全等三角形（解析版）【挑戰(zhàn)壓軸題】2022屆中考數(shù)學(xué)匯編

2021-2022學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)壓軸題專題精選匯編

專題01全等三角形

一.選擇題

1.（2021春?溫江區(qū)期末）如圖，小明站在堤岸的4點(diǎn)處，正對(duì)他的S點(diǎn)停有一艘游艇.他想知道這艘游艇

距離他有多遠(yuǎn)，于是他沿堤岸走到電線桿8旁，接著再往前走相同的距離，到達(dá)C點(diǎn).然后他向左直行，

當(dāng)看到電線桿與游艇在一條直線上時(shí)停下來，此時(shí)他位于。點(diǎn).那么C,。兩點(diǎn)間的距離就是在A點(diǎn)處

小明與游艇的距離.在這個(gè)問題中，可作為證明△SABgADCB的依據(jù)的是（）

S

D

A.SAS或SSSB.AAS或SSSC.4sA或A4SD.ASA或SAS

【完整解答】解：在△ABS與△C5D中，

rZA=ZC=9Q°

-AB=CB，

ZABS=ZCBD

:/ABS@ACBDCASA）；

或；AS〃C￡>,

.*.ZS=ZD.

在△ABS與△CB力中，

，ZS=ZD

，ZABS=ZDBC-

AB=CB

:AABS0ACBD（AAS）；

綜上所述，作為證明aSAB絲ADCB的依據(jù)的是ASA或AAS.

故選：C.

2.（2021春?寧波期末）如圖，正方形ABCO被分割成2個(gè)長(zhǎng)方形和1個(gè)正方形，要求圖中陰影部分的面

積，只要知道下列圖形的面積是（)

AD

BH

A.長(zhǎng)方形AEFDB.長(zhǎng)方形BEGHC.正方形CFG"D.長(zhǎng)方形8c尸E

【完整解答】解：如圖所示：在△GQF與^BGE中,

GF=BE

<ZGFD=ZGEB=90°>

DF=GE

：./\GDF^/\BGE(SAS).

SAGDF=SABEG>

則Smi-S&EFB——SW^iBCFE-

2

所以只要知道長(zhǎng)方形BCFE的面積即可求得答案.

故選：D.

3.（2021?哈爾濱）如圖，ZkABC絲△￡>￡：（7,點(diǎn)4和點(diǎn)。是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),點(diǎn)B和點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，過點(diǎn)A作

AFLCD,垂足為點(diǎn)片若NBCE=65：則NC4尸的度數(shù)為（)

C.35°D.65°

【完整解答】解：,:△ABgXDEC,

：.NACB=NDCE,

VZBC￡=65O,

ZACD=ZBCE=65°,

■：AF±CD,

：.ZAFC=90°,

：.ZCAF+ZACD=90a,

AZCAF=90°-65°=25°,

故選：B.

4.（2021春?市中區(qū)期末）如圖，在△ABC與△4￡：/中，AB=AE,BC=EF,ZABC^ZAEF,Z￡AB=40°,

AB交E尸于點(diǎn)。，連接E8.下列結(jié)論：①N/=AC=40°；?AF=AC；③NE8C=110°；@AD=AC；

⑤NEFB=40°,正確的個(gè)數(shù)為（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

【完整解答】解：在△AEF和△ABC中，

'EA=BA

<ZAEF=ZABC>

EB=FC

：.4AEF名AABC（SAS）,

：.ZEAF=ZBAC,AF=AC,故②正確

：.ZEAB^ZFAC=40o,故①正確，

.?.NC=NAFC=/AFE=70°,

AZEFB=180°-70°-70°=40°,故⑤正確，

'：AE=AB,/E4B=40°,

；.NAEB=NABE=70°,

若NEBC=110°,則/ABC=40。=NEAB,

：.ZEAB=ZABC,

：.AE//BC,顯然與題目條件不符，故③錯(cuò)誤，

若AD=AC,則NA。尸=/4尸。=70°,

.../D4尸=40°,這個(gè)顯然與條件不符，故④錯(cuò)誤.

故選：c.

5.（2020秋?江岸區(qū)期末）如圖，四邊形ABCZ）中，ND4B+/ABC=90°,對(duì)角線AC、B。相交于。點(diǎn),

且分別平分ND4B和NABC,若8。=40。，則歿的值為（）

0C

【完整解答】解：如圖，在AB上截取AE=AO,BF=BC,連接OE,OF,

?：AC,8。相交于。點(diǎn)，且分別平分NZMB和/ABC,

Z.ZOAB=ZOAD=^ZDAB,ZOBC=NO84=4NA8C,

22

在△AO。和△AOE中，

rAD=AE

<Z0AD=Z0AE，

A0=A0

'：AD=AE,BC=BF,

：./XAOD^^XAOE(SAS),

同理，△8OC/△8OF,

/.ZAOD=ZAOE,OD=OE,NBOC=NBOF,OC=OF,

'：ZDAB+ZABC=90°,

.\ZOAB+ZOBA=45°,

,ZZAOD=NBOC=ZOBA+ZOAB,

：.ZAOD=ZBOC=45°,

AZAOE=ZBOF=45Q,

AZ￡<?F=180°-(NOAB+NOBA)-ZAOE-180°-45°-45°-45°=45°,

平分NBA/),80=4。。，

?..—AB—_0B,_一”,

AD0D

即AB=4AD,

：.AE=^AB,

44

?/ZE0F=ZBC>F=45o,

二OF平分/BOE,

.EF=OE=OD=1

"BFOBOB7'

BPEF=^BF,

4

5

；.BF=2X3AB=SAB,

545

；8O平分/A8C,

.AO^ABAB_AB__5

"OCBCBF3ABW

故選：B.

6.（2020秋?宜興市期中）如圖，在△ABC中，AB=4,ZABC=60°,ZACB=45°,。是8c的中點(diǎn)，直

線/經(jīng)過點(diǎn)O,AE±/,BF±/,垂足分別為E,F,則AE+BF的最大值為（）

C.W3D.372

【完整解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CKJJ于點(diǎn)K,過點(diǎn)A作AHJ_8C于點(diǎn)H,

在Rt/\AHB中,

VZABC=60°,AB=4,

：.BH=2,AH=20

在RtZ\4"C中，ZACB=45Q,

:.AH=CH=2M，

==

?■?AC=QAH2V12+122A/61

A

?.?點(diǎn)。為8c中點(diǎn),

：.BD=CD,

在△8FO與△CKC中，

rZBFD=ZCKD=90°

<ZBDF=ZCDK，

BD=CD

:./XBFD冬ACKD(A4S),

：.BF=CK,

延長(zhǎng)AE,過點(diǎn)C作CNLAE于點(diǎn)M得矩形ENCK,

:.CK=EN,

：.AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RtZXACN中，AN〈AC,

當(dāng)直線/_LAC時(shí)，最大值為2?,

綜上所述，AE+8F的最大值為2網(wǎng).

故選：B.

7.（2020?哈爾濱模擬）如圖，是AABC的角平分線，NC=2NB,尸是8c的中點(diǎn)，EF〃A。交AB于

點(diǎn)E,且BE=4AE,若C￡>=4,則A8的長(zhǎng)為（）

【完整解答】解：如圖作QG_LAC于G,DHLAB于H,在AB上截取AM=AC,

A

E

U：DA平分NBAC,

:.DG=DH,

.bAABDBD2AB

SAADCDC-1-AC-DGAC

設(shè)BF=FC=4a,

,.,EF//AD,

.?里=更=4,

AEFD

:?FD=a,CD=3a=4,

.?.。=生B￡>=5a=坦，

33

在△4DW和△4￡)€■中，

，AD=AD

<ZDAM=ZDAC.

AM=AC

絲△￡>AC(SAS),

：.DM=DC,ZAMD=ZC,

VZC=2ZB,

NAMD=NB+NMDB=2NB,

:.NB=NMDB,

.\BM=MD=CD=4,設(shè)AC=AM=x,

則有/_4

x+420

~3

??x=6,

?"3=BM+AC=4+6=10,

故選：A.

8.（2020春?達(dá)川區(qū)期末）如圖，等腰直角△4BC中，ZBAC=90°,AOJL8C于。，/A8C的平分線分別

交AC、4。于反F兩點(diǎn),M為EF的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)N,連接。M,NE.下列結(jié)論：①4E=

AF；@AM±￡F；③△AEF是等邊三角形；@DF=DN,?AD//NE.

其中正確的結(jié)論有（）

B

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【完整解答】解：VZBAC=90°,AC=AB,AD±BC,

...NA8C=NC=45°,AD=BD=CD,NADN=NADB=9Q°,

：.ZBAD=450=ZCAD,

平分NABC,

NABE=ZCBE=AZABC=22.5°,

2

:.NBFD=NAEB=90°-22.50=67.5°

:.NAFE=NBFD=/AEB=675°,

：.AF=AE,故①正確；③錯(cuò)誤，

為"的中點(diǎn)，

：.AMLEF,故②正確；

'."AM1EF,

：.ZAMF=ZAME=90°,

ZDAN=90°-67.5°=22.5°=NMBN,

在△尸80和△NAO中，

，ZFBD=ZDAN

<BD=AD-

ZBDF=ZADN

.?.△FBgANAD(ASA),

:.DF=DN,故④正確；

■:NBAM=NBNM=675°,

：.BA=BN,

；NEBA=NEBN,BE=BE,

：./\EBA^/\EBN（SAS）,

:.NBNE=NBAE=90°,

：.ZENC=ZADC=90Q,

：.AD//EN.故⑤正確，

故選：D.

k

AEC

9.（2019秋?新洲區(qū)期末）如圖，ZACB=90°,AC=二CD,過點(diǎn)。作AB的垂線交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡若

AB=2DE,則NBAC的度數(shù)為（）

1

力?^--------------c

A.45°B.30°C.22.5°D.15°

/<

,.^T\

【完整解答】解：c”

連接A。，延長(zhǎng)AC、OE交于M,

：/ACB=90°,AC^CD,

：.ZDAC=ZADC=45a,

；NAC8=90°,DELAH,

；.NDEB=90°=ZACB=ZDCM,

*.*NABC=/DBE,

???由三角形內(nèi)角和定理得：/CAB=/CDM,

在△ACB和△力CM中

，ZCAB=ZCDM

，AC=CD

ZACB=ZDCM

：./\ACB^/\DCM(ASA),

：.AB=DM,

\'AB=2DE,

:.DM=2DE,

：.DE=EM,

'：DE±AB,

：.AD=AM,

：.ZBAC=ZDAE=AZDAC^—X450=22.5°,

22

故選：c.

二.填空題

10.(2021春?崇川區(qū)校級(jí)月考)如圖，將邊長(zhǎng)都為加”2的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)4、4、…、A“分

別是正方形的中心，則2021個(gè)這樣的正方形重疊部分的面積和為4040c,病.

【完整解答】解：過點(diǎn)4作AQLA2。于。、AELA2E于E,如圖所示:

：Ai是正方形的中心，

??A\D=A\EfAiDA-A\Et

ZBA]D+ZBA]E=NC4E+NBAE,

：.ZBAiD=ZCAiEf

在△48。和△ACE中，

,

ZBA1D=ZCA1E

.A1D=A1E,

ZA1DB=ZA1EC

...△48。鄉(xiāng)△ACE(SAS),

.?.2個(gè)正方形重疊陰影部分的面積=正方形面積的工=』X(A/8)』2(而),

44

...2021個(gè)這樣的正方形重疊部分的面積和=2X(2021-I)=4040(cm2),

故答案為：4040c/n2.

11.(2021春?南崗區(qū)校級(jí)月考)如圖，在△ABC中，ZC=90°,DELABTD,交AC于點(diǎn)E,若BC=

BD,AC=6cm,BC=8cm,AB=\0ctn,則△AOE的周長(zhǎng)是

【完整解答】解：連接BE,

；/C=90°,DEI.ABD,

:.NC=NBDE=90°,

在RtABC￡與Rt/\BDE中，

fBE=BE

IBC=BD'

ARtABCE^RtABDE(HL),

:.DEKE,

\*AB=\Ocm,BC=8cm,AC=6c/n,

：./\ADE0<JMJ=DE+AE+AD=CE+AE+AB-BD=AC+AB-BC=6+10-8=8(cm),

故答案為：8cm.

12.（2020秋?蜀山區(qū)期末）如圖A8,CO相交于點(diǎn)E,若△ABCgZVIDE,ZBAC=28°,則/B的度數(shù)是

48°.

【完整解答】解：V/XABC^/^ADE,

：.AE=AC,

：.ZAEC=ZACEf

VZBAC=28°,

ZAEC^ZACE=A(1800-ZBAC)=76°,

2

'：/\ABC^/\ADE,ZBAC=28°,

：.ZB=ZD,ZDAE=ZBAC=2S°,

：.ZB=ZD=ZAEC-ZDAE=16°-28°=48°,

故答案為：48°.

ZBAC=ADAE,Zl=28°,Z2=30°,則N3

【完整解答】解：???N8AC=N/)4E,

：.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ADAC,

：.Z\=ZEAC,

在△840和△CAE中,

<AB=AC

<ZBAD=ZEAC-

AD=AE

:.△BADOCAE(SAS),

.*./2=/AB￡>=30°,

VZ1=28°,

.'.Z3=Z1+ZAB￡>=280+30°=58°,

故答案為：58°.

14.(2020秋?蘭山區(qū)期末)在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=\5cm,BC=8an,AXJ_4c于4,P、。兩點(diǎn)

分別在邊4c和射線AX上移動(dòng).當(dāng)PQ=AB,AP=8cm或15c〃？時(shí),△ABC和全等.

【完整解答】解：①當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AP=8C時(shí)，如圖1所示:

在RtZXABC和Rt/XQPA中，［研=奸,

lBC=PA

，RtZ\A80Rt△。融(HL),

即AP=B=Scm；

②當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與。點(diǎn)重合時(shí)，如圖2所示:

(P)

圖2

在RtZXABC和Rl/^PQA中，

fAB=PQ

1AC=PA'

...RtzMBC絲R"QA（HL）,

即AP=AC=l5cm.

綜上所述,AP的長(zhǎng)度是8cm或15cm.

故答案為：8CVT/或15C7〃.

15.（2021春?和平區(qū)期末）如圖，在△ABC中，NACB=45°,ADLBC,BE1.AC,AO與BE相交于點(diǎn)尸,

連接并延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)G,NAEB的平分線交CG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)4,連接A4,則下列結(jié)論：

①NEBD=45°；②AH=HF；③△ABO四△CFC；④C”=AB+A〃；

⑤BD=CD-AF.其中正確的是①②③④⑤.（只填寫序號(hào)）

【完整解答】解：①?：N4CB=45°,BE1AC,

.?.N8EA=N8EC=90°,

：.ZEBD=45a,故①正確；

②是NAEB的角平分線，

；./HEB=L/AEB=45°,

2

:.NHEB=NEBC=45°,

J.EH//BC,

'CADLBC,

:.AD工EH,

...EH是4尸的垂直平分線，

：.AH=HF；故②正確；

(3),；NBDF=90°,ZFBD=45°,

：.ZDFB=45°,

：.DB=DF,

；/ACB=45°,ADIBC,

...NOAC=45°,

J.AD^CD,

在AABD與ACFD中，

，BD=DF

?ZADB=ZCDF-

AD=CD

:.XABir烏XCFD(SAS),故③正確：

@V△AB。絲△CTO,

：.AB^CF,

：.CH=CF+FH=AB+AH；故④正確；

?"：DF^AD-AF,

：.BD=CD-AF.

,:BD=DF+BF,故⑤正確.

綜上所述①②③④⑤正確.

故答案為：①②③④⑤.

16.(2021?寧波模擬)在AABC和△A18C1中，己知AC=4G=2,BC=4,5。=3,/C=120°,ZG

=60°,點(diǎn)￡>,，分別在邊A8,All上，且△ACZ)名△CAOi，那么AO的長(zhǎng)是

【完整解答】解：:△AC。絲△G4。，可以將△GAQi與△4CQ重合，如圖,

VZACB=\20°,NAiG場(chǎng)=60°,

:.BC〃BC,

.仙B1C1_3

?.―-,二，—,

BDBC4

作AH_LBC,交BC延長(zhǎng)線于”，

；NACB=120°,

ZACH=60°,

在Rt/XAC”中，CH=l,AH=2Xsin60°=“,

在中，由勾股定理得：

^=752+（73）2=2V7'

故答案為:

17.（2021春?洪山區(qū)期中）如圖，在△4BC中，N8=30°,點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)尸在BC上，且EF=12,

C尸=6,。是AC的中點(diǎn)，若NE￡＞尸=90°,則AE=3、/"^-3\而.

【完整解答】解：延長(zhǎng)FD至點(diǎn)H,使得FD=DH,連接AH,過”作HGLAB,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

?.?。是AC的中點(diǎn),

：.DA=DC,

在△D4H和△OCF中，

rDH=DF

-ZADH=ZCDF-

DA=DC

:.△DAHQ/XDCF(SAS),

:.AH=CF=6,NDAH=NC,

：.AH//BC,

4G=NB=30°,

：.HG=^AH=3,AG=AH.cos30°=3?,

,：DELDF,DH=DF,

:.EH=EF=12,

￡G=VEH2-HG2=412?-32=3

<"?AE-EG-AG=3yJ

故答案為：3A/元

18.(2020秋?增城區(qū)期末)已知：如圖，8。為△A8C的角平分線，且8￡>=8C,E為BO延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，

BE=BA,過E作EF_LAB,尸為垂足，下列結(jié)論：①△ABO四△EBC；②/8CE+/8CZ)=180°；③AO

=EF=EC；?AE=EC,其中正確的是①②④(填序號(hào))

【完整解答】解：①?.?8。為aABC的角平分線,

4ABD=NCBD,

在△48。和△EBC中，

BD=BC

<ZABD=ZCBD-

BE=BA

:./XABDqAEBC(SAS),

.?.①正確;

②為△A8C的角平分線，BD=BC,BE=BA,

:.NBCD=NBDC,NBAE=NBEA,

:AABD^AEBC,

:.NBCE=NBDA,

：.4BCE+NBCD=NBDA+NBDC=180",

②正確；

@VZBCE=ZBDA,NBCE=NBCD+NDCE,ZBDA^ZDAE+ZBEA,/BCD=NBEA,

；.NDCE=NDAE,

.??△ACE為等腰三角形，

：.AE^EC,

'：△ABgAEBC,

：.AD=EC,

：.AD=AE=EC,

為△A8C的角平分線，EFLAB,而EC不垂直與8C,

:.EF豐EC,

???③錯(cuò)誤；

④由③知AQ=AE=EC,

.?.④正確；

綜上所述，正確的結(jié)論是①②④.

故答案是：①②④.

E

8

三.解答題

19.(2020秋?來賓期末)如圖，在五邊形ABCQE中，AB=DE,AC=AD.

(1)請(qǐng)你添加一個(gè)與角有關(guān)的條件，使得aABC絲△￡>",并說明理由；

(2)在(1)的條件下，若NCA￡>=65°,28=110°,求N8AE的度數(shù).

【完整解答】解：(1)添加一個(gè)角方面的條件為：ZBAC=ZEDA,使得△ABC四△QEA,理由如下:

在△A5C和△￡>￡?!中，

'AB=DE

<ZBAC=ZEDA-

AC=AD

.,.△ABC也/XOEA(SAS),

(2)在(1)的條件下，

:△A8c絲

，ZACB=ZDAE,

VZCAD=65°,ZB=110°,

.?./4C8+N8AC=180°-ZB=70°,

ZDAE+ZBAC=/ACB+NBAC=70°,

AZBAE=ZDAE+ZBAC+ZCAD=100+65°=135°.

20.(2021春?蕭山區(qū)月考)如圖，在△ABC中，OEJ_AB與點(diǎn)E,OEL4C與點(diǎn)凡且0E=0凡

(1)如圖①，當(dāng)。為BC中點(diǎn)時(shí)，試說明AB=AC；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)。在AABC內(nèi)部，且OB=OC,試判斷AB與AC的關(guān)系.

A

【完整解答】(1)說明如下：為8c中點(diǎn)，???BOuCO,

,COEVAB,OFLAC,

：.ZOEB=ZOFC=90a,

在RtAOBE和RtAOCF中，

fOB=OC!

1OE=OF'

.,.RtAOBE^RtAOCF(HL),

：.ZB=ZC,：.AB=AC；

(2)解：AB=AC,理由如下：

,:OB=OC,

:.NOBC=NOCB,

,COEVAB,OFLAC,

：.ZOEB=ZOFC=90a,

在RtAOBE和RtAOCF中，

<fOB=OC>

1OE=OF'

ARtAOBE^RtAOCF(HL),

：.ZABO=ZACO,

：.ZABC^ZACB,

：.AB=AC.

21.(2021春?南山區(qū)校級(jí)期中)如圖，在△ABC中，AB=AC=3,NB=40°,點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)

。不與點(diǎn)B、C重合)，連接A。，作/AOE=40°,CE交線段AC于點(diǎn)E.

(1)當(dāng)NBOA=UO°時(shí)，ZEDC=30°ZAED=70°

(2)線段QC的長(zhǎng)度為何值時(shí)，△AB。絲△QCE,請(qǐng)說明理由;

(3)在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求N8D4的度數(shù)；若不可以,

請(qǐng)說明理由.

【完整解答】解：(1)?.?/4。8+/4?！?/￡：00=180°,且NAOE=40°,NBDA=110°,

AZEDC=180°-110°-40°=30°,

VAB=ACf

AZB=ZC=40°,

AZAED=ZEDC+ZC=30°+40°=70°,

故答案為：30。，70°；

(2)當(dāng)。。=3時(shí)，AABD^ADCE,

理由如下：

VZADC=ZB+ZBAD,ZADC=ZADE+ZCDE,ZB=ZADE=40°,

:.NBAD=/CDE,且A3=CO=3,ZB=ZC=40°,

:./\ABDmADCECASA)；

(3)若4O=QE時(shí)，

^AD=DE,NADE=40°,

：.ZDEA=ZDAE=70<i,

?:NDEA=NC+NEDC,

；?NEDC=30°,

???N8OA=1800-ZADE-ZEDC=180°-40°-30°=110°,

若AE=DE時(shí)，

'：AE=DEfZADE=40°,

ZADE=ZDAE=40°,

AZAED=100°,

9：ZDEA=ZC+ZEDC,

???NE￡>C=60°,

80A=180°-AADE-Z￡DC=180°-40°-60°=80°,

若AE=A。時(shí)，ZA￡D=ZAD￡=40°,

ZDAE=180°-40°-40°=100°,

此時(shí)。與8重合，不合題意，舍去.

綜上所述：當(dāng)NBD4=80°或110°時(shí)，ZVIOE的形狀可以是等腰三角形.

22.(2021?雁塔區(qū)校級(jí)模擬)如圖，四邊形ABC。中，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在A3、CDh,且AE=CF,分別過

點(diǎn)A、C向EP作垂線，垂足分別為點(diǎn)G、點(diǎn)“，且AG=CH.求證；AB//CD.

【完整解答】證明：...AGJ-GH,CHLGH,

，NG=NH=90°,

在RtAAGE和RtAC/ZF中，

(AE=CF

1AG=CH'

.?.RtAAGEgRdCHF(HL),

：.ZAEG=ZCFH,

'：NAEG=NBEF,

：.NBEF=ZCFH,

：.AB//CD.

23.(2021?鎮(zhèn)海區(qū)模擬)如圖，已知△ABC和△CCE均是直角三角形，ZACB=ZC￡D=90°,AC=CE,

48_LCD于點(diǎn)F.

(1)求證：/XABCqACDE；

(2)若點(diǎn)B是EC的中點(diǎn)，DE=10cm,求4E的長(zhǎng).

【完整解答】（1）證明：

：.ZFAC+ZACF=90°,

VZACE=90°,

NOCB+/ACF=90°,

：.ZFAC=ZDCB,

：.AC^EC,

在△ABC和△（?￡>￡：中，

"ZFAC=ZDCB

,AC=EC，

ZACB=ZCED=90°

/.△4BC^ACDE（ASA）；

⑵解：V△ABC^ACDE,

：.DE=BC=\Ocm,

?.?點(diǎn)8是EC的中點(diǎn)，

：.EC=2BC=20cm,

*'?AC=EC=20c/??,

在RtZ\AEC中，根據(jù)勾股定理，得

AE={AC2+岳c2—20^2（cm）.

24.（2021春?章丘區(qū)期末）如圖，CZ）是經(jīng)過NBC4頂點(diǎn)C的一條直線，CA=C3,E、尸分別是直線CO上

兩點(diǎn)，且NBEC=NC41=a.

（1）若直線CO經(jīng)過NBC4的內(nèi)部，且E、尸在射線C。上.

①如圖1,若NBCA=90°,a=90°,則BE=CF；

②如圖2,若0°<ZBCA<180°,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于a與<8CA關(guān)系的條件a+/8c4=180°,使

①中的結(jié)論們?nèi)怀闪?，并說明明理由；

(2)如圖3,若線C。經(jīng)過NBCA的外部，a=ZBCA,請(qǐng)?zhí)岢鲫P(guān)于E凡BE,A尸三條線段數(shù)量關(guān)系的

合理猜想，并簡(jiǎn)述理由.

【完整解答】解：(1)VZBEC=ZCM=a=90°,

:./BCE+NCBE=180°-/BEC=90°.

又YN8cA=NBCE+NACF=90°,

:.NCBE=NACF.

在△8CE和△C4F中，

"ZBEC=ZCFA,

<ZCBE=ZACF,

BC=AC.

.?.△BCE絲△CAF(A4S).

：.BE=CF.

(2)a+ZBCA=180°,理由如下：

；NBEC=NCFA=a,

.?./BE尸=180°-/BEC=180°-a.

又：ZBEF=ZEBC+ZBCE,

：.ZEBC+ZBCE=\S0Q-a.

又,.?a+/BC4=180°,

...N8CA=180°-a.

ZBCA=ZBC￡+ZACF=180°-a.

：.ZEBC=ZFCA.

在△BCE和△CA尸中,

<ZCBE=ZACF,

ZBEC=ZCFA,

BC=CA.

：./\BCE^/XCAF(AAS).

：.BE=CF.

(3)EF=BE+AF,理由如下：

ZBCA=a,

：.ZBCE+ZACF=iSO°-ZBCA=180°-a.

又；NBEC=a,

：.ZEBC+ZBCE=\S00-ZBEC=180°-a.

：.ZEBC^ZFCA.

在△8EC和△CM中，

，ZEBC=ZFCA,

<ZBEC=ZFCA,

BC=CA.

/.△BEC^ACM(A45).

：.BE=CF,EC=FA.

EF=EC+CF=FA+BE,即EF=BE+AF.

25.(2021春?岳麓區(qū)月考)如圖，以銳角AABC的邊A2,AC為底邊分別向外作等腰△ABO,/XACE,且

滿足NADB=2NE4C,若M為邊BC的中點(diǎn)，求證：MDLME.

【完整解答】證明：延長(zhǎng)EM至點(diǎn)。，使得MO=EM,連接80,。。，DE.

\"AE=EC,

.'.ZECA=ZEAC.

?/ZADB=2ZEAC,

ZADB=2ZEAC,

'：AD=BD,

：.ZDBA^ZDAB.

VZADB+2ZDAB=180°,

：.2ZDAB+2ZEAC=180°,

即ND48+/EAC=90°.

:點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，

：.RM=CM.

在△EMC和△OM8中，

rMC=BM

<ZCME=ZBM0

叱MO

.?.△EMC絲△OMB(SAS).

NMB0=Z.MCE,

即ZMB0=ZBCA+ZACE.

：.BO=EC.

即BO=AE.

,：ZDAE=ZDAB+ZEAC+ZBAC=9Q°+NBAC,

ZBAC=1800-ZABC-ZACB,

：.Z￡>fiO=3600-ZDBA-ZABC-ZACB-/ACE=270°-ZABC-ZACB=90Q+NBAC.

:./DAE=NDBO.

在△AQE和△B￡>。中，

，BD=AD

，ZDBO=ZDAE

BO=AE

/\ADE^/\BDO(SAS).

：.DO=DE.

,:MO=ME,

J.DMLEO,

即MDLME.

D

?

B,

O

26.(2021春?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期末)如圖1,在△ABC中，AC=BC,D、E、尸分別是直線AC、A&8c上的

點(diǎn)，且AD=BE,AE=BF.

(1)求證：ED=EF；

(2)若NACB=130°,求/CEF的度數(shù);

(3)如圖2,當(dāng)E為48的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)E作E從LO尸交于點(diǎn)H,若EH=5,CD=3,S&CAB=45,請(qǐng)求

出AB的長(zhǎng).

圖1圖