數(shù)學建模-最優(yōu)控制

最優(yōu)控制最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的重要組成部分.最優(yōu)控制在空間技術、系統(tǒng)工程、經(jīng)濟管理與決策、人口控制等許多領域得到了廣泛的應用。最優(yōu)控制研究的中心問題是：如何選擇控制規(guī)律才能使受控系統(tǒng)的性能和品質在某種意義下為最優(yōu)。與最優(yōu)化相比，最優(yōu)控制又稱為無窮維最優(yōu)化或動態(tài)最優(yōu)化。其實質是一種泛函的極值問題。一.最優(yōu)控制概論1最優(yōu)控制問題實例最優(yōu)控制問題是從大量的實際問題中提煉出來的。下面通過幾個典型例子說明什么是最優(yōu)控制。例1生產(chǎn)計劃問題某工廠制定從t0到T時間間隔的生產(chǎn)計劃，即要選擇適當?shù)纳a(chǎn)速率，使得在時間[t0

,

T]內，在保證供應的前提下，花費的成本最低。設x(t)-----表示t時刻產(chǎn)品庫存量，r(t)-----表示t時刻產(chǎn)品需求率，u(t)-----表示t時刻表示生產(chǎn)率，則庫存量滿足方程

(1)因為生產(chǎn)能力是有限的，所以u(t)受到約束

,為常數(shù)）(2)

保證供應即是使

設單位時間生產(chǎn)成本是生產(chǎn)速率的函數(shù)：單位時間單位產(chǎn)品的庫存費用為b,則t時刻單位時間的成本為：故總成本為于是問題歸結為：求滿足條件(2)的生產(chǎn)速率u(t),使庫存量滿足(3)，且使J(u)為最小.(3)(4)例2飛船的月球軟著陸問題

如圖1所示，宇宙飛船靠發(fā)動機產(chǎn)生的與月球重力相反的推力，控制飛船實現(xiàn)軟著陸（落到月球表面時速度為零）。問如何選擇發(fā)動機推力的變化規(guī)律，使燃料消耗最少?圖1vho圖2則飛船的運動規(guī)律為：(k>0為常數(shù))(5)飛船質量：m(t)坐標系選取如圖。記：飛行高度：h(t)垂直速度：v(t)月球重力加速度：g

發(fā)動機的最大推力為a,故(9)

要求燃料消耗最少，即是要求著陸時飛船質量為最大。J(u)=m(T)

(10)

要求飛船從初始狀態(tài)(7)于是問題歸結為：在滿足約束條件（6）-----（10）下，求u(t),使J(u)為最大。(8)實現(xiàn)軟著陸例3.捕魚問題

某漁業(yè)公司從事捕魚生產(chǎn)。漁業(yè)公司希望獲得最大利潤，而管理部門要求不得破壞魚資源。問漁業(yè)公司應如何進行捕魚生產(chǎn)？記考察時間中的捕魚生產(chǎn)x(t)------t時刻魚的數(shù)量，F(xiàn)(x)------魚的自然增長率u(t)------t時刻的生產(chǎn)速率，則魚的數(shù)量x(t)的變化規(guī)律為：(11)(12)

捕魚率u(t)依賴捕魚努力量E(t)和魚的數(shù)量x(t)，有如下關系：

不破壞魚資源：(13)捕魚能力：(14)捕魚利潤:利潤=收入-成本魚價：p單位努力量成本：qT時刻的利潤為：問題歸結為：在滿足約束條件(11)-----(14)下，求u(t)使PV達到最大。(15)4機器人手臂傳動系統(tǒng)圖1是機器人手臂控制原理圖。液壓油缸受作用力，帶動手臂作水平運動。問作用力按什么規(guī)律變化時，手臂才能從初始位置A以最短時間運動到終點B，且達到終點時的速度為零.x0OxuBA2.最優(yōu)控制的問題一般提法

前述例子是不同的實際問題，但它們有許多共同之處。歸納起來它們都具有如下四個要素:(2)目標集的某個點集其中(3)容許控制控制變量都受到約束，所受約束可表示為：

(1)受控對象的數(shù)學模型----狀態(tài)方程(4)性能指標最優(yōu)控制的問題一般提法目標集

容許控制:u(t)是分段連續(xù)函數(shù)。性能指標:

達到目標集S,并使性能指標J(u)達到最小值。已知

狀態(tài)方程與初態(tài)其中

若最優(yōu)控制問題有解，記為此時系統(tǒng)稱為最優(yōu)控制系統(tǒng).稱為最優(yōu)控制,系統(tǒng)狀態(tài)方程的相應解稱為最優(yōu)軌線,相應性能指標稱為最優(yōu)性能指標,記為分類特征問題說明按狀態(tài)方程分連續(xù)控制系統(tǒng)控制系統(tǒng)狀態(tài)方程是一階微分方程組離散控制系統(tǒng)控制系統(tǒng)狀態(tài)方程是一階差分方程組按性能指標末值型性能指標強調對末態(tài)的要求。在古典變分法中這類問題稱為梅伊爾(mayes)問題積分型性能指標反映對整個控制過程的要求。在古典變分法中這類問題稱為拉格朗日(Lagrange)問題復合型性能指標既有對控制過程的要求，也強調對末態(tài)的要求，在古典變分法中，這類問題稱為波爾扎(Bolza)問題按末端條件分末端固定末值狀態(tài)為指定的一個點末端受約束末值狀態(tài)限制在某個范圍3.最優(yōu)控制問題分類最優(yōu)控制問題是多種多樣的，下面我們給出一個概括分類。最優(yōu)控制問題分類表續(xù)表：按末端狀態(tài)分末端自由末值狀態(tài)可以任意末端時間固定到達末態(tài)的時刻T固定末端時間自由到達末態(tài)的時刻T不固定按函數(shù)類型分定常問題狀態(tài)方程，性能指標和末態(tài)約束中的函數(shù)均不顯含時間t時變問題狀態(tài)方程，性能指標和末態(tài)約束中的函數(shù)有顯含時間t的線性系統(tǒng)問題狀態(tài)方程中的函數(shù)關于x(t),u(t)均是線性的非線性系統(tǒng)問題狀態(tài)方程中的函數(shù)關于x(t),u(t)是非線性的按應用領域分調節(jié)器問題控制系統(tǒng)使其回到平衡狀態(tài)，且消耗能量最少跟蹤問題要求系統(tǒng)的狀態(tài)盡可能地接近希望的狀態(tài)變化過程，并且要使消耗的能量最少時間最優(yōu)控制要求在最短時間內使系統(tǒng)叢初狀態(tài)轉移到末態(tài)燃料最優(yōu)控制要求用最少的燃料消耗使系統(tǒng)從初態(tài)轉移到末態(tài)能量最優(yōu)控制要求用最少的能量消耗使系統(tǒng)從初態(tài)轉移到末態(tài)按控制方法分開環(huán)最優(yōu)控制控制量由參考輸入和狀態(tài)的初值所決定閉環(huán)最優(yōu)控制控制量由參考輸入和系統(tǒng)的實時狀態(tài)所確定4最優(yōu)控制問題的解法1．變分法

變分法是求泛函極值的古典方法。它要求的條件很強，故適應范圍較窄。但對一些問題使用起來較方便。2．極大值原理

它是蘇聯(lián)學者龐特里亞金等人在五十年代提出的一種方法。它克服了變分法的缺點，是變分法的重大發(fā)展。它是當前求解最優(yōu)控制問題的主要方法之一。3．動態(tài)規(guī)劃法

它是美國學者貝爾曼在五十年代提出的一種方法。它利用最優(yōu)化原理，把多級求最優(yōu)策略問題轉化為多步的一級求最優(yōu)策略問題。它是當今求解最優(yōu)控制問題的另一主要方法。4．數(shù)值解法

由于最優(yōu)控制問題大多是很復雜的，上述求解析解的方法往往不能解決問題。因此，與計算機相結合的數(shù)值方法就迅速發(fā)展起來，并得到普遍應用。二極大值原理前蘇聯(lián)學者龐特里亞金等人經(jīng)過研究提出了極大值原理，克服了變分法的缺限，成功地解決了控制變量受約束情況下的最優(yōu)控制問題。這個方法現(xiàn)已得到廣泛應用，成為解決最優(yōu)控制問題的有效工具。

末態(tài)自由問題最優(yōu)控制問題為：目標集控制域U

性能指標求容許控制使J為最小。已知狀態(tài)方程和初始狀態(tài)定理1(末態(tài)自由問題)設是最優(yōu)控制，是最優(yōu)軌線，則必存在，使得：滿足規(guī)范方程滿足端點條件

H對最優(yōu)控制取極小值.在最優(yōu)軌線上：一向量函數(shù)當T自由時還有:2.末態(tài)受約束問題最優(yōu)控制問題為：目標集控制域U

性能指標求容許控制使J為最小。已知狀態(tài)方程和初始狀態(tài)其中定理2(末態(tài)受約束問題)設是最優(yōu)控制，是最優(yōu)軌線，則必存在，使得：滿足規(guī)范方程滿足端點條件

H對最優(yōu)控制取極小值.在最優(yōu)軌線上：一向量函數(shù)

其中當T自由時還有:(k>0為常數(shù))例2飛船的月球軟著陸問題已知J(u)=-m(T)

求u(t),使J(u)為最小.這是一個定常系統(tǒng)、末值型性能指標、T自由、末端受約束問題。(1)(2)(3)(4)記作出哈密爾頓函數(shù)

伴隨方程與橫截條件為：

(5)(6)在最優(yōu)軌線上有：由極值條件，H對最優(yōu)控制取極小值，得最優(yōu)控制為如下形式：(7)

由(8)式,或者,或者不變號，故r(t)是單調的。r(t)不可能在某區(qū)間上恒為零,事實上

若，則得與矛盾。

再由(7)式得(8)所以r(t)最多有一個零點.

這種在控制域邊界上來回轉換的控制規(guī)律稱為開關控制或邦一邦(bang-bang)控制.r(t)稱為開關函數(shù)。

此問題的bnag-bang控制有兩種可能情形：

1)先u=a,后u=0.記為(a，0)2)先u=0,后u=a.記為(0，a)顯然，第1)種情形不是最優(yōu)控制，因為若飛船降落的后半段取u=0,即關閉發(fā)動機，飛船成為自由落體，不可能實現(xiàn)軟著陸。

(9)最優(yōu)控制為下面確定轉換點和轉換時刻設在某區(qū)間上,u=a,由狀態(tài)方程（1）解得：(10)設在某區(qū)間上,u=0,由狀態(tài)方程（1）解得：為了直觀形象地研究飛船的運動，下面在相平面(h,v)上討論飛船的運動軌跡。在飛船降落的后半段，u=a,且當t=T時,有(11)在(10)式中,記則得相平面上的運動軌跡為：相軌跡如圖中的OA在最大推力u=a下,燃料F的燃燒時間為（秒）（由得到）對應，則在曲線段OA上任一點(h,v)所確定的初始狀態(tài)，一定能夠以控制律u=a使飛船實現(xiàn)軟著陸，且燃料消耗為最少。設點A與在飛船降落的前半段，u=0由(11)得相平面運動軌跡為：則相軌跡為拋物線.其中過點A的拋物線稱為最大自由降落線.于是得到，最優(yōu)控制的轉換點是拋物線與曲線OA的交點P，轉換時刻為飛船到達P點的時刻.從而最優(yōu)控制為因為轉換點均在曲線OA上，故曲線OA稱為開關（轉換）曲線。(12)閉環(huán)反饋控制這時需要找出與狀態(tài)的關系

.在(11)式中將對數(shù)函數(shù)展開取前兩項：當燃料消耗不超過初始質量的1/4時,即時，則該誤差小于(13)將(13)代入(11)式，曲線OA化為其中。則最優(yōu)控制成為離散系統(tǒng)最優(yōu)控制問題提法為：離散系統(tǒng)狀態(tài)方程：其中初始條件:目標集:控制域:性能指標:求一控制使J為最小.三.離散系統(tǒng)最優(yōu)控制與動態(tài)規(guī)劃法這是多階段(步)決策問題.例1行車問題汽車從A城出發(fā),途中經(jīng)過3條河,到達B城,問如何選擇路線,使花費時間(路程)最短?這是一個4步?jīng)Q策問題（二擇一決策）

ABP1P2P3Q1Q2Q3456467112243窮舉法：所有可能的行車路線共有條，將每一條行車路線所需時間逐一算出，比較各條路線所用時間可得最優(yōu)路線為：最優(yōu)行車時間為（小時）。計算量:此處共需做次加法運算.步?jīng)Q策（二擇一決策）共需進行次加法運算.時，加法運算次數(shù)為4608。

一般若為n例如當n=10反向遞推法第一步：分別求出從到B的最優(yōu)路線與最優(yōu)時間第二步：分別求出從到B的最優(yōu)路線和最優(yōu)時間。比較得從出發(fā)到B的最優(yōu)路線和最優(yōu)時間為：從出發(fā)到B的最優(yōu)路線和最優(yōu)時間為：ABP1P2P3Q1Q2Q3456467112243第三步：分別求出從到B的最優(yōu)路線和最優(yōu)時間。比較得從出發(fā)到B的最優(yōu)路線和最優(yōu)時間為：類似得從出發(fā)到B的最優(yōu)路線和最優(yōu)時間為：

第四步：從起點站A出發(fā)，也只需計算并比較下兩條路線得到從A出發(fā)的最優(yōu)路線和最優(yōu)時間為：（小時）

ABP1P2P3Q1Q2Q3456467112243計算量:除作了3次二擇一決策外，只進行了10次加法運算。次加法運算。時，加法運算次數(shù)為34。

例如當n=10步?jīng)Q策（二擇一決策）共需進行一般若為n用反向遞推法解行車路線問題的思路是，為了找出從A到B的最優(yōu)決策（最優(yōu)路線），從后往前先找出各站到B的最優(yōu)決策（最優(yōu)路線），那么從起點站A到B的最優(yōu)決策（最優(yōu)路線）也就包含在其中。因此，動態(tài)規(guī)劃法實質上是將求一條極值曲線的問題嵌入到求一簇極值曲線的更廣泛的類似問題之中，后者每次只做一步?jīng)Q策，計算非常簡單。這樣，將較難的多步?jīng)Q策問題轉化為多次一步?jīng)Q策問題。這在數(shù)學上稱為嵌入原則。該方法推廣到一般就是動態(tài)規(guī)劃法。貝爾曼最優(yōu)性原理：多步?jīng)Q策過程中的最優(yōu)決策具有這樣的性質：若將過程任意分為兩段，則不論前半段的初始狀態(tài)和決策如何，余下的后半段決策對于新的初始狀態(tài)（即前半段的末值狀態(tài)）仍構成一個最優(yōu)決策。將性能指標記為：設最優(yōu)控制為則根據(jù)動態(tài)規(guī)劃法的思想，為了求及最優(yōu)控制先求及相應的最優(yōu)控制。根據(jù)上述最優(yōu)性原理，我們來求解離散系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題。固定，則

為此考察如下問題所以得或這是動態(tài)規(guī)劃的重要結論。通常稱為動態(tài)規(guī)劃的基本遞推公式。例2：設一階離散系統(tǒng)性能指標：其中不受約束，求解：由基本遞推公式且。先由上公式反向遞推：時，

使J最小求的極小值得時