期中復(fù)習(xí)模擬試題 (十二)-2020-2021學(xué)年人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)及答案

2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中復(fù)習(xí)試題

滿分：100分時(shí)間：60分鐘

第I卷（選擇題共60分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共12小題，每題只有一個(gè)選項(xiàng)正確，每小題5分，共計(jì)60分。

1.下列命題中正確的是（）

A.若a||b,則a在b上的投影為|a|

B.若a-c=6'c（c0），則a=b

C.若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn)，則AB=DC是四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件

D.若a?b>0,貝Ua與b的夾角為銳角；若a-b<0,則a與b的夾角為鈍角

2.設(shè)&,尸2是雙曲線C：￡-4=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C的左支上，且需+

48

瑞^=2V3,則△Pg的面積為（）

A.8B.8V3C.4D.4百

3.已知i為虛數(shù)單位z=*筌，則z的虛部為（）

A.1B.-1C.iD.-i

4.某三棱錐的三視圖如圖所示（網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1）,則該三棱錐中最長的棱長為（）

正視圖：：惻視圖

俯視圖

B.2V2c.VToD.2V3

5.四棱錐S-ABCD中，側(cè)面SBC為等邊三角形，底面ABCD為矩形，BC=2,AB=a,點(diǎn)F

是棱AD的中點(diǎn)，頂點(diǎn)S在底面ABCD的射影為H,則下列結(jié)論正確的是（）

A.棱SC上存在點(diǎn)P使得PD〃面BSF

B.當(dāng)“落在AD上時(shí)，a的取值范圍是（0,遙］

C.當(dāng)H落在AD上時(shí)，四棱錐S-ABCD的體積最大值是2

D.存在a的值使得點(diǎn)B到面SFC的距離為V3

6.在正方體ACX中，E是棱CCi的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BC￡Bi內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且AXF與平面Op4E的垂線垂

直，如圖所示，下列說法不正確的是（）

A.點(diǎn)F的軌跡是一條線段B.4F與BE是異面直線

C.4/與DXE不可能平行D.三棱錐F-ABDi的體積為定值

7.在矩形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)。,E是線段。。的中點(diǎn)，若AE=mAB+nAD,則

m-n的值為（）

TB.-lC.1

8.圣?索菲亞教堂（英語：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)

格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑.1996年經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批

全國重點(diǎn)文物保護(hù)單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點(diǎn)其中央主體建筑集球，圓柱，

棱柱于一體，極具對(duì)稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美.小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高

度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB,高為（15W-15）m，在它們之間的地面上的點(diǎn)M

（B.M,D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A,教堂頂C的仰角分別是15°和60°,在樓頂A處測(cè)得塔頂

C的仰角為30°,則小明估算索菲亞教堂的高度為（）

A.20mB.30mC.20V3mD.30vlm

9.若復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=-i（其中i為虛數(shù)單位）則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.--B.iC.--iD.-i

2222

10.用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖時(shí)，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）

①平行的線段在直觀圖中仍然平行；②相等的線段在直觀圖中仍然相等；

③相等的角在直觀圖中仍然相等；④正方形在直觀圖中仍然是正方形

A.1B.2C.3D.4

11.設(shè)a為平面，a,b為兩條不同的直線，則下列命題正確的是（）

A.若a〃a,b〃a,貝!]a//bB.若a_La,，則匕〃a

C.若a_La>a//b，則b1aD.若a與b相交，且a〃a,貝Ub〃a

12.己知正方體ABCD-的棱長為28，M,N為體對(duì)角線BD1的三等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在三角形

ACB,內(nèi)，且三角形PMN的面積S“MN=^，則點(diǎn)P軌跡長度為（）

8

A辿

八3打B.-JI“%

第n卷（非選擇題共4。分）

二、填空題：本題共計(jì)4小題，共計(jì)16分。

13.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉膈.在如圖所示的鱉腌P-ABC中，PA1

平面4BC,^ACB=90°，CA=4,PA=2,D為4B中點(diǎn)，E為APAC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊

界），且PC_LDE.①當(dāng)E在4C上時(shí)，AE=；②點(diǎn)E的軌跡的長度為.

B

14.如圖，四邊形ABCD中，AB//CD,AB=5,CD=2,BC=底，AC-'BD=O.M,

N分別是線段AB,AD上的點(diǎn)，且|薪|+|眾|=2，則前?麗的最大值為.

15.若復(fù)數(shù)z=(巾2+m-2)+(4m?-8m+3)i,(mER)的共柜復(fù)數(shù)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則實(shí)

數(shù)m的取值范圍為.

16.如圖，在梯形/BCD中，AB1BC,AD//BC,AB=1,BC=1,4D=2.取4D的中點(diǎn)

E,將4ABE沿BE折起，使二面角A-BE-C為120。，則四棱錐A-BCDE的體積為

三、解答題：本題共計(jì)4小題，共計(jì)24分。

17.已知在三棱柱力BC-&B1C1中，4B=BC=BB1=4,ZABC=120°,側(cè)棱與底面垂直，點(diǎn)

M,N分別是棱CG,4%的中點(diǎn).

(1)求三棱柱ABC—4B1G外接球的表面積；

(2)設(shè)平面ABC截三棱柱力BC-4B1G的外接球面所得小圓的圓心為0,求直線0a與平面BMN

所成角的正弦值.

18.復(fù)數(shù)z=m(m—1)+(m—l)i(m6R).

(I)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)；

CD)若m=2,計(jì)算復(fù)數(shù)2-3.

(1)若EF=xAB+yAD，求3x+2y的值；

(2)若|四|=6,=60。，求前?麗.

20.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，平面PAD1平面ABCD,△PAD為等邊三角形,

E為PC中點(diǎn).

(1)求證：PA//平面BDE.

(2)若24=4,三棱錐C-EBD的體積為4,求二面角C-DE-B的正弦值.

答案解析

一、單選題

1.【答案】C

【解析】因?yàn)閍//b，所以a.b的夾角為。或者兀，則d在3上的投影為|a|cos0=±|a|,A不正

確；設(shè)c=(1,0)5=(0,0),a=(0,2),則有a-c=b-c(c0),但a^b,B不正確；

"AB=DC,.-.\AB\=\DC\且AB//DC,又A,B,C,D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊

形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則AB//DC且|m|=|瓦|,所以AB=DC,C符合題意；

心3>0時(shí)，必區(qū)的夾角可能為0,D不正確.

故答案為：C

2.【答案】A

【解析】由需+需=叵需且=鬻=|而|=2百，

|OP||OP||OP||OP|1'

不妨設(shè)&(-2b,0),F2(2V3,0),

所以\OP\=^\F1F2\,所以點(diǎn)P在以F/2為直徑的圓上，

即4PF[F2是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，

222

故\PF1\+\PF2\=IFj^l,即|P0『+|PF2|2=48.

又\PF.t\-\PF2]=2a=4,

22

所以16=(IPFJ-|PF2|)=\PF^+|PF2|-2\PF1\\PF2\=48-2\PFX\\PF2\,

解得：\PF1\\PF2\=16,

所以S^F2=^\PF1\\PF2\=8.

故答案為：A

3.【答案】B

【解析】???n。2。=i。=1/2。21=尸=i,二z=9=高懸=l+i,：.z=1-1,虛部為-1.

故答案為：B

4.【答案】D

【解析】將該幾何體放在棱長為2的正方體中，如圖D-ABC,

由三視圖可得，該三棱錐中最長的棱為AD=V22+22+22=2V3.

故答案為：D.

5.【答案】A

【解析】對(duì)于A：取BC的中點(diǎn)E,連結(jié)DE,取SC中點(diǎn)P,連結(jié)PE、PD,

：PE為aBCS的中位線，:.PE/7BS,

又BSU面BFS,PEC面BFS,；.PE〃面BFS；

在矩形ABCD中，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，，DE〃BF,

又BFU面BFS,DEC面BFS,：.DE面BFS；

又DEQPE=E，二面PDE〃面BFS,PD“面BSF,

A符合題意；

對(duì)于B：：SBC為等邊三角形，BC=2,：.SE=>/3,

當(dāng)a=百時(shí)，S與H重合，圖形不能構(gòu)成四棱錐，與已知條件相悖，B不符合題意;

222

對(duì)于C：在RtZ\SHE中，SH=,：.VS-ABCD=|X2aX-a=|V（3-a）a<1

當(dāng)且僅當(dāng)a2=|時(shí)，Vs_ABCD的最大值為1.C不符合題意；

對(duì)于D：由C的推導(dǎo)可知：當(dāng)%BCD的最大時(shí)，點(diǎn)B到面SFC的距離d最大,

Vs-BFC=lVs-ABCD，

此時(shí)SF=g,CF=VCD2+"=￥

...SASFC=2SFXCF=2X在x?=叵

22224

d=（=Tx-^=主產(chǎn)＜3,D不符合題意。

故答案為：A

6.【答案】C

【解析】對(duì)于A中，設(shè)平面ADrE與直線BC交于點(diǎn)G,連接AG.EG，則G為BC的中點(diǎn),

分別取BjB,BG的中點(diǎn)M,N,連接AM,MN,AN,

因?yàn)锳[M“D[E,AtMC平面DXAE,DXE//平面DyAE,

所以AM1平面D^AE,同理可得MN//平面D-yAE,

又因?yàn)锳iM,MN是平面AiMN內(nèi)的相交直線，

所以平面A^MN//平面DAAE,

由此結(jié)合A^F//平面D^AE,可得直線4JU平面AiMN,

即點(diǎn)F是線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，所以A符合題意；

對(duì)于B中，因?yàn)槠矫鍭、MN"平面D^AE,BE和平面D^AE相交，

所以A.F與BE是異面直線，所以B符合題意；

對(duì)于C中，由A知，平面力1MN〃平面OiAE,所以AXF與DXE不可能平行，

所以C不符合題意；

對(duì)于D中，因?yàn)镸N//EG,又由EG//BC.,,可得MN//BCX,

BCiu平面ABGDi,且MNC平面ABC^D^,所以MN//平面ABC^,

則F到平面ABD.的距離為定值，所以三棱錐F-ABD,的體積為定值，所以D符合題意.

故答案為：C.

7.【答案】A

【解析】因?yàn)锳E=AB+~BE=AB+-BD=AB+-（BA+AD）=-AB+-AD,

4444

所以m=^,n=m-n=-|,

故答案為：A

8.【答案】D

【解析】由題意知：ZCAM=45°,ZAMC=1050所以4cM=30°

.....ABAB

在Rt△ABM中，AM=—s\x\Z—AM—B=—sinl—S,

AMCM4Msin45°4Bsin45°

在中，由正弦定理得丁所以CM=

sin30°sin45sin300sinl50sin30

在Rt△DCM中，CO=CM-sin60°=3皿45".sin60。=(15"濘三=3Q^

sinlS°sin30°瓜一姬■i

42

故答案為：D

9.【答案】A

【解析】由z(l+i)=-i可得2=湍言=于=一京，

所以復(fù)數(shù)Z的虛部為一：。

故答案為：A

10.【答案】A

【解析】對(duì)于①，平行的線段在直觀圖中仍然是平行線段，所以①正確；

對(duì)于②，相等的線段在直觀圖中不一定相等，如平行于%軸的線段，長度不變，平行于y軸的線段，

變?yōu)樵瓉淼膢,所以②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，相等的角在直觀圖中不一定相等，如直角坐標(biāo)系內(nèi)兩個(gè)相鄰的直角，在斜二測(cè)畫法內(nèi)是45°

和135°,所以③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，正方形在直觀圖中不是正方形，是平行四邊形，所以④錯(cuò)誤；

綜上，正確的命題序號(hào)是①，共1個(gè).

故答案為：A.

11.【答案】C

【解析】A.若a“a,b“a,則a,b平行，相交或異面，故錯(cuò)誤；

B.若ala,dJL3,則b與a平行或在平面內(nèi)，故錯(cuò)誤；

C.若ala,a//b，貝!Ib1a,由線面垂直的性質(zhì)定理知，故正確；

【).若a與b相交，且a//a,則b與a平行或相交，故錯(cuò)誤.

故答案為：C

【分析】A.利用空間兩直線的位置關(guān)系判斷；B.利用空間直線與平面的位置關(guān)系判斷；C.利用線面垂直

的性質(zhì)定理判斷；【).利用直線與平面的位置關(guān)系判斷.

12.【答案】A

【解析】如圖所示：

連接BgCBiC=0,因?yàn)樗倪呅蜝CC1B1是正方形，所以BGJ.B1C,

因?yàn)镈iG1平面BCC1B1,BiCu平面BCgBi,所以D?1BXC,

又BGnDiG=G，BGu平面BCyDy,DJGu平面BC[D],

所以B^C1平面BGDi,所以BiC_LDiB,

同理可知：ByA1DiB,

又因?yàn)锽iCu平面ACBt,B〃u平面ACBi,B^CB^A=,

所以D】B1平面ACB1,

根據(jù)題意可知：AB=V54B=6,4B]=%。=AC=2通，所以△"名為正三角形，所以ZBrAC=

60°,

所以S?ACB1=|x2V6x2V6Xy=6V3，設(shè)B到平面ACB1的距離為h，

=

因?yàn)閥B-ACB1-ABC?所以g，S&ACB、.h1,S〉A(chǔ)CB'BB],

所以SMCBI，h—S^ACB'BB]，

所以更x（2遙）2x4=邁越、2b，所以h=2=9。/，所以力=BN,

423

所以N即為D$與平面ACBi的交點(diǎn)，由題意可知：DiBl平面ACB］，所以MN，PN,

所以SNMN=^MN.PN='2.PN=PN=當(dāng),再如下圖所示：

在正三角形4cBi中，高AO=ZlCsin600=2V6Xy=372,

所以內(nèi)切圓的半徑r=-A0=^2<^-,且也<2節(jié),=AN,

333

取BiC的兩個(gè)三等分點(diǎn)E.F,連接EN,FN,所以NE"AB”NFI]AC,

所以ANEF是以PN長度為邊長的正三角形，所以P的軌跡是以N為圓心，半徑等于辿的圓，圓

3

的周長為幽，

3

在△AC%內(nèi)部的軌跡是三段圓孤，每一段圓弧的圓心角為60。，所以對(duì)應(yīng)的軌跡長度是圓周長的一半

為巫,

3

故答案為：A.

二、填空題

13.【答案】2；,

【解析】⑴當(dāng)E在AC上時(shí)，因?yàn)镻41平面ABC，故PA1DE，又PC1DE，故DE1平面

PAC,故DE14C,又4cB=90。,D為AB中點(diǎn)，，故DE//BC，所以E為AC中點(diǎn)，故

AE=\AC=2。(2)取AC中點(diǎn)F,則由⑴有DF1平面PAC，故PC1DF，又PC1DE，設(shè)平面

DEFnPC=G,則有PC1平面DGF,故點(diǎn)E的軌跡為FG,

又此時(shí)CF=2,tan4CA=粵=：，故sin4S=不占=橐，

AC2vlz+2zV5

所以FG=CF-smZPCA=京=當(dāng)。

故答案為：(1).2(2).延。

5

14.【答案】1

【解析】設(shè)/CBA=?,

則NBCD=兀一4

則前=或+而，AC=BC-BA,

???CD//AB,CD=2,AB=5,

一2一

???CD=-BA,

__>__?2__?

??.BD=BC+-Fi4,

,:BDLAC,

，，，一,’‘’>‘‘’>o，，>，.一,，

???BDMC=(BC+2),(BC-B4)=0,

即13—gx5xcos8+：x5xVnxcose—|x25=0

得3V13COS0=3'即cos"普’

則CEi/DF,CE=DF,

則BE=BC?cos。=1

則DF=CE=2V3,

vCE〃。凡CE=DF,

???EFnCDfEF=CD=2,

??.AF=AB-BE-EF=2

則tan4MF=2=V5

2

n

???ZDAB=ZDAF=

AF

:.AD=-----元=4,

COSJ

由麗|+\AN\=2,

得麗|=2-|麗I，

________________________________________________]

???AM-AN=\AM\■\AN\-cosAB=(2-|詞)?麗|.-

=麗|一河『，

v\AN\G(0,2),函數(shù)y=~\x2+x開口向下，對(duì)稱軸x=1,

2

-?當(dāng)|而|=1時(shí)，(AM-4N)max=l-|xl=|o

故答案為：|o

15.【答案】（1,|）

【解析】

因?yàn)閦對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，所以z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，

2

所以I嗎卡3一4Tn，解得1<伍<:即，

故答案為：（1,|）.

16.【答案】漁

12

【解析】解：梯形ABCD的面積S=比等=|,S^ABE=1x1x1=|,所以SaBCDE=l-^=l,

如圖，取BE的中點(diǎn)H,連接AH,CH,：.AHLBE,CH1.BE,：.ZAHC為二面角A-

BE-C的平面角，

/.ZAHC=120°,過點(diǎn)A作CH的垂線，交CH的延長線于點(diǎn)K,則AK_L面BCDE,因?yàn)?/p>

BE=yjAB2+AE2=近，所以4"=也，

2

所以AK=AH-sin60°=—x—=—

224

所以yA-BCDEbcde=iXX1=?

故答案為：立

12

三、解答題

17.【答案】（1）解：據(jù)已知條件，取AC的中點(diǎn)H,以C4所在的直線為x軸，以BH所在的直線

為y軸，以過點(diǎn)H且和AAt平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

由已知可得力(28,0,0),5(0,-2,0),C(-2V3,0,0),4(2g,0,4),^(-273,0,4),

Bi(0,-2,4),

設(shè)球心G的坐標(biāo)為(a,b,c)，貝(1G4=GC=GB],且c=2

所以(a-2遮產(chǎn)+〃+4=(a+2>/3)2+b2+4

(a—2V3)2+b2+4=a2+(b+2)2+4'

解得：a=0,b=2,所以G(0,2,2),

所以r=y/02+(2+2)2+(2-4)2=2y/5,

所以外接球的表面積S=4兀/_7r(2r)2=807r

(2)解：由⑴可知：所以BC=(-2V3,2,0),鬲=(0,0,4),

因?yàn)镃M=|CC^,所以BM=~BC+CM=BC+|CC\=(-273,2,2),

同理BN=BB,+B]N=BB]+”出=(遮,1,4),

設(shè)平面BMN的法向量m=(%,y,z),

m?BM=0

m,BN=0'

—V3x+y+z=0

即｛取x=8，則z=-2y=5,

V3x+y+4z=0

所以m=(73,5,-2),

由(1)可知，截面圓的圓心。在BH的延長線上，且HO=2,

所以西=(0,-44)，

設(shè)直線。當(dāng)與平面BMN所成的角大小為9,

I沅萬瓦*120+8_7

所以sin?=

同?1兩IV32V32.8

所以直線。當(dāng)與平面BMN所成角的正弦值為|.

【解析】(1)利用已知條件，取AC的中點(diǎn)H,以C4所在的直線為x軸，以BH所在的直線為y

軸，以過點(diǎn)H且和AAr平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用已知條

件求出球心的坐標(biāo)，再結(jié)合兩點(diǎn)距離公式求出球的半徑，再結(jié)合球的表面積公式，進(jìn)而求出三棱柱ABC-

4181cl外接球的表面積。

(2)由(1)可知~BC=(-273,2,0),CQ=(0,0,4)，再利用向量共線的坐標(biāo)表示結(jié)合三角形法則

和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，進(jìn)而結(jié)合向量的數(shù)量積求夾角公式，進(jìn)而結(jié)合誘導(dǎo)公式求出直線。當(dāng)與平面BMN

所成角的正弦值。

18.［答案】解：(I)欲使z為純虛數(shù)，則須m(m—1)=0且m—10,所以得m=0

(II)當(dāng)m=2時(shí)，z=2+t,z=2-i,故所求式子等于2—i—1—|i

【解析】(I)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)部為0,虛部不為零，據(jù)此可得m=0；(H)利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算

可得z--=---i.

l+l22

19.【答案】(1)解：因?yàn)锽E=^BC,CF=2FD,

所以EF=EC^CF=-BC--DC=-AD--AB,

力2323

所以x=一|,y=1,

故3x+2y=3x(-|)+2x|=-1.

(2)解：：AC=AB+AD，

：.AC-EF=(