全國百校名校2021屆高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷(理科)(六)(含答案解析)

全國百校名校2021屆高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（理科）（六）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知集合人={（》，y）|x,y為實數(shù)，且產(chǎn)+y=1},B={（x,y）\x,y為實數(shù)，且）=》},則

An8的元素個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（2,—1）,則|z+l|等于（）

A.2B.V3C.V5D.V10

3.（文科）某中學(xué)有學(xué)生3000人，其中高一、高三學(xué)生的人數(shù)是1200人、800人，為了解學(xué)生的視

力情況，采用按年級分層抽樣的方法，從該校學(xué)生中抽取一個480人的樣本，則樣本中高一、

高二學(xué)生的人數(shù)共有（）人.

A.288B.300C.320D.352

4.已知函數(shù)匐用）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間蜀刈單調(diào)遞增,若實數(shù)旗滿足

頻鳴則+我嫄翦劃哩繪頓，則湎的取值范圍是（）

c.MD.mW

5.函數(shù)f（x）+的單調(diào)遞增區(qū)間為（)

A.（-oo,-3）,（l,+oo）B.(―00,-2)>(2,+8)

C.（-3,0）,（3,+8）D.(-2,0),(0,2)

6.已知集合4={2,3},B={1,2,3},從A,8中各取任意一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是,

則這兩數(shù)之和等于4的概率是（）

21C.-D.1

A.-B.-

3236

7.若〃為△ABC的重心，O為任意一點，OA+~OB+OC=nOM，則n=()

A.0B.1C.2D.3

8.曲線y=在x=1處的切線的傾；斗角為a,貝Ucos(2a+》的值為()

A-IB-C1D--l

B.2近

拋物線/一4y=0的準(zhǔn)線方程是（

A.y=-1D.x=—

11.已知等腰直角三角形A8C中，AB=AC=2,D,E分別為A3,AC的

中點，沿QE將△ABC折成直二面角（如圖），則四棱錐AOEC8的外接

球的表面積為（）

A.6兀

B.87T

C.97r

D.lOn-

12.若不等式財■!?氨高^嗤a（x+y）對一切正數(shù)x、y恒成立，則正數(shù)a的最小值為（）

D.兔曲+81；

二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.如圖所示，函數(shù)*■=1/麒的圖象在點P處的切線方程是

14.5#。15除以13,所得余數(shù)為.

2

15.設(shè)&和尸2是雙曲線W--y2=1的兩個焦點，點P在雙曲線上，且滿足N&PFZ=90。，則AFIPF?

的面積是.

16.（文科）等差數(shù)列｛時｝的首項的=3,a5=11,bn=an-12

（1）求a”和｛%｝的前“項和Sn；

（2）若及=|瓦|+也|+…+|%|,求加

1

（3）設(shè)4=——,求數(shù)列｛4｝的前〃項和R.

anan+ln

三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）

17.已知:A、B、C是△ABC的內(nèi)角，”也c分別是其對邊長，向量記=(V3,cosA+l),n=(sinA,-l),

mln.

(I)求角A的大?。?/p>

(11)若。=2,cosB=y>求b的長.

18.如圖，直三棱柱4BC-4/1的底面是等腰三角形(側(cè)棱垂直于底面

的棱柱叫直棱柱)，&Ci=CiBi，。是線段&Bi的中點.

(1)證明：面4G。1平面4遇/4；

(2)證明：BiC〃平面4G。

19.某次大型抽獎活動，分兩個環(huán)節(jié)進(jìn)行：第一環(huán)節(jié)從10000人中隨機抽取10人，中獎?wù)攉@得獎金

1000元，并獲得第二環(huán)節(jié)抽獎資格；第二環(huán)節(jié)在取得資格的10人中，每人獨立通過電腦隨機產(chǎn)

生兩個數(shù)x,y(x,yG{l,2,3)),并按如圖運行相應(yīng)程序.若電腦顯示“中獎”，則該抽獎?wù)攉@

得9000元獎金；若電腦顯示“謝謝”，則不中獎.

(/)已知甲在第一環(huán)節(jié)中獎，求甲在第二環(huán)節(jié)中獎的概率;

(〃)若乙參加了此次抽獎活動，求乙在此次活動中獲得獎金的期望.

［結(jié)束］

20.已知橢圓C：q+]=l(a>b>0)的兩個焦點分別為Fi，F(xiàn)2,離心率為3過居的直線/與橢

圓C交于M,N兩點，且△MNF2的周長為8.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線y=kx+b與橢圓C分別交于A,8兩點，且OA1OB,試問點O到直線A8的距離是否為

定值，證明你的結(jié)論.

21.已知函數(shù)/(x)=/—3ax-l(aeR)

(1)當(dāng)a=1時，求函數(shù)f(x)的極值

(2)求函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值.

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為號二、(t為參數(shù))，點4(1,0)，8(3,-遮)，若以直

角坐標(biāo)系xOy的。點為極點，x軸正方向為極軸，且長度單位相同，建立極坐標(biāo)系.

(1)求直線AB的極坐標(biāo)方程；

(2)求直線4B與曲線C交點的極坐標(biāo).

23.設(shè)函數(shù)/(x)=x|x-a|+b,a,b&R

(1)當(dāng)。>0時，討論函數(shù)/(x)的零點個數(shù)；

(II)若對于給定的實數(shù)a(a>2),存在實數(shù)b,對于任意實數(shù)xe[1,2],都有不等式|f(x)|</亙成立，

求實數(shù)a的取值范圍.

【答案與解析】

1.答案：c

,_V2點

X-1x=-----

/+丈=1得,

解析：法一：解方程組《2或＜*所以

y=x72

7-T

法二：圓/+>2=1的圓心(0Q)在直線),=x上，故直線)，=X與圓/+嚴(yán)=1有兩個交點，故選

C項.

2.答案：D

解析：

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

由題意求得Z,進(jìn)一步得到Z+1,再由復(fù)數(shù)模的計算公式求解.

解：由題意，z=2-3

則|z+l|=|2-i+l|=|3-i|

=J32+(-1)2=VTo.

故選：D.

3.答案：C

解析：解：高一、高二學(xué)生的人數(shù)與學(xué)?？?cè)藬?shù)之比等于若需絲=[,

故樣本中高一、高二學(xué)生的人數(shù)與樣本容量之比為|,

480x12=32。,

故選C.

先求出高一、高二學(xué)生的人數(shù)與學(xué)?？?cè)藬?shù)之比，此比值就等于樣本中高一、高二學(xué)生的人數(shù)與樣

本容量之比，

故用樣本容量乘以此比值，即得所求.

本題主要考查分層抽樣的定義和方法，各個部分的個體數(shù)之比等于各個部分對應(yīng)的樣本數(shù)之比，屬

于基礎(chǔ)題.

4.答案：D

解析：試題分析：因為函數(shù)1M編是定義在R上的偶函數(shù)，又因為

貫舸知:磁匕頷颼n礴=f：W-3礴匕圈一蜘礴瞰=&聯(lián)鮑熙堿所以由冽晦劍+慨觸I,腳嗖W'l

§目

可得典蚓聰堿!：三翼須?區(qū)間虱留冽單調(diào)遞增且為偶函數(shù).所以他叫謝憶工二父&蟠￡騫故選D.

考點：1.對數(shù)的運算.2.函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.3.數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

5.答案：A

解析：解：/(X)=X+*的定義域為｛%｝x工一1｝，

、X2+2X-3(X+3)(X-1)

???f(x)=

令/'(x)＞0可得久＞1或久＜—3,

故函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(L+8),(-00,-3).

故選：A.

對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解.

本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解，解題的關(guān)鍵是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

6.答案：C

解析：解：從A,8中各取任意一個數(shù)共有2x3=6種分法，

而兩數(shù)之和為4的有：(2,2),(3,1)兩種方法，

21

故所求的概率為：-=--

63

故選C.

7.答案：D

解析：解：如圖，

0M=0A+AM

一21一一

=。4+夫(AB+AC)]

]

=0^4+-[(OB-0A)+(0C-初)]

=^(0A+0B+0C)；

,■…一一.,---->,

???0A+OB+0C=n0M=-(0/14-OB+0C)；

-=1;

*,*71—3.

故選：D.

可作出圖形，從而有麗=瓦？+而M為重心，從而有祠=，(四+而)，再根據(jù)向量減法的幾

何意義便可以得到n麗=l(OA+OB+OC),這樣根據(jù)平面向量基本定理便可得到三=1，從而便

可得出“的值.

考查向量加法、減法及數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，以及平面向量基本定理.

8.答案：D

解析：

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線的傾斜角與斜率，三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題.

曲線在x=1處的切線的傾斜角為a,所以yin】=tana,再利用三角恒等變換化弦為切，將tana代

入即可.

解：依題意，yr=-+-^,所以tana=；+：=3,

X11

所以cos(2a+5)=—sin2a

2sinacosa

sin2a+cos2a

2tana

tan2a+1

=-----——,

32+l5

故選：D.

9.答案：C

解析：???a>0,b>0,

??--+-+2^>2J—+2^=^=+2y^b>2f=?2瘋=4(當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時等號成

ab\ab寂［向

立).

10.答案：A

解析：解：拋物線——4y=0,即-=4y,拋物線的直線方程為：y=—1,

故選：A.

利用拋物線方程，直接求出準(zhǔn)線方程即可.

本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

11.答案：D

解析：解：取。E的中點M,8c的中點N,

貝上?等腰RtAABC中，AB=AC=2,D,E分別為A8,AC的中點,

沿。后將4ABC折成直二面角

沿。石將4ABC折成直二面角后，

四棱錐4-DECB的外接球的球心在和4M平行的直線00'上，

設(shè)四棱錐A-DECB的外接球的半徑為R,球心到BC的距離為d,

則，R2=d2+2,R2=(d+y)2+(y)2

解得：R2=l，

故四棱錐4-CECB的外接球的表面積為S=4兀辟=io兀，

故選：D.

取。E的中點M,8c的中點N,則四棱錐A-DECB的外接球的球心在MN上，利用勾股定理，求出

半徑，可得答案.

本題考查的知識點是球的體積與表面積，難度中檔.

12.答案:C

解析：試題分析：?:不等式居1■劉麻哩a(x+y)對一切正數(shù)x、y恒成立，二a2(

令/(x,y)=,%>0,y>0.

令史=t>0,貝=3*既屜,g<t)=

鬟收中音浸j-gl樸鼠底g上篇一現(xiàn)［府?-&j

然，碘=

%峭3

-圖倔7.|腐竹垂K序底

,,——j——J令“(t)=0,解得t=上,可知當(dāng)t=±時，g(t)取得極大值即最大值,

&0

%工量叁邪渡走

g(C)=-------=獸，a22.故。的最小值為2.故選C.

5”亭

考點：恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值等基礎(chǔ)知識與基本技能方法

13.答案：2

解析：試題分析：由圖及導(dǎo)數(shù)的幾何意義知貴醇》=-：1,又/(5)=—5+8=3,故』飛四乜,非崎=

2

考點：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義

點評：函數(shù)朋=.巽:礴在需=強的導(dǎo)數(shù)值即是過點，翼星格疑￥所作該函數(shù)所表示的曲線切線的斜率

14.答案：12

2014

解析：解：5/015+1=(52—1)2015+1=cooi5.522015.(_1)。+do15.52?(―1)1+廢015?

522013.(一1)2+…+C能-521.(—1)2014+f2015.52。.(-1)2015+1

=C乳5.522015.(_1)0+-522014.(_])1+.52^13.(_1)2+…+c第翟?521.(一1)2014,

因為每一項都有52,且52能被13整除，

故5/015+1被13整除，

則512015除以13,所得余數(shù)為12,

故答案為：12.

根據(jù)二項式定理，512015+1=(52-1)2015+1展開后即可判斷.

本題考查了數(shù)的整除問題，利用二項式定理是關(guān)鍵，屬于中檔題.

15.答案：解：設(shè)|PF1|=x,|PF2l=y>(x>y)?根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知％—y=4,

"

,.,ZF1PF2=90,

x2+y2=20,2xy=x2+y^~(x-y)2=4，xy=2,

二AF[PF2的面積為，y=l，故答案為1.

解析：思路分析：

設(shè)|PF1|=x,|PFzl=y，根據(jù)根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知x-y的值，再根據(jù)NFIPF2=9(T，求得x2+y2的

值，進(jìn)而根據(jù)2xy=x2+y2_(x-y)?求得xy,進(jìn)而可求得，ZSFiPF2的面積.

解：設(shè)|PF"二x,|PF2|=y，(x>y)，根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知％-y=4，VZF1PF2=90

x^+y^=20，；?2xy=x2+y2_(x-y)2=4,/.xy=2,

，△F1PF2的面積為;xy=l,故答案為L

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì).要靈活運用雙曲線的定義及焦距、實軸、虛軸等之間的

關(guān)系

16.答案：解：(1)等差數(shù)列｛即｝的首項的=3,%=11，設(shè)公差為4則3+4d=ll,解得d=2.

???an=3+2(n-1)=2n4-1.

bn=an-12=2n—11.

數(shù)列｛%｝的前n項和%=n(-9+jnTi)=n2-10n.

(2)令%=2n-ll<0,解得九<5.

2

-n<5時，Tn=一瓦---bn=—Sn=-n+lOn.

nn6時，Tn——瓦一…一Z?5+“6+…+%=—2s5+Sn—九？一lOn-2X(25—50)—層—10n+

50.

—n2+10n,n<5

綜上可得：T=

nn2—lOn+50,n>6

1111

z__

(3)danan+1(2n+l)(2n+3)2(2n+l

2n+3八

--

數(shù)列｛4｝的前?項和Rn=J[(I^)+?"+(3缶—蕾？]

_1/1_____n

-2%2n+3J~2n+3'

解析：(1)利用等差數(shù)列的通項公式可得M，再利用等差數(shù)列的求和公式可得數(shù)列｛%｝的前"項和%.

(2)令垢=2n一11W0,解得nW5.nW5時，Tn=-br--------%=-5".九26時，Tn=-br--------

%+壇T---+%=—2S5+Sn.

⑶J=3—=(2"+1；2n+3尸“*一熹)，利用“裂項求和”方法即可得出?

本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“裂項求和”方法、等差數(shù)列的通項公式與求和公式、分類討論方法，

考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

17.答案：解：(I)??,記_L元，，沅?五=(V3,cosA+1)?(si幾4,-1)=y/3sinA+(cosA+1)?(-1)=0,

即遮sinA—cosA=1,sin(A-7o)="Z.

1.cA7TA7T57T

由于0<4<7T,6A66

.nn.n

AA——6=6’A=-3.

(II)在△ABC中，/=g,a=2,cosB=寺：?sinB=號

由正弦定理知：目=-4，

stnAsinB

2oxxz歷i—

：,astnBv472

?b=—si—nA=—退=——3.

2

解析：本題主要考查正弦定理、同角三角函數(shù)之間的關(guān)系、兩個向量垂直的性質(zhì)及兩個向量的數(shù)量

積公式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計算能力，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題與解決問題的能力.

(I)根據(jù)沅1n可得記?元=0,化簡得至UsinQ4-勺=點再由0<4<兀可得一<4—<從而

6Noo6

得到4一￡=?由此求得A的值；

OO

(II)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinB的值，由正弦定理號=號，得b=吧哼,運算求得結(jié)

''sinAsinBsinA

果.

18.答案：證明：(1)?.?面4B1GL面41當(dāng)84面4B1G。面=AXBX,JD1

CrD1平面人避避力，

GDu面"1。，

.,.面4G。1平面41B1B4.

(2)連結(jié)41c交4cl于。，連結(jié)。0,

-D,0分別是4/1，41c的中點，

???D0//BrC,

?：DOu面AG。，

B]C〃面4GD

解析：(1)先證明出G"J■平面利用線面垂直的判定定理證明出面4cle1平面4/1B4

(2)連結(jié)41c交4cl于0,連結(jié)。0,先證明出。0〃BC根據(jù)線面平行的判定定理證明出8?！鍭CQ

本題主要考查了線面平行，線面垂直的判定定理的應(yīng)用.證明面面垂直的重要方法就是先找到線面

垂直.

19.答案：解：(I)從1,2,3三個數(shù)字中有重復(fù)取2個數(shù)字，其基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),

(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共9個,

設(shè)“甲在第二環(huán)節(jié)中獎”為事件A,則事件A包含的基本事件有(3,1),(3,3),共2個，

二P⑷=I.

(□)設(shè)乙參加此次抽獎活動獲得獎金為X元，則X的可能取值為0,1000,10000….(7分)

9991771?2

P(x=°)=而P(x=iooo)=訴?產(chǎn)堿P(X=10000)=-—

???X的分布列為

X0100010000

99972

p

100090009000

99972

???EX=0x+1000x——+10000x——=3.

100090009000

解析：(1)確定從1,2,3三個數(shù)字中有重復(fù)取2個數(shù)字的基本事件，甲在第二環(huán)節(jié)中獎的基本事

件，即可求得概率;

(n)確定乙參加此次抽獎活動獲得獎金的取值，求出相應(yīng)的概率，可得分布列與數(shù)學(xué)期望.

本題考查概率的計算，考查分布列與期望的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.

20.答案：解：(1)由題意知，4a=8,則a=2,

由橢圓離心率e=：=Ji=|則爐=3.

???橢圓C的方程式+^=1；

43

(2)由題意，當(dāng)直線A8的斜率不存在時，此時可設(shè)4(通,殉)，8(q,一出).又A,B兩點在橢圓C上,

.竭4.四一1?2-12

..-+--l,xo-y,

???點O到直線AB的距離d=后=穿，

當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)AQi，yi),B(X2，、2)

y=kx+b

聯(lián)立方程｛式+配=i，消去V得(3+4k2*+Qkbx+4b2-12=0.

43―

8kb_4b2-12

由已知△>0,%!+X2

3+4H'-3+4k2

由。41OB,則+ViV2=0，即欠i%2+("i+b)(k*2+b)=0,

2

整理得：(k++kb(X]+x2)+爐=0,

4b2-128k2b2

??.(fc2+1)+b2=0.

3+4k23+4k2

7b2=12(/+1),滿足△>0.

.??點。到直線AB的距離d=7嗎=怪=3空為定值.

Vl+fc2\77

綜上可知：點O到直線AB的距離4=竽為定值.

解析：(1)由題意可知：4a=8,e=￡=Ji-g=|,即可求得a和h的值，求得橢圓方程；

(2)分類討論，當(dāng)直線斜率存在時，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，求得6和左的關(guān)系，利

用點到直線的距離公式，即可求得點O到直線AB的距離是否為定值.

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的

坐標(biāo)運算，點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題.

21.答案：解：(1)當(dāng)a=1時，/(x)=x3-3x-1,則/'(x)=3X2-3=3(X-1)-(%+1),如下表：

X(-00,-1)-1(-14)1(1,+8)

/'(X)+0—0+

/(X)單增極大值單減極小值單增

故極值：1或一1.

=3x2-3a=3(x2-a)：①當(dāng)aS0時，f'(x)20在［0,1］恒成立，即/(%)在［0,1］單增，.?.函

數(shù)/(?的最小值為f(0)=-1;②a>0時，/'(X)=0nx=或一6，xG/(x)為減，

［伍+8),f(x)為增；當(dāng)7^21,即a21,xe［0,1］,f(x)單減，所以/"(1)最小值，而/■(1)=-3a；

當(dāng)0<<1,即0<a<1,/(x)先減后增，所以/(VH)最小，f(VH)=(Va)3-3a-Va-1=—2a-

y/a—1:

綜上，aWO時，/'(%)最小值-1,

aG(0,1),/(x)最小值一2<2仿一1,

ae［l,+oo),f(x)最小值-3a.

解析：(1)求極值和最值問題通常利用求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)等于零，再判斷是否是極值點，求出原函數(shù)

的單調(diào)性，進(jìn)而求最值.

(2)要求［0,1］上的最小值，需求導(dǎo)利用單調(diào)性來求，必須對參數(shù)a討論，。的取值范圍不同，在所求

區(qū)間上的單調(diào)性不同，最小值時的自變量也不同.

本題考查函數(shù)的極值最值問題，先根據(jù)參數(shù)的取值不同，得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求最值，屬于中難

度題.

22.答案：解：（1）由點4（1,0）,B（3,-遮〉

所以直線A8的直角坐標(biāo)方程為：gx+2y-療=0，“.（2分）

化為極坐標(biāo)方程是：>/3pcosd+2psin6=遍；…（4分）

消去參數(shù)，化為普通方程是：y2=x（yN（））；...（6分）

即交點的直角坐標(biāo)為點分“.（8分）

化為極坐標(biāo)是：（|譚）….（10分）

解析：（1）由點A、8寫出直線AB的直角坐標(biāo)方程，再化為極坐標(biāo)方程即可：

（2）把曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，求出直線與曲線的交點，再化為極坐標(biāo)即可.

本題考查了直角坐標(biāo)與參數(shù)方程和極坐標(biāo)的互化問題，是綜合性題目.

%2—ax+瓦(X之a(chǎn))

23.答案：解：（1）/。）=%|%-可+8=

—x2+ax+仇(％<Q)'

va>0,

???當(dāng)b>0時，x2—ax+b=0在％>Q上無解，—/4-a%4-b=0在％<a上恰有一解；

當(dāng)b=0時，%2-ax4-h=0在x>Q上恰有一解，一/+ax+h=。在％<a上恰有一解；

當(dāng)b<0時，%2—ax+h=0在％>Q恰有一解，若4=a2+4h<0,則―/+。％+匕=。在％<Q上

無解；

若4=a?+4b=0,則―/+Q%+匕=0在％<Q上恰有一解；若^=a24-46>0,貝ij—%?-|-ax4-h=

0在％<a上有兩個不同解；

綜上，在a>0的條件下，

當(dāng)b>0或小+4b<0時，函數(shù)/（%）有一個零點；

當(dāng)b=0或M+4/7=。時，函數(shù)/（%）有兩個零點；

當(dāng)一9<bv0時，函數(shù)f（%）有三個零點.

x2—(a+l)x+b(x>a)

⑺記以不)=/(%)-%