高二數(shù)學(xué)寒假講義練習(xí)（人教B用 選擇性必修三）第07講 等差數(shù)列及其求和（教師卷）

第07講等差數(shù)列及其求和【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.【知識導(dǎo)航】1.等差數(shù)列的概念(1)定義：一般地，如果數(shù)列{an}從第2項起，每一項與它的前一項之差都等于同一個常數(shù)d，即an＋1－an＝d恒成立，則稱{an}為等差數(shù)列.其中d稱為等差數(shù)列的公差.數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù)).(2)等差中項：①如果x，A，y是等差數(shù)列，那么稱A為x與y的等差中項，A＝eq\f(x＋y,2).②推廣：若{an}為等差數(shù)列，則2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立.2.等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式(1)若等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則其通項公式為an＝a1＋(n－1)d.(2)前n項和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).3.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.(5)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列.(6)若等差數(shù)列的項數(shù)為2n(n∈N＋)時，則S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1).(7)若等差數(shù)列的項數(shù)為2n－1(n∈N＋)時，則S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).1.已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.2.在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值.3.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時，{an}是常數(shù)列.4.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)).【知識預(yù)習(xí)】考點一：等差數(shù)列1．在等差數(shù)列中，若，，則（

）A．14 B．15 C．16 D．8【答案】C【詳解】由題意可知，在等差數(shù)列中，由等差數(shù)列性質(zhì)可知，若則；所以故選：C.2．等差數(shù)列中，已知，，則公差d（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】因為等差數(shù)列中，，，所以，解得故選：A.3．已知數(shù)列滿足，且，則的通項公式（

）A．n B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可得，解得，則，所以是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，．故選：A4．等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．2020 B．1525 C．1515 D．2015【答案】C【詳解】法一、法二、（特值法）不妨設(shè)為常數(shù)列，令故選：C5．已知為遞增的等差數(shù)列，，若，則（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【詳解】設(shè)公差為，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可知，又，且遞增，解得：，又，即，解得.故選：C.考點二：兩角和與差的余弦6．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，、、、成等差數(shù)列，且該數(shù)列的公差為，則，所以，，因此，.故選：D.7．設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為是公差不為零的等差數(shù)列，，所以，得，令，則，則所以.故選：D.8．已知等差數(shù)列，前n項和為，則（

）A．200 B．300 C．500 D．1000【答案】C【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為d，則，化簡得,故選:C．9．在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前項和的最大值為（

）A． B． C．或 D．【答案】A【詳解】因為是等差數(shù)列，，所以，整理得，又因為，所以；所以．故當(dāng)時，取得最大值．故選：A.10．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為為等差數(shù)列，所以成等差數(shù)列，因為，設(shè)，由，即，則，所以，所以，所以.故選：B.【對點訓(xùn)練】一、單選題1．已知是數(shù)列等差數(shù)列，，則公差（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】∵是等差數(shù)列∴，即：，∴，故選：C.2．在等差數(shù)列中，若，，則公差（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【詳解】由等差數(shù)列的通項公式知．故選：A3．已知等差數(shù)列中，，，則的值是（

）A．4 B．15 C．31 D．64【答案】B【詳解】因為是等差數(shù)列，所以，即，故.故選：B.4．?dāng)?shù)列的前項和，則當(dāng)取最小值時是（

）A．2或 B．2 C．3 D．3或【答案】A【詳解】將看成一個二次函數(shù)，其頂點橫坐標(biāo)為，又離對稱軸最近的正整數(shù)為；故選：A5．已知等差數(shù)列，的前n項和分別為，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，由題意可得.故選：B6．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．7 B． C． D．10【答案】B【詳解】因為，，所以，解得，所以.故選：B.7．《九章算術(shù)》中的“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積是（

）A．升 B．升 C．升 D．升【答案】A【詳解】根據(jù)題意得該竹子自上而下各節(jié)的容積形成等差數(shù)列，設(shè)其首項為，公差為，由題意可得，所以，解得，所以，即第5節(jié)竹子的容積為升．故選：A．8．已知等差數(shù)列的前項和為且，則的前項和為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，，解得，，，設(shè)，當(dāng)時，，數(shù)列是等差數(shù)列，首項為，公差為．則其前項和．故選：B二、多選題9．記為等差數(shù)列的前項和，則（

）A． B．C．，，成等差數(shù)列 D．，，成等差數(shù)列【答案】BCD【詳解】由已知得，A選項，，，，所以，A選項錯誤；B選項，，B選項正確；C選項，，，，，，則，C選項正確；D選項，，，，則，D選項正確；故選：BCD.10．已知等差數(shù)列的前n項和為，公差為d，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【詳解】因為等差數(shù)列的前n項和公式為，故B正確；又，而，故，故D正確，故選：BD．三、填空題11．在等差數(shù)列中,,則___________.【答案】-19【詳解】解:由題知為等差數(shù)列,記公差為,,,,.故答案為:-1912．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若公差則__【答案】55【詳解】，，即則故答案為：55四、解答題13．已知是等差數(shù)列的前項和，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)12【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，因為，所以.解得.所以.（2），所以.令，得，解得：（舍去）.因為，所以的最小值是12.14．已知數(shù)列中，且.(1)求；(2)求數(shù)列{}的前n項和的最大值.【答案】(1)＝﹣4n+17；(2)28.(1)由﹣4，可知，﹣＝﹣4，∴數(shù)列{}是以13為首項，以﹣4為公差的等差數(shù)列，∴＝13﹣4(n﹣1)＝﹣4n＋17；(2)由(1)可知，數(shù)列{}單調(diào)遞減，且a4＞0，a5＜0，∴當(dāng)n＝4時，{}的前n項和取得最大值＝13＋9＋5＋1＝28.15．已知等差數(shù)列的前n項和為.(1)求{an}的通項公式；(2)若，求數(shù)列{}的前n項和Tn.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意知，解得：∴.故的通項公式為.（2）∵即：的前n項和.【提升作業(yè)】一、單選題1．已知等差數(shù)列中，，公差，則數(shù)列的前4項和（

）A．15 B．30 C．50 D．75【答案】C【詳解】等差數(shù)列中，，公差，則首項，所以數(shù)列的前4項和.故選：C2．已知等差數(shù)列的前項和為，且，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】根據(jù)等差數(shù)列前項和公式得，，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知所以即．故選：B.3．記數(shù)列是等差數(shù)列，下列結(jié)論中一定成立的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【詳解】對A，若，則，但，故A錯誤；對B，若，則，但，故B錯誤；對C，設(shè)公差為，則由可得，即，故，故C正確；對D，設(shè)公差為，則，故D錯誤；故選：C．4．已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則（

）A．55 B．60 C．65 D．75【答案】C【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，，，，解得，，則.故選：C.5．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于我國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，1852年，英國傳教士偉烈亞力將該解法傳至歐洲，1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，此定理講的是關(guān)于整除的問題，現(xiàn)將1到2022這2022個數(shù)中，能被2除余1且被7除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則該數(shù)列共有（

）A．145項 B．146項 C．144項 D．147項【答案】A【詳解】由已知可得既能被整除，也能被7整除，故能被整除，所以，，即，故，即，解得，故共項，故選：A.二、填空題6．等差數(shù)列前n項和，等差數(shù)列前n項和，，則_____.【答案】【詳解】等差數(shù)列中，，則.故答案為：.7．為等差數(shù)列，，則__________.【答案】108【詳解】方法1：∵為等差數(shù)列，∴，，∴，，∴，方法2：∵為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，∴解得：∴故答案為：108.三、解答題8．已知是等差數(shù)列的前n項和，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求n的最小值．【答案】(1)(2)12【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，∵，∴，解得．∴；（2），則．令，即，解得舍去，∵，∴的最小值是12．9．已知數(shù)列滿足，記，(1)寫出數(shù)列的前4項；(2)記，判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由；(3)求的前20項和．【答案】(1)，，，；(2)是等差數(shù)列，理由見解析；(3)300.【詳解】（1）因為數(shù)列滿足．，，，，所以，；（2），，所以數(shù)列是以為首項，以3為公差的等差數(shù)列，所以