1.3 空間向量及其坐標(biāo)的運(yùn)算（精講）-2022版高中數(shù)學(xué)新同步精講講練（選擇性必修第一冊）（教師版含解析）

1.3空間向量及其坐標(biāo)的運(yùn)算思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考點(diǎn)一坐標(biāo)的運(yùn)算【例1】(1)(2020·宜昌天問教育集團(tuán)高二期末)設(shè)，向量，，則()A． B． C．3 D．4(2)(2020·宜昌天問教育集團(tuán)高二期末)已知空間向量，，則向量與()的夾角為()A． B．或 C． D．或【答案】(1)C(2)B【解析】，，，故選：C.(2)解得，代入得，又向量夾角范圍：故的夾角為，則與的夾角，當(dāng)時為；時為.故選：B.【舉一反三】1．(2020·全國高二課時練習(xí))下列向量中與向量平行的向量是()A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，又，所以A、C、D選項均不符合的形式，只有滿足.故選：B.2．(2020·全國高二課時練習(xí))已知向量，，若，則k的值等于()A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由已知得=，2，且，所以得，即2k+8k=2，解得k=.故選：D3．(2020·廣西北流市實(shí)驗中學(xué)高一期中)在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中,點(diǎn)A(2,﹣1,3)關(guān)于yOz平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．(2,1,3) B．(﹣2,﹣1,3)C．(2,1,﹣3) D．(2,﹣1,﹣3)【答案】B【解析】在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中,點(diǎn)A(2,﹣1,3)關(guān)于yOz平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(﹣2,﹣1,3).故選：B.4．(2020·全國高二課時練習(xí))已知.(1)若，分別求λ與m的值；(2)若，且與垂直，求.【答案】(1)λ=，m=3；(2).【解析】(1)由，得，解得(2)，且化簡得，解得.因此考點(diǎn)二坐標(biāo)運(yùn)算在幾何中的運(yùn)用【例2】(2020·全國高二課時練習(xí))如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分別是AA1，CB1的中點(diǎn).(1)求BM，BN的長.(2)求△BMN的面積.【答案】(1)BM的長為，BN的長為；(2).【解析】以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).則B(0，1，0)，M(1，0，1)，N.(1)，.故BM的長為，BN的長為.(2)故.即△BMN的面積為.【舉一反三】1．(2019·天水市第一中學(xué)高二月考(理))如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱，，，則直線與直線夾角的余弦值為().A． B． C． D．【答案】A【解析】，，設(shè)，根據(jù)題意得，,,,.,,.故選：A.2．(2020·全國高二課時練習(xí))在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D為A1B1的中點(diǎn)，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求的坐標(biāo)．【答案】【解析】∵＝－(＋)＝＝－－－又||＝||＝4，||＝4，||＝2，∴＝－－－∵＝－＝－(＋)＝－－.又||＝2，||＝4，||＝4，∴＝－－(－4,2，－4)．考點(diǎn)三最值問題【例3】(2020·全國高二課時練習(xí))已知點(diǎn)，，則，兩點(diǎn)的距離的最小值為()A． B． C． D．【答案】C【解析】因為點(diǎn)，所以有二次函數(shù)易知，當(dāng)時，取得最小值為的最小值為故選：C.由兩點(diǎn)之間的距離公式求得AB之間的距離用t表示出來，建立關(guān)于t的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值由兩點(diǎn)之間的距離公式求得AB之間的距離用t表示出來，建立關(guān)于t的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值【舉一反三】1．(2020·江西高安中學(xué)高一期中(理))已知，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，則當(dāng)取得最小值時，點(diǎn)的坐標(biāo)為()A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，因為點(diǎn)在直線上運(yùn)動，所以，所以，即，，