專題23 與四邊形形相關(guān)的壓軸題-三年（2019-2021）中考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國(guó)通用用）（原卷版）

1/3專題23與四邊形相關(guān)的壓軸題一、選填題1．（2021·廣西來(lái)賓市·中考真題）如圖，矩形紙片，，點(diǎn)，分別在，上，把紙片如圖沿折疊，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，連接并延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．2．（2021·湖南衡陽(yáng)市·中考真題）如圖，矩形紙片，點(diǎn)M、N分別在矩形的邊、上，將矩形紙片沿直線折疊，使點(diǎn)C落在矩形的邊上，記為點(diǎn)P，點(diǎn)D落在G處，連接，交于點(diǎn)Q，連接．下列結(jié)論：①四邊形是菱形；②點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，；③的面積S的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③3．（2021·湖南常德市·中考真題）如圖，已知F、E分別是正方形的邊與的中點(diǎn)，與交于P．則下列結(jié)論成立的是（）A． B． C． D．4．（2021·山東東營(yíng)市·中考真題）如圖，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，D、E為線段AC上兩動(dòng)點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)D、E分別作AB、BC的平行線相交于點(diǎn)F，分別交BC、AB于點(diǎn)H、G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，；③；④當(dāng)時(shí)，四邊形BHFG為菱形，其中正確結(jié)論為（）A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④5．（2021·四川宜賓市·中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，點(diǎn)E、F分別在矩形的邊AB、AD上，將矩形紙片沿CE、CF折疊，點(diǎn)B落在H處，點(diǎn)D落在G處，點(diǎn)C、H、G恰好在同一直線上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，則DF的長(zhǎng)是（）A．2 B． C． D．36．（2021·黑龍江綏化市·中考真題）如圖所示，在矩形紙片中，，點(diǎn)分別是矩形的邊上的動(dòng)點(diǎn)，將該紙片沿直線折疊．使點(diǎn)落在矩形邊上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)，點(diǎn)落在處，連接與交于點(diǎn)．則下列結(jié)論成立的是（）①；②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)；③的面積的取值范圍是；④當(dāng)時(shí)，．A．①③ B．③④ C．②③ D．②④7．（2020·江蘇揚(yáng)州市·中考真題）如圖，在中，，，，點(diǎn)E為邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得，以EC、EF為鄰邊構(gòu)造，連接EG，則EG的最小值為_(kāi)_______．8．（2020·四川成都市·中考真題）如圖，在矩形中，，，，分別為，邊的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．若點(diǎn)的速度是點(diǎn)的速度的2倍，在點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)的過(guò)程中，線段長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)________，線段長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)________．9．（2020·湖北咸寧市·中考真題）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），，且交正方形外角的平分線于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，連接，有下列結(jié)論：①；②；③；④的面積的最大值為1．其中正確結(jié)論的序號(hào)是_____________．（把正確結(jié)論的序號(hào)都填上）10．（2021·湖北襄陽(yáng)市·中考真題）如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，交于點(diǎn)，，，則______．11．（2019·山東濟(jì)南市·中考真題）如圖，在矩形紙片中，將沿翻折，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，為折痕，連接；再將沿翻折，使點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，為折痕，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，則線段的長(zhǎng)等于_____．12．（2019·遼寧葫蘆島市·中考真題）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接PA，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PA交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BP于點(diǎn)F，則下列結(jié)論中：①PA＝PE；②CE＝PD；③BF﹣PD＝BD；④S△PEF＝S△ADP，正確的是___（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）13．（2021·四川宜賓市·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD＝AB，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（到點(diǎn)A即停止），點(diǎn)N是AD上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠MON＝90°，連結(jié)MN．在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，則以下結(jié)論中，①點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)速度不相等；②存在某一時(shí)刻使；③逐漸減?。虎埽_的是________．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）14．（2021·新疆中考真題）如圖，已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，E為AB邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)D為中心，將按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，連接EF，分別交BD，CD于點(diǎn)M，N．若，則__________．15．（2021·湖南張家界市·中考真題）如圖，在正方形外取一點(diǎn)，連接，，，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，若，．下列結(jié)論：①；②；③點(diǎn)到直線的距離為；④，其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_____．16．（2021·福建中考真題）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E不與A，B重合，且，G是五邊形內(nèi)滿足且的點(diǎn)．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①與一定互補(bǔ)；②點(diǎn)G到邊的距離一定相等；③點(diǎn)G到邊的距離可能相等；④點(diǎn)G到邊的距離的最大值為．其中正確的是_________．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）17．（2021·海南中考真題）如圖，在矩形中，，將此矩形折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)處，折痕為，則的長(zhǎng)為_(kāi)___，的長(zhǎng)為_(kāi)___．二．解答題1．（2021·遼寧中考真題）已知,在正方形中,點(diǎn)M?N為對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且,過(guò)點(diǎn)M、N分別作?的垂線相交于點(diǎn)E,垂足分別為F?G,設(shè)的面積為,的面積為,的面積為．

（1）如圖（1）,當(dāng)四邊形為正方形時(shí),①求證:;②求證:;（2）如圖（2）,當(dāng)四邊形為矩形時(shí),寫(xiě)出,,三者之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;（3）在（2）的條件下,若,請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．2．（2021·四川達(dá)州市·中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩要互相垂直的線段做了如下探究：（觀察與猜想）（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別是，上的兩點(diǎn)，連接，，，則的值為_(kāi)_________；

（2）如圖2，在矩形中，，，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，連接，，且，則的值為_(kāi)_________；

（類比探究）（3）如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：；

（拓展延伸）（4）如圖4，在中，，，，將沿翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處得，點(diǎn)，分別在邊，上，連接，，且．求的值；②連接，若，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．3．（2020·江蘇南通市·中考真題）（了解概念）有一組對(duì)角互余的凸四邊形稱為對(duì)余四邊形，連接這兩個(gè)角的頂點(diǎn)的線段稱為對(duì)余線．（理解運(yùn)用）（1）如圖①，對(duì)余四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，連接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；（2）如圖②，凸四邊形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，當(dāng)2CD2+CB2＝CA2時(shí)，判斷四邊形ABCD是否為對(duì)余四邊形．證明你的結(jié)論；（拓展提升）（3）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四邊形ABCD是對(duì)余四邊形，點(diǎn)E在對(duì)余線BD上，且位于△ABC內(nèi)部，∠AEC＝90°+∠ABC．設(shè)＝u，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為t，請(qǐng)直接寫(xiě)出u關(guān)于t的函數(shù)解析式．4．（2020·湖南郴州市·中考真題）如圖，在等腰直角三角形中，．點(diǎn)是的中點(diǎn)，以為邊作正方形，連接．將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．（1）如圖，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，①判斷與是否全等，并說(shuō)明理由；②當(dāng)時(shí)，與交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．（2）如圖，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)．①求證：；②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（2021·四川眉山市·中考真題）如圖，在等腰直角三角形中，，，邊長(zhǎng)為2的正方形的對(duì)角線交點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接，．（1）求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部，且時(shí)，設(shè)與相交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)；（3）將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．6．（2021·浙江麗水市·中考真題）如圖，在菱形中，是銳角，E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，交直線于點(diǎn)F．（1）當(dāng)時(shí)，①求證：；②連結(jié)，若，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)N，連結(jié)，若，則當(dāng)為何值時(shí)，是等腰三角形．7．（2020·廣西貴港市·中考真題）已知：在矩形中，，，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將矩形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則線段_______________，_____________；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)，均不重合時(shí)，取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，，．①求證：四邊形是平行四邊形：②當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積．8．（2020·遼寧鞍山市·中考真題）在矩形中，點(diǎn)E是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)G，交直線于點(diǎn)F．（1）當(dāng)矩形是正方形時(shí)，以點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)在正方形的外部作等腰直角三角形，連接．①如圖1，若點(diǎn)E在線段上，則線段與之間的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是_________；②如圖2，若點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如圖3，若點(diǎn)E在線段上，以和為鄰邊作，M是中點(diǎn)，連接，，，求的最小值．9．（2020·遼寧丹東市·中考真題）已知：菱形和菱形，，起始位置點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在所在直線上，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，連接和，將菱形以為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（）．（1）如圖1，若點(diǎn)與重合，且，求證：；（2）若點(diǎn)與不重合，是上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，連接和，和所在直線相交于點(diǎn)；①如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)猜想線段和線段的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)；②如圖3，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出線段和線段的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)；③在②的條件下，若點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，，，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．10．（2020·內(nèi)蒙古赤峰市·中考真題）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)P為對(duì)角線AC所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PD，交直線AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作MN⊥AB，交直線CD于點(diǎn)M，交直線AB于點(diǎn)N.，AD=4.（1）如圖1，①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，∠PDM和∠EPN的數(shù)關(guān)系為:∠PDM___∠EPN；②的值是；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論②是否成立?若成立，請(qǐng)證明；若不成立，說(shuō)明理由；（3）如圖3，以線段PD，PE為鄰邊作矩形PEFD.設(shè)PM的長(zhǎng)為x，矩形PEFD的面積為y.請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及y的最小值.11．（2021·上海中考真題）如圖，在梯形中，是對(duì)角線的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交邊或邊于E．（1）當(dāng)點(diǎn)E在邊上時(shí)，①求證：；②若，求的值；（2）若，求的長(zhǎng)．12．（2021·廣東中考真題）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E、F分別在線段、上，且．（1）求證：；（2）求證：以為直徑的圓與相切；（3）若，求的面積．13．（2020·遼寧盤(pán)錦市·中考真題）如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，以為對(duì)角線作正方形（按逆時(shí)針排列），連接．（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)．①求證：；②求證：；（2）設(shè)正方形的面積為，正方形的面積為，以為原點(diǎn)的四邊形的面積為，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．14．（2020·云南昆明市·中考真題）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）如圖2，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)，BP交EF于點(diǎn)O，點(diǎn)A關(guān)于BP的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M落在線段EF上時(shí)，則有OB＝OM．請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，若點(diǎn)P是射線AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于BP的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)M，連接AM，DM，當(dāng)△AMD是等腰三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng)．15．（2020·湖南益陽(yáng)市·中考真題）定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡(jiǎn)稱“直等補(bǔ)”四邊形，根據(jù)以上定義，解決下列問(wèn)題：（1）如圖1，正方形中，是上的點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使與重合，此時(shí)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，則四邊形為“直等補(bǔ)”四邊形，為什么？（2）如圖2，已知四邊形是“直等補(bǔ)”四邊形，，，，點(diǎn)到直線的距離為．①求的長(zhǎng)．②若、分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最小值．

16．（2019·四川眉山市·中考真題）如圖1，在正方形中，平分，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖2，連接、，求證：平分；(3)如圖3，連接交于點(diǎn)，求的值．17．（2021·江蘇宿遷市·中考真題）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周．(1)如圖①，連接BG、CF，求的值；(2)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，連接CF、BE，分別去CF、BE的中點(diǎn)M、N，連接MN、試探究：MN與BE的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)連接BE、BF，分別取BE、BF的中點(diǎn)N、Q，連接QN，AE=6，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段QN掃過(guò)的面積．

18．（2021·湖北荊州市·中考真題）在矩形中，，，是對(duì)角線上不與點(diǎn)，重合的一點(diǎn)，過(guò)作于，將沿翻折得到，點(diǎn)在射線上，連接．（1）如圖1，若點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在上，，延長(zhǎng)交于，連接．①求證：；②求．（2）如圖2，若點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在延長(zhǎng)線上，，判斷與是否全等，并說(shuō)明理由．19．（2021·山東菏澤市·中考真題）在矩形中，，點(diǎn)，分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，將矩形沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處．

（1）如圖1，當(dāng)與線段交于點(diǎn)時(shí)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在線段的垂直平分線上；（3）當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)由點(diǎn)移動(dòng)到中點(diǎn)的過(guò)程中，計(jì)算出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)．20．（2021·湖南常德市·中考真題）如圖，在中，，N是邊上的一點(diǎn)，D為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作的平行線交的延長(zhǎng)線于T，且，連接．（1）求證：；（2）在如圖中上取一點(diǎn)O，使，作N關(guān)于邊的對(duì)稱點(diǎn)M，連接、、、、得如圖．①求證：；②設(shè)與相交于點(diǎn)P，求證：．21．（2021·青海中考真題）在我們學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)教科書(shū)中，有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，若身旁沒(méi)有量角器或三角尺，又