江蘇省泰州市2021年中考數(shù)學(xué)真題卷（含答案與解析）

泰州市2021年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試

數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼貼在答

題卡指定位置。

2.答題時，選擇題答案，用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題答案，用

0.5毫米黑色墨水簽字筆，直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。答案答在試題卷上無效。

3.考生必須保持答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分）

1.（-3）°等于（）

A.0B.1C.3D.-3

3.下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（）

A.應(yīng)與百B.8與屈C.石與厲D.屏與技

4.“14人中至少有2人在同一個月過生日”這一事件發(fā)生概率為P,則（）

A.P=0B,0<P<lC,P=1D.P>1

5.如圖,P為AB上任意一點,分別以AP、尸8為邊在A8同側(cè)作正方形APCZ）、正方形P8EE設(shè)=

則Z4EP為（）

D

A.2aB.90°-aC.45°+QD.90°-—a

2

6.互不重合的A、B、C三點在同一■直線上，已知AC=2a+l,8c=a+4,A8=3“，這三點的位置關(guān)系是（）

4點4在B、C兩點之間B.點B在A、C兩點之間

C.點C在A、B兩點之間D.無法確定

二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分）

7.計算：~（-2）=_.

8.函數(shù)：y=」一中，自變量x的取值范圍是___.

x+1

9.2021年5月，中國首個火星車“祝融號”成功降落在火星上直徑為3200km烏托邦平原.把數(shù)據(jù)3200

用科學(xué)記數(shù)法表示為—.

10.在函數(shù)y=（x-l>中，當x>l時,y隨x的增大而,（填“增大”或“減小”）

11.某班按課外閱讀時間將學(xué)生分為3組，第1、2組的頻率分別為0.2、0.5,則第3組的頻率是—.

12.關(guān)于X的方程犬2-X-1=0的兩根分別為XI、X2則Xl+X2-的值為_.

13.已知扇形的半徑為8cm,圓心角為45°,則此扇形的弧長是_cm.

14.如圖，木棒A8、CD與EF分別在G、H處用可旋轉(zhuǎn)的螺絲制住，ZEGB=100°,/EH￡>=80°,將木

棒AB繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)到與木棒。平行的位置，則至少要旋轉(zhuǎn)°.

15.如圖，平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（8,5）,OA與x軸相切，點P在y軸正半軸上，PB與

OA相切于點B.若NAPB=30°,則點P的坐標為一.

y

o

16.如圖，四邊形ABC。中，A8=CQ=4,且AB與CO不平行，尸、M、N分別是A。、BD、AC的中點,

設(shè)的面積為S,則S的范圍是—.

三、解答題(本大題共有10題，共102分)

17.(1)分解因式：J?-9x；

2x5

(2)解方程：--+1=--

x—22—x

18.近5年，我省家電業(yè)的發(fā)展發(fā)生了新變化.以甲、乙、丙3種家電為例，將這3種家電2016?2020年

(1)這5年甲種家電產(chǎn)量中位數(shù)為萬臺;

(2)若將這5年家電產(chǎn)量按年份繪制成5個扇形統(tǒng)計圖，每個統(tǒng)計圖只反映該年這3種家電產(chǎn)量占比，其

中有一個扇形統(tǒng)計圖的某種家電產(chǎn)量占比對應(yīng)的圓心角大于180°,這個扇形統(tǒng)計圖對應(yīng)的年份是

年；

（3）小明認為：某種家電產(chǎn)量的方差越小，說明該家電發(fā)展趨勢越好.你同意他的觀點嗎？請結(jié)合圖中乙、

丙兩種家電產(chǎn)量變化情況說明理由.

19.江蘇省第20屆運動會將在泰州舉辦，“泰寶”和“鳳娃”是運動會吉祥物.在一次宣傳活動中，組織

者將分別印有這兩種吉祥物圖案的卡片各2張放在一個不透明的盒子中并攪勻，卡片除圖案外其余均相

同.小張從中隨機抽取2張換取相應(yīng)的吉祥物，抽取方式有兩種：第一種是先抽取1張不放回，再抽取I

張；第二種是一次性抽取2張.

（1）兩種抽取方式抽到不同圖案卡片的概率（填“相同”或“不同”）;

（2）若小張用第一種方式抽取卡片，求抽到不同圖案卡片的概率.

20.甲、乙兩工程隊共同修建150km的公路，原計劃30個月完工.實際施工時，甲隊通過技術(shù)創(chuàng)新，施工

效率提高了50%,乙隊施工效率不變，結(jié)果提前5個月完工.甲、乙兩工程隊原計劃平均每月分別修建多

長？

21.如圖，游客從旅游景區(qū)山腳下的地面A處出發(fā)，沿坡角a=30°的斜坡4B步行50m至山坡B處，乘直

立電梯上升30m至C處，再乘纜車沿長為180m的索道CD至山頂。處，此時觀測C處的俯角為19°30',

索道CC看作在一條直線上.求山頂。的高度.（精確到Im,sinl9°30'七0.33,cosl9°307七0.94,

tanl9°30'弋0.35）

k

22.如圖，點A（-2,yi）、B（-6,”）在反比例函數(shù)尸一（&<0）的圖象上，ACLr軸，BD_Ly軸,

X

垂足分別為c、D,AC與BO相交于點E.

（1）根據(jù)圖象直接寫出》、），2的大小關(guān)系，并通過計算加以驗證；

（2）結(jié)合以上信息，從①四邊形OCE。的面積為2,②8E=24E這兩個條件中任選一個作為補充條件，求

女的值.你選擇的條件是（只填序號）.

23.（1）如圖①，。為A8的中點，直線/1、b分別經(jīng)過點0、B,且八〃/2,以點。為圓心，0A長為半徑

畫弧交直線/2于點C,連接AC.求證：直線八垂直平分AC；

（2）如圖②，平面內(nèi)直線/1〃/2〃/3〃〃，且相鄰兩直線間距離相等，點P、。分別在直線八、/4±,連接

PQ.用圓規(guī)和無刻度直尺在直線/4上求作一點。，使線段最短.（兩種工具分別只限使用一次，并保

留作圖痕跡）

圖①圖②

24.農(nóng)技人員對培育的某一品種桃樹進行研究，發(fā)現(xiàn)桃子成熟后一棵樹上每個桃子質(zhì)量大致相同.以每棵樹

上桃子的數(shù)量x（個）為橫坐標、桃子的平均質(zhì)量y（克/個）為縱坐標，在平面直角坐標系中描出對應(yīng)的點,

發(fā)現(xiàn)這些點大致分布在直線AB附近（如圖所示）.

（1）求直線A8的函數(shù)關(guān)系式；

（2）市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：這個品種每個桃子的平均價格w（元）與平均質(zhì)量y（克/個）滿足函數(shù)表達式卬=

—>-+2.在（1）的情形下，求一棵樹上桃子數(shù)量為多少時，該樹上的桃子銷售額最大？

100-

25.二次函數(shù)丫=-x2+（a-1）x+a（〃為常數(shù)）圖象的頂點在y軸右側(cè).

（1）寫出該二次函數(shù)圖象頂點橫坐標（用含。的代數(shù)式表示）；

（2）該二次函數(shù)表達式可變形為y=-（x-p）（x-a）的形式，求p的值；

（3）若點4Cm,n）在該二次函數(shù)圖象上，且">0,過點（〃i+3,0）作y軸的平行線，與二次函數(shù)圖象

的交點在X軸下方，求a的范圍.

26.如圖，在。。中，AB為直徑，P為AB上一點，PA=\,PB=m（m為常數(shù)，且加＞0）.過點P的弦CD1AB,

。為BC上一動點（與點8不重合），AHLQD,垂足為H.連接A。、BQ.

備用圖

（1）若771=3.

①求證：ZOAD=60°；

②求的值；

DH

（2）用含〃，的代數(shù)式表示絲，請直接寫出結(jié)果；

DH

（3）存在一個大小確定的00,對于點。的任意位置，都有的值是一個定值，求此時/Q

的度數(shù).

參考答案

一、選擇題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分）

1.（-3）°等于（）

A.0B.1C.3D.-3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)任何不為0的數(shù)的零次幕都等于1,可得答案.

【詳解】解：（-3）°=1，

故選:B.

【點睛】本題主要考查了零指數(shù)基的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

2.如圖所示幾何體的左視圖是（）

ZC/SL

1/

【解析】

【分析】根據(jù)從左面看得到的圖形是左視圖，可得答案.

【詳解】解：如圖所示，幾何體的左視圖是：

故選：C.

【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從左面看得到的圖形是左視圖.

3.下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（）

A.瓜與6B.J5與JiEC.也與屈D.樂與后

【答案】D

【解析】

【分析】把每個選項中的不是最簡二次根式化為最簡二次根式即可作出判斷.

【詳解】A、我=2血，2后與若不是同類二次根式，故此選項錯誤；

B、712=273，a與2百不是同類二次根式，故此選項錯誤；

c、6與Ji?不是同類二次根式，故此選項錯誤；

D、V75=5A/3.后=36，5百與是同類二次根式，故此選項正確.

故選:D.

【點睛】本題考查了二次根式的化簡，同類二次根式的識別等知識，注意二次根式必須化成最簡二次根式.

4.“14人中至少有2人在同一個月過生日”這一事件發(fā)生的概率為P,則（）

A.P=0B.O<P<1C.P=1D.P>1

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)不可能事件的概率為0,隨機事件的概率大于0而小于1，必然事件的概率為1,即可判斷.

【詳解】解：：一年有12個月，14個人中有12個人在不同的月份過生日，剩下的兩人不論哪個月生日，

都和前12人中的一個人同一個月過生日

???“14人中至少有2人在同一個月過生日”是必然事件，

即這一事件發(fā)生的概率為P=1.

故選：C.

【點睛】本題考查了概率的初步認識，確定此事件為必然事件是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，為AB上任意一點,分別以AP、尸8為邊在同側(cè)作正方形APC。、正方形PBEE設(shè)NCBE=a,

則Z4/75為()

A.2aB.90°-aC.45°+aD.90°-—a

2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得A/lk三bCBP(SAS),從而乙少尸=ACBP=90°-a即可.

【詳解】???四邊形APCO和四邊形P8E尸是正方形，

：.AP=CP,PF=PB,乙APF=/BPF=Z.PBE=90°，

：.\AFP=bCBP(SAS),

NAFP=NCBP,

又,：NCBE=a,

：.AAFP=ACBP=APBE-乙CBE=90。一a,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定

方法是解題的關(guān)鍵.

6.互不重合的4、8、C三點在同一直線上，已知AC=2a+l,BC=a+4,AB=3a,這三點的位置關(guān)系是()

A.點A在B、C兩點之間B.點B在A、C兩點之間

C.點C在A、8兩點之間D.無法確定

【答案】A

【解析】

【分析】分別對每種情況進行討論，看。的值是否滿足條件再進行判斷.

【詳解】解：①當點A在2、C兩點之間，則滿足3C=AC+AB,

即a+4=2a+l+3a，

3

解得：。=二，符合題意，故選項A正確；

4

②點8在A、C兩點之間，則滿足AC=BC+A3,

即2a+l=a+4+3a,

3

解得：=--,不符合題意，故選項B錯誤；

a2

③點C在A、B兩點之間，則滿足AB=8C+AC,

即3a=a+4+2a+l,

解得：〃無解，不符合題意，故選項C錯誤；

故選項D錯誤；

故選：A.

【點睛】本題主要考查了線段的和與差及一元一次方程的解法，分類討論并列出對應(yīng)的式子是解本題的關(guān)

鍵.

二、填空題(本大題共有10小題，每小題3分，共30分)

7.計算：-(-2)=.

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義即可得答案.

【詳解】-(-2)=2,

故答案為：2

【點睛】本題考查相反數(shù)的定義，只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)；熟練掌握定義是解題關(guān)鍵.

8.函數(shù)：y=——中，自變量x的取值范圍是.

x+1

【答案】x^-1

【解析】

【詳解】求函數(shù)自變量的取值范圍，就是求函數(shù)解析式有意義的條件，根據(jù)分式分母不為0的條件，要使」一

X+1

在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須X+1WO,即xw—L

9.2021年5月，中國首個火星車“祝融號”成功降落在火星上直徑為3200km的烏托邦平原.把數(shù)據(jù)3200

用科學(xué)記數(shù)法表示為一.

【答案】3.2xlO3

【解析】

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為axlO",其中14同〈10,〃為正整數(shù).

【詳解】解:3200=3.2xlO3.

故答案為：3.2x103.

【點睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法較大數(shù)的表示，確定。與〃是解題的關(guān)鍵.

10.在函數(shù)y=（x—l）2中，當時,y隨x的增大而一.（填“增大”或“減小”）

【答案】增大

【解析】

【分析】根據(jù)其頂點式函數(shù)y=（X-可知，拋物線開口向上，對稱軸為x=1,在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而

增大,可得到答案.

【詳解】由題意可知：函數(shù)y=（X-1）2,開口向上,在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大，又..?對稱軸為x=1,

二當x>1時,y隨的增大而增大，

故答案為:增大.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)對稱軸及增減性,掌握當二次函數(shù)開口向上時，在對稱軸的右側(cè)y隨x的

增大而增大，在對稱軸的左側(cè)），隨x的增大而減小是解題的關(guān)鍵.

11.某班按課外閱讀時間將學(xué)生分為3組，第1、2組的頻率分別為0.2、0.5,則第3組的頻率是.

【答案】0.3

【解析】

【分析】利用1減去第1、2組的頻率即可得出第3組的頻率.

【詳解】1-0.2-0.5=03,

.?.第3組的頻率是0.3；

故答案為：0.3

【點睛】本題考查了頻率，熟練掌握頻率的定義和各小組的頻率之和為1是解題的關(guān)鍵.

12.關(guān)于X的方程爐-X-1=0的兩根分別為XI、X2則Xl+X2-的值為_.

【答案】2.

【解析】

【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到％+々=1，為52=-1，然后利用整體代入的方法計算即可.

【詳解】解：?.?關(guān)于X的方程N-X-1=0的兩根分別為XI、X2,

玉+x2=1,x,*x2=-1,

.,.Xl+X2-X1*JC2=1-(-1)=2.

故答案為：2.

【點睛】本題考查了根與系數(shù)關(guān)系：若西為一元二次方程依2+fex+c=0(aH0)的兩個根，則有

hC

%1+x2=—,xt*x2=—,熟記知識點是解題的關(guān)鍵.

aa

13.已知扇形的半徑為8cm,圓心角為45°,則此扇形的弧長是___cm.

【答案】27t

【解析】

【詳解】分析：先把圓心角化為弧度，再由弧長公式求出弧長，扇形的面積等于弧長與半徑乘積的一半.

詳解：,扇形中，半徑r=8cm,圓心角a=45°,

場叱,45^x8

..弧長］=--------2ncm

180

故答案為2n.

點睛：本題考查了弧長的計算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長計算公式，難度一般.

14.如圖，木棒A3、CO與所分別在G、H處用可旋轉(zhuǎn)的螺絲鉀住，ZEGB=100°,NEHD=80°,將木

棒48繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)到與木棒CO平行的位置，則至少要旋轉(zhuǎn)一°.

【答案】20

【解析】

【分析】根據(jù)同位角相等兩直線平行，得出當NEHD=NEGN=80。，MN//CD,再得出旋轉(zhuǎn)角N8GN的度數(shù)

即可得出答案.

【詳解】解：過點G作MN,使/E”￡>=/EGN=80。，

：.MNIICD,

VZEGB=100°,

ZBGN=ZEGB-ZEGN^100°-80°=20°,

至少要旋轉(zhuǎn)20°.

【點睛】本題考查了平行線的判定，以及圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(8,5),OA與x軸相切，點P在y軸正半軸上，PB與

OA相切于點B.若NAPB=30°,則點P的坐標為.

【答案】(0,11)或(0,—1).

【解析】

【分析】連接AB,作ADJ_x軸，AC_Ly軸，根據(jù)題意和30°直角三角形的性質(zhì)求出4P的長度，然后由圓

和矩形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求出OC的長度，即可求出點P的坐標.

【詳解】如下圖所示，連接AB,作軸，ACLy軸，

「PB與。A相切于點8

：.AB±PB,

,：ZAPB=30°,ABYPB,

...附=248=2x5=10.

VZO=90°,ZOCA=90°,ZADO=90°,

...四邊形AC。。是矩形,

點A的坐標為(8,5),

所以AC=0￡>=8,CO=AD=5,

在Rt^PAC中，PC=>Jp^-AC2=71O2-82=6-

①如圖，當點P在C點上方時，

...點尸的坐標為（0,11）.

②如圖，當點尸在C點下方時,

點尸的坐標為（0,-1）.

綜上所述，點尸的坐標為（0,11）或（0,—1）.

故答案為：（0,11）或（0,—1）.

【點睛】此題考查了勾股定理，30。角直角三角形的性質(zhì)和矩形等的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔

助線.

16.如圖，四邊形ABC。中，AB=CD=4,且4B與CO不平行，P、M、N分別是AD、BD、4c的中點，

設(shè)△PMN的面積為S,則S的范圍是.

D

【答案】0<SW2

【解析】

【分析】過點M作ME_L尸N于E,根據(jù)三角形的中位線定理得出PM=PN=3AB=5C￡>=2,再根據(jù)三角形

22

的面積公式得出S=-xPNxME=ME,結(jié)合已知和垂線段最短得出S的范圍；

2

【詳解】解：過點M作于E,

?；尸、M.N分別是A。、BD、AC的中點，AB=CD=4,

：.PM=PN=—AB=—CD=2,

22

△PMN的面積S=工xPNxA/E=ME,

2

???AB與CD不平行，，四邊形ABC。不是平行四邊形，

：.M.N不重合，

:.ME>0,

,/MEMEWMP=2,

，0<SW2

【點睛】本題考查了三角形的中位線定理以及三角形的面積，掌握三角形的中位線平行第三邊，等于第三

邊的一半是解題的關(guān)鍵

三、解答題(本大題共有10題，共102分)

17.(1)分解因式：x3-9%；

2x5

(2)解方程:----+1

x—22-x

【答案】(1)x(x+3)(x-3)；(2)x=-l

【解析】

【分析】(1)先提取公因式x,再利用平方差公式分解因式即可；

(2)先將分式方程化簡為整式方程，再求解檢驗即可.

【詳解】解：(1)原式=1(x2-9)=x(x+3)(尤-3),

(2)等式兩邊同時乘以(x-2)得2x+x-2=-5,

移項合并同類項得3戶-3,

系數(shù)化為1得k-1

檢驗：當x=-l時，x-2。0,

：.x=-l是原分式方程的解.

【點睛】本題考查了因式分解和解分式方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法及注意解分式方程要檢

驗.

18.近5年，我省家電業(yè)的發(fā)展發(fā)生了新變化.以甲、乙、丙3種家電為例，將這3種家電2016?2020年

(1)這5年甲種家電產(chǎn)量的中位數(shù)為萬臺；

(2)若將這5年家電產(chǎn)量按年份繪制成5個扇形統(tǒng)計圖，每個統(tǒng)計圖只反映該年這3種家電產(chǎn)量占比，其

中有一個扇形統(tǒng)計圖的某種家電產(chǎn)量占比對應(yīng)的圓心角大于180。，這個扇形統(tǒng)計圖對應(yīng)的年份是

年；

(3)小明認為：某種家電產(chǎn)量的方差越小，說明該家電發(fā)展趨勢越好.你同意他的觀點嗎？請結(jié)合圖中乙、

丙兩種家電產(chǎn)量變化情況說明理由.

【答案】(1)935；(2)2020；(3)不同意，理由見解析

【解析】

【分析】（1）首先把這5年甲種家電產(chǎn)量數(shù)據(jù)從小到大排列，然后根據(jù)中位數(shù)的定義即可確定結(jié)果；

（2）根據(jù)扇形統(tǒng)計圖圓心角的計算公式，即可確定；

（3）根據(jù)方差意義解答即可.

【詳解】解：（1）;這5年甲種家電產(chǎn)量數(shù)據(jù)整理得：466,921,935,1035,1046,

???中位數(shù)為:935.

故答案為：935；

（2）?..扇形統(tǒng)計圖的圓心角公式為：所占百分比x36（）。，觀察統(tǒng)計圖可知202（）年，甲種家電產(chǎn)量和丙種

家電產(chǎn)量之和小于乙種產(chǎn)量，

/.2020年乙種家電產(chǎn)量占比對應(yīng)的圓心角大于180°.

故答案為：2020；

（3）不同意，理由如下：

因為方差只是反映一組數(shù)據(jù)的離散程度，方差越小說明數(shù)據(jù)波動越小，越穩(wěn)定；從圖中乙、丙兩種家電產(chǎn)

量的變化情況來看，丙種家電產(chǎn)量較為穩(wěn)定，即方差較小，乙種家電產(chǎn)量波動較大，即方差較大,但是從2018

年起丙種家電的產(chǎn)量在逐年降低，而乙種家電的產(chǎn)量在逐年提高，所以乙種家電發(fā)展趨勢更好，即家電產(chǎn)

量的方差越小，不能說明該家電發(fā)展趨勢越好.

【點睛】本題考查了中位數(shù)、扇形統(tǒng)計圖、方差等，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

19.江蘇省第20屆運動會將在泰州舉辦，“泰寶”和“鳳娃”是運動會吉祥物.在一次宣傳活動中，組織

者將分別印有這兩種吉祥物圖案的卡片各2張放在一個不透明的盒子中并攪勻，卡片除圖案外其余均相

同.小張從中隨機抽取2張換取相應(yīng)的吉祥物，抽取方式有兩種：第一種是先抽取1張不放回，再抽取1

張；第二種是一次性抽取2張.

（1）兩種抽取方式抽到不同圖案卡片的概率（填“相同”或“不同”）;

（2）若小張用第一種方式抽取卡片，求抽到不同圖案卡片的概率.

【答案】（1）相同；（2）

3

【解析】

【分析】（1）畫樹狀圖即可判斷；

（2）結(jié)合第（1）題所畫樹狀圖可求概率.

【詳解】解：（1）設(shè)兩張“泰寶”圖案卡片為4,A,兩張“鳳娃”圖案卡片為B1,B2.

畫出兩種方式的樹狀圖，是相同的，所以抽到不同圖案卡片的概率是相同的.

故答案：相同

A

1由B、B2

…小小/K

A

2B\B24BlB2.4A2B24A2Bl

（2）由（1）中的樹狀圖可知，抽取到的兩張卡片，共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到不同圖案卡片的結(jié)

果有8種.

82

：.P（兩張不同圖案卡片）

123

【點睛】本題考查了用列舉法求概率的知識點，畫樹狀圖或列表是解題的基礎(chǔ)，準確求出符合某種條件的

概率是關(guān)鍵.

20.甲、乙兩工程隊共同修建150km的公路，原計劃30個月完工.實際施工時，甲隊通過技術(shù)創(chuàng)新，施工

效率提高了50%,乙隊施工效率不變，結(jié)果提前5個月完工.甲、乙兩工程隊原計劃平均每月分別修建多

長？

【答案】甲工程隊原計劃每月修建2千米，乙甲工程隊原計劃每月修建3千米

【解析】

【分析】設(shè)甲工程隊原計劃每月修建x千米，乙甲工程隊原計劃每月修建y千米，根據(jù)原計劃每月修建

150_150,

—km和甲提高效率后每月修建km列出二元一次方程組求解即可.

30（30-5）

【詳解】解：設(shè)甲工程隊原計劃每月修建x千米，乙甲工程隊原計劃每月修建y千米，根據(jù)題意得,

150

y=---

30

。+5。%皿=懸

x=2

解得，〈

J=3

答：甲工程隊原計劃每月修建2千米，乙甲工程隊原計劃每月修建3千米

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是弄清題意，找到合適的等量關(guān)系，列出方程.

21.如圖，游客從旅游景區(qū)山腳下的地面A處出發(fā)，沿坡角a=30°的斜坡4B步行50m至山坡8處，乘直

立電梯上升30m至C處，再乘纜車沿長為180m的索道至山頂。處，此時觀測C處的俯角為19°30',

索道CC看作在一條直線上.求山頂。的高度.（精確到Im,sinl9°30'七0.33,cosl9°30'^0.94,

tanl9°30'^0.35)

【答案】114m

【解析】

【分析】過點C作CELOG于E,CB的延長線交AG于凡在/^△54/中可求得8P的長，從而可得CF

的長；在放△DCE中，利用銳角三角函數(shù)可求得。E的長，從而由OG=OE+CF即可求得山頂。的高度.

【詳解】過點C作CEJ_Z)G于E,CB的延長線交AG于F,設(shè)山頂?shù)乃诰€段為QG,如圖所示

在中，a=30°,AB=50m

則BF=A8?sintz=50x—=25(m)

2

CF=BC+BF^30+25^55(m)

在/?，△￡>€：￡■中，/OCE=19°30',CD=180m

DE=CD.sinZDCE?180x0.33?59(m)

???四邊形CFGE是矩形

：.EG=CF

：.DG=DE+EG=DE+CF=59+55=114(m)

即山頂。的高度為114m.

【點睛】本題考查了解直角三角形在實際測量中的應(yīng)用，題目較簡單，但這里出現(xiàn)了坡角、俯角等概念,

要理解其含義，另外通過作適當?shù)妮o助線，把問題轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決.

22.如圖，點A(-2,%)、B(-6,”)在反比例函數(shù)y=&(k<0)的圖象上，ACLx軸，8力刀軸,

X

垂足分別為C、D,AC與8。相交于點E.

（1）根據(jù)圖象直接寫出V、”的大小關(guān)系，并通過計算加以驗證；

（2）結(jié)合以上信息，從①四邊形OCE。的面積為2,②BE=2A￡這兩個條件中任選一個作為補充條件，求

人的值.你選擇的條件是（只填序號）.

【答案】（1）%>%，見解析；（2）見解析，①（也可以選擇②）

【解析】

【分析】（1）觀察函數(shù)的圖象即可作出判斷，再根據(jù)A、8兩點在反比例函數(shù)圖象上，把兩點的坐標代入后

作差比較即可；

（2）若選擇條件①，由面積的值及"的長度，可得陽的長度，從而可得點8的坐標，把此點坐標代入函

數(shù)解析式中，即可求得先若選擇條件②，由〃廬6及小2,可得應(yīng)1的長度，從而可得451長度，此長度即

為4、3兩點縱坐標的差，（1）所求得的差即可求得北

【詳解】（1）由于圖象從左往右是上升的，即自變量增大，函數(shù)值也隨之增大，故必>為；

kk

當x=-6時，y=---；當x=-2時，％=---

262

kkk

y.—y—---1—=—,k<Q

127263

???X-%>°

即Ji>%

（2）選擇條件①

VAClxtt，軸，OC±OD

四邊形OCED是矩形

ODOC=2

?：0C=2

：.OD=\

即％=1

，點B的坐標為（61）

把點B的坐標代入y="中，得k=-6

x

若選擇條件②，即8E=2AE

???AC_Lx軸，3O_Ly軸，

???四邊形OCEZ）是矩形

:?DE=OC,CE=OD

V0C=2,DB=6

：.BE=DB-DE=DB-0C=4

：.AE=-BE=2

2

'：AE=AC-CE=AC-OD=X-y2

即yf=2

k

由（1）知：-y2==2

k=-6

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、大小比較，熟練掌握反比例函數(shù)的圖

象與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

23.（1）如圖①，。為AB的中點，直線人A分別經(jīng)過點0、B,且八〃/2,以點。為圓心，0A長為半徑

畫弧交直線/2于點C,連接AC.求證：直線/i垂直平分AC；

（2）如圖②，平面內(nèi)直線人〃/2〃/3〃兄且相鄰兩直線間距離相等，點P、。分別在直線/卜〃上，連接

PQ.用圓規(guī)和無刻度的直尺在直線/4上求作一點。，使線段最短.（兩種工具分別只限使用一次，并保

留作圖痕跡）

圖①圖②

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

【分析】（1）利用平行線等分線段定理證明直線人平分4C；利用直角三角形的判定證明直線人垂直4C；

（2）以/2與PQ的交點。為圓心，長為半徑畫弧交直線石于點C,連接PC并延長交直線/4于點。，此

時線段尸。最短，點。即為所求.

【詳解】（I）解：如圖①，連接0C,

圖①

VOB=OA,l\//h,

...直線人平分AC,

由作圖可知：0B=04=0C,

NACB=90。，

.“2垂直AC,

垂直AC,

即直線八垂直平分AC.

（2）如圖②，以/2與PQ的交點。為圓心，0P長為半徑畫弧交直線/3于點C,連接PC并延長交直線/4于

點。，此時線段尸。最短，點。即為所求.

圖②

【點睛】本題主要考查了直角三角形的判定，如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形

是直角三角形，與考查了尺規(guī)作圖.

24.農(nóng)技人員對培育的某一品種桃樹進行研究，發(fā)現(xiàn)桃子成熟后一棵樹上每個桃子質(zhì)量大致相同.以每棵樹

上桃子的數(shù)量x（個）為橫坐標、桃子的平均質(zhì)量y（克/個）為縱坐標，在平面直角坐標系中描出對應(yīng)的點,

發(fā)現(xiàn)這些點大致分布在直線AB附近（如圖所示）.

利克/個)

(1)求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；

(2)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：這個品種每個桃子的平均價格卬(元)與平均質(zhì)量y(克/個)滿足函數(shù)表達式卬=

焉尹2.在(1)的情形下，求一棵樹上桃子數(shù)量為多少時，該樹上的桃子銷售額最大？

【答案】(1)^=--x+500；(2)210.

3

【解析】

/、/、300=120%+/?

【分析】⑴將A。20,300),8(240,100)代入到y(tǒng)=kx+b,得到方程組十匕,解得「與6

的值，即可求出直線48的解析式；

(2)將y=—3x+5OO代入?yún)n=」-y+2中，得到新的二次函數(shù)解析式，再表示出總銷售額，配方成頂

3100-

點式，求出最值即可.

【詳解】解：(1)設(shè)直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y="+。,

/、/、300=120k+0

將4(120,300)，8(24(),100)代入可得：CQ^24Qk+h

k=__

解得：J3,

8=500

...直線AB的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-gx+500.

故答案為：^=-|x+500.

(2)將y=-3x+5OO代入?yún)n=—^―y+2中,

3100-

可得：卬=擊-1x+500j+2,

化簡得：w=---x+7,

60

設(shè)總銷售額為z,則z==(-2x+7)x

z=---，x2+7rx

60

——420X)

—(^2-420%+2102)+—x2102

60V)60

—(X-210)2+735

1八

*a=------<0,

60

，z有最大值，當％=210時，z取到最大值，最大值為735.

故答案為：210.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)解析式的求解，二次函數(shù)的應(yīng)用，能理解題意，并表示出其解析式是解題關(guān)

鍵.

25.二次函數(shù)>=-x2+(a-1)x+a(a為常數(shù))圖象的頂點在y軸右側(cè).

(1)寫出該二次函數(shù)圖象的頂點橫坐標(用含。的代數(shù)式表示)；

(2)該二次函數(shù)表達式可變形為y=-(x-p)(x-a)的形式，求p的值；

(3)若點A在該二次函數(shù)圖象上，且">0,過點(W+3,0)作了軸的平行線，與二次函數(shù)圖象

的交點在x軸下方，求。的范圍.

【答案】(I)W；(2)p=-l：(3)l<a<2.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)頂點坐標公式即可得答案；

(2)利用十字相乘法分解因式即可得答案；

(3)利用(2)的結(jié)果可得拋物線與x軸的交點坐標，根據(jù)頂點在y軸右側(cè)，過點(m+3,0)作y軸的平

行線，與二次函數(shù)圖象的交點在x軸下方可得關(guān)于。的不等式，解不等式即可得答案.

【詳解】(1)?.?二次函數(shù)解析式y(tǒng)=-x2+(a-1)x+a,

a—1a—1

???頂點橫坐標為-E二〒

(2)Vy=-x2+(a-1)]+〃=—(x+l)(x—a)=-(x-p)(x-a),

(3)\"y=-x2+(4-1)x+a=—(%+1)(尤—a),

???拋物線與x軸的交點坐標為(-1,0),(m0),

V-l<0,

???該二次函數(shù)的圖象開口向下，

???圖象頂點在y軸右側(cè)，

?.?點A（機，??）在該二次函數(shù)圖象上，且〃>0,

.*.-1<m<af

???過點（