人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題13.3-13.4 等腰三角形與最短路徑問(wèn)題講練（解析版）

專題13.3-13.4等腰三角形與最短路徑問(wèn)題典例體系（本專題共74頁(yè)82題）一、知識(shí)點(diǎn)1、等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形的兩個(gè)底角相等（“等邊對(duì)等角”）；②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合；2、等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，三線合一所在直線是其對(duì)稱軸；（只有1條對(duì)稱軸）等腰三角形的判定：①如果一個(gè)三角形有兩條邊相等；②如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等；（等角對(duì)等邊）3、等邊三角形：三條邊都相等的三角形；（等邊三角形是特殊的等腰三角形）等邊三角形的性質(zhì)：①等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60?②等邊三角形的每條邊都存在三線合一；4、等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是三線合一所在直線；（有3條對(duì)稱軸）5、等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角是60?的等腰三角形是等邊三角形；6、在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30?，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；7、最短路徑的選擇①當(dāng)兩點(diǎn)在某一條直線的兩側(cè)時(shí),這兩點(diǎn)的最短距離就是連接這兩點(diǎn)的線段與直線的交點(diǎn)就是最短路徑的點(diǎn).②當(dāng)兩點(diǎn)在某條直線的同側(cè)時(shí),這兩點(diǎn)到直線上某一點(diǎn)的最短距離的作法:作任意一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn),然后再連接對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)之間的線段,與直線的交點(diǎn)就是最短距離的點(diǎn)的位置.[來(lái)源:學(xué)&科&網(wǎng)Z&X&X&K]注意：在解決最短路徑的問(wèn)題時(shí),我們通常利用平移、軸對(duì)稱等變化把已知問(wèn)題轉(zhuǎn)化成容易解決的問(wèn)題,從而作出最短路徑的選擇.二、考點(diǎn)點(diǎn)撥與訓(xùn)練考點(diǎn)1：等腰三角形的性質(zhì)典例：（2020·河北河間初二期末）如圖1，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，若AB=AC+CD，那么∠ACB與∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小明通過(guò)觀察分析，形成了如下解題思路：如圖2，延長(zhǎng)AC到E，使CE=CD，連接DE．進(jìn)而得到△ABD≌△AED，便可得到∠ACB與∠B的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)結(jié)合小明的思路，寫出兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，并證明結(jié)論．【答案】∠ACB＝2∠ABC，證明見詳解【解析】∠ACB＝2∠ABC證明：延長(zhǎng)AC到E，使CE=CD，連接DE∴∠E＝∠CDE∵AB=AC+CD∴AE＝AB又∵AD是∠BAC的平分線∴∠BAD＝∠CAD又AD=AD∴△ABD≌△AED∴∠B＝∠E又∵∠ACB＝∠E+∠CDE∴∠ACB＝2∠ABC方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2020·山東芝罘初一期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，腰AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)D，且∠DBC＝15°，則∠A的度數(shù)是（）A．50° B．36° C．40° D．45°【答案】A【解析】解：∵AB的垂直平分線DE交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠C=∠A+15°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°．故選：A．2．（2020·四川成華初一期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′與△ABC關(guān)于直線EF對(duì)稱，∠CAF=10°，連接BB′，則∠ABB′的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】C【解析】如圖，連接BB′∵△AB′C′與△ABC關(guān)于直線EF對(duì)稱，∴△BAC≌△B′AC′，∵AB=AC，∠C=70°，∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°，∴∠BAC=∠B′AC′=40°，∵∠CAF=10°，∴∠C′AF=10°，∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°，∴∠ABB′=∠AB′B=40°，故選C．3．（2020·陜西西安高新一中初一期末）如圖，中，是的角平分線，的垂直平分線分別交于點(diǎn)，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵是的角平分線，∴，故A正確；∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，∴AD=OA+OD=OC+OD，故B正確；∵是的角平分線，∴CD=BD，AD⊥BC，即AD垂直平分BC，∴OB=OC，∴OA=OB，故C正確；∵是的角平分線，∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OC=OB，∴∠ACO=∠CAD=∠BAD=∠ABO，∵BF與OF不一定相等，∴∠BOF與∠ABO不一定相等，∴∠ACO與∠BOF不一定相等，故D錯(cuò)誤故選：D.4．（2020·四川龍泉驛初一期末）如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠A等于()A．30° B．40° C．45° D．36°【答案】D【解析】∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，∴∠BDC＝2∠A.∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2∠A．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，由三角形內(nèi)角和定理，得∠A+2∠A+2∠A＝180°，即∠A＝36°．故選D.5．（2020·山東槐蔭初一期末）如圖，在第1個(gè)△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個(gè)△A1A2D；在邊A2D上任取一點(diǎn)E，延長(zhǎng)A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3個(gè)△A2A3E，…按此做法繼續(xù)下去，則第n個(gè)三角形中以An為頂點(diǎn)的底角度數(shù)是（）A．（）n?75° B．（）n﹣1?65°C．（）n﹣1?75° D．（）n?85°【答案】C【解析】解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得，∠EA3A2＝（）2×75°，∠FA4A3＝（）3×75°，∴第n個(gè)三角形中以An為頂點(diǎn)的底角度數(shù)是（）n﹣1×75°．故選：C．6．（2020·河南羅山初二期末）如圖，AD，CE分別是△ABC的中線和角平分線．若AB=AC，∠CAD=20°，則∠ACE的度數(shù)是（）A．20° B．35° C．40° D．70°【答案】B【解析】∵AD是△ABC的中線，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．∵CE是△ABC的角平分線，∴∠ACE=∠ACB=35°．故選B．7．（2020·山東中區(qū)濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)學(xué)校初二期末）如圖，在中，，，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接AF，則的度數(shù)（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=130°，

∴∠B=（180°-130°）÷2=25°，

∵EF垂直平分AB，

∴BF=AF，

∴∠BAF=∠B=25°．故選D.8．（2020·浙江南潯初三其他）如圖“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)固定，OC=CD=DE，點(diǎn)D、E可在槽中滑動(dòng)，若∠BDE=72°，則∠CDE的度數(shù)是（）A．63° B．65° C．75° D．84°【答案】D【解析】∵OC=CD=DE，∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=72°，∴∠ODC=24°，∵∠CDE+∠ODC=180°﹣∠BDE=108°，∴∠CDE=108°﹣∠ODC=84°．故選：D．9．（2020·山東歷下初一期末）如圖，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，則∠BGH＝（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】B【解析】解：∵∠AOB＝10°，OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，∴∠ODC=10°，∴∠BCD=∠AOB+∠ODC=20°，∵CD=DE，∴∠DEC=∠BCD=20°，∴∠ADE=∠CED+∠AOB=30°，∵ED=EF，∴∠EFD=30°，∴∠BEF=∠EFD+∠AOB=40°，∵FE=FG，∴∠FGE=40°，∴∠GFH=∠FGE+∠AOB=50°，∵GF=GH，∴∠GHF=50°，∴∠BGH=∠GHF+∠AOB=60°，故選B．10．（2022·河南宜陽(yáng)初二期末）如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，則∠C=______．【答案】35°【解析】∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°，

∴∠B=∠ADB=70°，

∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°，

∵AD=CD，

∴∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°.11．（2020·廣東龍崗初一期末）如圖，點(diǎn)O為線段AB上的任意一點(diǎn)（不于A、B重合），分別以AO，BO為一腰在AB的同側(cè)作等腰△AOC和△BOD，OA=OC，OB=OD，∠AOC與∠BOD都是銳角，且∠AOC=∠BOD，AD與BC交于點(diǎn)P，AD交CO于點(diǎn)M，BC交DO于點(diǎn)N．（1）試說(shuō)明：CB=AD；（2）若∠COD=70°，求∠APB的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）∠APB=125°【解析】（1）∵∠AOC=∠BOD，

∴∠AOD=∠COB，

又∵OA=OC，OB=OD，

∴△AOD≌△COB（SAS），

∴CB=AD；

（2）∵∠COD=70°，

∴∠AOC=∠BOD==55°，

∴∠AOD=∠COD+∠BOD=125°=∠COB，

∵△AOD≌△COB，

∴∠DAO=∠BCO，

∴∠DAO+∠CBO=∠BCO+∠CBO，

∴180°-∠APB=180°-∠COB，

∴∠APB=∠COB=125°．12．（2020·陜西渭濱初一期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，延長(zhǎng)BC至D，使BD＝BA，連接AD．點(diǎn)E在AC上，且CE＝CD，連接BE并延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）求證：BF是AD的垂直平分線；（3）連接DE，若AB＝10，求△DCE的周長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）10【解析】（1）證明：∵∠ACB＝90°，CD是BC延長(zhǎng)線，∴∠ACD=∠ACB=90°．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．（2）由（1）知△ACD≌△BCE則∠CAD=∠CBE，又∵∠AEF=∠BEC，∴在△AEF與△BEC中∠AFE=∠BCE＝90°，∴BF⊥AD，又∵BD＝BA，∴BF是AD的垂直平分線．（3）∵EF是AD的垂直平分線，∴EA=ED，又∵BC=AC，AB=BD=10，∴△DEC的周長(zhǎng)=ED+EC+CD=AC+CD=BC+CD=AB=10．考點(diǎn)2：等腰三角形的判定典例：（2020·黑龍江牡丹江）在等腰中，，點(diǎn)D，E在射線上，，過(guò)點(diǎn)E作，交射線于點(diǎn)F．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段上，是的角平分線時(shí)，如圖①，求證：；（提示：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)M．）（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上，是的角平分線時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上，是的外角平分線時(shí)，如圖③，請(qǐng)直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）在（1）、（2）的條件下，若，則___________．【答案】（1）見解析；（2）BC=AE+CF或AE=CF+BC；（3）18或6．【解析】（1）如圖①，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)M．∵，∴∠A=∠BCA=∠EFA，∴AE=EF∴∴∠MED=∠B，∠M=∠BCD又∵∠FCM=∠BCM，∴∠M=∠FCM∴CF=MF又∵BD=DE∴∴ME=BC∴CF=MF=ME+EF=BC+AE即AE+BC=CF；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上，是的角平分線時(shí)，BC=AE+CF，如圖②，延長(zhǎng)，EF交于點(diǎn)M．由①同理可證，∴ME=BC由①證明過(guò)程同理可得出MF=CF，AE=EF，∴BC=ME=EF+MF=AE+CF；當(dāng)點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上，是的外角平分線時(shí)，AE=CF+BC.如圖③，延長(zhǎng)交EF于點(diǎn)M，由上述證明過(guò)程易得，BC=EM，CF=FM，又∵AB=BC，∴∠ACB=∠CAB=∠FAE∵∴∠F=∠FCB，∴EF=AE，∴AE=FE=FM+ME=CF+BC（3）CF=18或6當(dāng)DE=2AE=6時(shí)，圖①中，由（1）得：AE=3，BC=AB=BD+DE+AE=15，∴CF=AE+BC=3+15=18；圖②中，由（2）得：AE=AD=3，BC=AB=BD+AD=9，∴CF=BC-AE=9-3=6；圖③中，DE小于AE，故不存在．故答案為18或6．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題是考查了角平分線、平行線和等腰三角形及全等三角形的綜合題，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)建角平分線加平行的模型，是一道較好的中考真題．鞏固練習(xí)1．（2022·薛城區(qū)祁連山路中學(xué)初一期中）如圖，在中，和的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于，交于，若，則線段的長(zhǎng)為（）A．8 B．．7 C．6 D．5【答案】D【解析】∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠OBE=∠OBC，∠OCF=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠BCO，∴∠OBE=∠EOB，∠FCO=∠FOC，∴BE=OE，F(xiàn)C=FO，∴EF=EO+FO，即EF=BE+CF．∵∴EF=，故選D．2．（2020·湖北黃州初二期末）如圖，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列結(jié)論：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周長(zhǎng)為AB+AC；④BD=CE．其中正確的是____．【答案】①②③【解析】解：①∵BF是∠ABC的角平分線，∴∠ABF＝∠CBF，又∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠DFB，∴DB＝DF即△BDF是等腰三角形，同理∠ECF＝∠EFC，∴EF＝EC，∴△BDF，△CEF都是等腰三角形；故正確．②∵△BDF，△CEF都是等腰三角形，∴DF＝DB，EF＝EC，∴DE＝DF＋EF＝BD＋EC，故正確．③∵①△BDF，△CEF都是等腰三角形∴BD＝DF，EF＝EC，△ADE的周長(zhǎng)＝AD＋DF＋EF＋AE＝AD＋BD＋AE＋EC＝AB＋AC；故正確，④無(wú)法判斷BD＝CE，故錯(cuò)誤，故答案為：①②③．3．（2020·廣東英德初二期中）如圖所示，在四邊形中，，，，平分交邊于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】1【解析】解：，．平分，．，．．4．（2020·廣東高州初三月考）如圖，已知等腰△ABC頂角∠A=36°．（1）尺規(guī)作圖：在AC上作一點(diǎn)D，使AD=BD；（保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）（2）求證：△BCD是等腰三角形．【答案】（1）見解析；（2）△BCD是等腰三角形【解析】（1）如圖1，作AB的垂直平分線，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于為半徑在AB上方畫弧，在AB上方兩圓弧交點(diǎn)為點(diǎn)M，分別以點(diǎn)A、B為圓心以大于為半徑在AB下方畫弧，在AB下方兩圓弧交點(diǎn)為點(diǎn)N．過(guò)點(diǎn)M、N作直線MN，交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)D即為所求．（2）∵在等腰△ABC頂角∠A=36°∴∵AD=BD∴∠ABD=∠A=36°則∠DBC=36°在△BCD中∠ACB=72°∠DBC=36°∠BDC=72°=∠ACB∴△BCD是等腰三角形5．（2020·廣東佛山初二月考）如圖，在和中，，，AC與BD相交于點(diǎn)O.（1）求證：；（2）是何種三角形？【答案】（1）見解析；（2）△OBC是等腰三角形，理由見解析.【解析】（1）∵∠A＝∠D＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△DCB中，，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形，理由：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，∴OB＝OC，∴△OBC是等腰三角形.6．（2020·江蘇海安初二月考）已知∠MAN=30°，點(diǎn)B在射線AM上，且AB=6，點(diǎn)C在射線AN上．（1）若△ABC是直角三角形，求AC的長(zhǎng)；（2）若△ABC是等腰三角形，則滿足條件的C點(diǎn)有個(gè)；（3）設(shè)BC=x，當(dāng)△ABC唯一確定時(shí)，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）或；（2）3；（2）x=3或x≥6【解析】（1）當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，如圖所示，∵∠A=30°∴BC=∴設(shè)BC=x，則AC=2x在Rt△ABC中，由勾股定理得解得x=∴AC=當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，如圖所示，∵∠A=30°∴BC=∴AC=（2）當(dāng)AB為腰時(shí)，等腰三角形有兩個(gè)，如圖，當(dāng)AB為底時(shí)，等腰三角形有1個(gè)，如圖∴△ABC是等腰三角形，則滿足條件的C點(diǎn)有3個(gè)（3）根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，△ABC唯一確定時(shí)，由（1）、（2）得，BC=3或BC≥6.故x=3或x≥6.7．（2020·黑龍江南崗初三其他）已知:在中,,線段的垂直平分線交于點(diǎn),點(diǎn)在上，且,連接如圖1,求證:如圖2,當(dāng)時(shí).在不添加任何輔助線情況下,請(qǐng)直接寫出圖2中的四個(gè)等腰三角形．【答案】見解析；，，，【解析】證明：令，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，，，，，，，，；如圖2，∵AB的垂直平分線交BC于D，∴AD=BD，∴是等腰三角形；∵AB=BE，∴△ABE是等腰三角形；由（1）知，∴△ADE是等腰三角形；∵，，∴∵，∴，∴，，∴∠DAC=∠C，∴AD=CD，∴△ACD是等腰三角形；∴圖中的等腰三角形是：，，，.8．（2020·黑龍江哈爾濱初三二模）圖1、圖2分別是的網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段的端點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D1、圖2中各畫一個(gè)圖形，分別滿足以下要求：（1）在圖1中畫一個(gè)，使得是面積為10的直角三角形，所畫圖形的各頂點(diǎn)必須在小正方形的頂點(diǎn)上；（2）在圖2中畫一個(gè)以線段為一邊的鈍角等腰三角形，并且面積等于10，所畫等腰三角形的各頂點(diǎn)必須在小正方形的頂點(diǎn)上．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）圖形如下(答案不唯一)：（2）圖形如下：9．（2020·鎮(zhèn)江實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三一模）（1）如圖1,△ABC中,∠C=90°,請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作一條直線,把△ABC分割成兩個(gè)等腰三角形(不寫作法,但須保留作圖痕跡).（2）已知內(nèi)角度數(shù)的兩個(gè)三角形如圖2,圖3所示.請(qǐng)你判斷,能否分別畫一條直線把它們分割成兩個(gè)等腰三角形?若能,請(qǐng)寫出分割成的兩個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù).【答案】（1）見解析；（2）圖2能畫一條直線分割成兩個(gè)等腰三角形，分割成的兩個(gè)等腰三角形的頂角分別是132°和84°；圖3不能分割成兩個(gè)等腰三角形.【解析】（1）如圖,直線CE即為所求；（2）圖2能畫一條直線分割成兩個(gè)等腰三角形,分割成的兩個(gè)等腰三角形的頂角分別是132°和84°.圖3不能分割成兩個(gè)等腰三角形.10．（2021·額爾古納市三河中學(xué)初二期末）如圖，在四邊形中，，是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且．（1）求證：≌．（2）連接，判斷與的位置關(guān)系并說(shuō)明理由．【答案】（1）見解析；（2），見解析【解析】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE，∵E為AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，在△ADE和△BFE中，，∴△ADE≌△BFE（AAS）；（2）EG⊥DF，理由如下：連接EG，∵∠GDF＝∠ADE，∠ADE＝∠BFE，∴∠GDF＝∠BFE，∴DG＝FG，由（1）得：△ADE≌△BFE∴DE＝FE，即GE為DF上的中線，又∵DG＝FG，∴EG⊥DF．考點(diǎn)3：與等腰三角形有關(guān)的分類討論典例：（2020·福建寧德初一期末）如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠A＜90°，CD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分線，CD與BE交于點(diǎn)P．當(dāng)∠A的大小變化時(shí)，△EPC的形狀也隨之改變．（1）當(dāng)∠A=44°時(shí)，求∠BPD的度數(shù)；（2）設(shè)∠A=x°，∠EPC=y°，求變量y與x的關(guān)系式；（3）當(dāng)△EPC是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠A的度數(shù)．【答案】（1）56°；（2）y=；（3）36°或°.【解析】解：（1）∵AB=AC，∠A=44°，∴∠ABC=∠ACB=（180-44）÷2=68°，∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=34°，∴∠BPD=90-34=56°；（2）∵∠A=x°，∴∠ABC=（180°-x°）÷2=（）°，由（1）可得：∠ABP=∠ABC=（）°，∠BDC=90°，∴∠EPC=y°=∠BPD=90°-（）°=（）°，即y與x的關(guān)系式為y=；（3）①若EP=EC，則∠ECP=∠EPC=y，而∠ABC=∠ACB=，∠ABC+∠BCD=90°，則有：+（-y）=90°，又y=，∴+-（）=90°，解得：x=36°；②若PC=PE，則∠PCE=∠PEC=（180-y）÷2=，由①得：∠ABC+∠BCD=90°，∴+[-（）]=90，又y=，解得：x=°；③若CP=CE，則∠EPC=∠PEC=y，∠PCE=180-2y，由①得：∠ABC+∠BCD=90°，∴+-（180-2y）=90，又y=，解得：x=0，不符合，綜上：當(dāng)△EPC是等腰三角形時(shí)，∠A的度數(shù)為36°或°.方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，二元一次方程組的應(yīng)用，高與角平分線的定義，有一定難度，關(guān)鍵是找到角之間的等量關(guān)系.鞏固練習(xí)1．（2020·河北河間初二期末）已知實(shí)數(shù)x，y滿足|x﹣4|+（y﹣8）2＝0，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對(duì)【答案】B【解析】解：根據(jù)題意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為4、4、8，∵4+4＝8，∴不能組成三角形；②4是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為4、8、8，能組成三角形，周長(zhǎng)＝4+8+8＝20．所以，三角形的周長(zhǎng)為20．故選：B．2．（2020·雞東縣第三中學(xué)初一期中）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為17cm，一邊長(zhǎng)為4cm，則它的腰長(zhǎng)為（）A．4cm B．6.5cm或9cm C．6.5cm D．4cm或6.5cm【答案】C【解析】解：若腰長(zhǎng)為4，則底邊長(zhǎng)為：17-4-4=9，∵4+4=8＜9，∴不能組成三角形，舍去；若底邊長(zhǎng)為4，則腰長(zhǎng)為：=6.5，∵4+6.56.5，∴能組成三角形，∴該等腰三角形的腰長(zhǎng)為：6.5．故答案為C．3．（2020·山東中區(qū)濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)學(xué)校初二期末）如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為4、9，則它的周長(zhǎng)為()A．17 B．22 C．17或22 D．無(wú)法計(jì)算【答案】B【解析】解：（1）若4為腰長(zhǎng)，9為底邊長(zhǎng)，由于4+4＜9，則三角形不存在；（2）若9為腰長(zhǎng)，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊．所以這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為9+9+4=22．故選：B．4．（2020·廣東龍崗初一期末）如果等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為50°，那么其它兩個(gè)內(nèi)角為（）A．50°，80° B．65°，65°C．50°，65° D．50°，80°或65°，65°【答案】D【解析】解：當(dāng)50°是底角時(shí)，頂角為180°-50°×2=80°，

當(dāng)50°是頂角時(shí)，底角為（180°-50°）÷2=65°．

故這個(gè)等腰三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別是50°，80°或65°，65°．

故選：D．5．（2020·山東招遠(yuǎn)初一期末）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】解：①當(dāng)為銳角三角形時(shí)，如圖1，

∵∠ABD=60°，BD⊥AC，

∴∠A=90°-60°=30°，

∴三角形的頂角為30°；

②當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，如圖2，

∵∠ABD=60°，BD⊥AC，

∴∠BAD=90°-60°=30°，

∵∠BAD+∠BAC=180°，

∴∠BAC=150°

∴三角形的頂角為150°，

故選：D．6．（2021·河南孟津初二期末）如圖，已知每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，A，B兩點(diǎn)都在小方格的格點(diǎn)（頂點(diǎn)）上，請(qǐng)?jiān)趫D中找一個(gè)格點(diǎn)C，使△ABC是以AB為腰的等腰三角形，這樣的格點(diǎn)C有（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7【答案】C【解析】當(dāng)AB為腰時(shí)，分別以A、B點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AB為半徑作圓，可找出格點(diǎn)點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有6個(gè)；使△ABC是以AB為腰的等腰三角形，這樣的格點(diǎn)C有6個(gè)．故選C．7．（2022·河南偃師初二期末）在一張長(zhǎng)為10cm，寬為8cm的矩形紙片上，要剪下一個(gè)腰長(zhǎng)為5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與矩形的頂點(diǎn)A重合，其余的兩個(gè)頂點(diǎn)都在矩形邊上），這個(gè)等腰三角形有幾種剪法（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】有兩種情況：①當(dāng)∠A為頂角時(shí)，如圖1，此時(shí)AE=AF=5cm．②當(dāng)∠A為底角時(shí)，如圖2，此時(shí)AE=EF=5cm．故選B．8．（2020·四川前鋒初三其他）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（2，2），點(diǎn)Q在y軸上，△PQO是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)Q共有A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】B【解析】如圖：滿足條件的點(diǎn)Q共有（0，2）（0，2）（0，-2）（0，4）．故選B．9．（2020·貴州松桃初三其他）平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】構(gòu)造等腰三角形，①分別以A，B為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑作圓；②作AB的中垂線．如圖，一共有5個(gè)C點(diǎn)，注意，與B重合及與AB共線的點(diǎn)要排除．故答案選A.10．（2020·四川內(nèi)江初一期末）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)是5和12，則它的周長(zhǎng)是______________；【答案】29【解析】解：當(dāng)5為腰長(zhǎng)時(shí)，∵5+5<12，故不能組成三角形，當(dāng)12為腰長(zhǎng)時(shí)，邊長(zhǎng)分別為：5，12，12，∵5+12>12，故能組成三角形，故周長(zhǎng)為：5+12+12=29；

故答案為：29．考點(diǎn)4：等邊三角形的性質(zhì)典例：（2020·四川涼山中考真題）如圖，點(diǎn)P、Q分別是等邊邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P、點(diǎn)Q以相同的速度，同時(shí)從點(diǎn)A、點(diǎn)B出發(fā)．

（1）如圖1，連接AQ、CP求證：（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AQ、CP相交于點(diǎn)M，的大小是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出它的度數(shù)（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P、Q在AB、BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AQ、CP相交于M，的大小是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出它的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）不變；60°；（3）不變；120°．【解析】解：（1）證明：∵三角形ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°，∵點(diǎn)P、點(diǎn)Q以相同的速度，同時(shí)從點(diǎn)A、點(diǎn)B出發(fā)，∴BQ=AP，在△ABQ與△CAB中，∴．（2）角度不變，60°，理由如下：∵∴∠CPA=∠AQB，在△AMP中，∠AMP=180°-（∠MAP+∠CPA）=180°-（∠MAP+∠AQB）=∠ABC=60°，∴∠QMC=∠AMP=60°，故∠QMC的度數(shù)不變，度數(shù)為60°．（3）角度不變，120°，理由如下：當(dāng)點(diǎn)P、Q在AB、BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有AP=BQ，∴BP=CQ∵∠ABC=∠BCA=60°，∴∠CBP=∠ACQ=120°，∴∴∠Q=∠P，∵∠QCM=∠BCP，∴∠QMC=∠CBP=120°，故∠QMC的度數(shù)不變，度數(shù)為120°．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)證全等是解題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2020·內(nèi)蒙古林西初二期末）如圖，已知C是線段AB上的任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），分別以AC、BC為邊并且在AB的同一側(cè)作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交CD于M，連接BD交CE于N．給出以下三個(gè)結(jié)論：①AE=BD；②CN=CM；③MN∥AB；④∠CDB=∠NBE．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】∵△ACD和△BCE是等邊三角形∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB即∠ACE=∠DCB∴△ACE≌△DCB（SAS）∴AE=BD，故①正確；∴∠EAC=∠NDC∵∠ACD=∠BCE=60°∴∠DCE=60°∴∠ACD=∠MCN=60°∵AC=DC∴△ACM≌△DCN（ASA）∴CM=CN，故②正確；又∠MCN=180°-∠MCA-∠NCB=180°-60°-60°=60°∴△CMN是等邊三角形∴∠NMC=∠ACD=60°∴MN∥AB，故③正確；在△DCN和△BNE，∠DNC+∠DCN+∠CDB=180°∠ENB+∠CEB+∠NBE=180°∵∠DNC=∠ENB，∠DCN=∠CEB∴∠CDB=∠NBE，故④正確．故選：A．2．（2020·山東槐蔭初一期末）如圖，△DAC和△EBC均是等邊三角形，A、C、B三點(diǎn)共線，AE與BD相交于點(diǎn)P，AE與BD分別與CD、CE交于點(diǎn)M、N，有如下結(jié)論：①△ACE≌△DCB；②∠DPA＝60°；③AC＝DN；④EM＝BN；⑤DC∥EB，其中正確結(jié)論是__________（填序號(hào)）【答案】①②④⑤【解析】解：∵△DAC和△EBC都是等邊三角形，

∴∠ACD=∠BCE=60°，

∴∠ACE=∠DCB=120°，

在△ACE與△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS），故①正確；在△DMP和△ACM中∵△ACE≌△DCB，∴∠BDC=∠EAC又∠DMP=∠AMC∴∠DPA=∠DCA=60°，故②正確；∵△ACE≌△DCB，∴∠BDC=∠EAC又∠ACD=∠BCE=60°，AC=CD在△ACM和△DCN中∴△ACM≌△DCN（ASA）∴AM=DN又根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠AMC＞∠MCE，則∠AMC＞∠ACM，∴AC＞AM∴AC＞DN，故③錯(cuò)誤；由②中△ACM≌△DCN可得AM=DN又△ACE≌△DCB∴AE=DB∴EM=BN，故④正確；∵△DAC和△EBC均是等邊三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，∴∠DCE=∠BEC，∴CD∥BE，故⑤正確．故答案為：①②④⑤3．（2020·武漢市梅苑學(xué)校初二期中）如圖，和都是等邊三角形，∠EBD=78°，則∠AEB=_________度．【答案】138【解析】解：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，

∴BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠DCE=60°，CD=CE，

∴∠BCD=∠ACE，

在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），

∴∠CBD=∠CAE，

∵∠EBD=78°，

∴∠CBD=∠ABE+（78°-60°）

∴∠ABE=∠CAE-18°，

∵∠ABE+∠BAE=∠CAE+∠BAE-18°=∠BAC-18°=42°，

∴∠AEB=180°-42°=138°；

故答案為：138．4．（2020·河南嵩縣初二期末）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊AC上，將△ADE折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，則∠BDF+∠CEF＝_____．【答案】120°【解析】∵三角形ABC是等邊三角形，∴∠A=60o，∴∠ADE+∠AED=180o-60o=120o，由折疊性質(zhì)得：∠ADE=∠EDF,∠AED=∠DEF，∴∠BDF+∠CEF=(180o-2∠ADE)+(180o-2∠AED)=360o-2(∠ADE+∠AED)=360o-240o=120o，故答案為：120o．5．（2020·廣東新豐初三其他）如圖，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在射線上，，，△、△、△均為等邊三角形，則的長(zhǎng)為__．【答案】【解析】解：∵△A1B1B2是等邊三角形，∴∠A1B1B2＝60°，∵∠A1OB1＝30°∴∠OA1B1＝30°，∴B1A1＝OB1＝1，∵∠OA1B1＝30°，∠B1A1B2＝60°，∴∠B2A1A2＝90°，∵∠A2B2B3＝60°，∴∠A1B2A2＝60°，∴A1A2＝A1B2＝＝20，B2A2＝2A1B2＝2＝21，同理A2A3＝21，A3B3＝2A2B3＝4＝22，A3A4＝22，A4B4＝2A3B4＝8＝23，…以此類推，AnAn＝2n?1，∴A2019A2020的長(zhǎng)為22018，故答案為：22018．6．（2020·寧夏銀川市教育局初三其他）如圖，是由9個(gè)等邊三角形拼成的一個(gè)六邊形，如果中間最小的等邊三角形的邊長(zhǎng)是1，則右上角的最大的正三角形的邊長(zhǎng)是_____．【答案】6【解析】如圖，設(shè)第二小的等邊三角形的邊長(zhǎng)為x，而中間的小等邊三角形的邊長(zhǎng)是1，所以其它等邊三角形的邊長(zhǎng)分別x+1，x+2，x+3，由圖形得，x+3=2x，解得x=3，則x+3=6，故答案為：6．7．（2020·福建安溪初三二模）如圖，△ABC與△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，連接CE．求證：BD＝CE．【答案】證明見詳解【解析】證明：連接CE，∵△ABC和△ADE為等邊三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS）

∴BD=CE．8．（2020·山東章丘初一期末）(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE．①請(qǐng)直接寫出∠AEB的度數(shù)為_____；②試猜想線段AD與線段BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)拓展探究：圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同－直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）①60°；②AD=BE.證明見解析；（2）∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由見解析.【解析】（1）①∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，,∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°?∠CDE=120°，∴∠AEB=∠CEB?∠CED=60°；②AD=BE.證明：∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．（2）∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由如下：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135°．∴∠AEB=∠BEC－∠CED=135°－45°=90°．在等腰直角△DCE中，CM為斜邊DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DE=2CM．∴AE=DE+AD=2CM+BE．9．（2020·廣東龍崗初二期末）如圖，已知ABC為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點(diǎn)F．（1）求證：BE=AD；（2）求∠BFD的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）60°【解析】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，又∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴BE=AD；（2）∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD，∴∠BFD=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．10．（2020·江西廣豐初一期末）在同一平面內(nèi)，將兩塊正三角形的紙板的兩個(gè)頂點(diǎn)重合在一起．（1）如圖1重疊部分∠AOD=30°，求∠COB的大?。唬?）如圖2重疊部分∠AOD=15°，求∠COB的大小；（3）如圖3，若兩圖形除O外沒(méi)有重疊，∠AOD=10°，求∠COB的大?。唬?）求∠AOD和∠COB的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）∠COB=90°；（2）∠COB=105°；（3）∠COB=130°；（4）①當(dāng)∠AOD是兩個(gè)角的重疊的角，∠COB=120°-∠AOD；②當(dāng)∠AOD是兩個(gè)角的相離時(shí)的角，且小于或等于60°，∠COB=120°+∠AOD；③當(dāng)∠AOD是兩個(gè)角的相離時(shí)的角，且大于60°，∠COB=240°-∠AOD．【解析】解：（1）∵△COD和△AOB為兩塊正三角形∴∠COD=∠AOB=60°∴∠COB=∠COD+∠AOB－∠AOD=60°＋60°－30°=90°；（2）同理∠COB=∠COD+∠AOB－∠AOD=60°＋60°－15°=105°（3）∠COB=∠COD＋∠AOB+∠AOD=60°+60°+10°=130°；（4）①當(dāng)∠AOD是兩個(gè)角的重疊的角，那么∠COB=120°－∠AOD；②當(dāng)∠AOD是兩個(gè)角的相離時(shí)的角，且小于或等于60°，那么∠COB=120°+∠AOD；③當(dāng)∠AOD是兩個(gè)角的相離時(shí)的角，且大于60°，那么∠COB=360°-(120°+∠AOD)=240°－∠AOD．11．（2020·陜西西安初一期末）（2020?錦州模擬）問(wèn)題情境：已知，在等邊△ABC中，∠BAC與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別在直線AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系．方法感悟：小芳的思考過(guò)程是在CM上取一點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，從而解決問(wèn)題；小麗的思考過(guò)程是在AB取一點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，從而解決問(wèn)題；問(wèn)題解決：（1）如圖1，M、N分別在邊AC，AB上時(shí)，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，M在邊AC上，點(diǎn)N在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你在圖2中補(bǔ)全圖形，標(biāo)出相應(yīng)字母，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）CM＝AN+MN，詳見解析；（2）CM＝MN﹣AN，詳見解析【解析】解：（1）CM＝AN+MN，理由如下：在AC上截取CD＝AN，連接OD，∵△ABC為等邊三角形，∠BAC與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴OA＝OC，在△CDO和△ANO中，，∴△CDO≌△ANO（SAS）∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，∵∠MON＝60°，∴∠COD+∠AOM＝60°，∵∠AOC＝120°，∴∠DOM＝60°，在△DMO和△NMO中，，∴△DMO≌△NMO，∴DM＝MN，∴CM＝CD+DM＝AN+MN；（2）補(bǔ)全圖形如圖2所示：CM＝MN﹣AN，理由如下：在AC延長(zhǎng)線上截取CD＝AN，連接OD，在△CDO和△ANO中，，∴△CDO≌△ANO（SAS）∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，∴∠DOM＝∠NOM，在△DMO和△NMO中，，∴△DMO≌△NMO（SAS）∴MN＝DM，∴CM＝DM﹣CD＝MN﹣AN．考點(diǎn)5：等邊三角形的判定典例：（2021·山西呂梁初二期末）問(wèn)題情景：數(shù)學(xué)課上，老師布置了這樣一道題目，如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，且滿足∠ADE＝60°，DE交等邊三角形外角平分線于點(diǎn)E．試探究AD與DE的數(shù)量關(guān)系．操作發(fā)現(xiàn)：（1）小明同學(xué)過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交AB于F，通過(guò)構(gòu)造全等三角形經(jīng)過(guò)推理論證就可以解決問(wèn)題，請(qǐng)您按照小明同學(xué)的方法確定AD與DE的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明．類比探究：（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D是線段BC上任意一點(diǎn)(除B、C外)，其他條件不變，試猜想AD與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．拓展應(yīng)用：（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且滿足CD＝BC，在圖3中補(bǔ)全圖形，直接判斷△ADE的形狀(不要求證明)．【答案】（1）AD＝DE，見解析；（2）AD＝DE，見解析；（3）見解析，△ADE是等邊三角形，【解析】（1）如下圖，數(shù)量關(guān)系：AD＝DE.證明：∵是等邊三角形∴AB＝BC，∵DF∥AC∴，∠BDF＝∠BCA∴∴是等邊三角形，∴DF＝BD∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)∴BD＝CD∴DF＝CD∵CE是等邊的外角平分線∴∵是等邊三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)∴AD⊥BC∴∵∴在與中∴∴AD＝DE；（2）結(jié)論：AD＝DE.證明：如下圖，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，交AB于F∵是等邊三角形∴AB＝BC，∵DF∥AC∴∴∴是等邊三角形，∴BF＝BD∴AF＝DC∵CE是等邊的外角平分線∴∵∠ADC是的外角∴∵∴∠FAD＝∠CDE在與中∴∴AD＝DE；（3）如下圖，是等邊三角形.證明：∵∴∵CE平分∴CE垂直平分AD∴AE=DE∵∴是等邊三角形.方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定，三角形全等的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握三角形綜合解決方法是解決本題的關(guān)鍵.鞏固練習(xí)1．（2020·山東廣饒初一期末）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有四個(gè)結(jié)論：①AC⊥BD；②BC=DC；③△ABC≌△ADC；④△ABD是等邊三角形．其中正確的是()A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】A【解析】①∵AB=AC，AC=AD，∴△ABD是等腰三角形，∵AC平分∠DAB，∴AC⊥BD，故①正確；②∵AC⊥BD，BE=DE，∴點(diǎn)C在BD的線段垂直平分線上，∴BC=DC，故②正確；③∵AB=AC，AC=AD，BC=CD，∴△ABC≌△ADC，故③正確；④∵∠BAD不一定等于60°，∴△ABD不一定是正三角形，故④錯(cuò)誤．所以正確結(jié)論有①②③，故選A．2．（2022·山東肥城初二開學(xué)考試）如圖，D、E、F分別是等邊△ABC各邊上的點(diǎn)，且AD=BE=CF，則△DEF的形狀是（）．A．等邊三角形 B．腰和底邊不相等的等腰三角形C．直角三角形 D．不等邊三角形【答案】A【解析】∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF，∴AE=BF=CD，又∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等邊三角形，故選A.3．（2022·湖南長(zhǎng)沙初二期中）已知，如圖，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP＝OC，下列結(jié)論：①AC平分∠PAD；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等邊三角形；④AC＝AO+AP；其中正確的序號(hào)是（）A．①③④ B．②③ C．①②④ D．①③【答案】A【解析】解：①∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC；∴∠CAD＝∠BAC＝60°，∠PAC＝180°﹣∠CAB＝60°，∴∠PAC＝∠DAC，∴AC平分∠PAD，故①正確；②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，∴∠ABO與∠DBO不一定相等，則∠APO與∠DCO不一定相等，故②不正確；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，∴∠APC+∠DCP＝150°，∵∠APO+∠DCO＝30°，∴∠OPC+∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等邊三角形；故③正確；④如圖，在AC上截取AE＝PA，∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等邊三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO+∠OPE＝60°，∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，∵OP＝CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO＝CE，∴AC＝AE+CE＝AO+AP；故④正確．故選：A．4．（2022·北京師大附中初二期中）如圖，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若點(diǎn)M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．3個(gè)以上【答案】D【解析】解：如圖在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．∵OP平分∠AOB，∴∠EOP=∠POF=60°，∵OP=OE=OF，

∴△OPE，△OPF是等邊三角形，

∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，∴∠EPM=∠OPN，在△PEM和△PON中，，∴△PEM≌△PON．

∴PM=PN，∵∠MPN=60°，

∴△PNM是等邊三角形，

∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等邊三角形，

故這樣的三角形有無(wú)數(shù)個(gè)．

故選D．5．（2022·東安縣舜德學(xué)校初二期中）如圖所示，是等邊中邊上的點(diǎn)，，，則對(duì)的形狀判斷最準(zhǔn)確的是()A．等腰三角形 B．等邊三角形C．不等邊三角形 D．不能確定形狀【答案】B【解析】解：判斷△ADE是等邊三角形理由如下：∵△ABC是全等三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60o,在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AE＝AD，∠CAD＝∠BAC＝60o，∴△ADE是等邊三角形故選：B6．（2022·山東曹縣）如圖，為等邊三角形，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE=BD，平分，下列結(jié)論:(1)；(2)；(3)是等邊三角形，其中正確的個(gè)數(shù)為()A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【解析】是等邊三角形，，，，平分，，，在和中，，故（2）正確；∴∴，故（1）正確；∴是等邊三角形，故（3）正確．∴正確有結(jié)論有3個(gè)．故選：D．7．（2020·廣西初三三模）如圖，中，，，，，平分，與相交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)等于_____.【答案】3【解析】如圖，延長(zhǎng)CE、DE，分別交AB于G、H，∵∠BAD=∠ADE=60°，∴△ADH是等邊三角形，∴DH=AD=AH=5，∠DHA=60°，∵AC=BC，CE平分∠ACB，∠ACB=90°，∴AB==8，AG=AB=4，CG⊥AB，∴GH=AH=AG=5-4=1，∵∠DHA=60°，∴∠GEH=30°，∴EH=2GH=2∴DE=DH-EH=5=2=3.故答案為38．（2022·廣西興賓初二期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足為H，D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合)，在AD的右側(cè)作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）求證：BD=CE；（2）若點(diǎn)D在線段BC上，問(wèn)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，AC⊥DE？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)CE∥AB時(shí)，若△ABD中最小角為20°，試探究∠ADB的度數(shù)．(直接寫出結(jié)果，無(wú)需寫出求解過(guò)程)【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)(H點(diǎn))時(shí)，AC⊥DE．理由見解析；（3）∠ADB的度數(shù)為20°或40°或100°．【解析】證明：（1）如圖1．∵∠DAE=∠BAC∴∠BAD=∠CAE在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE．（2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)(H點(diǎn))時(shí)，AC⊥DE理由是：如圖2．∵AB=AC，AH⊥BC∴∠BAH=∠CAH∵∠BAH=∠CAE，∴∠CAH=∠CAE∵AH=AE，∴AC⊥DE．（3）∠ADB的度數(shù)為20°或40°或100°．理由如下：①如圖3中，當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵CE∥AB，∴∠BAE=∠AEC，∠BCE=∠ABC．∵△DAB≌△EAC，∴∠ADB=∠AEC，∠ABD=∠ACE，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠AEC+∠EAC=180°-∠ACE=180°-∠ABD=∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°∵△ABD中的最小角是∠BAD=20°，則∠ADB=∠ABC-∠BAD=40°．②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，最小角只能是∠DAB=20°，同理可得：∠ADB=180°-20°-60°=100°．③當(dāng)點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，最小角只能是∠ADB=20°，綜上所述：滿足條件的∠ABD的值為20°或40°或100°．9．（2020·佛山市南海區(qū)桂城街道映月中學(xué)初二月考）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE平分∠ABC交AC邊于E，兩線相交于F點(diǎn)．（1）若∠BAC=60°，∠C=70°，求∠AFB的大??；（2）若D是BC的中點(diǎn)，∠ABE=30°，求證：△ABC是等邊三角形．【答案】（1）115°；（2）證明見解析【解析】（1）∵∠BAC=60°，∠C=70°，∴∠ABC=180°﹣60°﹣70°=50°，∵BE平分∠ABC，∴∠FBD=∠ABC=25°，∵AD⊥BC，∴∠BDF=90°，∴∠AFB=∠FBD+∠BDF=115°．（2）證明：∵∠ABE=30°，BE平分∠ABC，∴∠ABC=60°，∵BD=DC，AD⊥BC，∴AB=AC，∴△ABC是等邊三角形．考點(diǎn)6：含30°銳角三角函數(shù)的直角三角形典例：（2020·廣西東蘭初二期末）如圖，已知為等邊三角形，AE=CD,,相交于點(diǎn)F,于點(diǎn)Q．（1）求證：≌；（2）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）AD=9．【解析】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=CA，∠BAE=∠C=60°，

在△AEB與△CDA中，，

∴△AEB≌△CDA（SAS），

（2）由（1）可知≌，∴,AD=BE又,BF=2FQ=8，∴BE=BF+EF=8+1=9∴AD=9方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形，在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．鞏固練習(xí)1．（2020·甘肅蘭州初二期末）如圖，在中，，，AD是的中線，AE是的角平分線，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則DF的長(zhǎng)是A．2 B．4 C．5 D．【答案】C【解析】∵AB=AC=10，∠BAC=120°，AD是中線，∴∠ABD=∠ACD=（180°-120°）=30°，AD⊥BC，∴AD=AB=5，∵DF//AB，∴∠DFA=∠BAF，∵AF是∠BAD的角平分線，∴∠BAF=∠DAF，∴∠DAF=∠DFA，∴DF=AD=5.故選C.2．（2020·內(nèi)蒙古杭錦后旗初二期末）如圖，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P為OC上一點(diǎn)，PD∥OA交OB于點(diǎn)D，PE⊥OA于點(diǎn)E．若OD＝4，則PE的長(zhǎng)為（）A．2 B．2.5 C．3 D．4【答案】A【解析】解：∵PD∥OA，∠AOB=150°∴∠PDO+∠AOB=180°∴∠PDO=30°過(guò)O作OF⊥PD于F∵OD=4∴OF=×OD=2∵PE⊥OA∴FO=PE=2.故選A.3．（2020·廣西防城港初二期中）如圖5，一棵大樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面5米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°夾角，這棵大樹在折斷前的高度為（）A．10米 B．15米 C．25米 D．30米【答案】B【解析】解：如圖，在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，∴AB=2AC，而CA=5米，∴AB=10米，∴AB+AC=15米．所以這棵大樹在折斷前的高度為15米．故選B．4．（2020·山東嵐山初二期末）如圖，邊長(zhǎng)為12的等邊三角形ABC中，E是高AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CE，將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF，連結(jié)DF．則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段DF長(zhǎng)度的最小值是__________．【答案】3【解析】解：如圖，取AC的中點(diǎn)G，連接EG，∴．∵旋轉(zhuǎn)角為60°，∴∠ECD+∠DCF=60°，又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°，∠ECD=∠ECD，∴∠DCF=∠GCE，∵AD是等邊△ABC底邊BC的高，也是中線，∴，∴CD=CG，又∵CE旋轉(zhuǎn)到CF，∴CE=CF，在△DCF和△GCE中，，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF=EG，根據(jù)垂線段最短，EG⊥AD時(shí)，EG最短，即DF最短，此時(shí)，，，∴DF=EG=3．故答案為：3．5．（2020·湖南淥口初三其他）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則在①3.6②4，③5.5，④7，這四個(gè)數(shù)中AP長(zhǎng)不可能是_____（填序號(hào)）【答案】④【解析】根據(jù)垂線段最短，可知AP的長(zhǎng)不可小于3；∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，∴AB＝6，∴AP的長(zhǎng)不能大于6．故答案為：④6．（2020·廣東南海初二期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝10，將△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF．若四邊形ABED的面積為20，則平移距離為___________．【答案】4【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，∴AC=AB=5，∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF，∴AD=BE，ADBE，∴四邊形ABED為平行四邊形，∵四邊形ABED的面積等于20，∴AC?BE=20，即5BE=20，∴BE=4，即平移距離等于4．故答案為：4．7．（2020·貴州銅仁偉才學(xué)校初二期中）如圖，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，則CD=_______.【答案】3【解析】∵∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°．∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°，∴BD=AD=6，∴CD=BD=6×=3．故答案為3．8．（2020·山西壽陽(yáng)初二期中）如圖，將一幅三角尺如圖所示疊放在一起，若AB=24cm，則陰影部分的面積是__．【答案】72cm2【解析】∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=24cm，∴AC=AB=12cm．由題意可知BC∥ED，∴∠AFC=∠ADE=45°，∴AC=CF=12cm．故S△ACF=×12×12=72（cm2）．故答案為：72cm2．9．（2020·廣東高州初二期中）如圖，已知在中，，為邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為，.（1）求證：；（2）若，，求的周長(zhǎng).【答案】（1）見解析；（2）12【解析】（1）證明:∵DE⊥AB,DF⊥A，∴∠BED=∠CFD=90°，∵AB=AC，∴∠C=∠B，∵D是BC的中點(diǎn)，∴.BD=CD，在△BED和△CFD中,,∴△BED≌△CFD，∴DE=DF；

（2）解：∵AB=AC,∠A=60°，∴△ABC為等邊三角形，.∴∠B=60°，∵∠BED=90°，∴∠BDE=30°，∴，∵BE=1，∴BD=2，∴BC=2BD=4.?∴△ABC的周長(zhǎng)為12.10．（2020·甘肅省武威市第十中學(xué)初三三模）如圖，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)P在邊OA上，OP＝12，點(diǎn)M，N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，求OM的長(zhǎng)．【答案】OM＝5．【解析】解：過(guò)P作PD⊥OB，交OB于點(diǎn)D，在Rt△OPD中，∠AOB=60o，OP＝12，∴OD＝OP=6，∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，∴MD＝ND＝MN＝1，∴OM＝OD－MD＝6－1＝5．考點(diǎn)7：最短路徑問(wèn)題典例：（2022·湖北十堰初二期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中（1）做出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的,并求出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）計(jì)算△ABC的面積；（3）在x軸上畫點(diǎn)P，使PA+PC最?。敬鸢浮浚?）；（2）2.5；（3）見解析【解析】解：（1）如圖所示：（2）如圖，將補(bǔ)成矩形，則，，，，，，，，（3）如圖所示方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了作坐標(biāo)系中的對(duì)稱圖形，利用構(gòu)造法來(lái)求三角形面積和將軍飲馬的問(wèn)題，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2020·山東槐蔭初一期末）某平原有一條很直的小河和兩個(gè)村莊，要在此小河邊的某處修建一個(gè)水泵站向這兩個(gè)村莊供水.某同學(xué)用直線（虛線）表示小河，兩點(diǎn)表示村莊，線段（實(shí)線）表示鋪設(shè)的管道，畫出了如下四個(gè)示意圖，則所需管道最短的是（）.A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，所需管道最短，應(yīng)過(guò)點(diǎn)P或點(diǎn)Q作對(duì)稱點(diǎn)，再連接另一點(diǎn)，與直線l的交點(diǎn)即為水泵站M，故選項(xiàng)A、B、D均錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確，故選：C.2．（2020·河南內(nèi)黃初二期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上，當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）【答案】D【解析】解：作B點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)B′點(diǎn)，連接AB′，交y軸于點(diǎn)C′，

此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小，

∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），

∴B′點(diǎn)坐標(biāo)為：（-3，0），則OB′=3過(guò)點(diǎn)A作AE垂直x軸，則AE=4，OE=1

則B′E=4，即B′E=AE，∴∠EB′A=∠B′AE，

∵C′O∥AE，

∴∠B′C′O=∠B′AE，∴∠B′C′O=∠EB′A∴B′O=C′O=3，

∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（0，3），此時(shí)△ABC