大學(xué)物理-第三版-(下)答案-趙近芳自然科學(xué)

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高校物理習(xí)題及解答

習(xí)題八

8-1電量都是q的三個(gè)點(diǎn)電荷，分別放在正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．試問：(1)在這三角形的中心放一個(gè)什么樣的電荷，就可以使這四個(gè)電荷都達(dá)到平衡(即每個(gè)電荷受其他三個(gè)電荷的庫侖力之和都為零)?(2)這種平衡與三角形的邊長(zhǎng)有無關(guān)系?

解:如題8-1圖示

(1)以A處點(diǎn)電荷為討論對(duì)象，由力平衡知：q'為負(fù)電荷

2

2

20)

33(

π4130cosπ41

2

aqqa

q

'=

?εε

解得q

q3

3-

='

(2)與三角形邊長(zhǎng)無關(guān)．

題8-1圖題8-2圖

8-2兩小球的質(zhì)量都是m，都用長(zhǎng)為l的細(xì)繩掛在同一點(diǎn)，它們帶有相同電量，靜止時(shí)兩線夾角為2θ,如題8-2圖所示．設(shè)小球的半徑和線的質(zhì)量都可以忽視不計(jì)，求每個(gè)小球所帶的電量．解:如題8-2圖示

??

???

===22

0)sin2(π41sincosθεθθlqFTmgTe

解得θπεθtan4sin20mglq=

8-3依據(jù)點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式2

04r

qEπε=

，當(dāng)被考察的場(chǎng)點(diǎn)距源點(diǎn)電荷很近(r→0)時(shí)，

則場(chǎng)強(qiáng)→∞，這是沒有物理意義的，對(duì)此應(yīng)如何理解?

解:

2

0π4rr

qEε=

僅對(duì)點(diǎn)電荷成立，當(dāng)0→r

時(shí)，帶電體不能再視為點(diǎn)電荷，再

用上式求場(chǎng)強(qiáng)是錯(cuò)誤的，實(shí)際帶電體有肯定外形大小，考慮電荷在帶電體上的分布求出的場(chǎng)強(qiáng)不會(huì)是無限大．

8-4在真空中有A，B兩平行板，相對(duì)距離為d，板面積為S，其帶電量分別為

+q和-q．則這兩板之間有相互作用力f，有人說f=2

02

4dq

πε,又有人說，由于

f

=qE,

SqE0ε=

，所以f=Sq

02

ε．試問這兩種說法對(duì)嗎?為什么?f究竟應(yīng)等于多少?

解:題中的兩種說法均不對(duì)．第一種說法中把兩帶電板視為點(diǎn)電荷是不對(duì)的，第

二種說法把合場(chǎng)強(qiáng)

Sq

E0ε=

看成是一個(gè)帶電板在另一帶電板處的場(chǎng)強(qiáng)也是不對(duì)

的．正確解答應(yīng)為一個(gè)板的電場(chǎng)為

S

qE02ε=

，另一板受它的作用力

S

q

S

qq

f02

022εε=

=，這是兩板間相互作用的電場(chǎng)力．

8-5一電偶極子的電矩為l

qp

=，場(chǎng)點(diǎn)到偶極子中心O

點(diǎn)的距離為r,矢量r

與l

的夾角為θ,(見題8-5圖)，且lr>>．試證P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E在r方向上的重量rE和垂直于r的重量θE分別為

rE=302cosrpπεθ

,θE=3

04sinrpπεθ

證:如題8-5所示，將p分解為與r平行的重量θsinp和垂直于r的重量θsinp．

∵lr>>

∴場(chǎng)點(diǎn)P在r方向場(chǎng)強(qiáng)重量

3

0π2cosr

pErεθ=

垂直于r方向，即θ方向場(chǎng)強(qiáng)重量

3

00π4sinr

pEεθ=

題8-5圖題8-6圖

8-6長(zhǎng)l=15.0cm的直導(dǎo)線AB上勻稱地分布著線密度λ=5.0x10-9C·m-1的正電荷．試求：(1)在導(dǎo)線的延長(zhǎng)線上與導(dǎo)線B端相距1a=5.0cm處P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)；(2)在導(dǎo)線的垂直平分線上與導(dǎo)線中點(diǎn)相距2d=5.0cm處Q點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)．

解：如題8-6圖所示

(1)在帶電直線上取線元xd，其上電量qd在P點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)為

2

0)

(dπ41

dxax

EP-=

λε

2

22

)

(dπ4dxax

EEl

lPP-=

=

?

?-ελ

]

2

12

1[

π40

lal

a+

-

-

=

ελ

)

4(π2

20lal

-=

ελ

用15=lcm，9

10

0.5-?=λ1

mC-?,5.12=acm代入得2

1074.6?=PE1C

N-?

方向水平向右

(2)同理2

2

2

0ddπ41

d+=

xx

EQλε方向如題8-6圖所示

由于對(duì)稱性

?=l

QxE0

d，即

QE只有y重量，

∵

2

2

2

2

2

2

2

0dd

ddπ41

d++=

xxx

EQyλε

2

2π4ddελ?=

=

l

Qy

QyE

E?

-+22

2

3

22

2

)d(dl

lxx

2

2

2

d4π2+=ll

ελ

以9100.5-?=λ1

cmC-?,15=lcm,5d2=cm代入得

2

1096.14?==QyQEE1

CN-?，方向沿y軸正向

8-7一個(gè)半徑為R的勻稱帶電半圓環(huán)，電荷線密度為λ,求環(huán)心處O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)．解:如8-7圖在圓上取?Rddl=

題8-7圖

?

λλdddRlq==，它在O點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)大小為

2

0π4ddR

REε?

λ=

方向沿半徑向外

則

?

?ελ

?dsinπ4sindd0R

EEx=

=

?

?ελ?πdcosπ4)cos(dd0R

EEy-=

-=

積分

RR

Ex000

π2dsinπ4ελ

??ελ

π

=

=

?

dcosπ400

=-=

?

??ελ

π

R

Ey

∴

REEx0π2ελ

=

=，方向沿x軸正向．8-8勻稱帶電的細(xì)線彎成正方形，邊長(zhǎng)為l，總電量為q．(1)求這正方形軸線上離中心為r處的場(chǎng)強(qiáng)E；(2)證明：在lr>>處，它相當(dāng)于點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)E．

解:如8-8圖示，正方形一條邊上電荷

4q

在P點(diǎn)產(chǎn)生物強(qiáng)PEd方向如圖，大小為

4

π4coscosd2

2

21l

r

EP+

-=

εθθλ

∵

2

2cos2

2

1l

rl

+

=

θ

12coscosθθ-=

∴

2

4

π4d2

2

2

2

l

rl

l

r

EP+

+

=

ελ

PE

d在垂直于平面上的重量β

cosddPEE=⊥

∴

4

2

4

π4d2

2

2

2

2

2

l

r

r

l

r

l

r

l

E+

+

+

=

⊥ελ

題8-8圖

由于對(duì)稱性，P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)沿OP方向，大小為

2)4(π44d42

2220lrlrlrEEP++=

?=⊥ελ

∵

lq4=λ∴

2)4(π422220lrlrqr

EP++=ε方向沿OP

8-9(1)點(diǎn)電荷q位于一邊長(zhǎng)為a的立方體中心，試求在該點(diǎn)電荷電場(chǎng)中穿過立方體的一個(gè)面的電通量；(2)假如該場(chǎng)源點(diǎn)電荷移動(dòng)到該立方體的一個(gè)頂點(diǎn)上，這時(shí)穿過立方體各面的電通量是多少?*(3)如題8-9(3)圖所示，在點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)中取半徑為R的圓平面．q在該平面軸線上的A點(diǎn)處，求：通過圓平面的電通量．(xR

arctan=α)

解:(1)由高斯定理

0dεqSEs?=

?立方體六個(gè)面，當(dāng)q在立方體中心時(shí)，每個(gè)面上電通量相等∴各面電通量

06εqe=Φ．(2)電荷在頂點(diǎn)時(shí)，將立方體延長(zhǎng)為邊長(zhǎng)a2的立方體，使q處于邊長(zhǎng)a2的立方體

中心，則邊長(zhǎng)a2的正方形上電通量06εqe=Φ

對(duì)于邊長(zhǎng)a的正方形，假如它不包含q所在的頂點(diǎn)，則

024εqe=Φ，

假如它包含q所在頂點(diǎn)則0=Φe．

如題8-9(a)圖所示．題8-9(3)圖

題8-9(a)圖題8-9(b)圖題8-9(c)圖

(3)∵通過半徑為R的圓平面的電通量等于通過半徑為2

2xR+的球冠面的電通量，球冠面積*

]

1)[(π22

2

2

2

x

Rx

xR

S+-

+=

∴

)(π42

2

00

xRS

q+=

Φε02εq

=

[2

2

1x

R

x

+-

]

*關(guān)于球冠面積的計(jì)算：見題8-9(c)圖

α

αα

?

?=

dsinπ2rrSα

αα

?

?=0

2

dsinπ2r

)cos1(π22

α-=r

8-10勻稱帶電球殼內(nèi)半徑6cm，外半徑10cm，電荷體密度為2×5

10-C·m-3

求

距球心5cm，8cm,12cm各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)．解:高斯定理

0dε∑?

=

?q

SEs

,

02

π4ε∑=

q

r

E

當(dāng)5=rcm時(shí)，0

=∑

q

,0

=E

8=rcm時(shí)，∑

q3π

4p=3

(r)3內(nèi)r-

∴

2

02

3

π43

π

4r

rr

Eερ

內(nèi)

-=

4

10

48.3?≈1

C

N-?，方向沿半徑向外．

12

=rcm時(shí),

3π

4∑

=ρ

q-3

(外r）內(nèi)3

r

∴

4

2

03

310

10.4π43

π

4?≈-=

r

rr

Eερ

內(nèi)

外

1C

N-?

沿半徑向外.

8-11半徑為1R和2R(2R＞1R)的兩無限長(zhǎng)同軸圓柱面，單位長(zhǎng)度上分別帶有電量λ和-λ,試求:(1)r＜1R；(2)1R＜r＜2R；(3)r＞2R處各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)．

解:高斯定理

0dε∑?=?qSEs取同軸圓柱形高斯面，側(cè)面積rlSπ2=則rlESESπ2d=??

對(duì)(1)1Rr0=∑

q∴0

=

E5

題8-12圖8-12兩個(gè)無限大的平行平面都勻稱帶電，電荷的面密度分別為1σ和2σ，試求空間各處場(chǎng)強(qiáng)．

解:如題8-12圖示，兩帶電平面勻稱帶電，電荷面密度分別為1σ與2σ，

兩面間，nE)(21

210σσε-=

1σ面外，nE)(21210σσε+-=

2σ面外，

nE)(21210σσε+=n：垂直于兩平面由1σ面指為2σ面．

8-13半徑為R的勻稱帶電球體內(nèi)的電荷體密度為ρ,若在球內(nèi)挖去一塊半徑為r＜R的小球體，如題8-13圖所示．試求：兩球心O與O'點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，并證明小球空腔內(nèi)的電場(chǎng)是勻稱的．

解:將此帶電體看作帶正電ρ的勻稱球與帶電ρ-的勻稱小球的組合，見題8-13圖(a)．

(1)ρ+球在O點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)010=E，

ρ-球在O點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)'dπ4π34

30320OOrEερ=

∴O點(diǎn)電場(chǎng)'d33030OOrEερ=；

(2)ρ+在O'產(chǎn)生電場(chǎng)'dπ4d34

3

03

01OOEερ

π='

ρ-球在O'產(chǎn)生電場(chǎng)002='E

∴O'點(diǎn)電場(chǎng)

003ερ

=

'E'OO

題8-13圖(a)題8-13圖(b)

(3)設(shè)空腔任一點(diǎn)P相對(duì)O'的位矢為r

'，相對(duì)O點(diǎn)位矢為r(如題8-13(b)圖)

則

3ερr

EPO=

，0

3ερrEOP'

-

=',

∴

003'3)(3ερερερdOOrrEEEOPPOP

=

='-=+='

∴腔內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)是勻稱的．

8-14一電偶極子由q=1.0×10-6C的兩個(gè)異號(hào)點(diǎn)電荷組成，兩電荷距離

d=0.2cm，把這電偶極子放在1.0×105N·C-1的外電場(chǎng)中，求外電場(chǎng)作用于電偶極子上的最大力矩．解:∵電偶極子

p

在外場(chǎng)

E中受力矩

EpM?=

∴qlEpEM==max代入數(shù)字

4

5

3

6

max

10

0.210

0.110

210

0.1?=?????=MmN?

8-15兩點(diǎn)電荷1q=1.5×10-8C，2q=3.0×10-8C，相距1r=42cm，要把它們之間的

距離變?yōu)?r=25cm，需作多少功?

解:

?

?

=

=

?=

2

2

2

1

212

021π4π4ddrrrrqqr

rqqrFAεε)

11(

2

1

rr-

6

10

55.6-?-=J

外力需作的功6

1055.6-?-=-='AAJ

題8-16圖

8-16如題8-16圖所示，在A，B兩點(diǎn)處放有電量分別為+q,-q的點(diǎn)電荷，AB

間距離為2R，現(xiàn)將另一正試驗(yàn)點(diǎn)電荷0q從O點(diǎn)經(jīng)過半圓弧移到C點(diǎn)，求移動(dòng)過程中電場(chǎng)力作的功．解:如題8-16圖示

0π41ε=OU0

)(=-RqRq

π41ε=

OU)3(R

qR

q-

R

q

0π6ε-

=

∴

Rq

qUUqAoCO00π6)(ε=

-=8-17如題8-17圖所示的絕緣細(xì)線上勻稱分布著線密度為λ的正電荷,兩直導(dǎo)線的長(zhǎng)度和半圓環(huán)的半徑都等于R．試求環(huán)中心O點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)．

解:(1)由于電荷勻稱分布與對(duì)稱性，AB和CD段電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)相互抵消，取θddRl=

則θλddRq=產(chǎn)生O點(diǎn)E

d如圖，由于對(duì)稱性，O點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)沿y軸負(fù)方向

題8-17圖

θ

εθ

λπ

π

cosπ4dd2

2

2

0??-==R

REEy

R0π4ελ

=

［)2

sin(π

-

2

sin

π

-］

R

0π2ελ-=

(2)AB電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生電勢(shì)，以0=∞U

?

?

=

=

=A

B

20

0012

lnπ4π4dπ4dR

R

x

x

x

x

Uελ

ελελ

同理CD產(chǎn)生2

lnπ402

ελ

=

U

半圓環(huán)產(chǎn)生

034π4πελ

ελ

=

=

R

RU

∴

0032142lnπ2ελ

ελ

+

=

++=UUUUO8-18一電子繞一帶勻稱電荷的長(zhǎng)直導(dǎo)線以2×104m·s-1的勻速率作圓周運(yùn)動(dòng)．求

帶電直線上的線電荷密度．(電子質(zhì)量0m=9.1×10-31kg，電子電量e=1.60×10-19C)解:設(shè)勻稱帶電直線電荷密度為λ，在電子軌道處場(chǎng)強(qiáng)

r

E0π2ελ

=

電子受力大小

r

eeEFe0π2ελ

=

=

∴r

v

m

r

e2

0π2=ελ

得

13

2

010

5.12π2-?==

emv

ελ1

mC-?8-19空氣可以承受的場(chǎng)強(qiáng)的最大值為E=30kV·cm-1，超過這個(gè)數(shù)值時(shí)空氣要發(fā)生火花放電．今有一高壓平行板電容器，極板間距離為d=0.5cm，求此電容器可承受的最高電壓．

解:平行板電容器內(nèi)部近似為勻稱電場(chǎng)

∴4

105.1d?==EUV

8-20

依據(jù)場(chǎng)強(qiáng)E

與電勢(shì)U的關(guān)系UE-?=

，求下列電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)：(1)點(diǎn)電荷q的

電場(chǎng)；(2)總電量為q，半徑為R的勻稱帶電圓環(huán)軸上一點(diǎn)；*(3)偶極子qlp=的

lr>>處(見題8-20圖)．

解:(1)點(diǎn)電荷r

qU0π4ε=

題8-20圖

∴

02

00π4rrqrrUEε=??-=0r為r

方向單位矢量．

(2)總電量q，半徑為R

的勻稱帶電圓環(huán)軸上一點(diǎn)電勢(shì)

2

2

π4x

R

q

U+=

ε

∴

i

x

Rqx

ixUE2

/3220π4+=

??-=ε

(3)偶極子lqp

=在lr>>處的一點(diǎn)電勢(shì)

2

00

π4cos])cos21(1)

cos2(1[π4r

qll

lrqUεθθθε=

+--

=

∴

3

0π2cosr

pr

UErεθ

=

??-

=

3

0π4sin1r

pUrEεθθ

θ=

??-

=

8-21證明：對(duì)于兩個(gè)無限大的平行平面帶電導(dǎo)體板(題8-21圖)來說，(1)相向的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號(hào)相反；(2)相背的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號(hào)相同．證:如題8-21圖所示，設(shè)兩導(dǎo)體A、B的四個(gè)平面勻稱帶電的電荷面密度依次

為1σ，2σ，3σ，4σ

題8-21圖

(1)則取與平面垂直且底面分別在A、B內(nèi)部的閉合柱面為高斯面時(shí)，有0)(d32=?+=??

SSEsσσ∴+2σ03=σ說明相向兩面上電荷面密度大小相等、符號(hào)相反；

(2)在A內(nèi)部任取一點(diǎn)P，則其場(chǎng)強(qiáng)為零，并且它是由四個(gè)勻稱帶電平面產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)疊加而成的，即

22220

4

3

2

1

=-

-

-

εσ

εσεσ

εσ

又∵+2σ03=σ

∴1σ4σ=

說明相背兩面上電荷面密度總是大小相等，符號(hào)相同．

8-22三個(gè)平行金屬板A，B和C的面積都是200cm2，A和B相距4.0mm，A與C相距2.0mm．B，C都接地，如題8-22圖所示．假如使A板帶正電3.0×10-7C，略去邊緣效應(yīng)，問B板和C板上的感應(yīng)電荷各是多少?以地的電勢(shì)為零，則A板的電勢(shì)是多少?

解:如題8-22圖示，令A(yù)板左側(cè)面電荷面密度為1σ，右側(cè)面電荷面密度為2σ

題8-22圖

(1)∵ABACUU=，即∴ABABACACEEdd=

∴2

dd2

1

===AC

ABAB

ACEEσ

σ且1σ+2σSqA=

得,

32

S

qA=

σ

S

qA321=

σ

而

7

110

23

2-?-=-

=-=ACqSqσC

C

10

17

2-?-=-=SqBσ

(2)

30

1

10

3.2

d

d?

=

=

=

AC

AC

AC

A

E

U

ε

σ

V

8-23兩個(gè)半徑分別為1R和2R（1R＜2R)的同心薄金屬球殼，現(xiàn)給內(nèi)球殼帶電+q，試計(jì)算：

(1)外球殼上的電荷分布及電勢(shì)大?。?/p>

(2)先把外球殼接地，然后斷開接地線重新絕緣，此時(shí)外球殼的電荷分布及電勢(shì)；

*(3)再使內(nèi)球殼接地，此時(shí)內(nèi)球殼上的電荷以及外球殼上的電勢(shì)的轉(zhuǎn)變量．解:(1)內(nèi)球帶電q

+；球殼內(nèi)表面帶電則為q

-,外表面帶電為q

+，且勻稱分布，其電勢(shì)

題8-23圖

??

∞∞

=

=

?

=

22

2

π

4

π

4

d

d

RRR

q

r

r

q

r

E

U

ε

ε

(2)外殼接地時(shí)，外表面電荷q

+入地，外表面不帶電，內(nèi)表面電荷仍為q

-．所以球殼電勢(shì)由內(nèi)球q

+與內(nèi)表面q

-產(chǎn)生：

π

4

π

4

2

2

=

-

=

R

q

R

q

U

ε

ε

(3)設(shè)此時(shí)內(nèi)球殼帶電量為q'；則外殼內(nèi)表面帶電量為q'

-，外殼外表面帶電量為+

-qq'(電荷守恒)，此時(shí)內(nèi)球殼電勢(shì)為零，且

π

4

'

π

4

'

π

4

'

2

2

1

=

+

-

+

-

=

R

q

q

R

q

R

q

U

Aε

ε

ε

得

q

R

R

q

2

1

=

'

外球殼上電勢(shì)

2

2

2

1

2

2

2

π

4

π

4

'

π

4

'

π

4

'

R

q

R

R

R

q

q

R

q

R

q

U

Bε

ε

ε

ε

-

=

+

-

+

-

=

8-24半徑為R的金屬球離地面很遠(yuǎn)，并用導(dǎo)線與地相聯(lián)，在與球心相距為

d3

=處有一點(diǎn)電荷+q，試求：金屬球上的感應(yīng)電荷的電量．

解:如題8-24圖所示，設(shè)金屬球感應(yīng)電荷為q'，則球接地時(shí)電勢(shì)0

=

O

U

8-24圖

由電勢(shì)疊加原理有：

=OU0

3π4π4'

00=+

R

qR

qεε

得-='q3q

8-25有三個(gè)大小相同的金屬小球，小球1，2帶有等量同號(hào)電荷，相距甚遠(yuǎn)，其間的庫侖力為0F．試求：

(1)用帶絕緣柄的不帶電小球3先后分別接觸1，2后移去，小球1，2之間的庫侖力；

(2)小球3依次交替接觸小球1，2許多次后移去，小球1，2之間的庫侖力．

解:由題意知

2

02

0π4rq

Fε=

(1)小球3接觸小球1后，小球3和小球1均帶電

2q

q=

',

小球3再與小球2接觸后，小球2與小球3均帶電

q

q43=

''

∴此時(shí)小球1與小球2間相互作用力

02

2

018

3π483

π4"'2

Fr

q

r

qqF=

-

=

εε

(2)小球3依次交替接觸小球1、2許多次后，每個(gè)小球帶電量均為32q

.

∴小球1、2間的作用力0

0294

π43232

2Frq

qF==ε

*8-26如題8-26圖所示，一平行板電容器兩極板面積都是S，相距為d，分別維持電勢(shì)AU=U，BU=0不變．現(xiàn)把一塊帶有電量q的導(dǎo)體薄片平行地放在兩極板

正中間，片的面積也是S，片的厚度略去不計(jì)．求導(dǎo)體薄片的電勢(shì)．

解:依次設(shè)A,C,B從上到下的6個(gè)表面的面電荷密度分別為1σ，2σ，3σ，

4σ,5σ,6σ如圖所示．由靜電平衡條件，電荷守恒定律及維持UUAB=可得以下6個(gè)方程

題8-26圖

?????????????++++==+=+-

==

+=+=

=

=+6

5

4

3

2

1

543206

54

3002

1001σ

σ

σ

σσ

σσσσσεσσσσεσσd

U

S

qSqd

U

UCS

SqBA

解得

S

q26

1=

=σ

σ

SqdU

203

2

-=

-=εσ

σ

Sqd

U2054+

=

-=εσσ

所以CB間電場(chǎng)

Sqd

UE00

4

22εεσ

+

=

=

)

2d(212d02

S

qUEUUCBCε+

=

==

留意：由于C片帶電，所以2

UUC≠

，若C片不帶電，明顯2

UUC=

8-27在半徑為1R的金屬球之外包有一層外半徑為2R的勻稱電介質(zhì)球殼，介質(zhì)相對(duì)介電常數(shù)為rε，金屬球帶電Q．試求：(1)電介質(zhì)內(nèi)、外的場(chǎng)強(qiáng)；(2)電介質(zhì)層內(nèi)、外的電勢(shì)；(3)金屬球的電勢(shì)．解:利用有介質(zhì)時(shí)的高斯定理∑?

=?qSDS

d

(1)介質(zhì)內(nèi))(21RrR電勢(shì)

r

QEU0r

π4rdε=

?=

?

∞

外

介質(zhì)內(nèi))(21RrR>2R-1R，兩柱面之間充有介電常數(shù)ε的勻稱電介質(zhì).當(dāng)兩圓柱面分別帶等量異

號(hào)電荷Q和-Q時(shí)，求：

(1)在半徑r處(1R＜r＜2R＝，厚度為dr，長(zhǎng)為l的圓柱薄殼中任一點(diǎn)的電場(chǎng)能量密度和整個(gè)薄殼中的電場(chǎng)能量；(2)電介質(zhì)中的總電場(chǎng)能量；(3)圓柱形電容器的電容．解:取半徑為r的同軸圓柱面)(S則rlD

SDSπ2d)

(=??

當(dāng))(21RrR時(shí)

3

02π4rr

QEε=∴在21RrR區(qū)域

?

∞

==

3

2

302

2

20231

π8dπ4)π4(

2

1RRQ

rrrQWεεε

∴總能量

)

111(π832

1

2

21RRRQ

WWW+

-=

+=ε

4

10

82.1-?=J

(2)導(dǎo)體殼接地時(shí)，只有21RrR<<時(shí)3

0π4r

r

QEε

=

,02=W

∴

4

2

1

2

11001.1)11(

π8-?=-

=

=RRQ

WWεJ

(3)電容器電容

)

11/(

π422

1

02

RRQ

W

C-

==

ε

12

10

49.4-?=F

習(xí)題九

9-1在同一磁感應(yīng)線上，各點(diǎn)B

的數(shù)值是否都相等?為何不把作用于運(yùn)動(dòng)電荷的磁力方向定

義為磁感應(yīng)強(qiáng)度B

的方向?

解:在同一磁感應(yīng)線上，各點(diǎn)B

的數(shù)值一般不相等．因?yàn)榇艌?chǎng)作用于運(yùn)動(dòng)電荷的磁力方向

不僅與磁感應(yīng)強(qiáng)度B

的方向有關(guān)，而且與電荷速度方向有關(guān)，即磁力方向并不是唯一由磁

場(chǎng)決定的，所以不把磁力方向定義為B

的方向．

題9-2圖

9-2(1)在沒有電流的空間區(qū)域里，如果磁感應(yīng)線是平行直線，磁感應(yīng)強(qiáng)度B

的大小在沿磁感應(yīng)線和垂直它的方向上是否可能變化(即磁場(chǎng)是否一定是均勻的)?(2)若存在電流，上述結(jié)論是否還對(duì)?

解:(1)不可能變化，即磁場(chǎng)一定是均勻的．如圖作閉合回路abcd可證明21BB

=∑?

==-=?0d021IbcBdaBlBabcd

μ

∴21BB

=(2)若存在電流，上述結(jié)論不對(duì)．如無限大均勻帶電平面兩側(cè)之磁力線是平行直線，但B

方向相反，即21BB

≠.

9-3用安培環(huán)路定理能否求有限長(zhǎng)一段載流直導(dǎo)線周圍的磁場(chǎng)?

答:不能，因?yàn)橛邢揲L(zhǎng)載流直導(dǎo)線周圍磁場(chǎng)雖然有軸對(duì)稱性，但不是穩(wěn)恒電流，安培環(huán)路定理并不適用．

9-4在載流長(zhǎng)螺線管的情況下，我們導(dǎo)出其內(nèi)部nIB0μ=，外面B=0，所以在載流螺線管外面環(huán)繞一周(見題9-4圖)的環(huán)路積分

?

外BL

·dl=0但從安培環(huán)路定理來看，環(huán)路L中有電流I穿過，環(huán)路積分應(yīng)為

?

外BL

·dl=I0μ這是為什么?

解:我們導(dǎo)出nlB0μ=內(nèi),0=外B有一個(gè)假設(shè)的前提，即每匝電流均垂直于螺線管軸線．這

時(shí)圖中環(huán)路L上就一定沒有電流通過，即也是?∑==?L

IlB0d0μ

外，與

??=?=?L

llB0d0d

外是不矛盾的．但這是導(dǎo)線橫截面積為零，螺距為零的理想模型．實(shí)

際上以上假設(shè)并不真實(shí)存在，所以使得穿過L的電流為I，因此實(shí)際螺線管若是無限長(zhǎng)時(shí)，

只是外B的軸向分量為零，而垂直于軸的圓周方向分量r

I

Bπμ20=⊥,r為管外一點(diǎn)到螺線管軸

的距離．

題9-4圖

9-5如果一個(gè)電子在通過空間某一區(qū)域時(shí)不偏轉(zhuǎn)，能否肯定這個(gè)區(qū)域中沒有磁場(chǎng)?如果它發(fā)生偏轉(zhuǎn)能否肯定那個(gè)區(qū)域中存在著磁場(chǎng)?

解：如果一個(gè)電子在通過空間某一區(qū)域時(shí)不偏轉(zhuǎn)，不能肯定這個(gè)區(qū)域中沒有磁場(chǎng)，也可能存在互相垂直的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，電子受的電場(chǎng)力與磁場(chǎng)力抵消所致．如果它發(fā)生偏轉(zhuǎn)也不能肯定那個(gè)區(qū)域存在著磁場(chǎng)，因?yàn)閮H有電場(chǎng)也可以使電子偏轉(zhuǎn)．

9-6已知磁感應(yīng)強(qiáng)度0.2=BWb·m-2

的均勻磁場(chǎng)，方向沿x軸正方向，如題9-6圖所示．試求：(1)通過圖中abcd面的磁通量；(2)通過圖中befc面的磁通量；(3)通過圖中aefd面的磁通量．

解：如題9-6圖所示

題9-6圖

(1)通過abcd面積1S的磁通是

24.04.03.00.211=??=?=SBΦWb(2)通過befc面積2S的磁通量

022=?=SBΦ

(3)通過aefd面積3S的磁通量24.0