2015年專升本高數(shù)內(nèi)部考試資料

TOC\o"1-3"\h\u2015年專升本高數(shù)內(nèi)部考試資料第一章函數(shù)、極限與連續(xù) 4一、函數(shù)定義域的求法 4二、函數(shù)相等的判定 5三、函數(shù)表達式的求法 5四、函數(shù)的基本性質(zhì) 6五、反函數(shù)的求法 7六、數(shù)列極限的求法 7七、函數(shù)存在極限的充要條件 7八、函數(shù)極限的求法 8九、無窮小量階的比較 10十、關(guān)于函數(shù)極限的反問題 11十一、函數(shù)在一點處的連續(xù)性 11十二、求函數(shù)的間斷點及其類型 12十三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 14第二章一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用 15一、根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求極限或函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù) 15二、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線或法線方程 15三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系以及函數(shù)在一點可導(dǎo)性的判定 16四、求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 17五、函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 18六、參數(shù)方程或隱函數(shù)方程的導(dǎo)數(shù) 18七、冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法 19八、關(guān)于中值定理條件的驗證 19九、利用拉格朗日中值定理證明不等式 20十、利用拉格朗日中值定理證明恒等式 20十一、關(guān)于中值命題的證明 21十二、利用洛必達法則求極限 21十三、單調(diào)性的判定與單調(diào)區(qū)間的求法 22十四、利用單調(diào)性證明不等式，以及數(shù)值不等式的證法 22十五、利用單調(diào)性判定根的存在性或唯一性 22十六、關(guān)于函數(shù)的極值問題 23十七、函數(shù)的最值問題 24十八、曲線凹凸性的判定 25十九、曲線的拐點求法 25二十、曲線的漸近線求法 26第三章一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用 27一、原函數(shù)與不定積分的概念及性質(zhì) 27二、不定積分的直接積分法 29三、不定積分的第一類換元積分法（湊微分法） 29四、不定積分的第二類換元積分法 31五、不定積分的分部積分法 31六、有理分式的不定積分 31七、定積分的概念與性質(zhì) 32八、積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 33九、定積分的常規(guī)計算 34十、使用定積分的性質(zhì)和一些重要結(jié)果計算定積分 35十一、廣義積分的計算與斂散性的判定 36十二、含定積分的函數(shù)表達式求法 37十三、利用定積分的幾何意義求平面圖形的面積 38十四、利用定積分求特殊的空間立體的體積 39第四章向量代數(shù)與空間解析幾何 40一、向量代數(shù) 40二、空間直線與平面的方程求法 41三、兩點間的距離、點到平面的距離以及空間中對稱點的求法 43四、位置關(guān)系的判定及其夾角計算 43五、二次曲面與旋轉(zhuǎn)曲面的特征 44六、旋轉(zhuǎn)曲面與投影曲線的求法 45第五章多元函數(shù)微分學(xué) 46一、二元函數(shù)的表達式與定義域的求法 46二、二元函數(shù)的極限與函數(shù)的連續(xù)性 46三、二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分 47四、二元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分 48五、可微、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系 48六、高階偏導(dǎo)數(shù) 49七、多元抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分 49八、多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分 49九、方向?qū)?shù)與梯度 50十、空間曲線的切線與曲面的切平面求法 50十一、二元函數(shù)的極值 51十二、多元函數(shù)的最值問題 52第六章多元函數(shù)積分學(xué) 52一、二重積分的概念與性質(zhì) 52二、直角坐標(biāo)系下二重積分的計算 53三、特殊被積函數(shù)的二重積分計算 54四、極坐標(biāo)系下的二重積分計算 54五、含二重積分的函數(shù)表達式求法 55六、兩坐標(biāo)系下二重積分的相互轉(zhuǎn)化與交換二重積分的積分次序 55七、利用二重積分計算空間立體的體積 56八、第一類曲線積分的計算 57九、利用定積分計算第二類曲線積分 57十、格林公式與曲線積分與路徑無關(guān) 57第七章無窮級數(shù) 58一、利用定義判定級數(shù)的斂散性 58二、利用級數(shù)的一般性質(zhì)判定級數(shù)的斂散性 59三、利用級數(shù)收斂的必要條件判定級數(shù)斂散性 60四、正項級數(shù)的斂散性判別法 61五、交錯級數(shù)與一般項級數(shù)的斂散性判定 62六、阿貝爾第一定理及其應(yīng)用 63七、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間以及收斂域的求法 64八、冪級數(shù)的和函數(shù)與數(shù)項級數(shù)和的求法 65九、函數(shù)f(x)展開成冪級數(shù)的方法 65十、由函數(shù)的冪級數(shù)展開式，求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 65第八章常微分方程 66一、微分方程的基本概念 66二、可分離變量的微分方程與一階線性齊次微分方程的解法 67三、齊次方程的解法 68四、一階線性非齊次微分方程的解法 68五、可降階的高階微分方程的解法 69六、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理應(yīng)用 70七、二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法 71八、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法 71九、常系數(shù)線性微分方程的反問題 73十、已知一個變限積分方程，求函數(shù)表達式 73參考答案 74第一章函數(shù)、極限與連續(xù) 74第二章函數(shù)、極限與連續(xù) 76第三章一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用 81第四章向量代數(shù)與空間解析幾何 85第五章多元函數(shù)微分學(xué) 86第八章常微分方程 92第一章函數(shù)、極限與連續(xù)一、函數(shù)定義域的求法1.已知函數(shù)的表達式，求函數(shù)的定義域例1函數(shù)y=ln(x-1)+arcsin(x-3)的定義域是（）A.［2，+∞)B.(2,4)C.［2,4)D.［2,4］例2函數(shù)f(x)=ln(x-1)x+1的定義域是（）A.(-1,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1，+∞)例3函數(shù)f(x)=16-x2ln(x+2)的定義域是.例4函數(shù)f(x)=2+x2-x的定義域是.例5函數(shù)y=x2-9x-3的定義域是.2.分段函數(shù)的定義域是各分段區(qū)間的并集.3.抽象函數(shù)定義域的求法例6設(shè)f(x)的定義域為（0，1），則函數(shù)f(lnx)的定義域為.例7設(shè)f(x)的定義域為［0,4］，則函數(shù)f(x+1)+f(x-1)的定義域為.例8設(shè)f(x+1)的定義域為［0，1］，則函數(shù)f(2x+3)的定義域為.例9設(shè)f(x)的定義域為（0，1），則f(ex)的定義域為（）A.（-∞,0)B.(1,e)C.(-∞,1)D.(-∞,e)二、函數(shù)相等的判定例1下列函數(shù)相同的是()A.f(x)=x2，g(x)=xB.f(x)=ddx∫x0sintdt,g(x)=sinxC.f(x)=lnx2,g(x)=2lnxD.y=x,y=sin(arcsinx)例2下列函數(shù)相同的是()A.y=1,y=xxB.y=x2-4,y=x-2·x+2C.y=x,y=cos(arccosx)D.y=x2,y=|x|例3下列函數(shù)相等的是()A.y=x2-x-2x-2與y=x+1B.y=sin2x與y=sinxC.f(x)=x2+sin2x+cos2x與g(t)=t2+1D.f(x)=sec2x-tan2x與f(x)=1三、函數(shù)表達式的求法1.已知f(x)和g(x)的表達式，求f［g(x)］或g［f(x)］的表達式例1f(x)=xx-1，則f1f(x)-1=.例2設(shè)f(x)=x，x≤0，x+x2,x>0，則f［f(x)］=.例3設(shè)g(x）=2-x,x≤0，x+2,x>0，f(x)=x2,x<0，-x,x≥0，則g［f(x)］=.例4設(shè)f(x)=x1+x2，求f［f……f(x)］n個f的表達式.2.已知f［g(x)］和g(x)，求f(x)的表達式例5設(shè)fx-2x=1+x，則f(x)=.例6設(shè)f(ex+1)=e2x+ex+x，則f(x)=.例7設(shè)fx-1x=x3-xx4+1（x≠0），求f(x).例8設(shè)f(lnx)=x3+1,則f(x)=.例9若函數(shù)fsinx2=1+cosx,則fcosx2=.3.已知f(x)和f［g(x)］的表達式，求g(x)的表達式例10已知f(x)=ln(1+x),f［g(x)］=x，求g(x).例11已知f(x)=3lnx,f［g(x)］=ln（1-2lnx），求g(x).四、函數(shù)的基本性質(zhì)掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性、周期性的概念及其性質(zhì).例1設(shè)f(x)為增函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，則下列函數(shù)中為減函數(shù)的是()A.f［-g(x)］B.f［g(x)］C.f［f(x)］D.g［g(x)］例2函數(shù)f(x)=11+2x-12在其定義域內(nèi)()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.無法判定例3函數(shù)f（x）=x7arcsin（tanx）在其定義域內(nèi)()A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.無法判定例4函數(shù)f(x)=cotx·3x-13x+1是()A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.無法判定例5若f(x)在（-∞,+∞）內(nèi)為奇函數(shù),則F(x)=f(x)ln(x+x2+1)在(-∞,+∞)內(nèi)為()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既奇又偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)例6設(shè)f(x)是奇函數(shù),且處處可導(dǎo)，則f′(x)是()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既奇又偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)例7函數(shù)y=1-arctanx是()A.單調(diào)增加且有界函數(shù)B.單調(diào)減少且有界函數(shù)C.奇函數(shù)D.偶函數(shù)例8函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上是奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f(x)=x2-x，則當(dāng)x>0時，f(x)的表達式是()A.x2-xB.-x2+xC.x2+xD.-x2-x例9函數(shù)y=1x在定義域內(nèi)是()A.周期函數(shù)B.單調(diào)函數(shù)C.有界函數(shù)D.無界函數(shù)例10下列函數(shù)不是周期函數(shù)的是()A.y=3sin(x+π)B.y=sin2xC.y=1+sin5xD.y=xsinx例11設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,+∞)，若對x∈（-∞,+∞），有f(x+k)=1f(x)（k為常數(shù)）則函數(shù)f(x)具有()A.單調(diào)性B.奇偶性C.周期性D.有界性五、反函數(shù)的求法例1設(shè)函數(shù)f(x)=log2x+8(x≥2)，則其反函數(shù)的定義域為()A.(-∞,+∞)B.［2,+∞)C.（0，2］D.［9，+∞)例2y=ax-bcx-d的反函數(shù)是()A.y=ax-bcx-dB.y=ax-dcx-bC.y=cx-dax-bD.y=dx-bcx-a六、數(shù)列極限的求法例1求下列極限:（1）limn→∞1n2+2n2+…+nn2;(2)limn→∞12n3+22n3+…+n2n3；(3)limn→∞11·2+12·3+…+1n（n+1）；(4)limn→∞1n2+1+1n2+2+…+1n2+n;（5）limn→∞1n2+n+1+2n2+n+2+…+nn2+n+n.例2極限limn→∞1+2+…+n2+n-n2的值為()A.14B.12C.-12D.-∞七、函數(shù)存在極限的充要條件1.函數(shù)f(x)在x→∞時極限存在的充要條件常見的幾個極限式：limx→-∞arctanx=-π2，limx→+∞arctanx=π2,limx→+∞arccotx=0，limx→-∞arccotx=π,limx→-∞ex=0，limx→+∞ex=+∞(及其二者的推廣)例1下列極限不存在的是：()A.limx→∞（2x-1）20(3x+2)30(5x+3)50B.limx→∞sinxnxnC.limx→∞xsin1xD.limx→∞ex2.函數(shù)f(x)且x→x0時極限存在的充要條件例2下列函數(shù)中，limx→0f(x)存在的是()A.f(x)=12-x,x<00,x=0x+12,x>0B.f(x)=|x|x,x≠0x,x=0C.f(x)=x2+2,x<03,x=0sinx2x,x>0D.f(x)=e1x,x≠00,x=0例3函數(shù)f(x)=21x在x=0處()A.有定義B.極限存在C.左極限存在D.右極限存在例4下列極限存在的是()A.limx→∞4xB.limx→∞x3+13x3-1C.limx→0+lnxD.limx→1sin1x-1八、函數(shù)極限的求法1.利用極限的運算法則求極限例1求下列極限：（1）limx→-∞2x-3x2x+3x;（2）limx→+∞2x-3x2x+3x;（3）limx→∞（x+1）10（2x-1）20(3x+2)30；(4)limx→0x-sinxx+sinx.例2對任意x總有φ(x)≤f(x)≤g(x),且limx→∞［g(x)-φ(x)］=0,則limx→∞f(x)()A.存在且一定為0B.存在且一定不為0C.一定不存在D.不一定存在例3已知limx→0xf(4x)=1,求limx→0f(2x)x.2.無理分式極限的求法例4求極限：limx→02x+1-3x+2-2;(2)limx→0x+1-1x;（3）limx→∞nn2+1+n2-1;（4）limx→∞x4-3x2+1-12x2-3x.3.“∞-∞”型分式極限的求法例5求極限：(1)limx→01x-1ex-1;（2）limx→21x-2-1x2-4;(3)limx→01sin2x-cos2xx2;(4)limx→01+x1-e-x-1x.4.x→x0與x→∞時，有理分式極限的求法例6求極限：(1)limx→0ex2cosxarcsin(1+x);(2)limx→0x2+2x2+x;（3）limx→1x2-3x+21-x2.例7求極限：（1）limx→∞3x2+x-82x2+5x+1;（2）limx→∞3x2+x-82x3+5x+1;（3）limx→∞3x3+x-82x2+5x+1.5.利用重要極限求極限例8求極限:（1）limx→01-cosxxsinx;(2)limx→πsinxπ-x；(3)limn→∞nsinπn；(4)limx→1sin(x2-1)x-1.例9求極限：（1）limx→∞1-1x4x+3;(2)limx→03x1+2x;(3)limx→π2（1+cosx）3secx;(4)limn→∞1+1n+1n2n;（5）limx→∞x2-1x2+1x2;(6)limx→∞1+sin2x2x;（7）limx→0(1+x2)11-cosx;(8)limn→∞（1+2n+3n）1n(洛必達).例10設(shè)f(x)=limt→0x(1+3t)xt,則f′(x)=.6.利用無窮小量的性質(zhì)求極限例11求下列極限:（1）limn→∞x2+x-sinxx3-4x+5（sinx+cosx）;（2）limx→+∞x3+x2+12x+x3(sinx+cosx).(3)limx→∞(sinn2+1π);（4）limx→+∞(sinx2+1-sinx).例12當(dāng)x→∞時，下列變量不是無窮小量的是()A.x2sinx2x3-1B.(x2+1)sinxx2+1C.(x3+2x)sin1x3-2xD.11-x3sin1+x32x7.利用無窮小替換求極限例13求下列極限:（1）limx→01-e3xtan2x;（2）limx→0ln（1+4x2）sinx2;（3）limx→∞x(e2x-1);(4)limx→∞x(e2sin1x-1);(5)limx→01+xsinx-1arctanx;(6)limx→0+1-cosxx(1-cosx)；（7）limx→1x2-1lnx;(8)limx→01+tanx-1+xarcsinxarctanx2.九、無窮小量階的比較例1當(dāng)x→0+時，與x等價的無窮小量是()A.1-exB.ln（1+x）C.1+x-1D.1-cosx例2當(dāng)x→0時，下列無窮小量中是其他三個高階無窮小的是()A.x2B.1-cosxC.1-x2-1D.x-tanx例3當(dāng)x→0時，函數(shù)eax-1與1+x-1是等價無窮小量，則常數(shù)a的值為()A.2B.12C.-2D.-12例4設(shè)f(x)=∫1-cosx0sint2dt，g(x)=x55+x66，則當(dāng)x→0時，f(x)是g(x)的()A.低階無窮小量B.高階無窮小量C.等價無窮小量D.同階但不等價無窮小量例5當(dāng)x→0時，函數(shù)f(x)=sinax與g(x)=ln（1-2x）為等價無窮小，則常數(shù)a的值為()A.-1B.1C.-2D.2例6設(shè)f(x)=e-x2-1,g(x)=xtanx,當(dāng)x→0時()A.f(x)是g(x)的高階無窮小B.f(x)是g(x)的低階無窮小C.f(x)與g(x)為同階無窮小,但非等價無窮小D.f(x)與g(x)為等價無窮小例7當(dāng)x→0時，無窮小量1-cosx2是x4()A.等價無窮小B.同階無窮小C.較高階無窮小D.較低階無窮小例8下列陳述中正確的是()A.sinx22與x22是等價無窮小量（x→0）B.sinx22與x2sinx2是等價無窮小量（x→∞)C.sin2x2與1x2是等價無窮小量（x→∞）D.sin2x2與2xsin2x是等價無窮小量（x→∞）例9當(dāng)x→0時,4x+5x-2是x的()A.等價無窮小B.同階非等價無窮小C.高階無窮小D.低階無窮小例10當(dāng)x→0時，與e-sinx-1比較是同階非等價無窮小的是()A.-xB.x2C.x2D.-sinx例11當(dāng)x→0時，ex-ax2-x-1是x2的高階無窮小量，則a=.例12當(dāng)x→0時，(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高階的無窮小，而xsinxn是比ex2-1高階的無窮小，則正整數(shù)n=()A.1B.2C.3D.4例13當(dāng)x→0時，1+x2-ex2是x的階無窮小量.例14當(dāng)x→0+時，下列函數(shù)為無窮大量的是()A.2-x-1B.sinx1+secxC.e-xD.e1x十、關(guān)于函數(shù)極限的反問題例1若limx→01bx-sinx∫x0t2a+t2dt=1，則()A.a=4,b=1B.a=2,b=1C.a=4,b=0D.a=2,b=1例2已知limx→∞x2x+1-ax-b=0,求常數(shù)a,b.例3設(shè)limx→0ln(1+x)-(ax+bx2)x2=2,求常數(shù)a,b.十一、函數(shù)在一點處的連續(xù)性例1極限limx→x0f(x)存在是函數(shù)f(x)在x=x0處連續(xù)的()A.必要而非充分條件B.充分而非必要條件C.充要條件D.無關(guān)條件例2極限limx→x0f(x)存在是函數(shù)f(x)在x=x0處可導(dǎo)的()A.必要而非充分條件B.充分而非必要條件C.充要條件D.無關(guān)條件例3設(shè)f(x)=1+xsinx-cosxx2，當(dāng)x≠0時，F(xiàn)(x)=f(x),且F(x)在x=0處連續(xù)，則F(0)=()A.-1B.0C.1D.2例4函數(shù)f(x)=2x,x≥1,x2,x<1在點x=1處()A.不可導(dǎo)B.連續(xù)C.可導(dǎo)且f′(1)=2D.無法判斷是否可導(dǎo)例5設(shè)f(x)=|x2-1|x-1,x≠1，2，x=1則f(x)在點x=1處()A.不連續(xù)B.連續(xù)但不可導(dǎo)C.可導(dǎo)但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)D.可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)連續(xù)例6設(shè)函數(shù)f(x)=ex,x<0,x2+2a,x≥0在點x=0處連續(xù)，則a=()A.0B.1C.-1D.12例7設(shè)f(x)=sin3xx+b,x<0，a,x=0，2x，x>0在x=0處連續(xù)，則常數(shù)a與b的值為()A.a=0,b=-3B.a=-3,b=0C.a=0,b=3D.a=0,b=-13例8已知函數(shù)f(x)=a+bx2,x≤0，sinbxx,x>0在x=0處連續(xù)，則常數(shù)a和b滿足()A.a>bB.a<bC.a=bD.a與b為任意實數(shù)十二、求函數(shù)的間斷點及其類型例1x=0是函數(shù)f(x)=xsin1x的()A.可去間斷點B.跳躍間斷點C.振蕩間斷點D.無窮間斷點例2x=0是函數(shù)f(x)=21x-1的()A.連續(xù)點B.可去間斷點C.跳躍間斷點D.第二類間斷點例3設(shè)f(x)=1x-1x+11x-1-1x，則f(x)的可去間斷點的個數(shù)為()A.3B.2C.1D.0例4設(shè)f(x)=xsin1x,x≠0,0,x=0,則x=0是()A.可去間斷點B.跳躍間斷點C.第二類間斷點D.連續(xù)點例5設(shè)函數(shù)f(x)=sinxx-x2，x≠0,0,x=0,則f(x)的間斷點為()A.x=0B.x=1C.x=0和x=1D.不存在例6設(shè)函數(shù)f(x)在［-1，1］上連續(xù)，則x=0是函數(shù)g(x)=∫x0f(t)dtx的()A.連續(xù)點B.第二類間斷點C.可去間斷點D.跳躍間斷點例7設(shè)函數(shù)f(x)=e1x-1，x<1,lnx，x≥1,則x=1是f(x)的()A.可去間斷點B.跳躍間斷點C.無窮間斷點D.連續(xù)點例8函數(shù)f(x)=e1x,x>0,ln(x+1),-1<x≤0則x=0是()A.連續(xù)點B.可去間斷點C.無窮間斷點D.跳躍間斷點例9設(shè)f(x)=x1+e1x2,x≠0,0,x=0則x=0是()A.連續(xù)點B.可去間斷點C.跳躍間斷點D.無窮間斷點例10對于函數(shù)y=x2-4x(x-2),下列結(jié)論中正確的是()A.x=0是第一類間斷點，x=2是第二類間斷點B.x=0是第二類間斷點，x=2是第一類間斷點C.x=0是第一類間斷點，x=2是第一類間斷點D.x=0是第二類間斷點，x=2是第二類間斷點例11設(shè)函數(shù)f(x)=1exx-1-1,則()A.x=0,x=1都是第一類間斷點B.x=0,x=1都是第二類間斷點C.x=0是第一類間斷點，x=1是第二類間斷點D.x=0是第二類間斷點，x=1是第一類間斷點例12函數(shù)f(x)=1e-e1x的第二類間斷點的個數(shù)()A.0B.1C.2D.3例13函數(shù)f(x)=x2-2x|x|(x2-4)的第一類間斷點的個數(shù)()A.0B.1C.2D.3十三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例1設(shè)函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)，且f(a)=f(b)，但f(x)不恒等于常數(shù)，則函數(shù)f(x)在（a,b）內(nèi)()A.必有最大值或最小值B.既有最大值又有最小值C.既有極大值又有極小值D.至少存在一點ξ,使f′(ξ)=0例2下列方程在(0,1)內(nèi)至少有一個實根的為()A.arctanx+x2+1=0B.x3-4x2+1=0C.x5-3x=1D.sinx+x+1=0例3下列區(qū)間中，使方程x4-x-1=0至少有一個根的區(qū)間是()A.(1,2)B.(2,3)C.12,1D.0,12例4已知函數(shù)f(x)在［0,+∞）上可導(dǎo)，且f′(x)<0，f(0)>0，則方程f(x)=0在（0，+∞）上()A.有唯一實根B.至少存在一個實根C.不能確定根D.沒有根例5設(shè)a2-3b<0，則方程x3+ax2+bx+c=0的實根個數(shù)()A.1B.2C.3D.無法確實根的個數(shù)例6設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［0，1］上可導(dǎo)，f′(x)>0，且f(0)<0,f(1)>0，則f(x)在［0,1］內(nèi)()A.至少有兩個零點B.有且僅有一個零點C.沒有零點D.零點的個數(shù)不能確定例7設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［0，2］上連續(xù)，且f(2)=0，f(1)=2,求證：存在ξ∈(1,2)，使得f(ξ)=ξ.提示：令g(x)=x-f(x)，∵f(x)在［0,2］上連續(xù)，所以g(x）在［0,2］上也連續(xù)，進而在［1,2］上也連續(xù)，又g(1)=1-f(1)<0，g(2)=2-f(2)>0，由零點定理，ξ∈(1,2)（0,2），使f(ξ)=ξ.例8設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［0,1］上連續(xù)，且0≤f(x)≤1.證明：存在ξ∈［0,1］，使f(ξ)=ξ.第二章一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用一、根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求極限或函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)例1已知f(0)=0，f′(0)=1，則limx→0f(x)x=()A.2B.1C.0D.+∞例2設(shè)f(x)在x=1處可導(dǎo)，且f′(1)=1,則limx→1f(x)-f(1)x2-1=.例3設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f(0)=0，則limx→0x2f(x)-2f(x3)x3=()A.-2f′(0)B.-f′(0)C.f′(0)D.0例4設(shè)函數(shù)f(x)在x=2處可導(dǎo)，且f′(2)=1，則limh→0f(2+h)-f(2-h)2h=()A.-1B.1C.-2D.2例5設(shè)f(x)=(x-a)g(x)，g(x)連續(xù)但不可導(dǎo)，且在x=a處有界，則f′(a)=()A.不存在B.0C.1D.g(a)例6設(shè)f(x)為可導(dǎo)的奇函數(shù)，且f′(x0)=6，則f′(-x0)=.例7設(shè)f(x)=x(x-1)(x-2)…（x-100），求f′(0),f′(50)和f′(100).例8設(shè)φ(x)在x=a處連續(xù)，f(x)=（x2-a2）φ(x),求f′(a).例9設(shè)f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f(x)=f(0)-3x+α(x)，limx→0α(x)x=0,求f′(0).例10設(shè)f(x)在x=0處可導(dǎo)，且limx→0f(x)+1x+sinx=2,求f′(0).例11設(shè)函數(shù)f(x)滿足下列條件：(1)f(x+y)=f(x)f(y)對x,y∈R都成立;（2）f(x)=1+xg(x)，而limx→0g(x)=1.試證明f(x)在R上處處可導(dǎo)，且f′(x)=f(x).二、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線或法線方程例1已知橢圓的參數(shù)方程為x=acost，y=bsint，（a>0，b>0），則橢圓在t=π4對應(yīng)點處的切線斜率為()A.baB.abC.-baD.-ab例2直線l與x軸平行且與曲線y=x-ex相切，則切點坐標(biāo)為()A.（1，1）B.（-1，1）C.（0，-1）D.（0，1）例3已知函數(shù)f(x)為可導(dǎo)偶函數(shù)，且limx→0f(1+x)-f(1)2sinx=-2,則曲線y=f(x)在（-1，2）處的切線方程為()A.y=4x+6B.y=-4x-2C.y=x+3D.y=-x+1例4曲線y=∫x0（t-1）(t-2)dt在點（0,0）處的切線方程為.例5設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x處可導(dǎo)且在點x0處取得極小值，則曲線y=f(x)在點（x0，f(x0)）處的切線方程為.例6某曲線在任一點處的切線斜率等于該點橫坐標(biāo)的倒數(shù)，且通過點（e2,3），則曲線方程為.例7求曲線tanx+y+π4=ey在點(0,0)處的切線方程與法線方程.例8證明：雙曲線xy=a2上任一點處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積等于常數(shù).例9已知f(x)是周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在x=0的某個鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x),其中α（x）是當(dāng)x→0時比x高階的無窮小量，且f(x)在x=0處可導(dǎo)，求曲線y=f(x)在點（6,f(6)）處的切線方程.三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系以及函數(shù)在一點可導(dǎo)性的判定例1函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)是它在x0處連續(xù)的()A.充要條件B.必要條件C.充分條件D.以上都不對例2設(shè)f(x)在x0處存在左、右導(dǎo)數(shù)，則f(x)在x0點()A.可導(dǎo)B.連續(xù)C.不可導(dǎo)D.不一定連續(xù)例3設(shè)f(x)在x0點不連續(xù)，則()A.f′(x0)必存在B.f′(x0)必不存在C.limx→x0f(x)必不存在D.limx→x0f(x)必存在例4已知函數(shù)f(x)=ln（1+x），-1<x≤0，ex-1,0<x<1,則f(x)在x=0處()A.無極限B.有極限，但不連續(xù)C.連續(xù)但不可導(dǎo)D.可導(dǎo)例5下列函數(shù)在點x=0處可導(dǎo)的是()A.3xB.e-xC.|x|D.e3x2ln（1+x）例6下列函數(shù)在點x=0處可導(dǎo)的是()A.y=|x|B.y=x2sin1x,x≠00,x=0C.y=2xD.y=x,x≤0x2,x>0例7設(shè)f(x）=acosx+bsinx,x<0，ex-1，x≥0在點x=0處可導(dǎo)，則a和b的值分別為()A.a=0,b=0B.a=1,b=0C.a=1,b=1D.a=0,b=1例8若f(x)=eax,x≤0，1+sin2x,x>0在點x=0處可導(dǎo)，則a=.例9函數(shù)y=|x|+1在點x=0處()A.無定義B.不連續(xù)C.可導(dǎo)D.連續(xù)但不可導(dǎo)例10函數(shù)f(x)=(x2-x-2)|x3-x|的不可導(dǎo)點個數(shù)為()A.3B.2C.1D.0例11函數(shù)f(x)=e|x-a|在x=a處()A.不連續(xù)B.連續(xù)但不可導(dǎo)C.可導(dǎo)但導(dǎo)函數(shù)不連續(xù)D.導(dǎo)函數(shù)連續(xù)例12若f(x)在點x0處可導(dǎo)，則|f(x)|在點x0處()A.必可導(dǎo)B.連續(xù)但不一定可導(dǎo)C.一定不可導(dǎo)D.不連續(xù)例13設(shè)函數(shù)f(x)=|x2-1|φ(x)，其中φ(x)在x=1處連續(xù)，則φ（1）=0是f(x)在x=1處可導(dǎo)的()A.充分必要條件B.必要條件C.充分條件D.既非充分也非必要條件四、求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分例1設(shè)f(x)=sinx,則f′(x)=.例2設(shè)函數(shù)y=11+cosx，則y′=.例3設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)1x-1，則f′(x)=.例4若f(x-1)=x2-1,則f′(x)=()A.2x+2B.x(x+1)C.x(x-1)D.2x-2例5已知ddxf1x2=1x，f′12=()A.22B.-22C.-1D.1例6設(shè)f′(lnx)=x,則ddxf(sinx)=()A.esinxcosxB.ecosxsinxC.esinxD.ecosx例7某企業(yè)每月生產(chǎn)Q（單位：t）產(chǎn)品時，總成本C是產(chǎn)量Q的函數(shù),即C(Q)=Q2-10Q+20,則每月生產(chǎn)產(chǎn)品8t時的邊際成本是()A.4B.6C.10D.20例8設(shè)y=lncos(ex),求dydx.例9設(shè)y=e(arctanx)2，求y′.例10若y=sine-x，則有()A.dy=cose-xdxB.dy=e-xsine-xdxC.dy=-e-xcose-xdxD.dy=e-xcose-xdx例11設(shè)y=f(sec2x)，求dy.五、函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)例1設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-1，則函數(shù)f(x)在x=0處的二階導(dǎo)數(shù)f″(0)等于()A.0B.e-1C.4e-1D.e例2設(shè)函數(shù)y=xlnx，則y10=()A.-1x9B.1x9C.8！x9D.-8!x9例3設(shè)函數(shù)f(x)=sinx,則f(2013)（x）=()A.sinxB.cosxC.-sinxD.-cosx例4設(shè)f(2013)（x)=x2+lnx，則f(2015)(x)=()A.2-1x2B.2+1x3C.1x2D.-1x2例5設(shè)函數(shù)f(x)在x=2的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f′(x)=ef(x),f(2)=1，則f(2)=.例6設(shè)f(x)=x3-cosx+lnx，n>3，則f(n)(x)=.例7設(shè)f(x)=x(x+1)(2x-1)（3x+1）（4x-1），求f(5)(0)，f(6)(x).例8設(shè)f(x)=sin4x+cos4x,求f(n)(x).例9設(shè)函數(shù)y=13x+5,則y(n)(0)=.六、參數(shù)方程或隱函數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)例1設(shè)x=ln(1+t2),y=arctant,則dydx=()A.12tB.2tC.1D.t例2設(shè)x=t-1t,y=12t2+lnt,則d2ydx2=()A.tB.t+1tC.1t2+1D.t2t2+1例3已知x=sint+1，y=∫t0cosudu，則d2ydx2=.例4設(shè)y=xey+1，則dydx=()A.ey2+yB.eyy-2C.eyxey+1D.ey1-xey例5y=y(x)是由方程arctanyx=lnx2+y2確定的隱函數(shù)，則dydx=()A.y-xy+xB.y+xy-xC.x-yx+yD.x+yx-y例6設(shè)y是由方程∫y0etdt+∫xπ2sintdt=0所確定的x的函數(shù),則dydx=()A.sinxeyB.-sinxeyC.cosxeyD.-cosxey例7已知ex-x3ey=cos(xy),且y=f(x),求y′.七、冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法例1設(shè)y=xxlnx-x,求dydx.例2設(shè)y=xsinx,求dydx.例3求函數(shù)y=x-1x+2·（3-x）4·3xln(1+x)的導(dǎo)數(shù).八、關(guān)于中值定理條件的驗證例1下列函數(shù)在閉區(qū)間［-1,1］上滿足羅爾定理條件的是()A.y=|x|B.y=x3C.y=x2D.y=1x例2下列函數(shù)在指定區(qū)間上滿足羅爾定理條件的是()A.f(x)=1x,x∈［-2,0］B.f(x)=(x-4)2,x∈［-2,4］C.f(x)=sinx,x∈-3π2,π2D.f(x)=|x|，x∈［-1,1］例3下列函數(shù)在給定的區(qū)間上滿足羅爾定理條件的是()A.y=|x-1|,［0,2］B.y=13（x-2）2，［0,2］C.y=x3-3x+2,［1,2］D.y=xarcsinx,［0,1］例4下列函數(shù)在［1，e］上滿足拉格朗日中值定理條件的是()A.ln［lnx］B.lnxC.1lnxD.ln(2-x)例5函數(shù)y=sinx在閉區(qū)間［0，2π］上符合羅爾定理條件的ξ=()A.0B.π2C.πD.2π例6若函數(shù)y=x3在閉區(qū)間［0，1］上滿足拉格朗日中值定理的條件，則ξ＝()A.33B.-33C.±33D.±3例7設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，則()A.至少存在一點ξ∈(a,b)，使f′(ξ)=0B.當(dāng)ξ∈(a,b)時,必有f′（ξ）=0C.至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a成立D.當(dāng)ξ∈(a,b)時，必有f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a例8函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a,b）上可導(dǎo)，且a<x1<x2<b,則至少存在一點ξ,使下式成立的是()A.f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)(a<ξ<b)B.f(b)-f(x1)=f′(ξ)(b-x1)(x1<ξ<b)C.f(x2)-f(x1)=f′(ξ)(x2-x1)(x1<ξ<x2)D.f(x2)-f(a)=f′(ξ)(x2-a)(a<ξ<x2)例9不求函數(shù)f(x)=(x-2)(x-4)(x-7)的導(dǎo)數(shù)，說明方程f′(x)=0有幾個實根，并指明其所在的區(qū)間.例10設(shè)f(x)=(x2-9)(x2-16)，則f′(x)=0的實根個數(shù)是()A.1B.2C.3D.4九、利用拉格朗日中值定理證明不等式例1證明：當(dāng)x>0時，11+x<ln1+xx<1x.例2證明不等式x1+x2<arctanx<x(x>0).例3證明不等式nan-1(b-a)<bn-an<nbn-1(b-a)(0<a<b,n>1).例4證明不等式|arctana-arctanb|≤|a-b|.十、利用拉格朗日中值定理證明恒等式例1證明下列恒等式:（1）sin2x+cos2x=1；(2)1+tan2x=sec2x；(3)1+cot2x=csc2x.例2證明:當(dāng)x≥1時，arctanx+12arccos2x1+x2=π4.例3設(shè)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)滿足關(guān)系式f′(x)=f(x)，且f(0)=1，則f(x)=ex.例4證明：對于任意的實數(shù)a,有∫a+Taf(x)dx=∫T0f(x)dx,其中T為連續(xù)周期函數(shù)f(x)的周期.十一、關(guān)于中值命題的證明例1設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在［a,b］上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，且f(b)-f(a)=g(b)-g(a)，試證明，在(a,b)內(nèi)至少有一點c,使f′(c)=g′(c).例2設(shè)函數(shù)F(x)=∫x1sinx·f(t)dt，其中f(t)在［1,π］上連續(xù)，求F′（x）,并證明在（1，π)內(nèi)至少存在一點ε,使得cosε·∫ε1f(x)dx+sinε·f(ε)=0.例3設(shè)函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f(a)=f(b)=0,證明在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得f′(ξ)=f(ξ).例4設(shè)函數(shù)f(x)在［0,1］上有二階導(dǎo)數(shù),且f(0)=f(1)=0,又F(x)=x2f(x),證明:至少存在一點ξ∈(0,1),使得F″(ξ)=0.例5設(shè)a<c<b,f(x)和g(x)都在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)，且f(a)=g(a),f(c)=g(c),f(b)=g(b),則在（a,b）內(nèi)至少有一點ξ，使f″（ξ）=g″(ξ).十二、利用洛必達法則求極限例1極限limx→0∫x0tan2tdtx3等于()A.+∞B.16C.0D.13例2limx→0∫x0ln(1+t3)tdtx-sinx=.例3求極限limx→0∫x0et2sintdtln(1+x2).例4limx→∞ln1+x2+xx=.例5求極限limx→+∞x+x-x-x.例6求極限limx→∞xsin5x-15sin5x.例7求極限limx→0ax+bx+cx31x（a>0,b>0,c>0）.例8下列極限問題，不能使用洛必達法則的是()A.limx→0x2sin1xsinxB.limx→+∞xπ2-arctanxC.limx→∞1+kxxD.limx→∞x-sinxxsinx例9設(shè)F(x)=x2x-a∫xaf(t)dt，其中f(x)為連續(xù)函數(shù)，則limx→aF（x）=()A.a2B.a2f(a)C.0D.不存在例10求極限limx→0+1xtanx.例11若limx→01bx-sinx∫x0t2a+t2dt=1，則()A.a=4,b=1B.a=2,b=1C.a=4,b=0D.a=2,b=1十三、單調(diào)性的判定與單調(diào)區(qū)間的求法例1函數(shù)f(x)=x-ex+1在（0，+∞）內(nèi)()A.是單調(diào)增加函數(shù)B.是單調(diào)減少函數(shù)C.有極大值D.有極小值例2函數(shù)f(x)=xlnx的單調(diào)增加區(qū)間是.例3設(shè)函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)，且單調(diào)增加，求證：F(x)=1x-a∫xaf(t)dt在［a,b］上單調(diào)增加.例4設(shè)在［0,1］上f″(x)>0，則f′(0)，f′(1)，f(1)-f(0)或f(0)-f(1)幾個數(shù)的大小順序為()A.f′(1)>f′(0)>f(1)-f（0）B.f′(1)>f(1)-f(0)>f′(0)C.f(1)-f(0)>f′(1)>f′(0)D.f′(1)>f(0)-f(1)>f′(0)例5函數(shù)F(x)=∫x0dt1+t2在(-∞,+∞)范圍內(nèi)()A.單調(diào)增加B.有無數(shù)多條鉛直漸近線C.圖像是凹的D.沒有拐點十四、利用單調(diào)性證明不等式，以及數(shù)值不等式的證法例1證明:當(dāng)x>0時，ln（x+1+x2）>x1+x2.例2證明：當(dāng)0<x<1時，1-x2arcsinx<(1+x)ln（1+x）.例3證明：當(dāng)x>0時，(x2-1)lnx≥(x-1)2.例4證明:當(dāng)x>0時，1x>arctanx-π2.例5證明：當(dāng)x>0時，有(1+x)ln(1+x)>arctanx.例6證明：當(dāng)0<a<b時，lnba>2（b-a）a+b.例7求證:當(dāng)0<a<b<π時，bsinb+2cosb+πb>asina+2cosa+πa.例8設(shè)f(x),g(x)都是可導(dǎo)函數(shù),且|f′(x)|<g′(x),證明:當(dāng)x>a時，f(x)-f(a)<g(x)-g(a).十五、利用單調(diào)性判定根的存在性或唯一性例1已知函數(shù)f(x)在［0，+∞)上可導(dǎo)，且f′(x)<0,f(0)>0,則方程f(x)=0在（0,+∞）上()A.有唯一根B.至少存在一個根C.不能確定有根D.沒有根例2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上可導(dǎo)，f′(x)>0，且f(0)<0，f(1)>0,則f(x)在［0，1］內(nèi)()A.至少有兩個零點B.有且僅有一個零點C.沒有零點D.零點的個數(shù)不能確定例3證明：方程ex-32-∫x0dt1+t2=0在開區(qū)間（0，1）內(nèi)有唯一的實根.例4設(shè)f(x)在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，且f(x)<1,證明：方程2x-∫x0f(t)dt=1在區(qū)間（0,1）內(nèi)有且僅有一個實根.十六、關(guān)于函數(shù)的極值問題例1下列結(jié)論中正確的是()A.若x0是f(x)的駐點，則一定是f(x)的極值點B.若x0是f(x)的極值點，則一定是f(x)的駐點C.若f(x)在x0處可導(dǎo)，則一定在x0處連續(xù)D.若f(x)在x0處連續(xù)，則一定在x0處可導(dǎo)例2函數(shù)f(x)=xe-x2的極大值點為()A.x=22B.x=-22C.22，22e-12D.-22，22e-12例3函數(shù)f(x)=∫x0（1+t）arctantdt的極小值為.例4函數(shù)y=x3-3x2+1的單調(diào)增加區(qū)間是，單調(diào)減少區(qū)間是，極小值點是，極大值點是.例5設(shè)一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為x2-2x-8，則該函數(shù)的極大值與極小值之差是()A.-36B.12C.36D.-1713例6設(shè)f(x)=xsinx+cosx，則正確的是()A.f(0)是極大值，fπ2是極小值B.f(0)是極小值，fπ2是極大值C.f(0)是極大值，fπ2是極大值D.f(0)是極小值，fπ2是極小值例7設(shè)f(x)的導(dǎo)數(shù)在x=2處連續(xù)，又limx→2f′(x)x-2=-1,則()A.x=2是f(x)的極小值點B.x=2是f(x)的極大值點C.（2,f(2)）是曲線y=f(x)的拐點D.x=2不是f(x)的極值點，(2,f(2))也不是曲線y=f(x)的拐點例8設(shè)f(x)的導(dǎo)數(shù)在x=a處連續(xù)，且limx→af′(x)x-a=1，則()A.x=a是f(x)的極小值點B.x=a是f(x)的極大值點C.（a,f(a)）是曲線f(x)的拐點D.x=a不是f(x)的極值點例9若f(1)=0，limx→1f(x)(x-1)2=5,則f(x)在x=1處()A.導(dǎo)數(shù)不存在B.不連續(xù)C.取得極大值D.取得極小值例10求f(x)=(x-1)eπ2+arctanx的單調(diào)區(qū)間和極值.例11利用第二充分條件求函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x-5的極值.十七、函數(shù)的最值問題例1設(shè)函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)，且f(a)=f(b)，但f(x)不恒為常數(shù)，則函數(shù)f(x)在（a,b）內(nèi)()A.必有最大值或最小值B.既有最大值又有最小值C.既有極大值又有極小值D.至少存在一點ξ,使f′(ξ)=0例2設(shè)函數(shù)f(x)=13x3-x，則x=1為f(x)在［-2，2］上的()A.極小值點，但不是最小值點B.極小值點，也是最小值點C.極大值點，但不是最大值點D.極大值點，也是最大值點例3函數(shù)y=x+1-x在［-5，1］上的最大值為()A.6-5B.54C.6+5D.45例4函數(shù)f(x)=x+9x(x>0)的最小值為.例5函數(shù)y=x·2x的最小值點為.例6函數(shù)f(x)=x4-2x2在區(qū)間［0,2］上的最小值為.例7函數(shù)y=∫x02t-1t2-t+1dt在［0，1］上的最小值是.例8在斜邊長為L的直角三角形中,求最大周長的直角三角形.例9一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租,當(dāng)月租金每套定為2000元時,公寓會全部租出去,當(dāng)月租金每增加100元時,就會多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每套每月需花費200元的維修費,試問租金定為多少可獲得最大收入?最大收入是多少?例10某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,其固定成本為100元,每多生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本增加6元,又知該產(chǎn)品的需求函數(shù)為Q=1000-100P.問產(chǎn)量為多少時可使利潤最大,最大利潤是多少?例11已知生產(chǎn)某零件Q單位時，總收入的變化率為R′(Q)=100-Q10.求:（1）求生產(chǎn)Q單位時的總收入R(Q);（2）如果已經(jīng)生產(chǎn)了200個單位，求再生產(chǎn)200個單位時的總收入R(單位：萬元).十八、曲線凹凸性的判定例1函數(shù)y=e-x在區(qū)間（-∞,+∞）內(nèi)()單調(diào)遞增且圖像是凹的曲線B.單調(diào)遞增且圖像是凸的曲線C.單調(diào)遞減且圖像是凹的曲線D.單調(diào)遞減且圖像是凸的曲線例2曲線y=xe-x+3x+1的凹區(qū)間為()A.（-∞，2）B.（2，+∞）C.（-∞，-2）D.（-2，2）例3y=xarctanx的圖形()A.在（-∞，+∞）內(nèi)是凹的B.在（-∞，+∞）內(nèi)是凸的C.在（-∞，0）內(nèi)是凸的，在（0,+∞）內(nèi)是凹的D.在（-∞，0）內(nèi)是凹的，在（0，+∞）內(nèi)是凸的例4下列曲線在其定義域內(nèi)為凹的是()A.y=e-xB.y=ln(1+x2)C.y=arctanxD.y=sin(x2+2)例5設(shè)f(x)在（a,b）內(nèi)二階可導(dǎo)，且f′(x)>0,f″(x)<0，則f(x)在（a,b）內(nèi)()A.單調(diào)增加且是凸的B.單調(diào)增加且是凹的C.單調(diào)減少且是凸的D.單調(diào)減少且是凹的例6在閉區(qū)間［-1，1］上有f′(x)=(x-1)2，則曲線f(x)在閉區(qū)間［-1，1］內(nèi)是()A.單調(diào)減少且凹的B.單調(diào)減少且凸的C.單調(diào)增加且凸的D.單調(diào)增加且凹的例7下列函數(shù)對應(yīng)的曲線在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)是凸函數(shù)的為()A.y=x3B.y=ln(1+x2)C.y=cos2xD.y=lnx十九、曲線的拐點求法例1曲線y=(x-2)53的拐點是()A.（0,2）B.(2,0)C.(1,0)D.(2,1)例2曲線y=x3-3x2的拐點為()A.（1，-2）B.（1，2）C.（0，0）D.（2，-4）例3設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，則()成立時，點（c,f(c)）(a<c<b)是曲線y=f(x)的拐點.A.f″(c)=0B.f″(x)在（a,b）內(nèi)單調(diào)增加C.f″(x)在（a,b）內(nèi)單調(diào)減少D.f″(c)=0且f″(x)在（a,b）內(nèi)單調(diào)增加例4曲線y=x+2xx2-1的拐點坐標(biāo)為.例5設(shè)f(x)=x3-3x2+2,則曲線y=f(x)的拐點是.例6已知f(x）=∫x0e-12t2dt（-∞<x<+∞），則曲線y=f(x)的拐點是.例7已知點（0，1）是曲線y=x3+ax2+b的拐點，則a=,b=.例8點（1,2）是曲線y=ax3+bx2的拐點，則()A.a=-1,b=3B.a=0,b=1C.a為任意實數(shù)，b=3D.a=-1,b為任意實數(shù)例9若曲線y=x3+ax2+bx+1有拐點(-1,0)，則a=,b=.例10曲線y=e-x2的拐點是.例11設(shè)f′(x0)=f″(x0)=0,f(x0)>0，則下列正確的是()A.f′(x0)是f′(x)的極大值B.f(x0)是f(x)的極大值C.f(x0)是f(x)的極小值D.（x0，f(x0)）是曲線f(x)的拐點例12設(shè)函數(shù)f(x)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且f′(0)=0,limx→0f″(x)x=2，則()A.f(0)是函數(shù)的極大值B.f(0)是函數(shù)的極小值C.(0,f(0))是曲線f(x)的拐點D.f(0)不是f(x)的極值例13f″(x0)=0是曲線f(x)的圖形在x=x0處有拐點的()A.充分必要條件B.充分非必要條件C.必要非充分條件D.既非充分也非必要條件二十、曲線的漸近線求法例1下列曲線有水平漸近線的是()A.y=x2-3x+4xB.y=e1xC.y=ex1+xD.y=ln(1+x2)例2曲線y=x2+1x-1()A.有水平漸近線，無垂直漸近線B.無水平漸近線，有垂直漸近線C.無水平漸近線，也無垂直漸近線D.有水平漸近線，也有垂直漸近線例3曲線f(x)=2xsin13x()A.有且僅有水平漸近線B.有且僅有垂直漸近線C.既有水平漸近線又有垂直漸近線D.沒有漸近線例4曲線y=ln(1+x)x()A.有水平漸近線，無垂直漸近線B.有水平漸近線，也有垂直漸近線C.無水平漸近線，有垂直漸近線D.無水平漸近線，也無垂直漸近線例5直線x=1是曲線f(x)=x2-1x-1e1x-1的()A.一條水平漸近線B.一條垂直漸近線C.一條對稱軸D.一條斜漸近線例6函數(shù)y=3x-1x(x-1)的垂直、水平漸近線有()A.1條B.2條C.3條D.0條例7曲線y=1+e-x21-e-x2()A.沒有漸近線B.僅有水平漸近線C.僅有垂直漸近線D.既有水平漸近線也有垂直漸近線例8曲線y=x+4sinx5x-2cosx的水平漸近線為.例9曲線y=xπ2+arctanx的水平漸近線為.例10求函數(shù)y=x3+4x2的單調(diào)區(qū)間與極值,凹凸區(qū)間與拐點，及其漸近線.第三章一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用一、原函數(shù)與不定積分的概念及性質(zhì)例1設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，則［∫f(x)dx］′=()A.f(x)B.f(x)+CC.f′(x)D.f′(x)+C例2下列等式中正確的是()A.∫f′(x)dx=f(x)B.d∫df(x)=f(x)+CC.ddx∫f(x)dx=f(x)D.d∫f(x)dx=f(x)例3下列各式中，正確的是()A.d［∫f′(x)dx］′=f′(x)B.ddx［∫xaf(t)dt］=f′(x)C.ddx［∫axf(t)dt］=f(x)D.ddx［∫xaf(t)dt］=f(x)例4若∫df(x)=∫dg(x)，則下列各列中，不成立的是()A.f′(x)=g′(x)B.d∫f′(x)dx=d∫g′(x)dxC.df（x）=dg(x)D.f(x)=g(x)例5下列等式不成立的是()A.［∫f(x)dx］′=f(x)B.d［∫f(x)dx］=f(x)dxC.∫f′(x)dx=f(x)D.∫df(x)=f(x)+C例6若F′(x)=G′(x)，k為常數(shù)，則()A.G（x）+F(x)=kB.G(x)-F(x)=kC.G(x)-F(x)=0D.∫F(x)dx′=∫G(x)dx′例7若F′(x)=f(x),G′(x)=f(x)，則∫f(x)dx=()A.F(x)B.G(x)C.G(x)+CD.F(x)+G(x)+C例8函數(shù)F(x)與G(x)都是區(qū)間（c,d）內(nèi)函數(shù)f(x)的原函數(shù)，則()A.F（x）=G(x),x∈（c,d）B.d［F(x)］=d［G(x)］+CC.∫f(x)dx=F(x)D.F(b)-F(a)=G(b)-G(a),a,b∈(c,d)例9設(shè)F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則下列函數(shù)正確的是()A.∫F(x)dx=f(x)+CB.∫f(x)dx=F(x)+CC.∫f′(x)dx=f(x)D.d［∫f(x)dx］=f(x)+C例10若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)是sinx，則函數(shù)f(x)有一個原函數(shù)是()A.1+sinxB.1-sinxC.1+cosxD.1-cosx例11設(shè)f(x)有一個原函數(shù)sinxx，則∫f′(x)dx=()A.sinxx+CB.cosx+CC.xcosx-sinxx2+CD.xcosx+sinxx2+C例12若∫f(x)dx=F(x)+C，則∫e-xf(e-x)dx=()A.e-x+F(e-x)+CB.F(e-x)+CC.e-x-F(e-x)+CD.-F(e-x)+C例13設(shè)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)是sin(2x+1)，則f′(x)=()A.2cos(2x+1)B.-2cos(2x+1)C.4sin(2x+1)D.-4sin(2x+1)例14若f(x)的一個原函數(shù)為ln2x，則f′(x)=()A.2xln2xB.ln2xC.1xD.-1x2例15設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為sinx，求∫xf′(x)dx.例16設(shè)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)為e-x，則∫f(lnx)xdx=()A.lnlnx+CB.x+CC.12(lnx)2+CD.1x+C例17設(shè)F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則∫e-xf(e-x)dx=()A.F(e-x)+CB.-F(e-x)+CC.F(ex)+CD.-F(ex)+C例18設(shè)f(x)的一個原函數(shù)是2sinxx,則∫xf′(x)dx=()A.cosx-2sinxx+CB.xf(x)-2sinxx+CC.-cosx+CD.x［f（x）-1］+C例19設(shè)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)是xlnx-x,則∫e2xf′(ex)dx=()A.e-x+CB.ex+CC.12e2x+CD.2e2x+C例20∫f(x)e-1xdx=e-1x+C,則f(x)=()A.-1xB.1xC.1x2D.-1x2例21設(shè)∫xf(x)dx=ln(1+x2)+C,則∫1f(x)dx=.二、不定積分的直接積分法例1∫1+3x2x2(1+x2)dx=.例2∫1sin2xcos2xdx=.例3∫11+cos2xdx=.例4∫ex2e-x+x2xdx=.例5設(shè)a=ln2，則∫(2x+a3)dx=()A.2xa3x+ln2B.2xln2+a44+CC.2xln2+（ln2）3x+CD.2x+1x+1+（ln2）3+C三、不定積分的第一類換元積分法（湊微分法）例1∫f′(3x)dx=()A.f(3x)+CB.13f(3x)+CC.3f(x)+CD.13f(x)+C例2若∫f′(x3)dx=x3+C,則f(x)=()A.x+CB.x3+CC.95x53+CD.65x53+C例3設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且不等于零，若∫xf(x)dx=arcsinx+C,則∫dxf(x)=()A.23（1-x2）32+CB.13（1-x2）23+CC.-23(1-x2)32+CD.-13(1-x2)32+C例4不定積分∫sin2xdx=()A.12sinx+CB.sin2x+CC.-2cos2x+CD.12cos2x+C例5∫f(x)f′(x)dx=()A.lnf(x)+CB.f(x)f′(x)+CC.12［f′(x)］2+CD.12［f(x)］2+C例6若函數(shù)∫f(x)dx=x3+C，則∫xf(1+x2)dx=()A.12(1+x2)3+CB.-12(1+x2)3+CC.2(1+x2)3+CD.-2(1+x2)3+C例7∫f′xa+bdx=()A.afxa+b+CB.1afxa+b+CC.fxa+b+CD.abxa+b例8若函數(shù)f′(lnx)=1+lnx，則f(t)=()A.t+t22+CB.1+lnt+CC.tlnt+CD.t+1t+C例9若f′(x2)=1x（x>0）,則f(x)=()A.2x+CB.lnx+CC.2x+CD.1x+C例10若∫f(x)dx=sinx+C,則∫xf(1-x2)dx=.例11已知f′(x)=f(x)，則∫xf′(x2)dx=.例12∫f(x)dx=x+C,則∫f(2-3x)dx=()A.2-3x+CB.-13x+CC.x+CD.12(2-3x)2+C例13∫1xf′(x)dx=()A.f(x)B.2f(x)+CC.2f(x)D.12f(x)+C例14設(shè)函數(shù)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且f′(2x-1)=ex，則f(x)=()A.12e2x-1+CB.2e12(x+1)+CC.12e2x+1+CD.2e12(x-1)+C例15∫x2+arctanx1+x2dx=.例16不定積分∫sinxcos3x1+cos2xdx=.例17求不定積分∫arcsinx1-xdx.例18求不定積分∫arctanxx2(1+x2)dx.例19求不定積分∫dxx（4-ln2x）.例20設(shè)∫sinxf(x)dx=arctan(cosx)，求∫f(x)dx.四、不定積分的第二類換元積分法例1為將不定積分∫1-x2dx被積函數(shù)中的根號去掉，可作變換()A.x=sintB.x=tantC.x2=tD.1-x2=t例2已知不定積分∫x2-1dx,為將被積函數(shù)中的根號去掉，可作變換()A.x=sinxB.x=costC.x=sectD.x2=t例3求不定積分∫dxx2x2+1.例4求不定積分∫1x(1-x)dx.例5求不定積分∫x2-9x2dx.例6求不定積分∫1x2-2x+5dx.例7求不定積分∫dxx6(1+x2).五、不定積分的分部積分法例1∫［f(x)+xf′(x)］dx=.例2求不定積分∫xln(x+1+x2)1+x2dx.例3求不定積分∫xex(ex+2)2dx.例4求不定積分∫xexex-2dx.例5求不定積分∫arctanexexdx.例6求不定積分∫1sin2xcosxdx.例7求不定積分∫cosx+xsinx(x+cosx)2dx.例8求不定積分∫x2sin3xdx.六、有理分式的不定積分例1求不定積分∫x+5x2-6x+13dx.例2求不定積分∫x2-5x+9x2-5x+6dx.例3求不定積分∫x7x4-1dx.七、定積分的概念與性質(zhì)例1設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)，則∫baf(x)dx是()A.f(x)的一個原函數(shù)B.f(x)的全體原函數(shù)C.確定的常數(shù)D.任意常數(shù)例2函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上可積的()A.必要但非充分條件B.充分但非必要條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件例3若函數(shù)在［a,b］上連續(xù)，則∫baf(x)dx()A.不一定存在B.一定不存在C.必定存在D.以上都不對例4初等函數(shù)y=f(x)在定義域［a,b］上一定()A.可導(dǎo)B.可微C.可積D.單調(diào)函數(shù)例5導(dǎo)數(shù)ddx∫baarcsintdt=()A.arcsinxB.0C.arcsinb-arcsinaD.11-x2例6設(shè)I1=∫21lnxdx，I2=∫21(lnx)2dx,I3=∫43(