2024版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第6節(jié)雙曲線學(xué)案含解析新人教B版202305182194

2024版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第6節(jié)雙曲線學(xué)案含解析新人教B版202305182194第6節(jié)雙曲線一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．雙曲線的定義(1)定義：一般地，如果F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)的兩個定點(diǎn)，a是一個正常數(shù)，且2a＜|F1F2|.則平面上滿足||PF1|－|PF2||＝2a的動點(diǎn)P的軌跡稱為雙曲線．(2)相關(guān)概念：兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2稱為雙曲線的焦點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)的距離|F1F2|稱為雙曲線的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)當(dāng)a<c時，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線．(2)當(dāng)a＝c時，點(diǎn)P的軌跡是兩條射線．(3)當(dāng)a>c時，點(diǎn)P不存在．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸，對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)實(shí)虛軸實(shí)軸|A1A2|＝2a；虛軸|B1B2|＝2b；半實(shí)軸長為a，半虛軸長為ba，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)3.常用結(jié)論(1)過雙曲線的一個焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長為eq\f(2b2,a)，也叫通徑．(2)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同的漸近線的方程可表示為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．(3)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.(4)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.二、基本技能·思想·活動體驗(yàn)1．判斷下列說法的正誤，對的打“√”，錯的打“×”．(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,2)，F(xiàn)2(0，－2)距離之差的絕對值等于4的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．(×)(2)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．(×)(3)雙曲線方程eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝0，即eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.(√)(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于eq\r(2).(√)2．雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0) B．(－2,0)，(2,0)C．(0，－eq\r(2))，(0，eq\r(2)) D．(0，－2)，(0,2)B解析：由題可知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)，(2,0)．3．若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(5) B．5C.eq\r(2) D．2A解析：由題意知焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長，雙曲線的漸近線方程為eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0，即bx±ay＝0，∴2a＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝eq\f(c2,a2)＝5，∴e＝eq\r(5).4．經(jīng)過點(diǎn)A(3，－1)，且對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為__________．eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1解析：設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，把點(diǎn)A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求雙曲線方程為eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1.5．已知雙曲線x2－eq\f(y2,16)＝1上一點(diǎn)P到它的一個焦點(diǎn)的距離等于4，那么點(diǎn)P到另一個焦點(diǎn)的距離等于________．6解析：設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，|PF1|＝4，則||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2.又雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為c－a＝eq\r(17)－1，故|PF2|＝6.考點(diǎn)1雙曲線的定義——基礎(chǔ)性(1)(2020·浙江卷)已知點(diǎn)O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．設(shè)點(diǎn)P滿足|PA|－|PB|＝2，且P為函數(shù)y＝3eq\r(4－x2)圖像上的點(diǎn)，則|OP|＝()A.eq\f(\r(22),2) B.eq\f(4\r(10),5)C.eq\r(7) D.eq\r(10)D解析：由雙曲線定義可知，點(diǎn)P在以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的右支上．設(shè)P(x，y)，則x2－eq\f(y2,3)＝1(x≥1)，將y＝3eq\r(4－x2)代入可得x2＝eq\f(13,4)，所以y2＝3(x2－1)＝eq\f(27,4)，所以|OP|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(10).故選D.(2)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，左焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)Q(0，eq\r(3)c)(c為半焦距)．P是雙曲線C的右支上的動點(diǎn)，且|PF1|＋|PQ|的最小值為6，則雙曲線C的方程為______________．x2－eq\f(y2,3)＝1解析：設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為F2，則|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋|PQ|，而|PF2|＋|PQ|的最小值為|QF2|＝eq\r(c2＋\r(3)c2)＝2c，所以|PF1|＋|PQ|最小值為2a＋2c＝6.又eq\f(c,a)＝2，解得a＝1，c＝2，于是b2＝3，故雙曲線C的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.利用雙曲線的定義求方程要注意的問題(1)實(shí)軸長為距離之差的絕對值．(2)2a＜|F1F2|.(3)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的位置．1．已知兩圓C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，動圓M與兩圓C1，C2都相切，則動圓圓心M的軌跡方程是()A.x＝0B.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,14)＝1(x≥eq\r(2))C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,14)＝1D.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,14)＝1或x＝0D解析：動圓M與兩圓C1，C2都相切，有四種情況：①動圓M與兩圓都外切；②動圓M與兩圓都內(nèi)切；③動圓M與圓C1外切、與圓C2內(nèi)切；④動圓M與圓C1內(nèi)切、與圓C2外切．在①②情況下，動圓圓心M的軌跡方程為x＝0.在③的情況下，設(shè)動圓M的半徑為r，則|MC1|＝r＋eq\r(2)，|MC2|＝r－eq\r(2).故得|MC1|－|MC2|＝2eq\r(2).在④的情況下，同理得|MC2|－|MC1|＝2eq\r(2).由③④得|MC1|－|MC2|＝±2eq\r(2).已知|C1C2|＝8，根據(jù)雙曲線定義，可知點(diǎn)M的軌跡是以C1(－4，0)，C2(4,0)為焦點(diǎn)的雙曲線，且a＝eq\r(2)，c＝4，b2＝c2－a2＝14，其方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,14)＝1.故選D.2．(2020·深圳市高三二模)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)分別為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5，0)，P為雙曲線C上一點(diǎn)，PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq\f(3,4)，則雙曲線C的方程為()A．x2－eq\f(y2,24)＝1 B.eq\f(x2,24)－y2＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1A解析：如圖，因?yàn)镻F1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq\f(3,4)，|F1F2|＝10，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6.根據(jù)雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，即a＝1，所以b2＝c2－a2＝25－1＝24，所以雙曲線C的方程為x2－eq\f(y2,24)＝1.考點(diǎn)2雙曲線的方程——綜合性(1)已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是()A．(－1,3) B．(－1，eq\r(3))C．(0,3) D．(0，eq\r(3))A解析：因?yàn)殡p曲線的焦距為4，所以c＝2，即m2＋n＋3m2－n＝4，解得m2＝1.又由所給方程表示雙曲線得(1＋n)(3－n)>0，解得－1<n<3.(2)(2020·天津卷)設(shè)雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)和點(diǎn)(0，b)的直線為l.若C的一條漸近線與l平行，另一條漸近線與l垂直，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1B.x2－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,4)－y2＝1D．x2－y2＝1D解析：由題意知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，所以雙曲線C為等軸雙曲線，漸近線的斜率分別為1和－1.因?yàn)橹本€l與一條漸近線平行，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為(1,0)，所以eq\f(b－0,0－1)＝－1，即b＝1.所以雙曲線C的方程為x2－y2＝1.故選D.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的一般方法(1)待定系數(shù)法：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)已知條件，列出關(guān)于參數(shù)a，b，c的方程并求出a，b，c的值．與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同漸近線時，可設(shè)所求雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．(2)定義法：依定義得出距離之差的等量關(guān)系式，求出a的值，由定點(diǎn)位置確定c的值．1．已知雙曲線C：eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1，則雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(±5,0) B．(±eq\r(7)，0)C．(0，±5) D．(0，±eq\r(7))C解析：雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸上，又a2＝16，b2＝9，則c2＝a2＋b2＝25，即c＝5，故雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±5)．2．(多選題)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，則能使雙曲線C的方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的是()A．離心率為eq\f(5,4)B．雙曲線過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,4)))C．漸近線方程為3x±4y＝0D．實(shí)軸長為4ABC解析：雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，可得c＝5.如果離心率為eq\f(5,4)，可得a＝4，則b＝3.所以雙曲線C的方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，所以A正確；由c＝5，雙曲線過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,4)))，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25＝a2＋b2，,\f(25,a2)－\f(81,16b2)＝1，)))解得a＝4，b＝3，所以雙曲線C的方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，所以B正確．由c＝5，漸近線方程為3x±4y＝0，可得eq\f(b,a)＝eq\f(3,4)，a2＋b2＝25，解得a＝4，b＝3，所以雙曲線C的方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，所以C正確．由c＝5，實(shí)軸長為4，可得a＝2，b＝eq\r(21)，雙曲線C的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,21)＝1，所以D不正確．3．與雙曲線x2－2y2＝2有公共漸近線，且過點(diǎn)M(2，－2)的雙曲線方程為____________．eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1解析：設(shè)與雙曲線eq\f(x2,2)－y2＝1有公共漸近線的雙曲線方程為eq\f(x2,2)－y2＝k.將點(diǎn)(2，－2)代入得k＝eq\f(22,2)－(－2)2＝－2，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1.考點(diǎn)3雙曲線的幾何性質(zhì)——綜合性考向1雙曲線的漸近線若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，則其漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)xB．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)xD．y＝±eq\f(\r(3),2)xA解析：(方法一)由題意知，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(3)a，所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(2)a，即eq\f(b,a)＝eq\r(2)，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x.(方法二)由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(3)，得eq\f(b,a)＝eq\r(2)，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x.求雙曲線的漸近線的方法已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的方程，求漸近線的方程時，可令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，得y＝±eq\f(b,a)x；或令eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝0，得y＝±eq\f(a,b)x.反之，已知漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，可設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．考向2求雙曲線的離心率(1)(2020·瀏陽一模)已知雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，圓C2：x2＋y2－2ax＋eq\f(3,4)a2＝0.若雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個不同的交點(diǎn)，則雙曲線C1的離心率的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))C．(1,2) D．(2，＋∞)A解析：由雙曲線方程可得其漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即bx±ay＝0，圓C2：x2＋y2－2ax＋eq\f(3,4)a2＝0可化為(x－a)2＋y2＝eq\f(1,4)a2，圓心C2的坐標(biāo)為(a,0)，半徑r＝eq\f(1,2)a.由雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個不同的交點(diǎn)，得eq\f(|ab|,\r(a2＋b2))<eq\f(1,2)a，即c>2b，即c2>4b2.又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c2<eq\f(4,3)a2，所以e＝eq\f(c,a)<eq\f(2\r(3),3).又知e>1，所以雙曲線C1的離心率的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3))).(2)(2020·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5)＝1(a>0)的一條漸近線方程為y＝eq\f(\r(5),2)x，則該雙曲線的離心率是________．eq\f(3,2)解析：因?yàn)殡p曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5)＝1(a>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(5),a)x，所以eq\f(\r(5),a)＝eq\f(\r(5),2)，所以a＝2，則離心率e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(5,4))＝eq\f(3,2).求雙曲線離心率或其取值范圍的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解．考向3與雙曲線有關(guān)的最值和范圍問題已知M(x0，y0)是雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點(diǎn)．若eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，則y0的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))A解析：因?yàn)镕1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)，eq\f(x\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1，所以eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)·(eq\r(3)－x0，－y0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－3<0，即3yeq\o\al(2,0)－1<0，解得－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3).與雙曲線有關(guān)的取值范圍問題的解題思路(1)若條件中存在不等關(guān)系，則借助此關(guān)系直接變換求解．(2)若條件中沒有不等關(guān)系，要善于發(fā)現(xiàn)隱含的不等關(guān)系或借助曲線中不等關(guān)系來解決．1．(2021·上海崇明區(qū)調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與圓(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，則雙曲線C的離心率為()A.eq\f(4,3) B.eq\f(5,4)C.eq\f(16,9) D.eq\f(25,16)B解析：由題意知，雙曲線C的漸近線方程為by±ax＝0，結(jié)合圖形(圖略)易知與圓相切的只可能是by－ax＝0.又圓心坐標(biāo)為(2,1)，則eq\f(|b－2a|,\r(a2＋b2))＝1，得3a＝4b，所以9a2＝16b2＝16(c2－a2)，則e2＝eq\f(25,16).又e>1，故e＝eq\f(5,4).2．已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線eq\f(x2,8－m)＋eq\f(y2,4－m)＝1，它的焦點(diǎn)到漸近線的距離的取值范圍是________．(0,2)解析：對于焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，它的一個焦點(diǎn)(c,0)到漸近線bx－ay＝0的距離為eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b.雙曲線eq\f(x2,8－m)＋eq\f(y2,4－m)＝1，即eq\f(x2,8－m)－eq\f(y2,m－4)＝1，其焦點(diǎn)在x軸上，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－m>0，,m－4>0，))解得4<m<8，則焦點(diǎn)到漸近線的距離d＝eq\r(m－4)∈(0,2)．已知A，F(xiàn)，P分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)以及右支上的動點(diǎn)．若∠PFA＝2∠PAF恒成立，則雙曲線的離心率為()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．1＋eq\r(3)[四字程序]讀想算思A，F(xiàn)分別是雙曲線的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，P是雙曲線上的動點(diǎn)1.雙曲線的離心率的表達(dá)式是什么？2．如何把幾何條件∠PFA＝2∠PAF轉(zhuǎn)化為代數(shù)式子？設(shè)∠PAF＝α，建立∠PAF和∠PFA之間的聯(lián)系數(shù)形結(jié)合∠PFA＝2∠PAF，求雙曲線的離心率1.e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))；2．轉(zhuǎn)化為直線的傾斜角，進(jìn)而用直線的斜率表示二者之間的關(guān)系tan∠PFA＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)利用特殊值法或者代數(shù)運(yùn)算，都要結(jié)合圖形解決問題思路參考：特殊值法，不妨設(shè)∠PFA＝90°求解．C解析：因?yàn)椤螾FA＝2∠PAF恒成立，不妨令∠PFA＝90°，則∠PAF＝45°.在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中，令x＝c，易得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，±\f(b2,a))).因?yàn)閠an∠PAF＝1，所以eq\f(b2,a)＝a＋c，所以c2－ac－2a2＝0，所以(c＋a)(c－2a)＝0，解得c＝2a，即e＝2.思路參考：利用誘導(dǎo)公式表示出直線PA，PF之間斜率的關(guān)系求解．C解析：設(shè)∠PAF＝α，∠PFA＝2α，kPA＝k1，kPF＝k2，k2＝tan(π－2α)＝eq\f(－2tanα,1－tan2α)＝eq\f(－2k1,1－k\o\al(2,1)).設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，故eq\f(x\o\al(2,0),a2)－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，①因?yàn)閗2＝eq\f(y0,x0－c)，k1＝eq\f(y0,x0＋a)，所以eq\f(y0,x0－c)＝eq\f(－2y0x0＋a,x0＋a2－y\o\al(2,0))，②聯(lián)立①②消去y0得：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(c2,a2)))xeq\o\al(2,0)＋(4a－2c)x0＋c2－2ac＝0，(*)當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－\f(c2,a2)＝0，,4a－2c＝0，,c2－2ac＝0))時，(*)式恒成立，此時e＝eq\f(c,a)＝2.思路參考：造構(gòu)相似三角形，結(jié)合平面幾何知識求解．C解析：如圖1，∠ACB＝2∠ABC，由平面幾何知識，△ACD∽△BAD，故eq\f(b,c)＝eq\f(c,a＋b)，所以c2－b2＝ab，反之亦然．圖1圖2在雙曲線中，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，過點(diǎn)P作PM⊥AF，如圖2.因?yàn)椤螾FA＝2∠PAF，同理可得|PA|2－|PF|2＝|AF|·|PF|，又|PA|2－|PF|2＝(|AM|2＋|MP|2)－(|MF|2＋|MP|2)＝(|AM|＋|MF|)·(|AM|－|MF|)＝|AF|·(2x0＋a－c)，所以|PF|＝2x0＋a－c.由雙曲線的焦半徑公式知，|PF|＝ex0－a，所以2x0＋a－c＝ex0－a，此時e＝eq\f(c,a)＝2.思路參考：設(shè)出點(diǎn)P(m，n)，利用過兩點(diǎn)的斜率公式與傾斜角關(guān)系求解．C解析：如圖，作PM⊥AF于M，設(shè)∠PAF＝α，∠PFA＝2α，設(shè)點(diǎn)P(m，n)．在Rt△PAM中，tanα＝eq\f(n,m＋a)，在Rt△PFM中，tan2α＝eq\f(n,c－m).因?yàn)閠an2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)，所以eq\f(n,c－m)＝eq\f(2nm＋a,m＋a2－n2)，所以2(m＋a)(c－m)＝(m＋a)2－n2，所以2(m＋a)(c－m)＝(m＋a)2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2,a2)－1))b2，所以－2m2＋2(c－a)m＋2ac＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(b2,a2)))m2＋2am＋c2恒成立．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＝1－\f(b2,a2)，,c－a＝a，,2a＝c，))所以e＝eq\f(c,a)＝2.1．本題考查雙曲線的離心率的計(jì)算，其基本策略是根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)尋找a，c的關(guān)系式．2．基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題要熟練掌握雙曲線的定義，直線的斜率公式和正切的二倍角公式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．3．基于高考數(shù)學(xué)評價體系，本題通過知識間的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性和綜合性的統(tǒng)一．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(2)，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為()A．eq\r(2) B．2C．eq\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)D解析：(方法一)由離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，得c＝eq\r(2)a.又b2＝c2－a2，得b＝a，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±x.由點(diǎn)到直線的距離公式，得點(diǎn)(4,0)到雙曲線C的漸近線的距離為eq\f(4,\r(1＋1))＝2eq\r(2).(方法二)離心率e＝eq\r(2)的雙曲線是等軸雙曲線，其漸近線方程是y＝±x，所以點(diǎn)(4,0)到雙曲線C的漸近線的距離為eq\f(4,\r(1＋1))＝2eq\r(2).第7節(jié)拋物線一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．拋物線的概念(1)定義：一般地，設(shè)F是平面內(nèi)的一個定點(diǎn)，l是不過定點(diǎn)F的一條定直線，則平面上到F的距離與到l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線．(2)相關(guān)概念：定點(diǎn)F稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線l稱為拋物線的準(zhǔn)線．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)對稱軸x軸y軸焦點(diǎn)坐標(biāo)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下(1)拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離，eq\f(p,2)等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離．(2)求拋物線方程時，要依據(jù)題設(shè)條件，弄清拋物線的對稱軸和開口方向，正確選擇拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(3)由y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)求焦點(diǎn)坐標(biāo)時，只需將x或y的系數(shù)除以4，再確定焦點(diǎn)位置即可．(4)拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也稱為拋物線的焦半徑．3．焦點(diǎn)弦設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y2＝2px(p＞0)|AB|＝x1＋x2＋py2＝－2px(p＞0)|AB|＝p－(x1＋x2)x2＝2py(p＞0)|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋px2＝－2py(p＞0)|AB|＝p－(y1＋y2)二、基本技能·思想·活動體驗(yàn)1．判斷下列說法的正誤，對的打“√”，錯的打“×”．(1)平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線．(×)(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(a,4).(×)(3)拋物線方程中，字母p的幾何意義是焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離．(×)(4)已知AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的弦．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2，弦長|AB|＝x1＋x2＋p.(√)(5)過拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線x2＝－2ay(a>0)的通徑長為2a.(√)2．若拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)是橢圓eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一個焦點(diǎn)，則p＝()A．2 B．3C．4 D．8D解析：拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，橢圓eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±eq\r(2p)，0)，故eq\f(p,2)＝eq\r(2p)，解得p＝8(p＝0舍去)．故選D.3．設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是()A．4 B．6C．8 D．12B解析：如圖所示，拋物線的準(zhǔn)線l的方程為x＝－2，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)．過點(diǎn)P作PA⊥y軸，垂足是A，延長PA交直線l于點(diǎn)B，則|AB|＝2.由于點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離|PB|＝4＋2＝6，所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離|PF|＝|PB|＝6.故選B.4．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)P(－2,3)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________．y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)y解析：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝kx或x2＝my，代入點(diǎn)P(－2,3)，解得k＝－eq\f(9,2)，m＝eq\f(4,3)，所以y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)y.5．拋物線y2＝8x上到其焦點(diǎn)F距離為5的點(diǎn)的個數(shù)為________．2解析：設(shè)P(x1，y1)，則|PF|＝x1＋2＝5，得x1＝3，y1＝±2eq\r(6).故滿足條件的點(diǎn)的個數(shù)為2.考點(diǎn)1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程——基礎(chǔ)性1．過點(diǎn)F(0,3)且與直線y＋3＝0相切的動圓圓心的軌跡方程為()A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝－12y D．x2＝12yD解析：由題意，得動圓的圓心到直線y＝－3的距離和到點(diǎn)F(3,0)的距離相等，所以動圓的圓心是以點(diǎn)F(0,3)為焦點(diǎn)，直線y＝－3為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為x2＝12y.2．如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為()A．y2＝eq\f(3,2)x B．y2＝9xC．y2＝eq\f(9,2)x D．y2＝3xD解析：如圖，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D.設(shè)|BF|＝a，則|BC|＝2a，|BD|＝a，故∠BCD＝30°.在直角三角形ACE中，因?yàn)閨AF|＝3，|AC|＝3＋3a，所以2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，從而得a＝1.因?yàn)锽D∥FG，所以eq\f(1,p)＝eq\f(2,3)，解得p＝eq\f(3,2)，因此拋物線方程為y2＝3x.故選D.3．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上．若拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線5x2－y2＝20的兩條漸近線圍成的三角形的面積等于4eq\r(5)，則拋物線的方程為____________．y2＝8x解析：設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，則拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(5)x.由圍成的三角形面積為4eq\r(5)，可得eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×eq\r(5)p＝4eq\r(5)，解得p＝4.所以拋物線的方程為y2＝8x.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法(1)定義法：根據(jù)條件確定動點(diǎn)滿足的幾何特征，從而求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再確定參數(shù)p的值，這里要注意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式．若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)為y2＝px(p≠0)；若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)為x2＝py(p≠0)．考點(diǎn)2拋物線的定義及應(yīng)用——綜合性(1)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)．若|AB|＝8，則線段AB的中點(diǎn)M到直線x＋1＝0的距離為()A．2 B．4C．8 D．16B解析：如圖，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線為x＝－1，即x＋1＝0.過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C，D，則有|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝8.過AB的中點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則MN為直角梯形ABDC的中位線，則|MN|＝eq\f(1,2)(|AC|＋|BD|)＝4，即點(diǎn)M到準(zhǔn)線x＝－1的距離為4.(2)(2020·濱州期末)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，p為該拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足．若直線AF的斜率為－eq\r(3)，則△PAF的面積為()A．2eq\r(3) B．4eq\r(3)C．8 D．8eq\r(3)B解析：由題意得，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F(1,0)，設(shè)拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為D，則|DF|＝2.又直線AF的斜率為－eq\r(3)，所以∠AFD＝60°，因此|AF|＝2|DF|＝4，∠FAP＝60°.由拋物線的定義可得|PA|＝|PF|，所以△PAF是邊長為4的等邊三角形，所以△PAF的面積為eq\f(1,2)×4×4×sin60°＝4eq\r(3).故選B.將本例(2)中點(diǎn)A的坐標(biāo)改為(3,4)，則|PA|＋|PF|的最小值為________．eq\f(\r(89),2)解析：因?yàn)辄c(diǎn)A(3,4)在拋物線的外部，所以當(dāng)P，A，F(xiàn)共線時，|PA|＋|PF|最小，|PA|＋|PF|≥|AF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,2)))2＋42)＝eq\f(\r(89),2).拋物線定義的應(yīng)用技巧(1)涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)(準(zhǔn)線)的距離問題，可優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線(焦點(diǎn))的距離問題求解．“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的重要途徑．(2)與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．1．(2020·全國卷Ⅰ)已知點(diǎn)A為拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p＝()A．2 B．3C．6 D．9C解析：設(shè)焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，由拋物線定義得|AF|＝x0＋eq\f(p,2).因?yàn)辄c(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為9，所以x0＝9，所以9＋eq\f(p,2)＝12，所以p＝6.故選C.2．(2020·山西大學(xué)附中模擬)已知點(diǎn)Q(2eq\r(2)，0)及拋物線y＝eq\f(x2,4)上一動點(diǎn)P(x，y)，則y＋|PQ|的最小值是________．2解析：拋物線y＝eq\f(x2,4)，即x2＝4y，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1.因?yàn)辄c(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2eq\r(2)，0)，所以|FQ|＝eq\r(2\r(2)2＋12)＝3.過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線PH，交x軸于點(diǎn)D，如圖所示．結(jié)合拋物線的定義，有y＋|PQ|＝|PD|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1≥|FQ|－1＝3－1＝2，即y＋|PQ|的最小值是2.考點(diǎn)3拋物線的幾何性質(zhì)——綜合性考向1范圍問題設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)C解析：由拋物線C：x2＝8y知p＝4，所以焦點(diǎn)F(0,2)，準(zhǔn)線方程y＝－2.由拋物線的定義，|MF|＝y(tǒng)0＋2.因?yàn)橐訤為圓心、|FM|為半徑的圓與準(zhǔn)線相交，且圓心F(0,2)到準(zhǔn)線y＝－2的距離為4.所以4＜y0＋2，從而y0＞2.考向2弦長問題已知拋物線C：x2＝2py(p>0)和定點(diǎn)M(0,1)．設(shè)過點(diǎn)M的動直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，拋物線C在A，B處的切線交點(diǎn)為N.(1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值；(2)若△ABN面積的最小值為4，求拋物線C的方程．解：(1)設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將AB的方程代入拋物線C，得x2－2pkx－2p＝0.顯然方程有兩個不等實(shí)根，則x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①由x2＝2py，得y′＝eq\f(x,p)，則A，B處的切線斜率乘積為eq\f(x1x2,p2)＝－eq\f(2,p)＝－1，解得p＝2.(2)設(shè)切線AN的方程為y＝eq\f(x1,p)x＋b，又切點(diǎn)A在拋物線y＝eq\f(x2,2p)上，所以y1＝eq\f(x\o\al(2,1),2p)，所以b＝eq\f(x\o\al(2,1),2p)－eq\f(x\o\al(2,1),p)＝－eq\f(x\o\al(2,1),2p)，則切線AN的方程為yAN＝eq\f(x1,p)x－eq\f(x\o\al(2,1),2p).同理切線BN的方程為yBN＝eq\f(x2,p)x－eq\f(x\o\al(2,2),2p).又因?yàn)镹在yAN和yBN上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(x1,p)x－\f(x\o\al(2,1),2p)，,y＝\f(x2,p)x－\f(x\o\al(2,2),2p)，))解得Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(x1x2,2p)))，所以N(pk，－1)．|AB|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|＝eq\r(1＋k2)eq\r(4p2k2＋8p)，點(diǎn)N到直線AB的距離d＝eq\f(|kxN＋1－yN|,\r(1＋k2))＝eq\f(|pk2＋2|,\r(1＋k2))，S△ABN＝eq\f(1,2)·|AB|·d＝eq\r(ppk2＋23)≥2eq\r(2p)，所以2eq\r(2p)＝4，所以p＝2，故拋物線C的方程為x2＝4y.(1)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)．若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p；若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式．(2)涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法．(2020·合肥模擬)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|＋|DE|的最小值為()A．16 B．14C．12 D．10A解析：拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1，0)，由題意可知l1，l2的斜率存在且不為0.不妨設(shè)直線l1的斜率為k，則直線l2的斜率為－eq\f(1,k)，故l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－eq\f(1,k)(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx－1，))消去y得k2x2－(2k2＋4)·x＋k2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)＝2＋eq\f(4,k2).由拋物線的定義可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋eq\f(4,k2).同理得|DE|＝4＋4k2，所以|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋eq\f(4,k2)≥8＋2eq\r(16)＝16，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,k2)＝k2，即k＝±1時取等號．故|AB|＋|DE|的最小值為16.過拋物線x2＝2y的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)．若|AB|＝eq\f(25,12)，且|AF|<|BF|，則|AF|＝________.[四字程序]讀想算思直線AB與焦點(diǎn)為F的拋物線x2＝2y交于A，B兩點(diǎn)1.直線過拋物線的焦點(diǎn)要應(yīng)用拋物線的什么性質(zhì)？2．如何用點(diǎn)A的坐標(biāo)表示AF的長？1.應(yīng)用三角形相似；2．設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線和拋物線，用拋物線的焦半徑公式表示線段|AB|，|AF|，|BF|轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合求|AF|的長1.當(dāng)直線過拋物線的焦點(diǎn)時，要想到應(yīng)用拋物線的定義，即拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和準(zhǔn)線的距離相等；2．對于焦點(diǎn)在y軸上的拋物線來說，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，y1)，則|AF|＝y(tǒng)1＋eq\f(p,2)|AF|＝y(tǒng)1＋eq\f(p,2)，|BF|＝y(tǒng)2＋eq\f(p,2)，|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p1.把線段的長度問題轉(zhuǎn)化為拋物線的定義問題；2．把線段的長度問題轉(zhuǎn)化為三角形相似問題思路參考：利用拋物線定義及三角形相似關(guān)系求解．eq\f(5,6)解析：如圖，過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線．設(shè)|AF|＝m，|BF|＝n，則m＋n＝eq\f(25,12)(m<n)．由拋物線的定義得|AF|＝|AD|＝m，|BF|＝|BC|＝n，|FH|＝1.在△BEC中，因?yàn)閑q\f(|AD|,|BC|)＝eq\f(|EA|,|EB|)，所以eq\f(m,n)＝eq\f(|EA|,|EA|＋m＋n)，解得|EA|＝eq\f(m2＋mn,n－m)，|EB|＝|EA|＋m＋n＝eq\f(n2＋mn,n－m)，|EF|＝|EA|＋m＝eq\f(2mn,n－m).因?yàn)閑q\f(|EF|,|EB|)＝eq\f(|FH|,|BC|)，所以eq\f(2mn,n2＋mn)＝eq\f(2m,n＋m)＝eq\f(1,n)，解得mn＝