湖南省婁底市三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題

湖南省婁底市三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答

題

一.實(shí)數(shù)的運(yùn)算（共2小題）

1.（2022?婁底）計(jì)算:（2022-w）°+（A）'+|1-731-2sin600.

2

2.（2020?婁底）計(jì)算：173-11-3tan30°+（3.14--rr）°+（A）一】.

2

分式的化簡(jiǎn)求值（共3小題）

彳3

3.（2022?婁底）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+2+士）——，其中x是滿足條件xW2的

2

x-2X-4X+4

合適的非負(fù)整數(shù).

4.（2021?婁底）先化簡(jiǎn)，再求值：2二-紇3），其中x是1、2、3中的一個(gè)合適的

x-1X2-9

數(shù).

5.（2020?婁底）先化簡(jiǎn)（UL-空）小/一，然后從-3,0,1,3中選一個(gè)合適的數(shù)

m+3m_3_g

代入求值.

三.分母有理化（共1小題）

6.（2021?婁底）計(jì)算：32021-笠）°+-3—+（A）-'-2cos45°.

V2+12

四.二元一次方程組的應(yīng)用（共2小題）

7.（2022?婁底）“綠水青山就是金山銀山”，科學(xué)研究表明：樹(shù)葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌

物能夠吸附空氣中的懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用.已知一片銀杏樹(shù)葉一年的

平均滯塵量比一片國(guó)槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量的2倍少4mg,若一片國(guó)槐樹(shù)葉與一片銀

杏樹(shù)葉一年的平均滯塵總量為62mg.

（1）請(qǐng)分別求出一片國(guó)槐樹(shù)葉和一片銀杏樹(shù)葉一年的平均滯塵量；

（2）婁底市雙峰縣九峰山森林公園某處有始于唐代的三棵銀杏樹(shù)，據(jù)估計(jì)三棵銀杏樹(shù)共

有約50000片樹(shù)葉.問(wèn)這三棵銀杏樹(shù)一年的平均滯塵總量約多少千克？

8.（2021?婁底）為了慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨一百周年，某校舉行“禮贊百年，奮斗有我”演

講比賽，準(zhǔn)備購(gòu)買甲、乙兩種紀(jì)念品獎(jiǎng)勵(lì)在活動(dòng)中表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生.已知購(gòu)買1個(gè)甲種

紀(jì)念品和2個(gè)乙種紀(jì)念品共需20元，購(gòu)買2個(gè)甲種紀(jì)念品和5個(gè)乙種紀(jì)念品共需45元.

（1）求購(gòu)買一個(gè)甲種紀(jì)念品和一個(gè)乙種紀(jì)念品各需多少元；

（2）若要購(gòu)買這兩種紀(jì)念品共100個(gè)，投入資金不少于766元又不多于800元，問(wèn)有多

少種購(gòu)買方案？并求出所花資金的最小值.

五.一元一次不等式的應(yīng)用（共1小題）

9.（2020?婁底）為了預(yù)防新冠肺炎疫情的發(fā)生，學(xué)校免費(fèi)為師生提供防疫物品.某?；?200

元購(gòu)進(jìn)洗手液與84消毒液共400瓶，已知洗手液的價(jià)格是25元/瓶，84消毒液的價(jià)格是

15元/瓶.

求：（1）該校購(gòu)進(jìn)洗手液和84消毒液各多少瓶？

（2）若購(gòu)買洗手液和84消毒液共150瓶，總費(fèi)用不超過(guò)2500元，請(qǐng)問(wèn)最多能購(gòu)買洗手

液多少瓶？

六.二次函數(shù)綜合題（共3小題）

10.（2022?婁底）如圖，拋物線丫=12-2%-6與》軸相交于點(diǎn)4、點(diǎn)8,與y軸相交于點(diǎn)

2

C.

（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P（根，〃）（0</n<6）在拋物線上，當(dāng)初取何值時(shí)，△尸BC的面積最大？并求

出△PBC面積的最大值.

（3）點(diǎn)尸是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作尸E〃AC交x軸于點(diǎn)E,是否存在點(diǎn)F,使得以A、C、

E、尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不

備用圖

11.（2021?婁底）如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)>=*2+以+。的圖象與x軸相交于點(diǎn)A

(-1,0)和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求從c的值;

(2)點(diǎn)P(〃?，〃)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線交直線/：y=x于點(diǎn)Q.

①當(dāng)0＜?。?時(shí)，求當(dāng)P點(diǎn)到直線/：y=x的距離最大時(shí)，〃的值；

②是否存在，"，使得以點(diǎn)。、C、P、。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

若存在，請(qǐng)求出加的值.

12.(2020?婁底)如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P(/?,〃)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)-3〈機(jī)＜0時(shí)，試確定m的值，使得△鞏C

的面積最大；

(3)拋物線上是否存在不同于點(diǎn)8的點(diǎn)。，滿足D42-OC2=6,若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

七.三角形綜合題(共1小題)

13.(2021?婁底)如圖①，E、F是等腰RtZ\ABC的斜邊8C上的兩動(dòng)點(diǎn)，ZEAF=45Q,

COJ_BC且CO=BE.

(1)求證：ZkABE絲△ACD；

(2)求證：EF2=BE2+C產(chǎn);

(3)如圖②，作AaJ_BC,垂足為“，設(shè)NEA”=a,ZM//=p,不妨設(shè)A8=&,請(qǐng)

利用(2)的結(jié)論證明：當(dāng)a+0=45°時(shí)，tan(a+0)=1tand+taii二一成立.

1-tanCL"tan6

圖①圖②

八.平行四邊形的性質(zhì)（共1小題）

14.（2020?婁底）如圖，QABCD中，BC=2AB,ABLAC,分別在邊8C、上的點(diǎn)E與

點(diǎn)戶關(guān)于AC對(duì)稱，連接EF、AE,CF、DE.

（1）試判定四邊形AECF的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）求證：AE±DE.

九.圓周角定理（共1小題）

15.（2022?婁底）如圖，以8c為邊分別作菱形8CDE和菱形BCFG（點(diǎn)C,O,尸共線）,

動(dòng)點(diǎn)A在以BC為直徑且處于菱形BCFG內(nèi)的圓弧上，連接EF交BC于點(diǎn)。.設(shè)/G=6.

（1）求證：無(wú)論。為何值，EF與8c相互平分；并請(qǐng)直接寫出使EFJ_BC成立的0值.

（2）當(dāng)9=90°時(shí)，試給出tan/A8C的值，使得EF垂直平分AC,請(qǐng)說(shuō)明理由.

F

（1）

一十.直線與圓的位置關(guān)系（共1小題）

16.（2022?婁底）如圖，已知8。是RtZVIBC的角平分線，點(diǎn)。是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，以

點(diǎn)。為圓心，08長(zhǎng)為半徑的。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，與OA相交于點(diǎn)E.

（1）判定AC與。。的位置關(guān)系，為什么？

(2)若BC=3,CD=3.,

2

①求sin/O3C、sin/A8C的值;

②試用sin/￡>8C和cos/DBC表示sin/ABC,猜測(cè)sin2a與sina、cosa的關(guān)系，并用a

=30°給予驗(yàn)證.

一十一.切線的判定與性質(zhì)（共2小題）

17.（2021?婁底）如圖，點(diǎn)A在以為直徑的。0上，NABC的角平分線與4c相交于點(diǎn)

E,與。。相交于點(diǎn)。，延長(zhǎng)C4至例，連結(jié)使得MB=ME,過(guò)點(diǎn)A作的平行

線與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N.

（1）求證：與。0相切；

（2）試給出AC、AD.CN之間的數(shù)量關(guān)系，并予以證明.

18.（2020?婁底）如圖，點(diǎn)C在以A3為直徑的。。上，8。平分/ABC交。。于點(diǎn)￡）,過(guò)

。作BC的垂線，垂足為E.

（1）求證：DE與。。相切；

（2）若AB=5,BE=4,求8。的長(zhǎng)；

（3）請(qǐng)用線段48、8E表示CE的長(zhǎng)，并說(shuō)明理由.

一十二.解直角三角形的應(yīng)用（共1小題）

19.（2022?婁底）“體育承載著國(guó)家強(qiáng)盛、民族振興的夢(mèng)想”.墩墩使用握力器（如實(shí)物圖所

示）鍛煉手部肌肉.如圖，握力器彈簧的一端固定在點(diǎn)P處，在無(wú)外力作用下，彈簧的

長(zhǎng)度為3cm,即PQ=3a”.開(kāi)始訓(xùn)練時(shí)，將彈簧的端點(diǎn)Q調(diào)在點(diǎn)B處，此時(shí)彈簧長(zhǎng)

=4cm,彈力大小是100N,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的鍛煉后，他手部的力量大大提高，需增加訓(xùn)

練強(qiáng)度，于是將彈簧端點(diǎn)Q調(diào)到點(diǎn)C處，使彈力大小變?yōu)?00N,己知NP8C=120°,

求BC的長(zhǎng).

注：彈簧的彈力與形變成正比，即%是勁度系數(shù)，是彈簧的形變量，在無(wú)

外力作用下，彈簧的長(zhǎng)度為xo,在外力作用下，彈簧的長(zhǎng)度為x,則△xux-xo.

一十三.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題（共2小題）

20.（2021?婁底）我國(guó)航天事業(yè)捷報(bào)頻傳，天舟二號(hào)于2021年5月29日成功發(fā)射，震撼人

心.當(dāng)天舟二號(hào)從地面到達(dá)點(diǎn)A處時(shí)，在P處測(cè)得A點(diǎn)的仰角以為30°且A與P

兩點(diǎn)的距離為6千米，它沿鉛垂線上升7.5秒后到達(dá)8處，此時(shí)在P處測(cè)得8點(diǎn)的仰角

NDPB為45°，求天舟二號(hào)從A處到8處的平均速度.（結(jié)果精確到l./s,取y=1.732,

^2=1.414）

21.（2020?婁底）如實(shí)景圖，由華菱漣鋼集團(tuán)捐建的早元街人行天橋于2019年12月18日

動(dòng)工，2020年2月28日竣工，彰顯了國(guó)企的擔(dān)當(dāng)精神，展現(xiàn)了高效的“婁底速度”.該

橋的引橋兩端各由2個(gè)斜面和一個(gè)水平面構(gòu)成，如示意圖所示：引橋一側(cè)的橋墩頂端E

點(diǎn)距地面5，小從E點(diǎn)處測(cè)得。點(diǎn)俯角為30°,斜面長(zhǎng)為4處水平面3c長(zhǎng)為2處

斜面8c的坡度為1：4,求處于同一水平面上引橋底部的長(zhǎng).（結(jié)果精確到0.1,〃，&

於1.41,北七1.73).

示意圖

一十四.條形統(tǒng)計(jì)圖（共3小題）

22.（2022?婁底）按國(guó)務(wù)院教育督導(dǎo)委員會(huì)辦公室印發(fā)的《關(guān)于組織責(zé)任督學(xué)進(jìn)行“五項(xiàng)管

理”督導(dǎo)的通知》要求，各中小學(xué)校積極行動(dòng)，取得了良好的成績(jī).某中學(xué)隨機(jī)抽取了

部分學(xué)生對(duì)他們一周的課外閱讀時(shí)間（4：10/7以上，B：8〃?10兒C：6〃?8九D：6h

以下）進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，統(tǒng)計(jì)繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)根據(jù)

圖中的信息，解答下列問(wèn)題：

（1）本次調(diào)查的學(xué)生共名;

（2）a=,h=；

（3）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

23.（2021?婁底）"讀書(shū)，點(diǎn)亮未來(lái)”，廣泛的課外閱讀是同學(xué)們搜集和汲取知識(shí)的一條重要

途徑.學(xué)校圖書(shū)館計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批學(xué)生喜歡的圖書(shū)，為了了解學(xué)生們對(duì)“A文史類、B科普

類、C生活類、D其它”的喜歡程度，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查(每個(gè)學(xué)生只

選其中一類)，將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分類統(tǒng)計(jì)繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)圖表，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息，

解答下列問(wèn)題：

統(tǒng)計(jì)表：

頻數(shù)頻率

4歷史類50m

8科普類900.45

C生活類n0.20

。其它200.10

合計(jì)

(I)本次調(diào)查的學(xué)生共人;

(2)tn=,n=；

(3)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

24.(2020?婁底)我市開(kāi)展“溫馨家園，創(chuàng)文同行”活動(dòng)，某初中學(xué)校倡議學(xué)生利用雙休日

進(jìn)社區(qū)參加義務(wù)勞動(dòng)，為了了解同學(xué)們的勞動(dòng)情況，學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了部分同學(xué)的勞動(dòng)時(shí)

間f(/z)：A.OWfWO.5,B.0.5<fWl,C.D.z>1.5,將所得數(shù)據(jù)繪制成了

如圖不完整的統(tǒng)計(jì)圖：

(1)本次調(diào)查參加義務(wù)勞動(dòng)的學(xué)生共人,a=.

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

(3)扇形圖中“0W/W0.5”部分的圓心角是度.

參考答案與試題解析

實(shí)數(shù)的運(yùn)算（共2小題）

1.（2022?婁底）計(jì)算：（2022-TT）°+（A）'+|1-A/31-2sin600.

2

【解答】解：原式=1+2+遙-1-2義亞

2

=1+2+73-1-V3

=2.

2.（2020?婁底）計(jì)算：|73-11-3tan30°+（3.14-IT）°+（1）

2

【解答】解：原式=我-1-3x1+l+2

3

—^3-1-V3+1+2

=2.

二.分式的化簡(jiǎn)求值（共3小題）

,3

3.（2022?婁底）先化筒，再求值：（X+2+_￡）——，其中x是滿足條件xW2的

x-2X2-4X+4

合適的非負(fù)整數(shù).

2,3

【解答】解：原式=A-?—昌一

2

x-2x-2（x-2）

.(x-2)2

X

??"#0且X-2W0,

?'?工不。且xW2,

??x=1,

則原式=上2=-1.

1

4.（2021?婁底）先化簡(jiǎn)，再求值：^z3.（l-2x~10）,其中X是1、2、3中的一個(gè)合適的

x-1X2-9

數(shù).

2

[解答]解：原式=三3?.1-9-2史10

x-1X2-9

=x-3.(x-1)2

x-1(x+3)(x-3)

—x-l

肉，

由題意得：xWLxW±3,

當(dāng)x=2時(shí)，原式=211=」.

2+35

5.（2020?婁底）先化簡(jiǎn)（」B--里）?—盧一，然后從一3,0,1,3中選一個(gè)合適的數(shù)

m+3m-31rl2_g

代入求值.

【解答】解:原式=[m(，3)2m(m+3)卜(m+3)(m-3)

(m+3)(m-3)(m+3)(m-3)m

=m[(irr3)-2(m+3)].(m+3)(m-3)

(m+3)(m-3)m

=(n?-3)-2(m+3)

=m-3-2m-6

=-m-9,

當(dāng)機(jī)=-3,0,3時(shí)，原式?jīng)]有意義，舍去；

當(dāng)m=\時(shí)，原式=-1-9=-10.

三.分母有理化（共1小題）

6.（2021?婁底）計(jì)算：（V2021-°+—TZJ——+（―）1-2cos45°.

V2+12

【解答】解：原式=1+近T+2-2x42

（V2）2-l22

=1+V2-1+2-V2

=2.

四.二元一次方程組的應(yīng)用（共2小題）

7.（2022?婁底）“綠水青山就是金山銀山”，科學(xué)研究表明：樹(shù)葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌

物能夠吸附空氣中的懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用.已知一片銀杏樹(shù)葉一年的

平均滯塵量比一片國(guó)槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量的2倍少4n7g,若一片國(guó)槐樹(shù)葉與一片銀

杏樹(shù)葉一年的平均滯塵總量為62mg.

（1）請(qǐng)分別求出一片國(guó)槐樹(shù)葉和一片銀杏樹(shù)葉一年的平均滯塵量；

(2)婁底市雙峰縣九峰山森林公園某處有始于唐代的三棵銀杏樹(shù)，據(jù)估計(jì)三棵銀杏樹(shù)共

有約50000片樹(shù)葉.問(wèn)這三棵銀杏樹(shù)一年的平均滯塵總量約多少千克？

【解答】解：(1)設(shè)一片銀杏樹(shù)葉一年的平均滯塵量為xrng,一片國(guó)槐樹(shù)葉一年的平均

滯塵量為ymg,

由題意得：卜4V=62,

[x=2y-4

解得：卜=嗎

ly=22

答：一片銀杏樹(shù)葉一年的平均滯塵量為40zng,一片國(guó)槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量為22/ng；

(2)50000X40=2000000(mg)=2kg,

答：這三棵銀杏樹(shù)一年的平均滯塵總量約2千克.

8.(2021?婁底)為了慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨一百周年，某校舉行“禮贊百年，奮斗有我”演

講比賽，準(zhǔn)備購(gòu)買甲、乙兩種紀(jì)念品獎(jiǎng)勵(lì)在活動(dòng)中表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生.已知購(gòu)買1個(gè)甲種

紀(jì)念品和2個(gè)乙種紀(jì)念品共需20元，購(gòu)買2個(gè)甲種紀(jì)念品和5個(gè)乙種紀(jì)念品共需45元.

(1)求購(gòu)買一個(gè)甲種紀(jì)念品和一個(gè)乙種紀(jì)念品各需多少元；

(2)若要購(gòu)買這兩種紀(jì)念品共100個(gè)，投入資金不少于766元又不多于800元，問(wèn)有多

少種購(gòu)買方案？并求出所花資金的最小值.

【解答】解：(1)設(shè)購(gòu)買一個(gè)甲種紀(jì)念品需要x元，購(gòu)買一個(gè)乙種紀(jì)念品需要y元，

依題意得：(X+2y=2°,

12x+5y=45

解得：卜=10.

Iy=5

答：購(gòu)買一個(gè)甲種紀(jì)念品需要10元，購(gòu)買一個(gè)乙種紀(jì)念品需要5元.

(2)設(shè)購(gòu)買，"個(gè)甲種紀(jì)念品，則購(gòu)買(100-膽)個(gè)乙種紀(jì)念品，

依題意得：p0m+5(100-m)>766；

110m+5(100-m)<800

解得：531W，〃W60,

5

又；〃，為整數(shù)，

可以為54,55,56,57,58,59,60,

???共有7種購(gòu)買方案.

設(shè)購(gòu)買總費(fèi)用為w元,則w=10m+5(100-m)=5m+500,

V5>0,

w隨機(jī)的增大而增大,

...當(dāng)機(jī)=54時(shí)，w取得最小值,最小值=5X54+500=770.

答：共有7種購(gòu)買方案，所花資金的最小值為770元.

五.一元一次不等式的應(yīng)用（共1小題）

9.（2020?婁底）為了預(yù)防新冠肺炎疫情的發(fā)生，學(xué)校免費(fèi)為師生提供防疫物品.某校花7200

元購(gòu)進(jìn)洗手液與84消毒液共400瓶，已知洗手液的價(jià)格是25元/瓶，84消毒液的價(jià)格是

15元/瓶.

求：（1）該校購(gòu)進(jìn)洗手液和84消毒液各多少瓶？

（2）若購(gòu)買洗手液和84消毒液共150瓶，總費(fèi)用不超過(guò)2500元，請(qǐng)問(wèn)最多能購(gòu)買洗手

液多少瓶？

【解答】解：（1）設(shè)該校購(gòu)進(jìn)洗手液x瓶，該校購(gòu)進(jìn)84消毒液y瓶，

次的（x+y=400

依題意有I,

|25x+15y=7200

解得卜=120.

]y=280

故該校購(gòu)進(jìn)洗手液120瓶，該校購(gòu)進(jìn)84消毒液280瓶；

（2）設(shè)能購(gòu)買洗手液a瓶，則能購(gòu)買84消毒液（150-a）瓶，

依題意有25a+15（150-a）W2500,

解得aW25.

故最多能購(gòu)買洗手液25瓶.

六.二次函數(shù)綜合題（共3小題）

10.（2022?婁底）如圖，拋物線y=L2-2x-6與x軸相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,與y軸相交于點(diǎn)

2

C.

（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P（m,n）<0<m<6）在拋物線上，當(dāng)〃?取何值時(shí)，△PBC的面積最大？并求

出△PBC面積的最大值.

（3）點(diǎn)尸是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作交x軸于點(diǎn)E,是否存在點(diǎn)尸，使得以A、C、

E、尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

備用圖

【解答】解：(1)當(dāng)x=0時(shí)，y=-6,

：.C(0,-6),

當(dāng)y=0時(shí)，Ar2-2x-6=0,

2

??xi=6,X2=-2,

???A(-2,0),B(6,0)；

2

設(shè)點(diǎn)P(m,—m-2m-6),

2

—QQ?kVp——x6?ID=3〃?’

2

SABOP=yOBAyp\=3(-1-m+2w74-6),

X6X6=18，

:?SAPBC=S四邊形PBOC-S^BOC

=QSAPOC+SAPOB)-S^BOC

=3m+3(--^+2m+6)-18

=一旦(6-3)2+-?Z-,

22

當(dāng)"2=3時(shí)，SAPBC顯大=2；

2

方法二：如圖2,

作PQJ_A8于Q,交BC于點(diǎn)、D,

?:B(6,0),C(0,-6),

...直線BC的解析式為：y=x-6,

AD(a,m-6),

:.PD=("?-6)--2/^-6)=-

?,^△PfiC=4"PD*OB=4"X6*(^?m2+3m)~~~(加-3)

乙乙乙乙乙

?*?當(dāng)tn=3時(shí)，SAPBC最大=Z^;

2

(3)如圖3,

當(dāng)。4CFE時(shí)，AE//CF,

???拋物線對(duì)稱軸為直線：也=2,

2

，尸1點(diǎn)的坐標(biāo)：（4,-6）,

作FG_LAE于G,

:?FG=OC=6,

當(dāng)y=6時(shí)，Xt2-2x-6=6,

2

Axi=2+2/7，工2=2-2JV，

：.F2(2+277，6),&(2-2V7,6),

綜上所述：F(4,-6)或(2+2我，6)或(2-247,6).

11.(2021?婁底)如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A

(-1,0)和點(diǎn)8(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求氏c的值；

(2)點(diǎn)〃)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線交直線/：y=x于點(diǎn)Q.

①當(dāng)0<%<3時(shí)，求當(dāng)P點(diǎn)到直線/：y=x的距離最大時(shí)機(jī)的值；

②是否存在如使得以點(diǎn)0、C、P、。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

若存在，請(qǐng)求出〃，的值.

【解答】解：(I)由二次函數(shù)y=/+bx+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)8(3,

0),得：

[l-b+c=0

19+3b+c=0

解得：尸2.

1c=-3

Ay=x2-2x-3,

??h---2,-3.

(2)①；點(diǎn)尸(m,〃)在拋物線上y=7-2x-3,

'.P(機(jī),m2-2m-3),

.'.PQ=m-(.m2-2m-3)=-nr+3m+3--(m-—)2+2LL,

24

；過(guò)P作x軸的垂線交直線/：y=x于點(diǎn)。,

'.Q(m,nt),

設(shè)點(diǎn)P到直線y=x的距離為h,

?.?直線y=x是一三象限的角平分線，

：.PQ=yj2h,

，當(dāng)P點(diǎn)到直線/：y=x的距離最大時(shí)，PQ取得最大值，

.?.當(dāng)機(jī)=----1_"時(shí)，PQ有最大值21,

2X(-1)24

.?.當(dāng)P點(diǎn)到直線/：y=x的距離最大時(shí)，，〃的值為3.

2

②：拋物線與y軸交于點(diǎn)C,

.".x=0時(shí)，y=-3,

：.C(0,-3),

?JOC//PQ,且以點(diǎn)0、C、尸、。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，

：.PQ=OC,

又；OC=3,PQ=\-W2+3/H+3|,

/.3=|-n?+3m+3\)

解得：m\=Q,m2=3,m3=生乂至~,/H4=

22

當(dāng)瓶1=0時(shí)?，P。與OC重合，菱形不成立，舍去；

當(dāng)機(jī)2=3時(shí)，P(3,0),Q(3,3),

此時(shí)，四邊形。CPQ是平行四邊形，。。=療帝=3加，

.?.OQWOC,平行四邊形OCPQ不是菱形，舍去；

當(dāng)，“3=-^叵?時(shí)，Q(老出義紅)，

222

此時(shí)，四邊形OC。尸是平行四邊形，OQ

^^1-0)2+(^1+3)2=也9+6病，

J.CQ^OC,平行四邊形OCPQ不是菱形，舍去；

當(dāng)儂=時(shí),Q(生在3-733)；

222

此時(shí)，四邊形OC。尸是平行四邊形，OQ

J(邛1)2+(邛1+3)2=也9-6每，

...OQWOC,平行四邊形OCP。不是菱形，舍去；

綜上所述：不存在，”，使得以點(diǎn)。、C、P、。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.

12.(2020?婁底)如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P(〃?，〃)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)-3＜〃?V0時(shí)，試確定m的值，使得△BAC

的面積最大；

⑶拋物線上是否存在不同于點(diǎn)8的點(diǎn)O,滿足D42-DC2=6,若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】解：(1)由題意可以假設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-1),

把C(0,3)代入，可得a=-I,

...拋物線的解析式為＞=-2x+3.

(2)設(shè)直線AC的解析式為

將A(-3,0),C(0,3)代入得到［07k+b,

13=b

解得，卜口，

lb=3

直線AC的解析式為y=x+3.

當(dāng)-3〈機(jī)＜0時(shí)，點(diǎn)尸(加，〃)在直線AC的上方，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交AC于Q.

圖1

則PCm,-m2-2m+3),QCm,m+3),

PQ--nt2-2m+3-(m+3)

=-tn2-3m

--On+—)2+—,

24

：-3</n<0,

:.當(dāng)m=-與時(shí)，PQ的值最大,

2

止匕時(shí)S^pAc=^PQtA0=3.PQ展大，

22

'.tn=--.

2

(3)由A(-3,0),B(1,0),C(0,3),可得A8=4,08=1,OC=3,

VBC2=10,ZCAO=45°,

ABA2-BC2=6,

連接8C,過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線交拋物線于。，交AC于4,連接A。，DC,

則NA4B=90°,ZDBA=ZCAO=45°,

：.DA2-DC2=HA1-Hd=A^-Bd=6,

'：ACAO^ADBA,

...點(diǎn)，在AB的垂直平分線上，

即點(diǎn)”在拋物線的對(duì)稱軸x=-1上，

???點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=-1對(duì)稱，

VC（0,3）,

二點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-2,3）.

七.三角形綜合題（共1小題）

13.（2021?婁底）如圖①，E、F是等腰RtaABC的斜邊BC上的兩動(dòng)點(diǎn)，ZEAF=45°,

C￡>_L8c且C￡>=BE.

(1)求證：ZXABE絲△4CO；

(2)求證：￡F2=BE2+CF2；

(3)如圖②，作AH_LBC,垂足為H,設(shè)NEAH=a,ZM//=p,不妨設(shè)A8=&,請(qǐng)

利用(2)的結(jié)論證明：當(dāng)a+0=45°時(shí)，tan(a+0)=tan"+tgpB成立.

1-tanCL*tanP

圖①圖②

【解答】證明：（1）??.△ABC是等腰直角三角形，

：.AB=AC,

.?./B=/AC8=45°,

'JCDLBC,

；.NBCD=90°,

/.ZACD^ZBCD-ZACB=45Q=NB,

在△ABE和△AC。中，

，AB=AC

<ZB=ZACD>

,BE=CD

AAABE^AACD(SAS)；

(2)由(1)知，/\ABE^/\ACD,

：.AE=AD,ZBAE=ZCAD,

\'ZBAC=90°,

：.NEAD=ZCAE+ZCAD^ZCAE+ZBAE^/R4c=90°,

VZE4F=45°,

：.ZDAF=ZDAE-ZEAF=45°=ZEAF,

'：AF=AF,

：.^AEF^/\ADF(SAS),

：.DF=EF,

在RtZXDC/中，根據(jù)勾股定理得，DF2=CF2+CD1,

<CD=BE,

：,EF2=CF2+BE1；

(3)在RtZVVBC中，AC=AB=近,

??.8C=V^A8=2,

VAH1BC,

???AH=BH=CH=1BC=1,

2

：.BE=\-EH,CF=\-FH,

221

由(2)知，EF=CF+BEf

■:EF=EH+FH,

：.(EH+FH)2=(i-EH)2+(1-EH)2,

Z.1-EH?FH=EH+FH,

na-

在□△AHE中,EH=EH,

AH

np-FH

在RlZ\A”尸中,AH=FH,

tanClEH+FH-EH+FH-

l-tana?tanB1-EH*FHEH+FH

???a+B=45°,

，左邊=tan(a+p)=tan45°=1,

.??左邊=右邊，

即當(dāng)a+0=45°時(shí)，tan(a+0)=工,當(dāng)+tanB成立.

1-tanCL?tanB

八.平行四邊形的性質(zhì)(共1小題)

14.(2020?婁底)如圖，口A8CO中，BC=2AB,AB1,AC,分別在邊8C、AO上的點(diǎn)E與

點(diǎn)尸關(guān)于AC對(duì)稱，連接EF、AE,CF、DE.

(1)試判定四邊形4EC尸的形狀，并說(shuō)明理由;

(2)求證：AEA.DE.

【解答】(1)解：四邊形AECb是菱形，理由如下:

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,

：.ZOAF=ZOCE,

???點(diǎn)E與點(diǎn)尸關(guān)于AC對(duì)稱，

；?AE=AF,CE=CF,OE=OFf

<ZOAF=ZOCE

在△AO/和△COE中，ZA0F=ZC0E，

OF=OE

A/XAOF^/XCOE(A4S),

：.AF=CE,

：.AE=AF=CE=CF,

???四邊形AEC尸是菱形；

(2)證明：\*BC=2AB9AB1AC,

???NACB=30°,

AZB=60°,

?：AE=CE,

：.ZEAC=ZACB=30°，

ZBAE=90°-30°=60°=/B,

：./\ABE是等邊三角形，

：.AE=AB=BE9ZAEB=60°，

：.ZAEC=120°,

???四邊形A8CO是平行四邊形，

C.AB//CD,AB=CD,

：.Z￡>CE=180°-NB=120°，

XVCE=AE,

:.CE=BE=LBC=AB=CD,

2

:.NCED=NCDE=30°,

AZA￡D=120°-30°=90°,

九.圓周角定理（共1小題）

15.（2022?婁底）如圖，以8c為邊分別作菱形BCCE和菱形BCFG（點(diǎn)C,D,尸共線），

動(dòng)點(diǎn)A在以8c為直徑且處于菱形BCFG內(nèi)的圓弧上，連接EF交BC于點(diǎn)、。.設(shè)NG=&

（1）求證：無(wú)論。為何值，EF與相互平分；并請(qǐng)直接寫出使EFLBC成立的。值.

（2）當(dāng)。=90°時(shí)，試給出tan/ABC的值，使得EF垂直平分AC,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】（1）證明：???四邊形8CFG,四邊形都是菱形,

J.CF//BG,CD//BE,CB=CF=CD=BG=BE,

,：D,C,尸共線,

：.G,B,E共線，

：.DF//EG,DF=GE,

...四邊形DEGF是平行四邊形，

,所與BC互相平分.

當(dāng)E尸_LFG時(shí)，,/GF=BG=BE,

：.EG=2GF,

:.NGEF=30°,

Ae=90°-30°=60°；

(2)解：當(dāng)tan/ABC=2時(shí)，EF垂直平分線段AC.

理由：如圖(2)中，設(shè)AC交EF于點(diǎn)J.

?.?四邊形BCFG是菱形，

/.ZG=ZFCO=90°,

;EF與BC互相平分，

:.OC=OB,

：.CF=BC,

：.FC=2OC,

，tanZFOC=tanZABC,

二ZABC=ZFOC,

：.OJ//AB,

'：OC=OB,

：.CJ^AJ,

是直徑，

...NBAC=/OJC=90°,

??.EF垂直平分線段AC.

一十.直線與圓的位置關(guān)系(共1小題)

16.(2022?婁底)如圖，已知BO是Rt^ABC的角平分線，點(diǎn)。是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，以

點(diǎn)。為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的。0經(jīng)過(guò)點(diǎn)￡>,與OA相交于點(diǎn)￡

(1)判定4C與。。的位置關(guān)系，為什么？

(2)若BC=3,CZ)=2,

2

①求sin/DBC、sinN48c的值；

②試用sinZDBC和cosNDBC表示sinZABC,猜測(cè)sin2a與sina>cosa的關(guān)系，并用a

=30°給予驗(yàn)證.

如圖，連接

；.NODB=NOBD,

,:BD是△ABC的角平分線，

ZOBD=NDBC,

：.4ODB=ZDBC,

：.OD//BC,

/.ZODA=ZC=90°,

是。。的半徑，且AC_L。。,

，AC是。。的切線；

(2)①在RtaDBC中，：BC=3,CZ)=3,

2

???^=VCD2+BC2=-J(y)2+32=^^--

3

CD2

AsinZDBC=娓

BD3V55

2

如圖2,連接力E,OD,過(guò)點(diǎn)。作OGJ_8c于G,

：.ZODC=ZC=ZCGO=W°,

...四邊形ODCG是矩形，

：.OG=CD=1,

2

：BE是00的直徑，

:.NBDE=90°,

cosZDBE=cosZCBD,

..BC=BD；

?,麗BE，

3場(chǎng)

2

4

28

3

.?.sinNABC=5_=W

-4-.,

OB生5

8

②'"紅!!/。8c?COS/O8C=2X2Z1_X^^=_1,

53A/55

~2~

，sinZABC—2sinZDBC,cosZDBC-,

猜想：sin2a=2sinacosa,理由如下:

當(dāng)a=30°時(shí)，sin2a=sin60°=Y^_,

__2

2sinacosa=2XX

222

sin2a=2sinacosa.

一十一.切線的判定與性質(zhì)（共2小題）

17.（2021?婁底）如圖，點(diǎn)A在以BC為直徑的。。上，NABC的角平分線與AC相交于點(diǎn)

E,與。0相交于點(diǎn)。，延長(zhǎng)CA至M,連結(jié)使得MB=ME,過(guò)點(diǎn)A作8M的平行

線與C。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N.

（1）求證：與。O相切；

（2）試給出AC、AD.CN之間的數(shù)量關(guān)系，并予以證明.

【解答】證明：（1）...BC是直徑,

.?.NBAC=90°,

.?./ABE+/AEB=90°,

YBD平分NABC,

NABD=NDBC,

；?NMBE=NMEB,

：?/MBE+NEBC=9U°,

AZMBC=90°,

C.MBVBC,

???3M與OO相切；

(2)Ad=CN?AD,

理由如下：VZACD=ZABD,/DBC=NDAC,

：.ZDCA=ZDAC9

：.AD=DC,

???3C是直徑，

:.NBDC=94°,

:?NBCD+NDBC=90°,

?:AN//BM,BMLBC,

J.ANA.BC,

???NN+NOC8=90°,

:./N=/DBC,

JNN=ZDBC=ZDCA=ZDAC,

：./\DAC^^ANC,

??..A.C=CD

CNAC

:.AC2=CN'AD.

18.(2020?婁底)如圖，點(diǎn)C在以A8為直徑的OO上，8。平分NABC交OO于點(diǎn)。，過(guò)

。作BC的垂線，垂足為E.

(1)求證：OE與。O相切；

(2)若A8=5,BE=4,求3。的長(zhǎng)；

(3)請(qǐng)用線段AB、BE表示CE的長(zhǎng)，并說(shuō)明理由.

E

D

【解答】(1)證明：連接。。，

?：OD=OB,

：.NODB=NOBD,

,.?BQ平分/ABC,

；?NOBD=/CBD,

：?/ODB=/CBD,

：.OD//BE,

■:BELDE,

:.ODA.DE,

???OE與。。相切；

(2)解：???AB是。。的直徑,

AZADB=90°,

?:BE1.DE,

；?NADB=NBED=90°,

?:BD平分NA8C,

：,/OBD=NCBD,

：.XABDsADBE,

?ABBD

??麗丁

?.?—5_BD，

BD4

:.BD=2炳;

⑶解：結(jié)論CE=AB-BE,

理由：過(guò)。作OH_LA8于H,

平分NABC,DEA.BE,

：.DH=DE,

在RtABED與Rl^BHD中，JDE=DH,

|BD=BD

ARtAfiED^RtAfiZ/Z)(HL),

：.BH=BE,

'：NDCE+NBCD=NA+N8CO=180°,

：.ZDCE=ZA,

；NDHA=NDEC=90°,

A/\ADH^ACDE(AAS),

：.AH=CE,

'：AB=AH+BH,

:.AB=BE+CE,

：.CE=AB-BE.

一十二.解直角三角形的應(yīng)用（共1小題）

19.（2022?婁底）“體育承載著國(guó)家強(qiáng)盛、民族振興的夢(mèng)想”.墩墩使用握力器（如實(shí)物圖所

示）鍛煉手部肌肉.如圖，握力器彈簧的一端固定在點(diǎn)P處，在無(wú)外力作用下，彈簧的

長(zhǎng)度為3CM,即尸Q=3cm.開(kāi)始訓(xùn)練時(shí)，將彈簧的端點(diǎn)。調(diào)在點(diǎn)B處，此時(shí)彈簧長(zhǎng)PB

=4cm,彈力大小是100M經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的鍛煉后，他手部的力量大大提高，需增加訓(xùn)

練強(qiáng)度，于是將彈簧端點(diǎn)。調(diào)到點(diǎn)C處，使彈力大小變?yōu)?00N,己知NPBC=120°,

求BC的長(zhǎng).

注：彈簧的彈力與形變成正比，即尸=&?△》，%是勁度系數(shù)，是彈簧的形變量，在無(wú)

外力作用下，彈簧的長(zhǎng)度為刈，在外力作用下，彈簧的長(zhǎng)度為x,則Ax=x-xo.

【解答】解：由題意可得，

xo=3cm,

100=%(4-3),

解得「100,

AF=100Ax,

當(dāng)F=300時(shí)，300=100X(PC-3),

解得PC=6cm,

由圖可得，

ZPAB=90°,ZPBC=nO°,

AZAPB=30°,

?：PB=4cm,

=22

：.AB=2cm,^7PB-AB-(cm),

*.*PC=6cm,

**?AC=pQ2_p2=2^6(cm),

：.BC=AC-AB=(276-2)cm,

即BC的長(zhǎng)是(2-76-2)cm.

一十三.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題（共2小題）

20.（2021?婁底）我國(guó)航天事業(yè)捷報(bào)頻傳，天舟二號(hào)于2021年5月29日成功發(fā)射，震撼人

心.當(dāng)天舟二號(hào)從地面到達(dá)點(diǎn)A處時(shí)，在P處測(cè)得A點(diǎn)的仰角NQ也為30°且A與P

兩點(diǎn)的距離為6千米，它沿鉛垂線上升7.5秒后到達(dá)8處，此時(shí)在尸處測(cè)得8點(diǎn)的仰角

NOP8為45°,求天舟二號(hào)從A處到B處的平均速度.（結(jié)果精確到1〃而,取?=1.732,

加=1.414）

【解答】解：由題意可得：ZAPD=30°,/BP￡>=45°,AP=6千米，NBDP=90°,

在RtZXAPO中，,AP=6千米，NAQP=90°,cosZAP￡>=cos30°=&,

PA

...AD=LP=3千米，PO=RVcos30°=6X巡_=3?（千米），

22

在Rt/XBPD中，

,：ZBPD=45°,P￡>=34千米，ZBDP=90°