高二數(shù)學(xué)寒假講義練習(xí)（人教B用 選擇性必修三）第08講 等比數(shù)列及其求和（學(xué)生卷）

第08講等比數(shù)列及其求和【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．【知識導(dǎo)航】1.等比數(shù)列的概念(1)定義：如果數(shù)列{an}從第2項起，每一項與它的前一項之比都等于同一個常數(shù)q，即eq\f(an＋1,an)＝q恒成立，則稱{an}為等比數(shù)列，其中q稱為等比數(shù)列的公比.數(shù)學(xué)語言表達式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù)).(2)等比中項：如果x，G，y是等比數(shù)列，則稱G為x與y的等比中項，且G2＝xy.2.等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；通項公式的推廣：an＝amqn－m.(2)等比數(shù)列的前n項和公式：當(dāng)q＝1時，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比數(shù)列的性質(zhì)已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項和.(1)若正整數(shù)s，t，p，q滿足s＋t＝p＋q，則as·at＝apaq，特別地，如果2s＝p＋q，則aeq\o\al(2,s)＝ap·aq.(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.(3)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為qn.1.若數(shù)列{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則數(shù)列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也是等比數(shù)列.2.三個數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為eq\f(x,q)，x，xq；四個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為eq\f(x,q3)，eq\f(x,q)，xq，xq3.【知識預(yù)習(xí)】考點一：等比數(shù)列1．在等比數(shù)列中，則（

）A．16 B．16或－1C．32 D．32或－322．設(shè)是等比數(shù)列，且，則（

）A．4 B．8 C．16 D．323．已知等比數(shù)列，，則（

）A．1 B．2 C．4 D．84．在等比數(shù)列中，且，則（

）A．16 B．8 C．4 D．25．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則等于（

）A． B． C． D．考點二：等比數(shù)列的前n項和6．已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．83 B．108 C．75 D．637．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈.”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，問塔的頂層燈的盞數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．記為等比數(shù)列的前項和.若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．79．已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和，若，，則（

）A．2 B．3 C．6 D．910．集合論是德國數(shù)學(xué)家康托爾于十九世紀(jì)末創(chuàng)立的，希爾伯特贊譽其為“數(shù)學(xué)思想的驚人產(chǎn)物，在純粹理性范疇中人類活動的最美表現(xiàn)之一”.取一條長度為1的線段，將它三等分，去掉中間一段，留下的兩段分割三等分，各去掉中間一段，留下更短的四段，……，將這樣操作一直繼續(xù)下去，直至無窮.由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段的數(shù)目越來越多，長度越來越小，在極限情況下，得到一個離散的點集，稱為康托爾三分集.若在前次操作中共去掉的線段長度之和不小于，則的最小值為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．9 B．8 C．7 D．6【對點訓(xùn)練】一、單選題1．在數(shù)列中，且，則（

）A． B． C． D．2．與的等差中項和等比中項分別是（

）A． B． C． D．3．在正項等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前5項之和為（

）A．3 B．4 C．5 D．64．已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，是它的前項和，若，且，則（

）A．128 B．127 C．126 D．1255．已知正項等比數(shù)列前項和為，且，，則等比數(shù)列的公比為（

）A． B．2 C． D．36．已知等比數(shù)列的前項積滿足，則（

）.A． B． C． D．7．若數(shù)列為等比數(shù)列，且是方程的兩根，則的值等于（

）A． B．1 C． D．8．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，且數(shù)列的前n項乘積，n的最大值為（

）A．10 B．11 C．20 D．21二、多選題9．下列說法中正確的是（

）A．若b2=ac，則a，b，c成等比數(shù)列B．等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù)C．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有D．若一個常數(shù)列是等比數(shù)列，則這個數(shù)列的公比是110．設(shè)數(shù)列的前項和為，若，則下列說法正確的是（

）A． B．為等比數(shù)列C． D．三、填空題11．已知各項均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足，，成等差數(shù)列，則______．12．《九章算術(shù)》敘述了一個老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠亦一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.問：何日相逢？各穿幾何？意思就是說，有一堵十尺厚的墻，兩只老鼠從兩邊向中間打洞.大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺.大老鼠每天的打洞進度是前一天的2倍，小老鼠每天的進度是前一天的一半.第3天結(jié)束后，兩只老鼠相距______尺.四、解答題13．在數(shù)列中，，，．(1)設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和．14．已知等差數(shù)列滿足，前4項和．(1)求的通項公式；(2)設(shè)等比數(shù)列滿足，，數(shù)列的通項公式．15．已知是等差數(shù)列，是首項為1、公比為3的等比數(shù)列，且，．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【提升作業(yè)】一、單選題1．設(shè)正項等比數(shù)列的前n項和為，若，則公比（

）A．2 B． C．2或 D．2或2．若成等差數(shù)列；成等比數(shù)列，則等于（

）A． B． C． D．3．等比數(shù)列前項和為.若，則數(shù)列前項和的最小值為（

）A． B． C． D．4．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項和為，若對任意的正整數(shù)，都有，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．已知數(shù)列的前n項和為，，且，則下列說法中錯誤的是（

）A． B．C．是等比數(shù)列 D．是等比數(shù)列二、填空題6．已知等比數(shù)列的公比成等差數(shù)列，則公比____________．7．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，，，則數(shù)列前10項的和為______