土木工程測(cè)量 課件 第6章 觀測(cè)誤差基礎(chǔ)知識(shí)

授課教師：土木工程測(cè)量第6章觀測(cè)誤差基礎(chǔ)知識(shí)目錄觀測(cè)誤差6.1衡量觀測(cè)值的精度指標(biāo)6.2誤差傳播定律及其作用6.3通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)掌握觀測(cè)誤差的概念、來(lái)源、分類，偶然誤差的規(guī)律性，衡量觀測(cè)值的精度指標(biāo)；了解測(cè)量平差的含義，誤差傳播定律及其應(yīng)用。學(xué)習(xí)目標(biāo)前面已經(jīng)介紹了水準(zhǔn)測(cè)量、角度測(cè)量、距離測(cè)量和坐標(biāo)測(cè)量的相關(guān)理論知識(shí)，也通過(guò)相應(yīng)的測(cè)量?jī)x器的實(shí)踐操作獲取了相應(yīng)的測(cè)量數(shù)據(jù)，對(duì)測(cè)量過(guò)程和測(cè)量結(jié)果含有某些誤差有了一定的感性認(rèn)識(shí)。測(cè)量數(shù)據(jù)或觀測(cè)數(shù)據(jù)是指用一定的儀器、工具或其他手段獲取的反映客觀物體的空間分布有關(guān)信息的數(shù)據(jù)。觀測(cè)數(shù)據(jù)可以通過(guò)測(cè)量直接獲得，也可通過(guò)一些變換間接得到。無(wú)論是直接獲得的觀測(cè)數(shù)據(jù)還是間接獲得的觀測(cè)數(shù)據(jù)，都或多或少帶有誤差。在測(cè)量過(guò)程中，誤差是避免不了的，但我們可以采取一定的措施消除或削弱誤差，從而保證所獲得的測(cè)量結(jié)果在允許誤差范圍內(nèi)。本章將說(shuō)明測(cè)量誤差的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，目的是能夠比較深入地了解測(cè)量誤差及其對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。學(xué)習(xí)目標(biāo)觀測(cè)誤差6.16.1.1觀測(cè)誤差的概念

(6-1)

6.1.1觀測(cè)誤差的概念通過(guò)水準(zhǔn)測(cè)量、角度測(cè)量和距離測(cè)量實(shí)踐實(shí)訓(xùn)學(xué)習(xí)后，我們知道高差、角度和距離等觀測(cè)結(jié)果都是含有觀測(cè)誤差的。例如，在閉合水準(zhǔn)路線中，各測(cè)段的高差之和的理論真值應(yīng)為零，實(shí)際上觀測(cè)高差和與真值不相等，其差值就是高差閉合差，往往不等于零，即說(shuō)明了水準(zhǔn)測(cè)量過(guò)程中產(chǎn)生了誤差；在相同條件下，測(cè)量一個(gè)平面三角形的三個(gè)內(nèi)角，內(nèi)角和理論上等于180°，實(shí)際上往往不等于180°，即說(shuō)明了在測(cè)量過(guò)程中產(chǎn)生了誤差。觀測(cè)誤差在測(cè)量工作中是不可避免的，我們可以采取一定的措施消除或削弱誤差，保證觀測(cè)結(jié)果在允許誤差范圍內(nèi)。1.測(cè)量?jī)x器2.觀測(cè)者3.外界環(huán)境觀測(cè)誤差的來(lái)源有很多，概括起來(lái)主要有測(cè)量?jī)x器、觀測(cè)者和外界環(huán)境三個(gè)方面。6.1.2觀測(cè)誤差的來(lái)源1.測(cè)量?jī)x器測(cè)量?jī)x器是我們獲取測(cè)量數(shù)據(jù)所使用的工具，如水準(zhǔn)儀、經(jīng)緯儀、全站儀等。測(cè)量?jī)x器的構(gòu)造并不是十分完美的，也存在一些缺陷和儀器本身精密度的限制，導(dǎo)致觀測(cè)結(jié)果含有誤差。例如，水準(zhǔn)儀的水準(zhǔn)管軸不平行于視準(zhǔn)軸會(huì)對(duì)高差產(chǎn)生影響，經(jīng)緯儀的視準(zhǔn)軸與橫軸不垂直會(huì)對(duì)角度產(chǎn)生影響等。此外，同一類測(cè)量?jī)x器也有高精度和低精度之分，相對(duì)于低精度儀器而言，在其他條件一樣的情況下，高精度儀器在觀測(cè)過(guò)程中也會(huì)因儀器產(chǎn)生誤差，只不過(guò)其產(chǎn)生的誤差比低精度儀器產(chǎn)生的誤差要小而已。6.1.2觀測(cè)誤差的來(lái)源2.3.6三、四等水準(zhǔn)測(cè)量的實(shí)施2.觀測(cè)者觀測(cè)者的感覺(jué)器官的鑒別能力的局限性，以及觀測(cè)者的技術(shù)水平、操作熟練程度和工作態(tài)度等，都會(huì)對(duì)觀測(cè)結(jié)果產(chǎn)生一定的影響。例如，水準(zhǔn)測(cè)量中水準(zhǔn)儀整平、照準(zhǔn)、讀數(shù)以及立尺等都會(huì)產(chǎn)生誤差。3.外界環(huán)境外界環(huán)境指在測(cè)量觀測(cè)時(shí)所處的外界環(huán)境狀況，如溫度、濕度、風(fēng)速、氣壓、太陽(yáng)光線、大氣折光等，這些因素時(shí)刻在變化，都會(huì)對(duì)觀測(cè)結(jié)果產(chǎn)生影響。例如，太陽(yáng)光線過(guò)強(qiáng)影響水準(zhǔn)尺讀數(shù)，風(fēng)速過(guò)大影響測(cè)量?jī)x器安置，水準(zhǔn)測(cè)量中大氣折光影響照準(zhǔn)和讀數(shù)等。上述測(cè)量?jī)x器、觀測(cè)者和外界環(huán)境是觀測(cè)誤差的主要來(lái)源，我們把這三方面的因素綜合起來(lái)稱為觀測(cè)條件。6.1.2觀測(cè)誤差的來(lái)源3.外界環(huán)境在人們的印象中，總是希望每次測(cè)量所出現(xiàn)的誤差越小越好，甚至趨近于零。要真正做到這一點(diǎn)，就要使用極其精密的儀器，采用十分嚴(yán)格的觀測(cè)方法。這樣一來(lái)，每次的測(cè)量工作都可能變得十分煩瑣復(fù)雜，消耗大量的物力和精力。在實(shí)際測(cè)量工作中，觀測(cè)結(jié)果的誤差并不是由某一種因素引起的，而是由上述三種因素綜合引起的。測(cè)量誤差不是不可避免的，在測(cè)量過(guò)程中，根據(jù)不同的測(cè)量目的和要求，允許在測(cè)量結(jié)果中含有一定程度的測(cè)量誤差。我們的目標(biāo)不是簡(jiǎn)單地使測(cè)量誤差越小越好，而是盡可能地提高觀測(cè)條件來(lái)降低或削弱誤差，使得觀測(cè)結(jié)果的誤差在允許誤差范圍內(nèi)。6.1.2觀測(cè)誤差的來(lái)源根據(jù)觀測(cè)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響性質(zhì)的不同，觀測(cè)誤差可以分為粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差三大類。每次觀測(cè)的誤差可以認(rèn)為是這三類誤差的總和，即6.1.3觀測(cè)誤差的分類觀測(cè)誤差=粗差+系統(tǒng)誤差+偶然誤差當(dāng)然，由于測(cè)量?jī)x器、觀測(cè)者和外界環(huán)境的不同，這三類誤差在每個(gè)測(cè)量誤差中占的比重也不盡相同。粗差1.2.3.系統(tǒng)誤差偶然誤差1.粗差粗差是指在測(cè)量工作過(guò)程中因各種失誤、疏忽而產(chǎn)生的大量級(jí)的觀測(cè)誤差。從某種角度而言，粗差就是錯(cuò)誤。粗差產(chǎn)生的原因較多，主要由作業(yè)人員失誤或疏忽大意而引起，例如水準(zhǔn)尺讀數(shù)讀錯(cuò)，角度測(cè)量照錯(cuò)目標(biāo)，讀數(shù)被記錄員記錯(cuò)等。粗差是可以避免的，可以通過(guò)重復(fù)觀測(cè)和對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行檢核而消除。如果發(fā)現(xiàn)含有粗差的數(shù)據(jù)，必須將其剔除，并重新進(jìn)行觀測(cè)。6.1.3觀測(cè)誤差的分類2.系統(tǒng)誤差在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果誤差在大小和符號(hào)上均相同或按一定的規(guī)律變化，則稱這種誤差為系統(tǒng)誤差。例如，水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸與水準(zhǔn)管軸不平行對(duì)讀數(shù)的影響，測(cè)角儀器的豎盤指標(biāo)差對(duì)豎直角的影響，鋼尺的尺長(zhǎng)誤差對(duì)量距的影響等都屬于系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差對(duì)于觀測(cè)結(jié)果的影響具有累積的作用，在實(shí)際測(cè)量工作中，應(yīng)該采取必要的措施消除或削弱系統(tǒng)誤差的影響，使其達(dá)到可以忽略不計(jì)的程度。一種方法是在觀測(cè)程序或觀測(cè)方法上采取必要的措施。例如，進(jìn)行水準(zhǔn)測(cè)量時(shí)，使前后視距相等就可以消除由視準(zhǔn)軸不平行水準(zhǔn)管軸所引起的系統(tǒng)誤差。另一種方法是對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行公式改正，例如，使用鋼尺精確量距時(shí)，需要加上尺長(zhǎng)改正、溫度改正和傾斜改正等。也就是說(shuō)，通過(guò)采取適當(dāng)?shù)拇胧┗蚍椒ㄊ强梢韵蛳魅跸到y(tǒng)誤差的。6.1.3觀測(cè)誤差的分類3.偶然誤差在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果誤差在大小和符號(hào)上表現(xiàn)出偶然性，即從單個(gè)誤差看，這一系列誤差的大小和符號(hào)沒(méi)有規(guī)律性，但就大量誤差而言，具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，則稱這種誤差為偶然誤差。偶然誤差的產(chǎn)生原因往往是人力所不能控制的。例如，水準(zhǔn)尺讀數(shù)的估讀誤差，角度測(cè)量時(shí)的照準(zhǔn)誤差，經(jīng)緯儀或全站儀操作過(guò)程中的對(duì)中和整平誤差，溫度、風(fēng)速等外界環(huán)境不斷變化引起的誤差等都屬于偶然誤差。6.1.3觀測(cè)誤差的分類在實(shí)際測(cè)量工作中，粗差是可以發(fā)現(xiàn)并剔除的，系統(tǒng)誤差也可以采取一定措施消除或削弱，而偶然誤差是不可避免且消除不了的。平時(shí)所說(shuō)的觀測(cè)誤差，主要指的是偶然誤差。為了得到質(zhì)量更高的觀測(cè)結(jié)果，下面主要研究偶然誤差的相關(guān)特性。根據(jù)偶然誤差的定義可知，就單個(gè)偶然誤差而言，其符號(hào)和大小沒(méi)有一定的規(guī)律性，但對(duì)大量的偶然誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律性，并且誤差的個(gè)數(shù)越多，統(tǒng)計(jì)規(guī)律性越明顯。研究偶然誤差的規(guī)律性為誤差研究奠定了基礎(chǔ)，也為實(shí)際工作帶來(lái)了很多便利。下面通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)明這種規(guī)律性。6.1.4偶然誤差的規(guī)律性在某一測(cè)區(qū)，相同的觀測(cè)條件下，獨(dú)立地觀測(cè)了421個(gè)平面三角形的全部?jī)?nèi)角。我們知道，每個(gè)三角形的內(nèi)角和為180°,但由于觀測(cè)值帶有誤差，所以三角形三個(gè)內(nèi)角的觀測(cè)值之和不等于180°。根據(jù)下式可以求出各個(gè)三角形的觀測(cè)誤差：6.1.4偶然誤差的規(guī)律性

(6-1)

從表6-1中可以看出,偶然誤差分布的規(guī)律如下：偶然誤差的絕對(duì)值有一定的限值，絕對(duì)值較小的偶然誤差比絕對(duì)值較大的偶然誤差多，絕對(duì)值相等的正、負(fù)偶然誤差的個(gè)數(shù)相近。由表6-1中的數(shù)據(jù)和大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)可以總結(jié)出偶然誤差的四個(gè)特性如下：（1）有界性：在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值有一定的限值，即超過(guò)一定限值的偶然誤差出現(xiàn)的概率為零。（2）聚中性：絕對(duì)值較小的偶然誤差比絕對(duì)值較大的偶然誤差出現(xiàn)的概率大。（3）對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正、負(fù)偶然誤差出現(xiàn)的概率大致相同。（4）抵償性：當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，偶然誤差的理論平均值的極限為零，即6.1.4偶然誤差的規(guī)律性

(6-2)根據(jù)表6-1中的數(shù)據(jù)繪制出偶然誤差頻率直方圖，如圖6-1所示，利用該圖可以更加直觀地看出偶然誤差分布的情況。圖中橫坐標(biāo)代表偶然誤差大小，縱坐標(biāo)代表誤差出現(xiàn)在各區(qū)間的頻率。6.1.4偶然誤差的規(guī)律性圖6-1偶然誤差頻率直方圖

6.1.4偶然誤差的規(guī)律性

(6-3)

6.1.4偶然誤差的規(guī)律性

(6-4)于是中誤差公式為

(6-5)

6.1.5正態(tài)分布在誤差分析中的意義圖6-2正態(tài)分布曲線

6.1.5正態(tài)分布在誤差分析中的意義為了防止錯(cuò)誤的發(fā)生和提高觀測(cè)成果的質(zhì)量，在測(cè)量工作中一般要進(jìn)行多于必要觀測(cè)的觀測(cè)，稱為多余觀測(cè)。例如，四等水準(zhǔn)測(cè)量中測(cè)站高差需要觀測(cè)黑面高差和紅面高差，如果黑面高差是必要觀測(cè)，則紅面高差就是多余觀測(cè)；對(duì)某個(gè)水平角度進(jìn)行兩個(gè)測(cè)回的觀測(cè)，如果第一個(gè)測(cè)回的角值是必要觀測(cè)，則第二個(gè)測(cè)回的角值就是多余觀測(cè)；對(duì)某段距離進(jìn)行往、返測(cè)量，如果往測(cè)是必要觀測(cè)，則返測(cè)就是多余觀測(cè)。所有的觀測(cè)數(shù)據(jù)都或多或少含有觀測(cè)誤差。在實(shí)際測(cè)量工作中，通過(guò)對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行重復(fù)觀測(cè)，得到多余觀測(cè)值。重復(fù)觀測(cè)的目的在于檢核觀測(cè)數(shù)據(jù)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)粗差并剔除或重測(cè)。6.1.6測(cè)量平差重復(fù)觀測(cè)可以得到多余觀測(cè)值，而對(duì)于某個(gè)量，我們只需要一個(gè)觀測(cè)結(jié)果，這時(shí)候就需要采用一定的數(shù)學(xué)法則或原則來(lái)處理這些觀測(cè)值。觀測(cè)結(jié)果不可避免地存在誤差，處理帶有誤差的觀測(cè)值，找出未知量的最佳估值，這個(gè)過(guò)程就是測(cè)量平差。由以上內(nèi)容可知，我們獲得的觀測(cè)數(shù)據(jù)是主要包含偶然誤差的多個(gè)觀測(cè)值，如何處理由多余觀測(cè)引起的觀測(cè)值之間的不符值或閉合差，求出未知量的最佳估值并評(píng)定結(jié)果的精度是測(cè)量平差的基本任務(wù)。測(cè)量平差即測(cè)量數(shù)據(jù)調(diào)整的意思，其基本的定義是：依據(jù)某種最優(yōu)化準(zhǔn)則，由一系列帶有觀測(cè)誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)求定未知量的最佳估值及精度的理論和方法。在實(shí)際測(cè)量工作中，一般使用測(cè)量平差軟件對(duì)獲取的數(shù)據(jù)進(jìn)行嚴(yán)密平差。6.1.6測(cè)量平差衡量觀測(cè)值的精度指標(biāo)6.26.2衡量觀測(cè)值的精度指標(biāo)精度表征誤差的特征，而觀測(cè)條件是造成誤差的主要來(lái)源。因此，在相同的觀測(cè)條件下進(jìn)行的一組觀測(cè)，盡管每一個(gè)觀測(cè)值的真誤差不一定相等，但它們都對(duì)應(yīng)著同一個(gè)誤差分布，即對(duì)應(yīng)著同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。這組觀測(cè)稱為等精度觀測(cè)，所得到的觀測(cè)值為等精度觀測(cè)值。如果儀器的精度不同，或觀測(cè)方法不同，或外界條件的變化較大，則這組觀測(cè)就屬于不等精度觀測(cè)，所得到的觀測(cè)值就是不等精度觀測(cè)值。6.2衡量觀測(cè)值的精度指標(biāo)精度是指誤差分布的密集或離散的程度，也就是指離散度的大小。衡量觀測(cè)值精度的高低可以通過(guò)判定各組觀測(cè)值的離散度來(lái)實(shí)現(xiàn)，觀測(cè)值的離散度越大，其標(biāo)準(zhǔn)差或中誤差越大，精度越低，說(shuō)明觀測(cè)結(jié)果的質(zhì)量不好；反之，觀測(cè)值的離散度越小，其標(biāo)準(zhǔn)差或中誤差越小，精度越高，說(shuō)明觀測(cè)結(jié)果的質(zhì)量好。為了衡量觀測(cè)結(jié)果精度的優(yōu)劣，必須有一個(gè)評(píng)定精度的統(tǒng)一指標(biāo)，而中誤差、平均誤差、相對(duì)誤差和極限誤差（容許誤差）是測(cè)量工作中最常用的衡量指標(biāo)。6.2.1中誤差

(6-6)6.2.1中誤差

【例6.1】對(duì)某個(gè)量進(jìn)行兩組觀測(cè)，各組均為等精度觀測(cè)，各組的真誤差分別如下所示，請(qǐng)?jiān)u定哪組的精度高。第一組：-3′′、+2′′、-1′′、0′′、+4′′;第二組：+5′′、-1′′、0′′、+1′′、+2′′。6.2.1中誤差【解】根據(jù)公式（6-6）分別計(jì)算兩組的中誤差：6.2.1中誤差

可見第一組具有較小的中誤差，即第一組的精度較高。

6.2.2平均誤差

(6-7)

(6-8)【例6.2】請(qǐng)計(jì)算例6.1中兩組觀測(cè)的平均誤差?！窘狻扛鶕?jù)公式（6-8）分別計(jì)算兩組的平均誤差：6.2.2平均誤差從計(jì)算結(jié)果分析，第二組有比較小的平均誤差，精度比較高，這顯然與由中誤差指標(biāo)得到的結(jié)論相反。從前面敘述的統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)果分析，中誤差所反映的誤差特征比平均誤差所反映的誤差特征更為科學(xué)、準(zhǔn)確和可靠。從上述例子可以看到，平均誤差雖然計(jì)算簡(jiǎn)便，但在評(píng)定誤差分布上，其可靠性不如中誤差。所以，我國(guó)的有關(guān)規(guī)范均統(tǒng)一采用中誤差作為衡量精度的指標(biāo)。

中誤差和真誤差都屬于絕對(duì)誤差。在實(shí)際測(cè)量中，有時(shí)依據(jù)絕對(duì)誤差還不能完全反映出誤差分布的全部特征，這在量距工作中特別明顯。例如，分別丈量500m和100m的兩段距離，中誤差均為±5.0mm，是否就能說(shuō)明這兩段距離的測(cè)量精度相等呢？顯然，答案是否定的。因?yàn)樵诹烤喙ぷ髦?，誤差的分布特征除了與中誤差有關(guān)系，還與距離的長(zhǎng)短有關(guān)系。因此，在計(jì)算精度指標(biāo)時(shí)，還應(yīng)該考慮距離長(zhǎng)短的影響，這就引出相對(duì)誤差的概念。相對(duì)誤差常由中誤差求得，也稱為相對(duì)中誤差。6.2.3相對(duì)誤差

6.2.3相對(duì)誤差

(6-9)

在距離測(cè)量中，并不知道待測(cè)距離的真值，不能直接運(yùn)用式（6-9），而常采用往、返觀測(cè)值的相對(duì)誤差來(lái)進(jìn)行校核，相對(duì)誤差的表達(dá)式為6.2.3相對(duì)誤差

(6-10)從式（6-10）可以看出，相對(duì)誤差實(shí)質(zhì)上是相對(duì)真誤差。它反映了該次往、返觀測(cè)值的誤差情況。顯然，相對(duì)誤差越小，觀測(cè)結(jié)果越可靠。值得注意的是，用經(jīng)緯儀觀測(cè)角度時(shí)，只能用中誤差而不能用相對(duì)誤差作為精度的衡量指標(biāo)，因?yàn)闇y(cè)角誤差與角度的大小是沒(méi)有關(guān)系的。根據(jù)偶然誤差的特性，在一定的觀測(cè)條件下，誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)某一限值，這個(gè)限值就稱為極限誤差。中誤差不代表個(gè)別誤差的大小，而代表誤差分布的離散度的大小。由中誤差的定義式（6-6）可知，它代表一組相同精度觀測(cè)誤差平方的平均值的平方根極限值的估值，中誤差越小，則表示在該組觀測(cè)中絕對(duì)值較小的誤差越多。按照正態(tài)分布曲線可以求得偶然誤差出現(xiàn)在小區(qū)間的概率為6.2.4極限誤差

(6-11)

6.2.4極限誤差

(6-12)

(6-1