)（用含α的式子表示）；（3）若將題中的“平分”條件改為“3∠EOB=∠COB，3∠COF=2∠COA”，且∠AOB=α，用含α的式子表示∠EOF的度數(shù)為．【答案】（1）∠EOF=45°，（2）∠EOF=12α，（3）∠EOF=2【分析】(1)首先求得∠BOC的度數(shù)，然后根據(jù)角的平分線的定義和角的和差可得：∠EOF=∠EOC+∠COF即可求解；(2)根據(jù)角的平分線的定義和角的和差可得∠EOF=∠EOC+∠COF=12∠BOC+12∠AOC=(3)根據(jù)角的等分線的定義可得：∠EOF=∠EOC+∠COF=23∠BOC+23∠AOC=23【詳解】解：（1）∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=90°﹣30°=60°，∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∴∠EOC=12∠BOC=12×60°=30°，∠COF=12∴∠EOF=∠EOC+∠COF=30°+15°=45°；（2）∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∴∠EOC=12∠BOC，∠COF=1∴∠EOF=∠EOC+∠COF=12∠BOC+12∠AOC=12（∠BOC+∠AOC）=1（3）3∠EOB=∠COB，3∠COF=2∠COA即∠EOB=13∠BOC，∠COF=2∴∠EOC=23∴∠EOF=∠EOC+∠COF=23∠BOC+23∠AOC=23（∠BOC+∠AOC）=2【點(diǎn)睛】本題主要考查角的計(jì)算及角平分線的定義，角的等分線的定義，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.【題型7與角n等分線相關(guān)的角的運(yùn)算】【例7】（2022·貴州畢節(jié)·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、C、B三點(diǎn)在一直線上，從點(diǎn)C引射線CD、CE、CF，∠DCE＝13∠ECA，∠FCE＝13∠(1)求∠DCF的大小，并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)∠DCE＝1n∠ECA，∠FCE＝1n∠ECB時(shí)，直接寫出∠DCF的大?。ㄓ煤敬鸢浮?1)∠DCF=60°，理由見(jiàn)解析(2)∠DCF=180°n【分析】（1）利用角的和與角的差，平角的定義來(lái)計(jì)算即可；（2）根據(jù)（1）的計(jì)算模式，把13換成1（1）解：∵點(diǎn)A、C、B三點(diǎn)在一直線上，從點(diǎn)C引射線CD、CE、CF，∠DCE=13∠ECA，∠FCE=13∠∴∠DCF=∠DCE+∠FCE=13（∠ECA+∠ECB）=1（2）解：∵點(diǎn)A、C、B三點(diǎn)在一直線上，從點(diǎn)C引射線CD、CE、CF，∠DCE=1n∠ECA，∠FCE=1n∠∴∠DCF=∠DCE+∠FCE=1n（∠ECA+∠ECB）=1n×180°=【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算、列代數(shù)式，解題關(guān)鍵是掌握角的計(jì)算和根據(jù)題意列代數(shù)式．【變式7-1】（2022·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)期末）如圖，在∠AOB的內(nèi)部有3條射線OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝1n∠BOC，∠BOD＝1n∠AOB，則∠DOE＝________°．（用含【答案】70【分析】根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠BOE=1n∠BOC∴∠BOC=n∠BOE，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，∴∠BOD=1n∠AOB=70°n+∠∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=70°n故答案為：70n【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）已知:∠AOB和∠COD是直角．（1）如圖，當(dāng)射線OB在∠COD內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄俊螦OD和∠BOC之間的關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)射線OA,射線OB都在∠COD外部時(shí)，過(guò)點(diǎn)О作射線OE，射線OF，滿足∠BOE=13∠BOC，∠DOF=（3）如圖3，在（2）的條件下，在平面內(nèi)是否存在射線OG，使得∠GOF:∠GOE=2:3，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，若存在，求出∠GOF的度數(shù)．【答案】（1）∠AOD+∠BOC=180°，詳見(jiàn)解析；（2）150°；（3）∠GOF的度數(shù)是60°或【分析】（1）根據(jù)角與角之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換，證明∠AOD+∠BOC=180°；（2）利用角度之間的倍數(shù)關(guān)系，設(shè)∠BOE=α，然后用α表示∠BOE、∠AOB、∠AOF，最后加起來(lái)就可以算出∠EOF；（3）分情況討論，射線OG在∠EOF內(nèi)部或者外部，再根據(jù)比例關(guān)系求出∠GOF的度數(shù)．【詳解】解：（1）∠AOD+∠BOC=180°，證明：∵∠AOB和∠COD是直角，∴∠AOB=∠COD=90°，∵∠BOD+∠BOC=∠COD，∴∠BOD=90°?∠BOC，同理：∠AOC=90°?∠BOC，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+90°?∠BOC=180∴∠AOD+∠BOC=180°；（2）解：設(shè)∠BOE=α，則∠BOC=3α，∵∠BOE+∠EOC=∠BOC，∴∠EOC=∠BOC?∠BOE=2α，∵∠AOD+∠COD+∠BOC+∠AOB=360°，∴∠AOD=360°?∠COD?∠BOC?∠AOB=360°?90°?3a?90°=180°?3α，∵∠DOF=2∴∠DOF=2∴∠AOF=1∴∠EOF=∠BOE+∠AOB+∠AOF=α+90°+60°?a=150°，答：∠EOF的度數(shù)是150°（3）①如圖，當(dāng)射線OG在∠EOF內(nèi)部時(shí)，∵∠GOF:∠GOE=2:3，∴∠GOF=2②如圖，當(dāng)射線OG在∠EOF外部時(shí)，∵∠GOF:∠GOE=2:3，∴∠GOF=2綜上所述，∠GOF的度數(shù)是60°或84°．【點(diǎn)睛】本題考查角度的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是找到圖象中角與角之間的聯(lián)系，進(jìn)行列式求解，需要注意最后一問(wèn)要進(jìn)行分類討論．【變式7-3】（2022·江蘇淮安·七年級(jí)期末）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠AOC＝12∠BOC，則稱射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．如圖1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，則∠AOC＝12∠BOC，所以射線OC是射線OA在∠【解決問(wèn)題】(1)在圖1中，若作∠BOC的平分線OD，則射線OD（填“是”或“不是”）射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”；(2)如圖2，∠AOB的度數(shù)為n，射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，ON平分∠AOB，則∠MON的度數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）；(3)如圖3，射線OB先從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒1°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；10秒后射線OC也從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒5°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與射線OA的延長(zhǎng)線重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．問(wèn)：當(dāng)射線OC運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，射線OA，OB，OC中恰好有一條射線是余下兩條射線中某條射線在余下兩條射線所組成的角內(nèi)的一條“友好線”？【答案】(1)是(2)16(3)57或2013或15或71011【分析】（1）根據(jù)“友好線”定義即可作出判斷；（2）根據(jù)“友好線”定義即可求解；（3）利用分類討論思想，分別作出圖形，分情況進(jìn)行計(jì)算即可．(1)解：∵OB是∠BOC的平分線，∴∠BOD＝∠COD，∵∠COA＝12∠BOC∴∠BOD＝12∠AOD∴射線OD是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．故答案為：是．(2)∵射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，∠AOB的度數(shù)為n，∴∠BOM＝13∠AOB＝13∵ON平分∠AOB，∴∠BON＝12∠AOB＝12∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝12n﹣13n＝1故答案為：16n(3)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒時(shí)，射線OA、OB、OC中恰好有一條射線是其余兩條射線中某條射線的“友好線”．∵當(dāng)射線OC與射線OA的延長(zhǎng)線重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止∴x≤如圖，當(dāng)射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，當(dāng)∠AOC=1根據(jù)題意可得∠AOB=10+x°,∠AOC=5x°5x=解得x=如圖,當(dāng)射線OC是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，當(dāng)12∠AOB=10+x°,∠AOC=5x°1解得x=即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2013秒時(shí)，射線OC是射線OB③如圖，當(dāng)射線OB是射線OA在∠AOC內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，則∠AOB＝12∠COB∠AOB=10+x°,∠AOC=5x°所以10+x＝124x?10解得x＝15（符合題意），即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為15秒時(shí)，射線OB是射線OA的“友好線”．④如圖，當(dāng)射線OB是射線OC在∠AOC內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，則12∠AOB＝∠COB∠AOB=10+x°,∠AOC=5x°∴解得x=⑤如圖，∵∠AOB=10+x°當(dāng)∠AOC=1360?5x=解得：x=當(dāng)121解得：x=綜上所述，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為57或2013或15或71011【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，角的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是利用分類討論思想．【題型8在三角板中的角的運(yùn)算】【例8】（2022·陜西·西安市雁塔區(qū)第二中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）將一副三角板如圖1擺放．∠AOB=60°，∠COD=45°，OM平分∠AOD，ON平分∠COB．(1)∠MON=___________；(2)將圖1中的三角板OCD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，求∠MON；(3)將圖1中的三角板OCD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，求∠MON．【答案】(1)52.5°(2)52.5°(3)52.5°【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)，分別求出∠NOB和∠MOB，相加即可求得∠MON；（2）由角平分線分別表示出∠MOD和∠NOB，則∠MON=12∠AOD+（3）同（2）由角平分線分別表示出∠MOD和∠NOB，則∠MON=12∠AOD+（1）解：∵OM平分∠AOD，ON平分∠COB，∴∠NOB=12∠COB=22.5°∴∠MON=∠NOB+∠MOB=22.5°+30°=52.5°．故答案為：52.5°．（2）解：∵OM平分∠AOD，ON平分∠COB，∴∠MOD=12∠AOD∴∠MON======52.5°；（3）解：∵OM平分∠AOD，ON平分∠COB，∴∠MOD=12∠AOD∴∠MON======52.5°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，幾何圖形中角的計(jì)算．準(zhǔn)確識(shí)圖并發(fā)現(xiàn)角度之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式8-1】（2022·山東棗莊·七年級(jí)期中）如圖，將兩個(gè)直角三角板的頂點(diǎn)疊放在一起進(jìn)行探究．(1)如圖①，將一副直角三角板的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，若CE恰好是∠ACB的平分線，請(qǐng)你猜想此時(shí)CB是不是∠ECD的平分線，并簡(jiǎn)述理由；(2)如圖②，將一副直角三角板的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，若CB始終在∠DCE的內(nèi)部，請(qǐng)猜想∠ACE與∠DCB是否相等，并簡(jiǎn)述理由．【答案】(1)CB是∠ECD的角平分線；理由見(jiàn)詳解；(2)∠ACE=∠DCE；理由見(jiàn)詳解；【分析】（1）根據(jù)∠ACB=90°，CE是∠ACB的角平分線，可知∠ECB=12∠ACB=45°，進(jìn)而可知∠DCB=∠ECD－∠ECB=90°－45°=45°，則∠ECB=∠DCB，由此可證CB是∠ECD（2）由∠ACB=∠DCE=90°，可知∠ACE＋∠ECB=90°，∠DCB＋∠ECB=90°，則∠ACE=∠DCB．（1）解：猜想CB是∠ECD的角平分線，理由如下：∵∠ACB=90°，CE是∠ACB的角平分線，∴∠ECB=12∠ACB∴∠DCB=∠ECD－∠ECB=90°－45°=45°，∴∠ECB=∠DCB，∴CB是∠ECD的角平分線；（2）猜想：∠ACE=∠DCE，理由如下：∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACE＋∠ECB=90°，∠DCB＋∠ECB=90°，∴∠ACE=∠DCB．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的判定，角度的轉(zhuǎn)換，能夠根據(jù)題意分析出角的變換過(guò)程是解決本題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022·福建福州·七年級(jí)期末）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李磊同學(xué)將一副宜角三角板ABC、ADE按如圖1放置，點(diǎn)A、C、D在同一直線上，（∠EAD=30°、∠BAC=45°），并將三角板ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，且始終保持0°<∠CAD≤30°．(1)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖2，當(dāng)點(diǎn)A、C、E在同一直線上時(shí)，則∠BAD=____；(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖3，當(dāng)∠BAE=30°時(shí)．請(qǐng)說(shuō)明AC平分∠DAE；(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖4，當(dāng)∠BAE=4∠CAD時(shí)，求此時(shí)∠CAE的度數(shù)．【答案】(1)75°(2)見(jiàn)解析(3)∠CAE=25°【分析】（1）根據(jù)∠BAD=∠EAD+∠BAC計(jì)算；（2）計(jì)算∠EAC的度數(shù)，得到∠CAE=1（3）設(shè)∠CAD=x°，表示出∠BAE，根據(jù)∠BAE=4∠CAD，求出x，得出答案；(1)解：點(diǎn)A,C,E在同一直線上，∠EAD=30°,∠BAC=45°，∴∠BAD=∠EAD+∠BAC=30°+45°=75°，故答案為：75°；(2)如圖3，，∵∠BAC=45°，∠BAE=30°，∴∠CAE=∠BAC?∠BAE=45°?30°=15°，∵∠DAE=30°，∠CAE=15°，∴∠CAE=1∴AC平分∠DAE；(3)如圖4，，設(shè)∠CAD=x°，則∠EAC=30°?x°，∵∠BAC=45°，∴∠BAE=∠BAC?∠EAC=45°?(30°?x°)=15°+x°，∵∠BAE=4∠CAD，∴15°+x°=4x°，解得x=5，∴∠EAC=∠DAE?∠CAD=25°．【點(diǎn)睛】本題考查角的和差，角的平分線，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是結(jié)合圖形準(zhǔn)確表示角的和差．【變式8-3】（2022·安徽·宿城第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）以直線AB上一點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC，使∠BOC=30°，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)放在O處，即∠DOE=90°．(1)如圖1，若直角三角板DOE的一邊OE放在射線OA上，則∠COD=______；(2)如圖2，將直角三角板DOE繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置，①若OE恰好平分∠AOC，則∠COD=______；②若OD在∠BOC內(nèi)部，請(qǐng)直接寫出∠BOD與∠COE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；(3)將直角三角板DOE繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（OD與OB重合時(shí)為停止）的過(guò)程中，恰好有∠COD=15∠AOE【答案】(1)60°(2)①15°；②∠COE?∠BOD=60°(3)15°或40°【分析】（1）先求出∠DOB=90°，再根據(jù)∠COD=∠DOB?∠BOC即可得；（2）①先求出∠AOC=150°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠COE=12∠AOC=75°②根據(jù)∠COD=∠BOC?∠BOD和∠COD=∠DOE?∠COE即可得；（3）分①∠COD在∠BOC的內(nèi)部和②∠COD在∠BOC的外部?jī)煞N情況，根據(jù)角的和差分別求出∠COD和∠AOE，再根據(jù)∠COD=1（1）解：∵∠DOE=90°，∴∠DOB=90°，∵∠BOC=30°，∴∠COD=∠DOB?∠BOC=90°?30°=60°，故答案為：60°．（2）解：①∵∠BOC=30°，∴∠AOC=180°?∠BOC=150°，∵OE恰好平分∠AOC，∴∠COE=1又∵∠DOE=90°，∴∠COD=∠DOE?∠COE=15°，故答案為：15°；②∵OD在∠BOC內(nèi)部，∴∠COD=∠BOC?∠BOD=30°?∠BOD，∵∠DOE=90°，∴∠COE+∠COD=90°，即∠COD=90°?∠COE，∴30°?∠BOD=90°?∠COE，即∠COE?∠BOD=60°，故答案為：∠COE?∠BOD=60°．（3）解：①如圖，當(dāng)∠COD在∠BOC的內(nèi)部時(shí)，∴∠COD=∠BOC?∠BOD=30°?∠BOD，∵∠AOE+∠DOE+∠BOD=180°,∠DOE=90°，∴∠AOE=90°?∠BOD，又∵∠COD=1∴30°?∠BOD=1解得∠BOD=15°；②如圖，當(dāng)∠COD在∠BOC的外部時(shí)，∴∠COD=∠BOD?∠BOC=∠BOD?30°，∵∠AOE+∠DOE+∠BOD=180°,∠DOE=90°，∴∠AOE=90°?∠BOD，又∵∠COD=1∴∠BOD?30°=1解得∠BOD=40°；綜上，∠BOD的度數(shù)為15°或40°．【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差、角平分線等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)8余角和補(bǔ)角】（1）定義：一般地，如果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．類似地，如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．（2）性質(zhì)：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的補(bǔ)角相等．【題型9余角和補(bǔ)角的計(jì)算】【例9】（2022·河南平頂山·七年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，CO⊥AB，∠1=28°，OE是∠AOD的平分線，OF⊥OE．(1)求∠AOE的度數(shù)．(2)找出圖中與∠BOF互補(bǔ)的角，并求出∠BOF補(bǔ)角的度數(shù)．【答案】(1)59°(2)∠AOF和∠COE，31°【分析】（1）利用余角互余關(guān)系求得∠BOD，利用鄰角補(bǔ)角關(guān)系求得∠AOD，進(jìn)而人求得∠AOE；（2）利用等角的余角相等，求得與∠AOF相等的角，即求得∠BOF的補(bǔ)角．（1）∵CO⊥AB，∴∠COA=90°，∴∠AOD=∠COA+∠1=90°+28°=118°．∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=1（2）與∠BOF互補(bǔ)的角是∠AOF和∠COE，因?yàn)镺F⊥OE，∴∠EOF=90°，∴∠AOF=∠EOF=∠AOE=90°?59°=31°，∴∠BOF補(bǔ)角的度數(shù)是31°．【點(diǎn)睛】本題考查余角、鄰補(bǔ)角的定義，利用余角、鄰補(bǔ)角的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式9-1】（2022·河南·鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校經(jīng)開(kāi)校區(qū)七年級(jí)階段練習(xí)）一個(gè)角的余角比它的補(bǔ)角的15【答案】70°【分析】設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為x,由題意列出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為x,根據(jù)題意得：90°-x=15（180°-x解得：x=70°．所以這個(gè)角的度數(shù)為70°．故答案為：70°【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角以及一元一次方程的應(yīng)用；由題意列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2022·新疆·烏魯木齊市第136中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，OC為任意一條射線，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．(1)圖中∠AOD的補(bǔ)角是和；∠BOD的余角是和．(2)已知∠COD=40°，求∠COE的度數(shù)．【答案】(1)∠BOD，∠COD；∠COE，∠AOE(2)50°【分析】（1）根據(jù)互為補(bǔ)角的和等于180°找出即可；（2）根據(jù)角平分線的定義表示出∠BOC與∠AOC，再根據(jù)角平分線的定義即可得解．（1）解：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠BOD=∠COD，∠AOE=∠COE，∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠BOD=90°，∴∠BOD+∠EOC=90°，∵∠AOD+∠BOD=180°，∴∠AOD+∠COD=180°，∴∠AOD的補(bǔ)角是∠BOD和∠COD；∠BOD的余角是∠COE和∠AOE．故答案為：∠BOD，∠COD；∠COE，∠AOE．（2）解：∵OD平分∠BOC，∠COD=40°，∴∠BOC=2∠COD=80°，由題意可知，∠AOB是平角，∠AOB=∠AOC+∠BOC，∴∠AOC=∠AOB?∠BOC=180°?80°=100°，∵OE平分∠AOC，∴∠COE=1【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角的概念，角度