山西省陽泉市高新區(qū)2023屆九年級上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2022-2023學(xué)年山西省陽泉市高新區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，則tanA的值為(

)A.12 B.55 C.22.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A=40°，則∠BOC的度數(shù)為(

)A.20°

B.40°

C.60°

D.80°3.已知y是x的反比例函數(shù)，下表給出了x與y的一些值，則表中“▲”處的數(shù)為(

)x-6-25y13▲A.-2 B.-1.2 C.1.2 D.24.將二次函數(shù)y=(x+3)2-10的圖象先向右平移2個單位長度，再向上平移8個單位長度，得到的拋物線的解析式是A.y=(x+5)2-2 B.y=(x-1)2+25.圖是老師畫出的△ABC，已標出三邊的長度.下面四位同學(xué)畫出的三角形與老師畫出的△ABC不一定相似的是(

)

A. B.

C. D.6.學(xué)校藝術(shù)節(jié)上，同學(xué)們繪制了非常美麗的畫并且在其周圍裱上等寬的邊框做成藝術(shù)墻.下面是王亮從藝術(shù)墻上選取的四幅形狀不同的作品，在同一幅作品中，內(nèi)、外邊框的圖形不一定相似的是(

)A. B.

C. D.7.公元前3世紀，古希臘科學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)：若兩物體與支點的距離與其重量成反比，則杠桿平衡.后來人們把它歸納為“杠桿原理”.通俗地說，杠桿原理為：阻力×阻力臂=動力×動力臂.小偉欲用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為1200N和0.5m，動力臂為1.5m，則撬動這塊大石頭至少需要的動力是(

)A.360N B.400N C.450N D.600N8.如圖，左、右并排的兩棵大樹的高分別為AB=8m，CD=12m，兩樹底部的距離BD=5m，王紅估計自己眼睛距地面1.6m.她沿著連接這兩棵樹的一條水平直路l從左向右前進，在前進的過程中，她發(fā)現(xiàn)看不到右邊較高的樹的頂端C，此時，她與左邊較低的樹AB的水平距離(

)

A.小于8m B.小于9m C.大于8m D.大于9m9.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AB=6.將△ABC繞點C沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)至△A'B'C的位置，此時，點A'恰好在AB上，則點B與點B'的距離是(

)A.6

B.33

C.210.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AC，對角線AC與BD相交于點E，DE=3BE，AC⊥AD，∠ACB=75°，AE=33，則對角線AC與BD的長分別是(

)A.AC=43，BD=123

B.AC=9，BD=419

C.AC=6，二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.如圖，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比(坡比也叫坡度.指點B向水平面作垂線BC，垂足為C，BC：AC=1：3.)是1：3，河堤的高BC=10米，則坡面AB的長度是______

12.在一個不透明的口袋中，裝有3個球，它們分別寫有數(shù)字1，2，3，這些球除上面數(shù)字外，其余都相同.先將這些球搖勻后，隨機摸出一球，記下數(shù)字后，放回；再搖勻，再摸出一球.則摸出的兩球的數(shù)字之和是4的概率是______．13.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△A'B'C'關(guān)于點P成位似圖形，則該位似中心點P的坐標是______．14.如圖，點A在反比例函數(shù)y=-4x的圖象上，點B在反比例函數(shù)y=2x的圖象上.AB/?/x軸，則△OAB的面積是______

15.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，AB=DC，BC=52，AD=2，∠B=45°，含45°角的直角三角板EMN的頂點E在邊BC上移動，∠MEN=45°，直角邊ME始終經(jīng)過點A，斜邊EN與CD交于點F.當△ABE是以AB為腰的等腰三角形時，線段CF長度的最大值等于三、解答題（本大題共9小題，共75.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.(本小題5.0分)

解方程：3(2x-3)2=2(2x-3)17.(本小題5.0分)

在銳角△ABC中，∠A和∠B滿足的關(guān)系式為2sin2A-1+(tanB-18.(本小題9.0分)

如圖，小明與小穎在6×6的小正方形網(wǎng)格中畫出格點△ABC(格點指小正方形的頂點)，小正方形的邊長為1.此時，細心的小穎發(fā)現(xiàn)利用網(wǎng)格可以提出下列問題，請你幫助小明解答小穎提出的問題：

(1)求sinA和tanB的值；

(2)在網(wǎng)格中存在格點△ADE∽△ABC，且△ADE與△ABC不全等，同一位置的格點△ADE只算一個，則符合條件的格點△ADE一共有______個.19.(本小題7.0分)

如圖，已知反比例函數(shù)y1=kx(k≠0)和正比例函數(shù)y2=mx的圖象相交于點A(-2,4)和點B兩點．

(1)直接寫出點B的坐標；

(2)求反比例函數(shù)的解析式；

(3)點C在x軸上，△ABC20.(本小題8.0分)

如圖，某商場開業(yè)之際，為了美化和宣傳，該商場在樓上懸掛一塊長為3m的宣傳牌，即CD=3m.數(shù)學(xué)小組的同學(xué)要在雙休日測量宣傳牌的底部點D到地面的距離.根據(jù)所學(xué)的相關(guān)知識，他們分別在點A和點B處放置兩個測傾儀，它們的高度是AE=BF=1.5m，站在點A處的同學(xué)測得宣傳牌底部點D的仰角為31°，站在點B處的同學(xué)測得宣傳牌頂部點C的仰角為45°，AB=6m.依據(jù)他們測量的數(shù)據(jù)能否求出宣傳牌底部點D到地面的距離DH的長？若能，請求出；若不能，請說明理由.(圖中點A，B，C，D，E，F(xiàn)，H在同一平面內(nèi).參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86)21.(本小題9.0分)

“十一”期間，王紅與家人開車去鄉(xiāng)下看望爺爺和奶奶.她看到汽車尾部自動升起的后備箱，于是根據(jù)實際情況畫出了相關(guān)的示意圖.圖1是王紅家私家車側(cè)面示意圖，其中矩形ABCD表示該車的后備箱，圖2是在打開后備箱的過程中，箱蓋ADE可以繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)角為60°時，箱蓋ADE落在AD'E'的位置的示意圖.王紅測得AD=90厘米，DE=30厘米，EC=40厘米.根據(jù)王紅提供的信息解答下列問題：

(1)求點D'到BC的距離；

(2)求點E運動的距離．

22.(本小題10.0分)

阿爾?花拉子米(約780～約850)，著名阿拉伯數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、地理學(xué)家，是代數(shù)與算術(shù)的整理者，被譽為“代數(shù)之父”.他利用正方形巧妙地解出了一元二次方程x2+2x-35=0的一個解，具體做法如下：

將邊長為x的正方形和邊長為1的正方形，外加兩個長為x，寬為1的長方形拼合在一起，面積就是x2+2?x?1+12，即x2+2x+1.而由原方程x2+2x-35=0變形得x2+2x+1=35+1，即邊長為x+1的正方形面積為36.所以(x+1)2=36，則x=5．

(1)上述求解過程中所用的解題方法是______；

A.直接開平方法

B.公式法

C.配方法

D.因式分解法______；

(2)所用的數(shù)學(xué)思想是

A.分類討論思想

B.數(shù)形結(jié)合思想

C.轉(zhuǎn)化思想

(3)山西特產(chǎn)專賣店銷售某品牌的棗夾核桃，進價為每袋20元，現(xiàn)在按每袋30元出售，平均每天售出200袋.由于貨源緊缺，現(xiàn)要漲價銷售.經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每袋售價每上漲23.(本小題10.0分)

綜合與探究

問題情境：

如圖，已知AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上異于A，B的一點，過點C作⊙O的切線CE，過點A作AD⊥CE于點D，連接OC．

探究發(fā)現(xiàn)：

(1)證明：無論點C在何處，將△ADC沿AC折疊，點D一定落在直徑AB上；

探究引申：

(2)如圖2，勤奮小組繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若△AOC是等腰三角形且對稱軸經(jīng)過點D，此時，CD與AB存在數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；

探究規(guī)律：

(3)如圖3，智慧小組在勤奮小組的啟發(fā)下發(fā)現(xiàn)當△AOC為正三角形時，CD與AB存在的數(shù)量關(guān)系是：CD=______AB．

24.(本小題12.0分)

綜合與實踐

如圖，拋物線y=ax2+32x+c與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C，點B的坐標是(4,0)，點C的坐標是(0,2)，拋物線的對稱軸交x軸于點D，連接CD．

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；

(3)點E在x軸上運動，點F在拋物線上運動，當以點B，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出點答案和解析1.答案：A

解析：解：如圖．

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，

∴tanA=BCAC=12.答案：D

解析：解：∵∠BOC、∠A是同弧所對的圓心角和圓周角，

∴∠BOC=2∠A=80°；

故選D．

可由同弧所對的圓周角、圓心角的關(guān)系求出∠BOC的度數(shù)．

3.答案：B

解析：解：設(shè)解析式為y=kx，

將(-2,3)代入解析式得k=-6，

這個函數(shù)關(guān)系式為：y=-6x，

把x=5代入得y=-65，

∴表中“▲”處的數(shù)為-1.2，

故選：B．

用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，再將表中4.答案：C

解析：解：將二次函數(shù)y=(x+3)2-10的圖象先向右平移2個單位長度，再向上平移8個單位長度，得到的函數(shù)解析式為：y=(x+3-2)2-10+8，即y=(x+1)5.答案：C

解析：解：A、D、由兩組角相等的兩個三角形相似可得畫出來的三角形和△ABC相似，故選項A、D不符合題意；

B、因為3.46.8=12=48，且γ=γ6.答案：A

解析：解：A、兩個矩形的長與寬不一定對應(yīng)成比例，因此內(nèi)、外邊框的圖形不一定相似，故A符合題意；

B、兩個正方形四邊對應(yīng)成比例，四個角相等，因此內(nèi)、外邊框的圖形一定相似，故B不符合題意；

C、兩個等邊三角形一定相似，因此內(nèi)、外邊框的圖形一定相似，故C不符合題意；

D、兩個圓一定相似，因此內(nèi)、外邊框的圖形一定相似，故D不符合題意．

故選：A．

由多邊形相似的判定方法：各邊對應(yīng)成比例，各角對應(yīng)相等，即可判斷．

7.答案：B

解析：解：根據(jù)“杠桿定律”有FL=1200×0.5，

∴函數(shù)的解析式為F=600L，

當L=1.5時，F(xiàn)=6001.5=400，

因此，撬動石頭需要400N8.答案：A

解析：解：當小紅的眼睛的位置到F'時，C，A，F(xiàn)'共線，

∵AB⊥l，CD⊥l，

∴AB/?/CD，

∴△F'AH∽△F'CK，

∴F'H：F'K=AH：CK，

∵AH=AB-BH=8-1.6=6.4(m)，CK=CD-KD=12-1.6=10.4(m)，

∴F'H：(F'H+5)=6.4：10.4，

∴F'H=8(m)，

在前進的過程中，小紅發(fā)現(xiàn)看不到右邊較高的樹的頂端C，此時，她與左邊較低的樹AB的水平距離小于8m．

故選：A．

當小紅的眼睛的位置到F'時，C，A，F(xiàn)'共線，此時由△F'AH∽△F'CK得到F'H：F'K=AH：CK，求出F'H即可解決問題．

9.答案：B

解析：解：如圖，連接BB'，

∵∠ACB=90°，∠A=60°，AB=6，

∴sinA=BCAB=32，

∴BC=6×32=33，

∵將△ABC繞點C沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)至△A'B'C的位置，

∴BC=CB'，∠BCB'=60°，

∴△BCB'是等邊三角形，

∴BB'=BC=33，

∴點B與點B'10.答案：D

解析：解：過點B作BF/?/AD交AC于點F，如圖所示：

∵AC⊥AD，BF/?/AD，

∴∠DAC=∠BFA=90°．

∵∠AED=∠FEB，

∴△AED∽△FEB，

∴AEFE=DEBE=ADFB．

∵DE=3BE，

∴AEFE=ADFB=3．

∵AE=33，

∴FE=3，

∴AF=AE+FE=43．

∵AB=AC，∠ACB=75°，

∴∠BAC=30°，

∴AB=2BF．

在Rt△AFB中，

由勾股定理，得AF2+BF2=AB2，

即(43)2+BF2=(2BF)211.答案：20

解析：解：∵迎水坡AB的坡度i=1：3，

∴BCAC=13，

∴AC=3BC=103(米)12.答案：13解析：解：畫樹狀圖如下：

共有9種等可能的結(jié)果，其中摸出的兩球的數(shù)字之和是4的結(jié)果有3種，

∴摸出的兩球的數(shù)字之和是4的概率是39=13，

故答案為：13．

畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中摸出的兩球的數(shù)字之和是13.答案：(12,0)

解析：解：如圖所示：位似中心點P的坐標是(12,0)．

故答案為：(12,0)．

直接利用位似圖形的性質(zhì)得出位似中心位置即可．

14.答案：3

解析：解：設(shè)AB交y軸于點C，

則S△AOB=S△AOC+S15.答案：5解析：解：如圖1，作AG⊥BC于點G，DH⊥BC于點H，則∠AGB=∠DHC=90°，

∵AG/?/DH，AD//BC，

∴四邊形AGHD是平行四邊形，

∵∠AGH=90°，

∴四邊形AGHD是矩形，

∴GH=AD=2，AG=DH，

在Rt△ABG和Rt△DCH中，

AB=DCAG=DH，

∴Rt△ABG≌Rt△DCH(HL)，

∴∠B=∠C=45°，BG=CH=12(52-2)=22，

∴∠B=∠GAB=45°，

∴AG=BG=22，

∴AB=DC=(22)2+(22)2=4，

當△ABE是等腰三角形，且EB=AB=4時，如圖2，

∵∠BEA=∠BAE=12×(180°-45°)=67.5°，∠MEN=45°，

∴∠CEF=180°-67.5°-45°=67.5°，

∴∠CFE=180°-67.5°-45°=67.5°，

∴CF=CE=52-4；

當△ABE是等腰三角形，且AE=AB=4時，如圖2，

∵∠AEB=∠B=45°，

∴∠AEB=∠C，

∴AE/?/CD，

∴四邊形ADCE是平行四邊形，

∴CE=AD=2，

∵∠EFC=∠MEN=45°，

∴∠EFC=∠C=45°，

∴∠CEF=90°，F(xiàn)E=CE=2，

∴CF=(2)2+(2)2=2，

∵5216.答案：解：3(2x-3)2=2(2x-3)，

3(2x-3)2-2(2x-3)=0，

(2x-3)[3(2x-3)-2]=0，

(2x-3)(6x-11)=0，

2x-3=0或6x-11=0解析：利用解一元二次方程-因式分解法，進行計算即可解答．

17.答案：解：∵2sin2A-1+(tanB-3)2=0，

∴2sin2A-1=0，tanB-3解析：根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得出2sin2A-1=0，tanB-3=0，求出18.答案：6

解析：解：(1)如圖，過點A作AM⊥BC于點M，過點B作BN⊥AC于點N．

∵AB=AC=22+42=25，AM⊥CB，

∴BM=CM=2，AM=32，

∵12?BC?AM=12?AC?BN，

∴BN=2×3225=355，

∴sin∠BACA=BNAB=19.答案：解：(1)∵反比例函數(shù)y1=kx(k≠0)和正比例函數(shù)y2=mx的圖象相交于點A(-2,4)和點B兩點．

∴A、B兩點關(guān)于原點對稱，

∴B(2,-4)；

(2)∵反比例函數(shù)y1=kx(k≠0)的圖象經(jīng)過點A(-2,4)，

∴k=-2×4=-8，

∴反比例函數(shù)的解析式為y=-8x；

(3)∵解析：(1)根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性即可求得點B的坐標；

(2)利用待定系數(shù)法即可求解；

(3)利用S△ABC=S△AOC+20.答案：解：能，理由如下：

延長EF交CH于N，如圖所示：

則∠CNF=90°，

∵∠CFN=45°，

∴CN=NF，

設(shè)DN=x?m，則NF=CN=(x+3)m，

∴EN=6+(x+3)=(x+9)(m)，

在Rt△DEN中，tan∠DEN=DNEN，

∴DN=EN?tan∠DEN，

∴x≈(x+9)×0.6，

解得：x≈13.5，

∴DH=DN+NH≈13.5+1.5=15(m)，

答：點D到地面的距離解析：延長EF交CH于N，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CN=NF，根據(jù)正切的定義求出DN，結(jié)合圖形計算即可．

21.答案：解：(1)如圖2，過點D'作D'H⊥AD于H，連接AE，AE'，由題意可知，D'E'=DE=30cm，AD'=AD=90cm，∠DAD'=∠EAE'=60°，

在Rt△AD'H中，AD'=90cm，∠HAD'=60°，

∴D'H=32AD'=453(cm)，

∴點D'到BC的距離為D'H+DC=453+30+40=(70+453)cm，

答：點D'到BC的距離為(70+453)cm；

(2)在Rt△ADE中，AD=90cm，解析：(1)通過作高構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出D'H即可；

(2)根據(jù)勾股定理求出AE的長，再根據(jù)弧長的計算方法求出弧EE'的長即可．

22.答案：C

B

解析：解：(1)由閱讀材料可知所用方法為配方法．

故答案為：C．

(2)所用的思想方法為數(shù)形結(jié)合思想．

故答案為：B．

(3)利潤為y元，售價為x元，根據(jù)題意得，

y=(x-20)[200-10(x-30)]

=-10x2+70x-10000

=-10(x-35)2+2250，

當x=35時，y有最大值，最大值為2250，

即售價為35元時，獲得最大利潤為2250元．

(1)由閱讀材料所用方法可知答案；

(2)結(jié)合圖形來解題，故答案易得；

(3)根據(jù)“總利潤23.答案：3解析：(1)證明：∵DE為⊙O的切線，

∴OC⊥DE，

∵AD⊥DE，

∴AD/?/OC，

∴∠DAC=∠OCA，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OAC，

∴無