六年級下冊數(shù)學試題 - 奧數(shù)培優(yōu)：幾何與應用題 （解析版）全國通用

小學奧數(shù)幾何與應用題

姓名分數(shù)

模型一：同一三角形中，相應面積與底的正比關系：

即：兩個三角形高相等，面積之比等于對應底邊之比。

S,：S2=a：b;

模型一的拓展：等分點結論（“鳥頭定理”）

711

如圖，三角形AED占三角形ABC面積的WXL=上

346

模型二：任意四邊形中的比例關系（“蝴蝶定

①Si:S2=S4：S3或者S,XS3=S2XS4

②②A0:0C=(S,+S2):(S4+S3)

模型三：梯形中比例關系（“梯形蝴蝶定理”）

22

①S,:S3=a:b

②Si：S3：S2：S4=a?：b?：ab：ab;

③S的對應份數(shù)為（a+b）

模型四：相似三角形性質

①￡.，=￡」

ABCH

②&：S2=a:A'

模型五：燕尾定理

SAABG：SAAGC=SABGE：SAGEC=BE：EC；

SABGA：SABGC=SAAGF：SAGFC=AF：FC；

SAAGC：SABCG=SAADG：SADGB=AD：DB；

【例1】（難度等級派※※）

如圖，長方形ABCD中，陰影部分是直角三角形且面積為54,0D的

長是16,0B的長是9.那么四邊形OECD的面積是.

【分析與解】

連結DE,依題意

S=J_xBOxAO=J.x9x=54,

MOB22

得A0=12.于是可推知

S=-xDOxAO=—xl6xl2=96,

MOD22

又因為％。產S”=54=1x16x0^,

所以0E=6。.

4

1133

這樣可得S.=-XBOXEO=-X9X6-=30-從而有

ABOE2248

S/sECD=S^BCD_S&BOE

【例2】（難度等級派※※）

如下左圖.將三角形ABC的BA邊延長1倍到D.CB邊延長2倍到E,

AC邊延長3倍到F.如果三角形ABC的面積等于1,那么三角形DEF

的面積是.

【分析與解】

連結AE、BF、CD（如上右圖）.由于三角形AEB與三角ABC的高相等，

而底邊EB=2BC,所以三角形AEB的面積是2.同理，三角形CBF的面

積是3,三角形ACD的面積是1.

類似地

三角膨AED的面積=三角形AEB的面積=2.

三角形BEF的面積=2X（三角形CBF的面積）=6.

三角形CFD的面積=3X（三角形ACD的面積）=3.

于是三角形DEF的面積等于三角形ABC,AEB、CBF、ACD、AED、BEF、CFD的面積之和，即

1+2+3+1+2+6+3=18.

【例3］（難度等級派※※※）

如圖，三角形ABC的面積是1平方厘米，且BE=2EC,F是CD的中點.那

么陰影部分的面積是（）平方厘米.

【分析與解】

21

SABE=*（平方厘米），SACF=-（平方厘米）?

.3?.3

又SACF=SADF,SBCF=SBDF,，

=

所以ACF+S=（平方厘米），

SBCF2SABC2

3/17

BCF）-S

于是SBCF（SACF+SACE

1-1=1（平方厘米）.

236

又SCFF=:SBEF=1x,=」~（平方厘米），

CFF2BEF2612

1+2=4（平方厘米）

故SBDF=SBCF=SBEF+SCEF=

6124

因此,S陰影=SBDF+S|BEF="*"T~~（平方厘米）.

4o12

【例4】（難度等級派※※※）

如圖，己矢口AE」AC,CD=-BC,BF=】TB,那么

546

三角形DE*J面積_

三角形ABQ勺面積

【分析與解】

連結輔助線AD.因為CD=-

4

S^ACD1

Be,所以-----=一（等高的兩個三角形面積之比等于底邊之比）

S.BC4A

q5

同理2MCD_=±

5兇8c4

從而S&CDE=5^AABC

連結輔助線BE、CF,同理可證

1

s

Q=-

°ABDF8△ABC

e_lc

DAAEF-60'AABC

1111

s一kr二里

所以2E

s

°AABC1120

【例5】（難度等級※※※）

4/17

如圖，BD是梯形ABCD的一條對角線，線段AE與梯形的

一條腰DC平行，AE與BD相交于。點.已知三角形BOE

2

的面積比三角形AOD的面積大4平方米，并且EC=-BC.

5

求梯形ABCD的面積.

【分析與解】

三角形ABE的面積比三角形ABD大4平方米，而三角形ABD與三角形ACD面積相等（同底等

高），因此也與三角形ACE面積相等，從而三角形ABE的面積比三角形ACE大4平方米.

272

但EC=-BC,所以三角形ACE的面積是三角形ABE的——=一，從而三角形ABE的面積是

55-23

4。（1一±）=12（平方米），

3

梯形ABCD的面積

=12X（1+±X2）=28（平方米）

【例6】（難度等級派※※※）

如圖，平行四邊形的花池邊長分別為60米與30米.小明和

小華同時從A點出發(fā)，沿著平行四邊形的邊由A-B-C-DT

A…順序走下去.小明每分鐘走50米，小華每分鐘走20米，

出發(fā)5分鐘后小明走到E點，小華走到F點.連結AE、AF,則四邊形AECF的面積與平

行四邊形ABCD的面積的比是.

【分析與解】

小明5分鐘共走了

50X5=250（米），

這時，小明走過了路線是ATBfCTDTATBTE,其中CE=20米（如'AD

圖）.小華5分鐘共走了20X5=100（米），米米

這時，小華走過的路線是ATBTCTF,其中CF=10米（如圖）.連結J-------------米

輔助線AC,

S^AEC：S^ABC=20：60=1:3,

SAACF:SAACD=10：30=I:3.

所以SAAEC+SAACF=-(SAABC+SAACD)>

即四邊形AECF與平行四邊形ABCD的面積之比是1:3.

【例7】（難度等級派※）

圖中正方形周長是20厘米.那么圖形的總面積是平方厘米.

【分析與解】

從圖中可以看出，正方形的邊長也是圓的半徑.

由此可知這兩個圓是等圓.因為正方形的每個角都是90?

所以圖中的兩個扇形的圓心角都是270。.兩個扇形的面積是：

314x52

-———x270X2=117.75（平方厘米）.

360

正方形的面積是5X5=25（平方厘米）.

圖形的總面積是

117.75+25=142.75（平方厘米）.

【例8】（難度等級※派）

如圖中，陰影部分的面積是5.7平方厘米，三角形ABC的面積是.

平方厘米.（〃取3.14）

【分析與解】

根據(jù)對稱性，可知原圖中陰影部分的面積是

C

%R2+4—R?+2=[（乃-2）+4]R2=Q285R2

45-

根據(jù)題意，有0.285R2=5.7X2,所以R2=40,從而

,11

SAABC=R-x-=40x-=10(平方厘米).AB

44

【例9］（難度等級派※※）A

圖中，已知圓心是0,半徑r=9厘米，Z1=Z2=15°,那么陰影部分的面積是

平方厘米.〃（g3.14）

【分析與解】

因為圓的半徑都相等，于是0A=0B.在等腰三角形A0B中兩個底角N1=N2=15°.又知道三

角形內角之和是180°,所以，三角形A0B的頂角

ZA0B=180°—（15°+15°）=150°.

同理NA0C=150°.因此，

NB0C=360°-（150°+150°）=60°

這就是說，陰影部分扇形的面積是圓面積的六分之一，即

1,1,

-XXY2?-X3.14x92=42.39（平方厘米）.

66

【例10】（難度等級※※※）1版

圖中陰影部分的面積是一平方厘米.（乃仁3.14）

【分析與解】

半圓面積是

lx3.14x52=39.25（平方厘米），

2Ac

北”……，幅7

△ABC面積是，A/

\R

（?1x10x10=50平方厘米）.

2

因此陰影面積是

39.25+39.25-50=28.5（平方厘米）.

【例11］（難度等級派※）

圖中兩個陰影部分面積的和是多少平方厘米?

【分析與解】

20

3.14x（二y+2=157（平方厘米），

2

3.14x（蛆了+2=100.48（平方厘米），

2

3.14x（Uy+2=56.52（平方厘米），

2

12X16+2=96（平方厘米），

157-96=61（平方厘米），

因此，陰影部分面積為

100.48+56.52—61=96（平方厘米）.

【例12］（難度等級派）

如右圖，ABCD是正方形.E是BC邊的中點，三角形ECF與三角

形ADF面積一樣大，那么三角形AEF（陰影部分）的面積是正方形

ABCD面積的百分之.（結果保留小數(shù)點后兩位）

【分析與解】

設正方形邊長為1,因為三角形ECF與三角形ADF面積一樣大，

121

而EC=-,AD=1,所以CF=2XDF.從而CF=-,DF=-..

233

三角形AEF的面積

1-—x（—xl+—x—x2）=—=41.67%.

222312

即是正方形ABCD面積的百分之41.67.

【例13］（難度等級派※）

在圖中，已知矩形GHCD的面積是矩形ABCD面積的L,矩形

4

MI1CF的面積是矩形ABCD面積的,，矩形BCFE的面積等于3

6

8/17

平方米.矩形AEMG的面積等于平方米.

【分析與解】

因為GM:MH=（1-1）:1=1:2,所以矩形AEFD的面積等于矩形

466

1］3

BCFE面積的即3X_=，（平方米）.

222

13

又因為AG:AD=（1-_）：1=3:4,所以矩形AEMG的面積等于矩形AEFD面積的即

44

331

二（平方米）.

248

【例14］（難度等級派※※※※）

園林小路，曲徑通幽.如圖所示，小路由白色正方形石板和青、紅

兩色的三角形石板鋪成.問：內圈三角形石板的總面積大，還是外

圈三角形的總面積大?請說明理由.

【分析與解】

兩個相接觸的正方形夾著一個外圈三角形石板和一個內圈三角

形石板.如圖所示，ZEAF與NBAC互補.

將ABAC繞A點順時針旋轉90°補到三角形

EAD的位置.因為NDAE+NEAF=180°,

所以D、A、F在一條直線上.

又AD=AC.從而AD=AF.可知，EA為三角形EDF的DF邊上的中線，于是三角形EAF與三角

形EAD面積相等.也就是三角形EAF與三角形ABC面積相等.

由于兩個相接觸的正方形石板所夾的外圈三角形面積等于內圈三角形面積，所以內圈三角

形石板總面積等于外圈三角形石板的總面積.

【例15］（難度等級派※※）

圖中正六邊形ABCDEF的面積是54,AF=2PF,CQ=2BQ,求陰

影四邊形CEPQ的面積.

9/17

【分析與解】

如圖，將正六邊形ABCDEF等分為54個小正三角形.根據(jù)平行

四邊形對角線平分平行四邊形面積，

△PEF面積=3,

△CDE面積=9.

四邊形ABQP面積=11.

上述三塊面積之和為3+9+11=23.

因此，陰影四邊形CEPQ面積為54-23=31.

【例16］（難度等級※※※）

已知四邊形ABCD是正方形，邊長為3,BE=1.5,AF=L求陰影

（劃線）部分的面積.

【分析與解】

延長DE交AB的延長線于H,由于E是BC中點

所以BH=CD=3.

連DF,設DE與CF相交于G.

因為CD：FH=3：(2+3)：3：5,所以DG:GH=3:5.

△DGF與ZiGHF的面積的比=DG:GH=3：5.

113

△ADH的面積一x3X(3+3)=9,AADF的面積=-x3xl=

222

所以4DGF的面積=9-二3=上15，4GHF的面15積5=725

2223+516

BEH的面積Jxl.5x3=2,所求面積是變-2=受.

2416416

【例17］（難度等級派※）

圖中ABCD是直角梯形，其中，AD=12厘米，AB=8厘米，BC=15

厘米.且三角形ADE、四邊形DEBF、三角形CDF的面積相等.那

么三角形EBF的面積是平方厘米.

10/17

【分析與解】

直角梯形ABCD的面積是

（12+15）X8+2=108（平方厘米）.

因為三角形ADE、四邊形DEBF、三角形CDF的面積相等，并且這三個圖形的面積之和等于

梯形ABCD的面積.所以它們的面積都等于

108+3=36（平方厘米）.

在三角形ADE中，AD=12厘米，所以人￡=36+12*2=6（厘米）.

又知AB=8厘米，所以EB=8-6=2（厘米）.

因為三角形CDF的高=AB=8（厘米）.于是

FC=36+8X2=9（厘米）.

由于BC=15厘米，可知BF=15-9=6（厘米）.

因為NB=90°（g2,所以三角形EBF的面積是

2

-EB?BF=2X6+2=6（平方厘米）.

2

【例18］（難度等級派※※）AED

正方形ABCD的面積是160平方厘米，連接這個正方形4條

F

邊的中點，又得到一個正方形EFGH.像這樣重復幾次后得到

下圖，圖中涂黑色部分的面積是一平方厘米.

B

【分析與解】

白色的三角形分為三層：

第I層的面積占總面積的L；

2

第2層的面積占總面積的=

428

第3層的面積占總面積的_Lx_L=_L；

16232

121

一共占—十—+——=—.

283232

所以黑色部分占總面積的涂黑色的面積是

3232

160x11=55（平方厘米）.

32

11/17

【例19］（難度等級※※※※）

如圖，三個一樣大小的正方形放在一個長方形的盒內，A和B是

兩個正方形的重疊部分，C、D、E是空出的部分，每一部分都是

矩形，它們的面積比是A：B：C：D：E=l：2：3：4：5,那么

這個長方形的長與寬之比是.

【分析與解】

為統(tǒng)一起見，對圖中的矩形，橫向稱為長，縱向稱為寬.因為A

與B的寬相等，所以設A的長為x,則B的長為2x（見左上圖）.因

為C:D:E=3:4：5,C、D、E的寬相等，所以設C的長為3y,

則D、E的長分別為4y和5y.因為圖中的三個正方形相同，邊長

相等，于是得到5y+x=2x+4y,

化簡得x=y.由此推知，若A的長為1,則B、C、D、E的長依次

為2、3、4、5（見右上圖），正方形的邊長為6,大長方形的長為

6X2+3=15.因為A與C面積之比與長之比都是1:3,所以它們

的寬應相等，同為正方形邊長的一半，即64-2=3,所以大長方形的寬為6+3=9,長與寬之

匕匕為15:9=5:3.

【例20］（難度等級※※派）

五環(huán)圖由內圓直徑為8,外圓直徑為10的五個圓環(huán)組成，其

中兩兩相交的小曲邊四邊形（陰影部分）的面積都相等，已知五

個圓環(huán)蓋住的總面積是132.5,求每個小曲邊四邊形的面積（圓

周率〃取3.14).

【分析與解】

每個圓環(huán)的面積是乃（52-42）=9〃

如果五個圓環(huán)彼此沒有重合的部分，則它們的總面積是

5X9乃=45萬.

12/17

因為五環(huán)蓋住的總面積是132.5.

所以每個小曲邊四邊形的面積是

1111

【例21](難度等級※※※)

已知四邊形ABCD是直角梯形，上底AD=8厘米，下底BC=10

厘米，直角腰CD=6厘米，E是AD的中點，F(xiàn)是BC上的點，

2

BF=-BC,G為DC上的點，三角形DEG的面積與三角形CFG

3

的面積相等.那么，三角形ABG的面積是平方厘米.

【分析與解】

由題意可得：

IxEDxDG=1XCGXFC

22

FC=10X(1—2)=12(厘米)，ED=4(厘米)

33

CGED4,36

DG-FC-io"10-5’

DG=6^(1+-)=2—(厘米)，

511

S+S

ADGBCG=（2+3）sDEG=5x]]=27

s梯形ABCD=gx（8+10）x6=54（平方厘米）.

所以三角形ABG的面積是：

54-27a=26上（平方厘米）.

1111

【伊J22].A和B兩個數(shù)的比是8：5,每一數(shù)都減少34后，A是B的2倍，試求這兩個

數(shù).

【分析與解】

方法一：設A為8x,則B為5x,于是有(8x-34):(5x-34)=2：1,x=17,所以A為136,

13/17

B為85.

方法二：因為減少的數(shù)相同，所以前后A、B的差不變，開始時差占3份，后來差占1

份且與B一樣多，也就是說減少的34,占開始的3-1=2份，所以開始的1份為344-2=17,

所以A為17X8=136,B為17X5=85.

【伊】23],近年來火車大提速，1427次火車自北京西站開往安慶西站，行駛至全程的

（?再向前56千米處所用時間比提速前減少了60分鐘，而到達安慶西站比提速前早了2

小時.問北京西站、安慶西站兩地相距多少千米？

【分析與解】設北京西站、安慶西站相距多少千米？

（―x+56）：x=60：120,即（』x+56）：x=l：2,即x=Lx+112,解得x=1232.

111111

即北京西站、安慶西站兩地相距1232千米，

【仍】24],兩座房屋A和B各被分成兩個單元.若干只貓和狗住在其中.已知：A房第一

單元內貓的比率（即住在該單元內貓的數(shù)目與住在該單元內貓狗總數(shù)之比）大于B房第一單

元內貓的比率；并且A房第二單元內貓的比率也大于B房第二單元內貓的比率.試問是否整座

房屋A內貓的比率必定大于整座房屋B內貓的比率？

【分析與解】如下表給出的反例指出：對所提出問題的回答應該是否定的.表中具體

寫出了各個單元及整座房屋中的寵物情況和貓占寵物總數(shù)的比率.

第一單元第二單元整座房屋

A貓1,狗0,貓率=1/1貓1,狗3,貓率=1/4貓2,狗3,貓率=2/5

B貓3,狗1,貓率=3/4貓0,狗1,貓率=0貓3,狗2,貓率=3/5

【伊125],家禽場里雞、鴨、鵝三種家禽中公籬與母籬數(shù)量之比是2：3,已知雞、鴨、

鵝數(shù)量之比是8：7：5,公雞、母雞數(shù)量之比是1：3,公鴨、母鴨數(shù)量之比是3：4.試求

公鵝、母鵝的數(shù)量比.

【分析與解】公雞占家禽場家禽總數(shù)的

15:(3x-x5+4x-x4)=45:46:(3x-x5+4x—x4)=46:47.—

333345

8113

-----------------X----------一,母雞占總數(shù)的士；

8+7+51+31010

公鴨占總數(shù)的一--X—,母鴨占總數(shù)的4；

8+7+53+42020

21332342

公鵝占總數(shù)的------（—+—）=—,母鵝占總數(shù)的一(---1---)=---，公鵝、母

3+21020203+2102020

鵝數(shù)量之比為』：2：3：2.

2020

14/17

M26],在古巴比倫的金字塔旁，其朝西下降的階梯旁6m的地方樹立有1根走子，其

影子的前端正好到達階梯的第3階（箭頭）.另外，此時樹立1根長70cm自桿子，其影子的

長度為175cm,設階梯各階的高度與深度都是50cm,求柱子的高度為多少？

【分析與解】70cm的桿子產生影子的長度為175cm;

所以影子的長度與桿子的長度比為：175：70=2.5倍.

于是，影子的長度為6+1.5+1.5X2.5=11.25,所以桿子的長度為11.25+2.5=4.5m.

【伊】27],已知三種混合物由三種成分A、B、C組成，第一種僅含成分A和B,重量比為

3：5；第二種只含成分B和C,重量比為I：2；第三種只含成分A和C,重量之比為2：3.以

什么比例取這些混合物，才能使所得的混合物中A,B和C,這三種成分的重量比為3：5：2?

【分析與解】注意到第一種混合物種A、B重量比與最終混合物的A、B重量比相同，均為3：

5.所以，先將第二種、第三種混合物的A、B重量比調整到3：5,再將第二種、第三種混合物

中A、B與第一種混合物中A、B視為單一物質.

第二種混合物不含A,第三種混合物不含B,所以1.5倍第三種混合物含A為3,5倍第

二種混合物含B為5,即第二種、第三種混合物的重量比為5：1.5.

于是此時含有C為5X2+1.5X3=14.5,在最終混合物中C的含量為3A/5B含量的2

倍.有14.5+2-1=6.25,所以含有第一種混合物6.25.

即第一、二、三這三種混合物的比例為6.25：5：1.5=25：20：6.

【仍1281現(xiàn)有男、女職工共1100人，其中全體男工和全體女工可用同樣天數(shù)完成同樣

的工作；若將男工人數(shù)和女工人數(shù)對調一下，則全體男25天完成的工作，全體女工需36

天才能完成，問：男、女工各多少人？

【分析與解】直接設出男、女工人數(shù)，然后在通過方程求解，過程會比較繁瑣.

設開始男工為“1”，此時女工為“k”，有1名男工相當k名女工.男工、女工人數(shù)對

調以后，則男工為“k”，相當于女工"k"',女工為“I”.

15/17

有k?：1=36：25,所以k=9.

5

于是，開始有男工數(shù)為」一XI100=500人，女工600人.

1+k

【伊】29],有甲乙兩個鐘，甲每天比標準時間慢5分鐘，而乙每天比標準時間快5分鐘,

在3月15日的零點零分的時候兩鐘正好對準.若已知在某一時刻，乙鐘和甲鐘時針與分針

都分別重合，且在從3月15日開始到這個時候，乙鐘