江西省臨川2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題(本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.)

1.已知直線4：or+2y+6=0與/2：%+(4—1)'+/—1=0平行，則實數(shù)〃的取值是

A.-1或2B.0或1

C.-lD.2

2.函數(shù)./■(》)="+2—1(。＞0且1)的圖象恒過定點()

A.(—2,0)B.(—1,0)

C.(0,-1)D.(-b-2)

/、c1兀1

3.已知函數(shù)/(x)=-10sin2x—10sinx—5，xe--,m的值域為一萬,2,則實數(shù)的取值范圍是

B.-￡,0

6

71717171

3,6

4.已知cos[a-：]+sina==石，則sin(a+&)的值是

V0756

A..巫B.他

55

5.已知點43,2),5(0,-D,則直線的傾斜角為()

A.3O0B.450

C.60°D.12O0

rr

6.將函數(shù)〃x)=sin2x圖象向左平移§個單位后與y=g(x)的圖象重合，貝ij()

A.g(x)=sin|2x+-|B.g(x)=sin|-§

24

Cg(x)=sin|2x+D.g(x)=sin2x+-

6

7.已知P(l,3)為角a終邊上一點，則2s"iq°sa=()

8.已知函數(shù)/(x)=f2_2x,g(x)=<"以">°'則，g[/⑴]=()

x+l,x<0.

A.4B.3

C.-3D.-2

9.已知】=(2,1),S=(-l,l),則a在方向上的投影為。

A應(yīng)V2

A.----RB.---

22

C.一好D.立

55

10.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：①y=/(x-l)的圖像關(guān)于直線x=l對稱；②對任意的X，9e(-8,0],

當(dāng)玉工馬時，不等式成立.令：，"=logj,3,c=10g85,則下列不等式成立的是()

%1-x2a一乙4

A./(/?)>/(c)>/(a)B./(?)>/(》)>/?

C./(a)>/(c)>/(/?)D./(€)>/(/?)>/(?)

二、填空題(本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上)

11.不等式自2+2依+1>0的解集為R,則攵的取值范圍是.

12.已知函數(shù)/(x)=sinx+J^cosjv,則下列命題正確的是.(填上你認(rèn)為正確的所有命題的序號)

TT\jr

①函數(shù)/(x)xe0,-單調(diào)遞增區(qū)間是0,-

l乙)一°.

②函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于點卜”J對稱;

③函數(shù)，(x)的圖象向左平移，〃舊>0)個單位長度后，所得的圖象關(guān)于y軸對稱，則，〃的最小值是:；

④若實數(shù)機(jī)使得方程/(x)=加在[0,2句上恰好有三個實數(shù)解七，巧，七，則%+%2+/=7

TT

13.若函數(shù)，(x)=sin(2x+e)的圖象關(guān)于直線x=-￡對稱，貝!)的|的最小值是.

6

14.設(shè)04％<2?，且J1-sin2x=sinx-cosx，則x的取值范圍是.

15.某超市對6個時間段內(nèi)使用A,8兩種移動支付方式的次數(shù)用莖葉圖作了統(tǒng)計，如圖所示，使用支付方式A的次數(shù)

的極差為一若使用支付方式B的次數(shù)的中位數(shù)為17,則〃?=_______

支付方式A支付方式B

42067

1016m9

5321

三、解答題(本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

16.已知x=l是函數(shù)g(x)=o?_2ax+l的零點，/(幻=迎上.

X

(I)求實數(shù)。的值；

(H)若不等式/(Inx)-ZlnxNO在xe[e,e2]上恒成立，求實數(shù)A的取值范圍；

(ID)若方程/。2'-4+女優(yōu)1-3k=0有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)人的取值范圍.

17.某企業(yè)為打入國際市場，決定從A、5兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn).已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)

據(jù)如下表：(單位：萬美元)

項目年固定每件產(chǎn)品每件產(chǎn)品每年最多可

類別成本成本銷售價生產(chǎn)的件數(shù)

A產(chǎn)品20m10200

8產(chǎn)品40818120

其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，機(jī)為待定常數(shù)，其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原材料價格決定，預(yù)計，"G[6,9],另外,

年銷售x件8產(chǎn)品時需上交0.053萬美元的特別關(guān)稅.假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售出去

(1)寫出該廠分別投資生產(chǎn)A、5兩種產(chǎn)品的年利潤yi,力與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)X之間的函數(shù)關(guān)系并指明其定義域;

(2)如何投資最合理(可獲得最大年利潤)？請你做出規(guī)劃

18.已知“X)=2川+a?J(aGR).

(1)若〃x)是奇函數(shù)，求。的值，并判斷了(力的單調(diào)性(不用證明)；

(2)若函數(shù)y=/(x)—5在區(qū)間(0,1)上有兩個不同的零點，求a的取值范圍.

19.設(shè)全集為R,A={x[2<x-a<6},5=-12x+20<0j.

(1)當(dāng)a=l時，求(”)nB；

(2)若AaB,求。的取值范圍.

20.若函數(shù)/(x)定義域為R,且存在非零實數(shù)T,使得對于任意xeR,/(x+T)=V(x)恒成立，稱函數(shù)/(x)滿

足性質(zhì)P(T)

(1)分別判斷下列函數(shù)是否滿足性質(zhì)P(T)并說明理由

①/'(X)=sin2%x②g(x)=cos2%x

(2)若函數(shù)/(x)既滿足性質(zhì)網(wǎng)2),又滿足性質(zhì)外3),求函數(shù)/(X)的解析式

(3)若函數(shù)/(x)滿足性質(zhì)P(LOl),求證：存在％eR,使得/(毛)<0.001

21.某城市2021年12月8日的空氣質(zhì)量指數(shù)(AirQualityInex,簡稱AQI)V與時間x(單位：小時)的關(guān)系V=/(X)

滿足下圖連續(xù)曲線，并測得當(dāng)天AQI的最大值為103.當(dāng)xe[0,14]時，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分；當(dāng)xe(14,24]

時，曲線是函數(shù)g(x)=log“(x-13)+102(a>0且a/1)圖象的一部分，根據(jù)規(guī)定，空氣質(zhì)量指數(shù)AQI的值大于

或等于100時，空氣就屬于污染狀態(tài)

(1)求函數(shù)y=/(x)的解析式；

(2)該城市2021年12月8日這一天哪個時間段空氣屬于污染狀態(tài)？并說明理由

參考答案

一、選擇題(本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.)

1、C

【解析】因為兩直線的斜率都存在，由4與/，平行得-@=/一,，。=一1,。=2,當(dāng)。=2時，兩直線重合，.?.&=-1,

2\-a

故選C.

2、A

【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象恒過定點(0』)，即求得/(X)的圖象所過的定點，得到答案

【詳解】由題意，函數(shù)/(力=優(yōu)+2-1(。＞。且。工1),

令x+2=0,解得x=-2,

y=/(—2)=6Z°—1=0,

的圖象過定點(一2,0)

故選：A

3、B

【解析】由題得/(x)=-10(sin2x+sinx+—)+2,xe[--=sinx,則

42

/(x)=g(f)=-10。+1)2+2,令g⑺=-g,得/=7或/=0,由g(t)的圖像，可知當(dāng)

]1n

——＜rvo時，f(x)的值域為[——,2],所以一一＜加＜0.故選B.

226

4、C

【解析】由cos(a-e]+sina=gG句「得」cosa+^=&,化簡則

225

sin[a+=_(^^sina+gcosa),

從而可得結(jié)果.

TC.71

【詳解】cos(a---)+sin。=cosacos;—+smasin——Fsma

666

3cosa+\na+sina

22

cosa+—sina

225

—cosa+

2

-C^sina+；cosa)=-g,故選C?

【點睛】三角函數(shù)求值有三類，（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察

非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角

函數(shù)而得解.（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使

其角相同或具有某種關(guān)系.（3）“給值求角”：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角

5、B

【解析】由兩點求斜率公式可得48所在直線當(dāng)斜率，再由斜率等于傾斜角的正切值求解

【詳解】解：?.?直線過點A（3,2）,B（O-l）,

設(shè)A5的傾斜角為a（0°^a<180"）,

貝!|tana=l,即a=45°

故選B

【點睛】本題考查直線的傾斜角，考查直線傾斜角與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題

6、C

【解析】利用三角函數(shù)的圖象變換可求得函數(shù)g（x）的解析式.

故選：C.

7、B

【解析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出tana=3,再利用齊次化將弦化切進(jìn)行求解.

【詳解】P。,3)為角a終邊上一點，故tana=3,故生吧二竺里=二1=*=1.

sina+2cosatana+25

故選：B

8、D

【解析】根據(jù)分段函數(shù)解析式代入計算可得；

［詳解］解：因為.f(x)=_x2_2x,g(x)=<r+47，X>°，,所以/(1)=_產(chǎn)_2*］=_3,

x+l,x<0.

所以g［〃l)］=g(-3)=-3+1=-2

故選：D

9、A

【解析】利用向量數(shù)量積的幾何意義以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】。=(2,1),3=(-1,1),

［在石方向上的投影為:

a-b_2x(-l)+lxl_0

|a|-cos^a,^=

W-122,

4-12

故選:A

【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的幾何意義以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

10、D

【解析】根據(jù)題意，分析可得/a)的圖象關(guān)于y軸對稱，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性定義分析可得函數(shù)〃X)在(7,0］上為

增函數(shù)；結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得f(x)在區(qū)間［0,+。)上為減函數(shù)，由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得

5

0<log2i/5=log85<log43=log2<1<2?據(jù)此分析可得答案

【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)y=/(x-D的圖象關(guān)于直線X=1對稱,

則.f(x)的圖象關(guān)于)'軸對稱，即函數(shù)/(%)為偶函數(shù)，

又由對任意的王，々€(,，0］,當(dāng)玉聲￡時，不等式」2>0成立，

則函數(shù)/(X)在(TO,0］上為增函數(shù)，

又由/(x)為偶函數(shù)，則在區(qū)間［0,+8)上為減函數(shù)，

4=2；>1，于⑦)=/(logp)=/(-log43)=/(log43)=/(log273)，唾？6<匕殳2=1

c=log85=log2^/5,因為旨=歷，石=昉,.?.為(百，

則有0<log?加=log85<log43=log26<1<23，

故有〃C)>./'(")>/⑷.

故選：D

二、填空題(本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上)

11、［0,1)##0^*<1

【解析】分《=0和AW0兩種情況進(jìn)行討論.AW0時，可看為函數(shù)y=Ax?+2依+1>0恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖像

性質(zhì)即可求解.

【詳解】①當(dāng)左=0時，不等式可化為1>0,此時不等式的解集為R,符合題意；

-k>0,

②當(dāng)左。0時，要使得不等式的解集為R,則滿足、小，、2)，，八，解得

A=(2^)-4A：xl<0

綜上可得，實數(shù)左的取值范圍是［0,1).

故答案：［0,1).

12、①@④

【解析】先利用輔助角公式化簡，再根據(jù)函數(shù)f(x)=2sin(x+。)結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)及圖形，對各選項依次判斷

即可

【詳解】①/(x)=sinr+Ccosx=2sin(x+工)，^-2k7i--<x+—<2k7i+—,k&Z,所以

(3J232

SyrjrJT17T7T71

2k7r--<x<2k7r+-.keZ9因為XE0,-,所以令k=0,則—所以單調(diào)增區(qū)間是0,-,故

66L2」66L6_

正確；

②因為/(q］=2sin，X)=l/0,所以不是對稱中心，故錯誤；

③/(x)的圖象向左平移皿，”>0)個單位長度后得到g(x)=〃x+m)=2sinx+g+機(jī)，且g(x)是偶函數(shù)，所以

——\-m-——bk兀、keZ所以加=——F攵肛Z￡Z且〃2>0,

32f6

TT

所以％=0時，陰面二:，故正確;

6

2sinf-+-

④函數(shù)y=/XG[一肛乃])

(23

rTXH715TT

66

2sin(X)e[-1,2],故錯誤；

⑤因為xe[0,2句，作出/(x)在XG[0,2句上的圖象如圖所示:

/(x)與y=〃，有且僅有三個交點：

X1+工2+芻=，故正確；

故選:①@⑤

【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對稱性求解.

I7717T

【詳解】依題意可知2乂卜不卜。=%萬+萬(%€2),

57r

得。=左萬+一(kwZ),

6

57r

所以|/=k7T+—,

6

故當(dāng)％=-1時，的|取得最小值5

6

故答案為：

O

【點睛】本題考查三角函數(shù)的對稱性.正弦函數(shù)了=sinx的對稱軸方程是.E=^r+7T],ZeZ,對稱中心是

(k4,O),kGZ

14、立嗎

44

JI57r

【解析】由題意得，sinx-cosx>0.又因為0Wx<2?,則x的取值范圍是—

_44

15-,①.23；②.帆=8

【解析】根據(jù)極差，中位數(shù)的定義即可計算.

【詳解】解：由莖葉圖可知：使用支付方式A的次數(shù)的極差為：25—2=23；

??使用支付方式8的次數(shù)的中位數(shù)為17,

易知：m<9,

16+10+〃？

-------------=17

2

解得：m—S.

故答案為：23；加=8.

三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

16、（1）1；（n）（^?,o］；（m）--<A：<o

【解析】（I）利用x=l是函數(shù)g（x）=G：2-2依+1的零點，代入解析式即可求實數(shù)”的值；（H）由不等式

在xe［e,e2］上恒成立，利用參數(shù)分類法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題，即可求實數(shù)攵的取值范圍

（111）原方程等價于|2*-1|+弋；-2-3%=0,利用換元法，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的個數(shù)進(jìn)行求解即可

【詳解】（I）；x=l是函數(shù)g（x）=a？-2ox+l的零點，

,,8⑴=。-2。+1=1-。=°，得a=l；

（II）g（x）=%2-2x+l,==+L

xx

則不等式/（Inx）-0nx之。在x￡［e,/］上恒成立，

等價為In%+———2>klnx,

Inx

1<Inx<2,

??同時除以Inx,得1+（J->-2（J—12%,

inxIInxJ

令f=L,則%2/+i,

Inx

?jxe[e,e2],tG；,2,

故〃(r)的最小值為o,

則r<(),即實數(shù)〃的取值范圍(―,0]；

(ID)原方程等價為|2'-1|+岸j-2-3后=0,

?二％w0,

兩邊同乘以P-1得,-1『-(2+3初2--11+1+3H=0,

此方程有三個不同的實數(shù)解，

令則u>0?

則u~—(2+34)〃+1+3k—0,

得〃=1或〃=1+3左，

當(dāng)“=1時，|2'—1=1,得x=l,

3

當(dāng)=1+33要使方程川2'-力+人尸「34=0有三個不同的實數(shù)解，

則必須有R*-1|=1+3k有兩個解，

則。<1+3%<1,得-；<&<0

【點睛】本題主要考查函數(shù)與方程根的問題，利用換元法結(jié)合一元二次方程根的個數(shù)，以及不等式恒成立問題，屬于

難題.不等式恒成立問題常見方法:①分離參數(shù)。之7(x)恒成立(。>/(%)_即可)或a</(x)恒成立(?</(x)^

即可)；②數(shù)形結(jié)合()，=/(x)圖象在y=g(x)上方即可)；③討論最值/(力而小0或“XL4°恒成立；④討

論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.

2

17、(1)y,=(10-m)x-20,0WxW200且xeN；y2=-0.05%+1Ox-40,0WxW120且xeN；

(2)答案見解析.

2

【解析】(D設(shè)年銷售量為x件，由題意可得乂=(10-加)％-20,y2=-0.05(x-100)+460,注意根據(jù)實際情況

確定定義域.

⑵分別計算兩種方案的最值可得(y)n1ax-(%)2=1520-200力，討論1520-200m的符號，研究不同的方案所

投資的產(chǎn)品及最大利潤.

【小問1詳解】

設(shè)年銷售量為i,件，按利潤的計算公式生產(chǎn)A、8兩產(chǎn)品的年利潤斗、%分別為：

y=10x—(20+mr)=(10—m)x—20,0<x<2(X)fixeN；

必=18x—(40+8x)—0.05x2=-0.05%2+10x-40=-0.05(x-100)2+460,0<X<120KXGN.

【小問2詳解】

因為64加〈9,則10—〃z>0,故y=(10-加卜一20為增函數(shù)，又0WxW200且xeN,

所以x=200時，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤：(10-加)x200—20=1980—200^(萬美元).

又y2=-0.05(x-100)-+460,0<x<120fixeN,

所以x=100時，生產(chǎn)8產(chǎn)品有最大利潤為460(萬美元)，

綜上，(X)皿-(％)皿=(1980-200m)-460=1520-200m,

令1520—200/〃>0,得6W/n<7.6；

令1520-200m=0,得加=7.6；

令1520-200〃?<0,得7.6<mW9.

由上知：當(dāng)64m<7.6時，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件獲得最大年利潤；

當(dāng)7.6<加<9時，投資生產(chǎn)3產(chǎn)品10()件獲得最大年利潤；

當(dāng)m=7.6時，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品和8產(chǎn)品獲得的最大利潤一樣.

18、(1)答案見解析；(2)(3，F(xiàn)]

【解析】⑴函數(shù)為奇函數(shù)，則/(—x)+/(x)=(),據(jù)此可得a=-2,且函數(shù)“X)在R上單調(diào)遞增；

⑵原問題等價于a=-2-22A-+5.2'在區(qū)間(0,1)上有兩個不同的根，換元令t=2”,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得。的取值

范圍是3,1

試題解析:

(1)因為f(明是奇函數(shù),

所以/(-%)+/(%)=2-x+i+a-2X+2向+a?=(a+2)(2V+2-J￡)=0,

所以0=-2；

_f(M=2(2F—尸)在(-oo.+oo)上是單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)尸在區(qū)間(0,1)上有兩個不同的零點，

等價于方程2*+1+0,2-，-5=0在區(qū)間(0,1)上有兩個不同的根,

即方程0=-2.*+5,2^在區(qū)間(0,1)上有兩個不同的根，

所以方程g-M+員在區(qū)間tC(1,2)上有兩個不同的根，

畫出函數(shù)尸-M+SJ在(1,2)上的圖象，如下圖，

由圖知，當(dāng)直線y=a與函數(shù)產(chǎn)-％2母的圖象有2個交點時a6(3,^),

所以a的取值范圍為a€(3,年).

V

點睛：函數(shù)零點的應(yīng)用主要表現(xiàn)在利用零點求參數(shù)范圍，若方程可解，通過解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易

解或不可解，則將問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的關(guān)系求解，這樣會使得問題變得直觀、簡單，這也

體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

19、(1){X[7<X<10}<J{X|2<X<3}.(2)[0,4].

【解析】(1)由4=1,得到A={x[3<x<7},3={x|2<x<10},再利用集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算求解；

(2)易知A={x[2+a<x<6+a},3={x[2<x<10},根據(jù)八=0,且A18求解.

【詳解】(1)當(dāng)a=l時，A={x[3<x<7},3={x[2<x<10},

所以々A={x|x?3或.C7},

貝(]低A)nB={x[74x<10}5x|2<xM3}.

(2)A={x[2+a<x<6+a},<x<101,

因為Aw0,且Aq8,

r2+a>2

所以,,八，解得0WaW4,

6+6/<10

所以。的取值范圍是[0,4],

20、(1)①②滿足性質(zhì)P(l),理由見解析

(2)/(x)=O

(3)證明見解析

【解析】(D計算/(x+l)=/(x),g(x+l)=g(x),得到答案.

(2)根據(jù)函數(shù)性質(zhì)變換得到2/(x+l)=3/(x),3/(xT)=2〃x),/(x+1)