空間直線平面平行與

第八章8.5空間直線、平面的平行8.5.1直線與直線平行1.了解基本事實(shí)4和定理.2.借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線平行的關(guān)系.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求在學(xué)習(xí)和應(yīng)用基本事實(shí)4和定理的過程中，通過判定和證明空間兩條直線的位置關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動(dòng)分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識探究11.基本事實(shí)4平行于同一條直線的兩條直線______.這一性質(zhì)叫做空間平行線的傳遞性.平行文字語言如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角______或______圖形語言作用判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)2.等角定理相等互補(bǔ)1.思考辨析，判斷正誤(1)如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行.(

)(2)分別和兩條異面直線平行的兩條直線平行.(

)(3)如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.(

)提示(2)分別和兩條異面直線平行的兩條直線可能相交或異面.√×√2.已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，則∠PQR等于(

) A.30° B.30°或150° C.150° D.以上結(jié)論都不對

解析因?yàn)锳B∥PQ，BC∥QR，

所以∠PQR與∠ABC相等或互補(bǔ).

因?yàn)椤螦BC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.B3.對角線互相垂直的空間四邊形ABCD各邊中點(diǎn)分別為M，N，P，Q，則四邊形MNPQ是________.矩形解析如圖所示.∵點(diǎn)M，N，P，Q分別是四條邊的中點(diǎn)，即MN∥PQ且MN＝PQ，∴四邊形MNPQ是平行四邊形.又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ，∴平行四邊形MNPQ是矩形.4.已知在棱長為a的正方體ABCD－A′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點(diǎn)，則MN與A′C′的位置關(guān)系是________.平行解析如圖所示，MN∥AC.又因?yàn)锳C∥A′C′，所以MN∥A′C′.課堂互動(dòng)題型剖析2題型一證明直線與直線平行【例1】如圖所示，在空間四邊形ABCD(不共面的四邊形稱為空間四邊形)中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；證明

因?yàn)榭臻g四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，所以EF∥HG，EF＝HG，所以四邊形EFGH是平行四邊形.(2)如果AC＝BD，求證：四邊形EFGH是菱形.證明

因?yàn)榭臻g四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，又因?yàn)樗倪呅蜤FGH是平行四邊形，所以四邊形EFGH是菱形.證明兩直線平行，目前有兩種途徑：一是應(yīng)用基本事實(shí)4，即找到第三條直線，證明這兩條直線都與之平行；二是證明同一個(gè)平面內(nèi)這兩條直線無公共點(diǎn).思維升華【訓(xùn)練1】如圖，E，F(xiàn)分別是長方體ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點(diǎn).求證：四邊形B1EDF為平行四邊形.證明

如圖，取DD1的中點(diǎn)Q，連接EQ，QC1.故四邊形B1EDF為平行四邊形.【例2】在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是CC1，B1C1，C1D1的中點(diǎn).求證：∠NMP＝∠BA1D.題型二等角定理及應(yīng)用證明

如圖，連接CB1，CD1.∴四邊形A1B1CD是平行四邊形，∴A1D∥B1C.∵M(jìn)，N分別是CC1，B1C1的中點(diǎn)，∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.∴A1B∥CD1.∵M(jìn)，P分別是CC1，C1D1的中點(diǎn)，∴MP∥CD1，∴MP∥A1B，∴∠NMP和∠BA1D的兩邊分別平行且方向都相反，∴∠NMP＝∠BA1D.1.根據(jù)空間中相應(yīng)的定理證明角的兩邊分別平行，即先證明線線平行.2.根據(jù)角的兩邊的方向判定兩角相等.思維升華【訓(xùn)練2】若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，則下列結(jié)論中正確的是(

) A.OB∥O1B1且方向相同 B.OB∥O1B1 C.OB與O1B1不平行

D.OB與O1B1不一定平行D解析如圖所示.∴OB與O1B1不一定平行.【例3】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn).題型三基本事實(shí)4與等角定理的綜合應(yīng)用(1)求證：四邊形BB1M1M為平行四邊形；(2)求證：∠BMC＝∠B1M1C1.∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四邊形BB1M1M為平行四邊形.(2)由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，∴B1M1∥BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1∥CM.又∠BMC與∠B1M1C1兩邊對應(yīng)的方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1.1.判斷兩條直線平行是立體幾何中的一個(gè)重要組成部分，除了平面幾何中常用的判斷方法以外，基本事實(shí)4也是判斷兩直線平行的重要依據(jù).2.證明角相等，利用空間等角定理是常用的方法，在證明過程中一定要說明兩個(gè)角的對應(yīng)邊方向都相同或都相反.另外也可以通過證明兩個(gè)三角形全等或相似來證明兩角相等.思維升華【訓(xùn)練3】如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點(diǎn).(1)求證：四邊形MNA1C1是梯形；證明連接AC，在△ACD中，∵M(jìn)，N分別是棱CD，AD的中點(diǎn)，∴MN是△ACD的中位線，由正方體的性質(zhì)得AC∥A1C1，AC＝A1C1.即MN≠A1C1，易知NA1與MC1不平行，∴M，N，A1，C1四點(diǎn)共面，且四邊形MNA1C1是梯形.(2)求證：∠DNM＝∠D1A1C1.證明由(1)可知MN∥A1C1，又ND∥A1D1，∴∠DNM與∠D1A1C1相等或互補(bǔ)，又∠DNM與∠D1A1C1對應(yīng)的兩邊方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1.1.證明兩條直線平行主要體現(xiàn)數(shù)學(xué)邏輯推理核心素養(yǎng)，主要方法： (1)根據(jù)定義，在同一個(gè)平面內(nèi)且沒有公共點(diǎn)； (2)利用基本事實(shí)4； (3)利用圖形性質(zhì)，如中位線、平行四邊形的對邊等.2.等角定理的結(jié)論是相等或互補(bǔ)，實(shí)際應(yīng)用時(shí)要借助圖形直觀來判斷.

當(dāng)兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行且方向都相同或相反時(shí)，這兩個(gè)角相等，否則這兩個(gè)角互補(bǔ).

課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

一、選擇題1.和直線l都平行的直線a，b的位置關(guān)系是(

) A.相交

B.異面 C.平行

D.平行、相交或異面

解析由基本事實(shí)4知a∥b.C2.空間兩個(gè)角α，β的兩邊分別對應(yīng)平行，且α＝60°，則β為(

) A.60° B.120° C.30° D.60°或120°

解析如圖，∵空間兩個(gè)角α，β的兩邊對應(yīng)平行，D∴這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，∵α＝60°，∴β＝60°或120°.故選D.3.在三棱臺A1B1C1－ABC中，G，H分別是AB，AC的中點(diǎn)，則GH與B1C1(

) A.相交

B.異面

C.平行

D.垂直C解析如圖所示，因?yàn)镚，H分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以GH∥BC，又由三棱臺的性質(zhì)得BC∥B1C1，所以GH∥B1C1.4.在三棱錐P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F(xiàn)分別是AB，PA，AC的中點(diǎn)，則∠DEF＝(

) A.30° B.45° C.60° D.90°

解析由題意可知DE∥PB，EF∥BC，所以∠DEF＝∠PBC＝90°.D5.(多選題)在四棱錐A－BCDE中，底面四邊形BCDE為梯形，BC∥DE.設(shè)CD，BE，AE，AD的中點(diǎn)分別為M，N，P，Q，則(

)BCD又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又PQ≠M(fèi)N，所以B，C，D正確.二、填空題6.在四棱錐P－ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是PA，PC，AB，BC的中點(diǎn)，若EF＝2，則GH＝________.27.下列結(jié)論，其中正確的是________(填序號). ①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等. ②如果兩個(gè)角的兩邊都平行于一個(gè)平面，那么這兩角相等或互補(bǔ). ③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ). ④如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行. ④8.如圖，AA′是長方體ABCD－A′B′C′D′的一條棱，那么長方體中與AA′平行的棱共有________條.3解析∵四邊形ABB′A′，ADD′A′均為長方形，∴AA′∥BB′，AA′∥DD′.又四邊形BCC′B′為長方形，∴BB′∥CC′，∴AA′∥CC′.故與AA′平行的棱共有3條，它們分別是BB′，CC′，DD′.三、解答題9.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E1，F(xiàn)1分別是棱A1D1，C1D1的中點(diǎn).求證：EE1∥FF1.證明

連接EF，E1F1，A1C1，AC，因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，所以由三角形中位線定理得：10.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn).(1)求證：D1E∥BF；證明如圖，取BB1的中點(diǎn)M，連接EM，C1M.所以四邊形EMC1D1為平行四邊形，所以D1E∥C1M.所以四邊形BFC1M為平行四邊形，所以BF∥C1M，所以D1E∥BF.(2)求證：∠B1BF＝∠A1ED1.證明因?yàn)镋D1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF與∠A1ED1的對應(yīng)邊方向相同，所以∠B1BF＝∠A1ED1.11.已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中(如圖)，l?平面A1B1C1D1，且l與B1C1不平行，則下列一定不可能的是(

)AA.l與AD平行

B.l與AD不平行C.l與AC平行

D.l與BD垂直解析假設(shè)l∥AD，則由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，這與l與B1C1不平行矛盾，∴l(xiāng)與AD不平行.12.已知a，b，c是空間中的三條相互不重合的直線，給出下列說法： ①若a∥b，b∥c，則a∥c； ②若a與b相交，b與c相交，則a與c相交； ③若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線； ④若a，b與c成等角，則a∥b.

其中正確的是________(填序號).

解析由基本事實(shí)4知①正確；當(dāng)a與b相交，b與