高一數(shù)學(xué)必修3公式總結(jié)以及例題圖文

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高一數(shù)學(xué)必修3公式總結(jié)以及例題

§1算法初步

秦九韶算法：通過一次式的反復(fù)計算逐步得出高次多項式的值，對于一個多項式，只要作n次乘法和n次加法即可。表達式如下：n次

anxnan1xn1...a1anxan1xan2x...xa2xa1

例題：秦九韶算法計算多項式3x64x55x46x37x28x1,當(dāng)x0.4時,

需要做幾次加法和乘法運算?答案：6，6

即:3x4x5x6x7x8x1

理解算法的含義：一般而言，對于一類問題的機械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法，其意義具有廣泛的含義，如：廣播操圖解是廣播操的算法，歌譜是一首歌的算法，空調(diào)說明書是空調(diào)使用的算法…(algorithm)

1.描述算法有三種方式：自然語言，流程圖，程序設(shè)計語言（本書指偽代碼）.

2.算法的特征：

①有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無休止的進行下去

②確定性：算法的每一步操作內(nèi)容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可以是

一個或多個。沒有輸出的算法是無意義的。

③可行性：算法的每一步都必須是可執(zhí)行的，即每一步都可以通過手工或者機器在一定

時間內(nèi)可以完成，在時間上有一個合理的限度

3.算法含有兩大要素：①操作：算術(shù)運算，邏輯運算，函數(shù)運算，關(guān)系運算等②控制結(jié)

構(gòu):順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)

流程圖：（flowchart）:是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡單的文字說明表示算法及程序

結(jié)構(gòu)的一種圖形程序，它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改。

注意：1.畫流程圖的時候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫，要養(yǎng)成有開始和結(jié)束的好習(xí)慣

2.拿不準的時候可以先根據(jù)結(jié)構(gòu)特點畫出大致的流程，反過來再檢查，比如：遇到判斷框時，往往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個臨界條件，畫好大致流程，然后檢查這個條件是否正確，再考慮是否取等號的問題，這時候也就可以有幾種書寫方法了。

3.在輸出結(jié)果時，如果有多個輸出，一定要用流程線把所有的輸出總結(jié)到一起，一起

終結(jié)到結(jié)束框。

共25頁第

2

直到型循環(huán)當(dāng)型循環(huán)Ⅰ.順序結(jié)構(gòu)（sequencestructure）：是一種最簡單最基本的結(jié)構(gòu)它不存在條件判斷、控制

轉(zhuǎn)移和重復(fù)執(zhí)行的操作，一個順序結(jié)構(gòu)的各部分是按照語句出現(xiàn)的先后順序執(zhí)行的。

Ⅱ.選擇結(jié)構(gòu)（selectionstructure）：或者稱為分支結(jié)構(gòu)。其中的判斷框，書寫時主要是注

意臨界條件的確定。它有一個入口，兩個出口，執(zhí)行時只能執(zhí)行一個語句，不能同時執(zhí)行，其中的A,B兩語句可以有一個為空，既不執(zhí)行任何操作，只是表明在某條件成立時，執(zhí)行某語句，至于不成立時，不執(zhí)行該語句，也不執(zhí)行其它語句。

Ⅲ.循環(huán)結(jié)構(gòu)（cyclestructure）：它用來解決現(xiàn)實生活中的重復(fù)操作問題，分直到型（until）

和當(dāng)型(while)兩種結(jié)構(gòu)(見上圖)。當(dāng)事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時（即不知道循環(huán)次數(shù)時）用當(dāng)型循環(huán)。

基本算法語句：本書中指的是偽代碼（pseudocode），且是使用BASIC語言

編寫的,是介于自然語言和機器語言之間的文字和符號，是表達算法的簡單而實用的好方法。偽代碼沒有統(tǒng)一的格式，只要書寫清楚，易于理解即可，但也要注意符號要相對統(tǒng)一，避免引起混淆。如：賦值語句中可以用xy，也可以用xy;表示兩變量相乘時可以用“*”，也可以用“”

Ⅰ.賦值語句（assignmentstatement）：用表示，如：xy，表示將y的值賦給x，

其中x是一個變量，y是一個與x同類型的變量或者表達式.

一般格式：“變量表達式”，有時在偽代碼的書寫時也可以用“xy”，但此時的“=”不是數(shù)學(xué)運算中的等號，而應(yīng)理解為一個賦值號。

注：1.賦值號左邊只能是變量，不能是常數(shù)或者表達式，右邊可以是常數(shù)或者表達式?！?”

具有計算功能。如：3=a,b+6=a,都是錯誤的，而a=3*5–1,a=2a+3都是正確的。2.一個賦值語句一次只能給一個變量賦值。如：a=b=c=2,a,b,

c=2都是錯誤的，而a=3是正確的.

例題：將x和y的值交換

pxpxxyxy,同樣的如果交換三個變量x,y,z的值:yzypzp

Ⅱ.輸入語句（inputstatement）:Reada,b表示輸入的數(shù)一次送給a,b

輸出語句（outstatement）：Printx,y表示一次輸出運算結(jié)果x,y注：1.支持多個輸入和輸出，但是中間要用逗號隔開！2.Read語句輸入的只能是變量而不是表達式3.Print語句不能起賦值語句，意旨不能在Print語句中用“=”4.Print語句可以輸出常量和表達式的值.5.有多個語句在一行書寫時用“；”隔開.

例題：當(dāng)x等于5時，Print“x=”;x在屏幕上輸出的結(jié)果是x=5

Ⅲ.條件語句（conditionalstatement）：

1.行If語句:IfAThenB注：沒有EndIf

水激石則鳴，勵激志則宏！知識改變命運，勤奮成就未來！共25頁第2頁3/31/2013

3

2.塊If語句：注：①不要忘記結(jié)束語句EndIf，當(dāng)有If語句嵌套使用時，

有幾個If，就必須要有幾個EndIf②.ElseIf是對上一個條件的否定，即已經(jīng)不屬于上面的條件，另外ElseIf后面也要有EndIf③注意每個條件的臨界性，即某個值是屬于上一個條件里，還是屬于下一個條件。④為了使得書寫清晰易懂，應(yīng)縮進書寫。格式如下：

例題:用條件語句寫出求三個數(shù)種最大數(shù)的一個算法.

或者

注：1.同樣的你可以寫出求三個數(shù)中最小的數(shù)。

2.也可以類似的求出四個數(shù)中最小、大的數(shù)

Ⅳ.循環(huán)語句（cyclestatement）：當(dāng)事先知道循環(huán)次數(shù)時用For循環(huán)，即使是N次也是已知次數(shù)的循環(huán)

當(dāng)循環(huán)次數(shù)不確定時用While循環(huán)Do循環(huán)有兩種表達形式，與循環(huán)結(jié)構(gòu)的兩種循環(huán)相對應(yīng).

While循環(huán)是前測試型的，即滿足什么條件才進入循環(huán)，其實質(zhì)是當(dāng)型循環(huán)，一般在解決有關(guān)問題時，可以寫成While循環(huán)，較為簡單，因為它的條件相對好判斷.2.凡是能水激石則鳴，勵激志則宏！知識改變命運，勤奮成就未來！共25頁第3頁3/31/2013

4

用While循環(huán)書寫的循環(huán)都能用For循環(huán)書寫3.While循環(huán)和Do循環(huán)可以相互轉(zhuǎn)化4.Do

循環(huán)的兩種形式也可以相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時條件要相應(yīng)變化5.注意臨界條件的判定.

135...99的一個算法.（見課本P21）例題：設(shè)計計算

S1

S1

ForIFrom3To99Step2SSIEndForPrintS

S1

I1

WhileI99

SSI

I1

WhileI97II2

SSIEndWhilePrintS

II2

EndWhile

PrintS

S1S1

I1Do

SSIII2

LoopUntilI100(或者I99)PrintS

I1Do

II2

SSILoopUntilI99

PrintS

S1S1I1I1DoWhileI99(或者I100)SSIII2Loop

DoWhileI97(或者I99)II2

SSILoopPrintS

PrintS

顏老師友情提醒：1.一定要看清題意，看題目讓你干什么，有的只要寫出算法，有的只要求寫出偽代碼，而有的題目則是既寫出算法畫出流程還要寫出偽代碼。

2.在具體做題時，可能好多的同學(xué)感覺先畫流程圖較為簡單，但也有的算法偽代碼比較好寫，你也可以在草稿紙上按照你自己的思路先做出來，然后根據(jù)題目要求作答。一般是先寫算法，后畫流程圖，最后寫偽代碼。

3.書寫程序時一定要規(guī)范化，使用統(tǒng)一的符號，最好與教材一致，由于是新教材的原因，再加上各種版本，可能同學(xué)會看到各種參考書上的書寫格式不一樣，而且有時還會碰到我們沒有見過的語言，希望大家能以課本為依據(jù)，不要被鋪天蓋地的資料所淹沒！

Ex:1.對于任意給定的N,一定存在自然數(shù)n,使得12.用循環(huán)語句寫出求1

111

...N23n

1111

...的一個算法.234100

水激石則鳴，勵激志則宏！知識改變命運，勤奮成就未來！共25頁第4頁3/31/2013

5

3.設(shè)計一個計算1

111...的一個算法,并畫出流程圖,寫出偽代碼.23100

a

答案：1nn12.SS

I

1aa-1SSnEndFor

EndWhlie

PrintS

ReadNS0n0WhileSN

S0a1

ForIFrom1to100

算法:

S1S0S2I1

3.S如果I100則

3

1

SSII1轉(zhuǎn)S3

I

否則輸出S

6

7.市話話費計算方式為：自接通起。3分鐘內(nèi)（含3分鐘）0.2元，超過3分鐘的部分每分鐘0.1

元（不足1分鐘按1分鐘計），輸入一個證書作為通話時長，用條件語句描述通話話費。

8.某電視機廠20XX年全年生產(chǎn)電視機60萬臺，計劃從20XX年開始每年的產(chǎn)量比上一年增長15%，設(shè)計一個算法，計算從哪一年開始，該廠的電視機產(chǎn)量超過300萬臺，只寫出偽代碼.9.（斐波那契數(shù)列）假定一對大兔子沒一個月可以生一對小兔子，而小兔子出生后兩個月就有生育能力，問從一對小兔子開始，一年后能繁殖多少兔子？這就是著名的斐波那契數(shù)列問題，其規(guī)律是從第三個月開始，每個月的兔子數(shù)量都是前兩個月的兔子數(shù)量的和。用循環(huán)語句描述這一算法。

10.一個三位數(shù)的十位和個位上的數(shù)字交換，得到一個新的三位數(shù)，新舊兩個三位時都能被4整

除，設(shè)計一個算法求滿足條件的三位數(shù)的個數(shù)，并寫出偽代碼.11.若x,y是兩個互質(zhì)的數(shù)，則一定存在整數(shù)u,v，使得uxvy1,設(shè)x33,y35設(shè)計

一個算法求出一組滿足條件的u,v,并用偽代碼表示.

答案：1.152.求m,n的最大公約數(shù)3.e1

111

...4.2!3!n!

5.6.b=c=

7.解：8.解：

ReadX

IfX3ThenY0.2

ElseIfIntX-3X-3ThenY0.2IntX-310.1Else

Y0.2IntX-30.1EndIfPrintY

S60I2002WhileS300

S10.15S

II1

EndWhilePrintI

9.解：

S1

T1

a1b1

ForIFrom1to12S2PSTForIFrom3to12STCab

或者

TPSSCEndForabPrintPbC

EndForPrintS

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7

10.解：

I0

ForNFrom100to999step4

XIntNYIntN100X/10

ZN-100X-10Y

IfInt100X10ZY/4100X10ZY/4Then

II1

EndIf

EndFor

PrintI

11.解：

v1

WhileInt1-35v/331-35v/33

vv1

EndWhile

u1-35v/33

Printu,v

算法案例

這一節(jié)要求較低，但要掌握幾個重要的算法，對于今后的進一步學(xué)習(xí)和提高數(shù)學(xué)的素養(yǎng)都有著重要的意義。（要求掌握的用矩形框框起來）

1．求最大公約數(shù)(greatestcommonfactor)輾轉(zhuǎn)相除法----Euclidalgorithm

水激石則鳴，勵激志則宏！知識改變命運，勤奮成就未來！共25頁第7頁3/31/2013

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輾轉(zhuǎn)相除法-----VB程序

PrivateSubCommand1_Click()

DimMAsLong,NAsLong,rAsLong

M=Val(Text1.Text)'取數(shù)據(jù)M

N=Val(Text2.Text)'取數(shù)據(jù)N

IfM<>Int(M)OrM<1OrN<>Int(N)OrN<1Then'檢驗數(shù)據(jù)合法性！Text3.Text="數(shù)據(jù)錯誤！"

Else

Do

r=MModN

M=N'求出最大公約數(shù)

N=r

LoopUntilr=0

Text3.Text=CStr(M)

EndIf

EndSub

PrivateSubCommand2_Click()

IfText1.Text<>""ThenText1.Text=""'清除文本框1

IfText2.Text<>""ThenText2.Text=""'清除文本框2

IfText3.Text<>""ThenText3.Text=""'清除文本框3

EndSub

PrivateSubCommand3_Click()

End

EndSub

★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★PrivateSubCommand1_Click()

a=InputBox("輸入第一個自然數(shù)")

b=InputBox("輸入第二個自然數(shù)")

WhileaModb<>0

r=aModb

a=b

b=r

Wend

MsgBox("最大公約數(shù)為："&b)

EndSub

PrivateSubCommand2_Click()

End

EndSub

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2．孫子定理-----VB程序

PrivateSubCommand1_Click()

m=2

WhilemMod3<>2OrmMod5<>3OrmMod7<>2m=m+1

Wend

MsgBox"不定方程的一個解為"&mEndSub

PrivateSubCommand2_Click()

End

EndSub

PrivateSubCommand3_Click()

m=2

DoWhilem<10000

Do

m=m+1

LoopUntilmMod3=2AndmMod5=3

AndmMod7=2

Printm

Loop

EndSub

孫子問題-----Excel宏程序

Sub孫子問題()

m=2

WhilemMod3<>2OrmMod5<>3OrmMod7<>2m=m+1

Wend

MsgBox"不定方程的一個解為"&m

EndSub

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10

它的運算涉及到數(shù)輪的知識，如數(shù)輪倒數(shù)，同余式等，這在以后的高校中會有更深入地介紹。

其表述有如下幾種方式

意義為：3m25m37m2

3.二分法問題不作要求，有興趣的同學(xué)可以自行閱讀，它是一種很重的數(shù)學(xué)思想，

我們以后在高校里會再學(xué)習(xí)。（見課本P29）

說明：里面出現(xiàn)了跳轉(zhuǎn)語句的表達方法：也就是在各語句的前面標上標號，在需要運行跳轉(zhuǎn)時就可用“GotoX”,其中X表示某行語句的標號。這種表達方式比較自由，在不知用何種語句才能實現(xiàn)想到達的地方時，就可以以Goto…直接跳轉(zhuǎn)，方便易行，但在以后的編程終究要盡量少用這種跳轉(zhuǎn)，因為特別是對于大型的程序設(shè)計，Goto語句用多了，就不易于檢查，而且它破壞了語言結(jié)構(gòu)的規(guī)范性，容易出錯。由于我們高一階段的要求比較低，所以也就不要有這種擔(dān)心。，

一些常用的函數(shù)

1.Int(x)：求小于等于x的最大整數(shù)

2.Fix(x)：返回x的整數(shù)部分

3.Cint(x)：將x的小數(shù)部分四舍五入取整

4.Exp(x)：求e的x次方

5.Sqr(x)：求x的平方根

6.Sgn(x)：符號函數(shù)，即當(dāng)x>0時，返回1；0；當(dāng)x<0時，返回-1

7.RND(x)：產(chǎn)生一個（0，1）之間的隨機數(shù)，當(dāng)x<0時，返回相同的隨機數(shù)；當(dāng)x>0時，

返回隨機系列的下一個隨機數(shù)；當(dāng)x>0時，返回上一次生成的隨機數(shù)

8.Int(Rand((上界-下界)+1))+1產(chǎn)生上界——下界之間的隨機數(shù)

顏老師說明：不要求大家都記憶，以后在計算機語言的學(xué)習(xí)中還會再學(xué)習(xí)

§2統(tǒng)計

基本定義：

（1）總體：在統(tǒng)計中,所有考查對象的全體叫做全體.

(2)個體：在所有考查對象中的每一個考查對象都叫做個體.

(3)樣本：從總體中抽取的一部分個體叫做總體的樣本.

(4)樣本容量：樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量.

抽樣方法：

（1）簡單隨機抽樣（simplerandomsampling）：設(shè)一個總體的個數(shù)為N.如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本,且每次抽取時每個個體被抽到的概率相等,就稱這樣的抽樣為簡單的隨機抽樣,簡單隨機抽樣常用的方法有抽簽法和隨機數(shù)表法.（關(guān)于制簽和隨機數(shù)表的制作，請參照課本第41頁）

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(2)系統(tǒng)抽樣(systematicsampling):將總體平均分成幾個部分，然后按照一定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體作為樣本。先用隨機的方法將總體進行編號，如果N不能被n整除就從中用隨機數(shù)表法剔除幾個個體，使得能整除，然后分組，一般是樣本容量是多少，就分幾組，間隔k

N

，n

然后從第一組中用簡單實際抽樣的方法抽取一個個體，假設(shè)編號為l，然后就可以將編號為

實際就是從每一組抽取與第一組相同編號l,lk,l2k...ln1k的個體抽出作為樣本，

的個體。

(3)分層抽樣（stratifedsampling）：當(dāng)已知總體是由有差異明顯的幾部分組成時，常將總體分成幾部分，然后按各部分所占的比例進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分成的各部分叫做層.

樣本容量越大，估計越精確！

顏老師友情提醒：1.把每一種抽樣的具體步驟看清楚，要求會寫過程2.個體數(shù)N的總體中抽取一個樣本容量為n的樣本，那么在整個抽樣過程中每個個體被抽到的概率都相等，且等于

n

.其實三種抽樣的每一個個體都是等幾率的被抽到的N

3.三種抽樣都是不放回的抽樣4.在具體問題中對于樣本，總體，個體應(yīng)該時代單位的,如考察一個班級的學(xué)生的視力狀況，從中抽取20個同學(xué)，則個體應(yīng)該是20名同學(xué)的視力，而不是20名同學(xué)，樣本容量則為20，同樣的總體也是全班級同學(xué)的視力

兩種抽樣方法的區(qū)別與聯(lián)系：

★典型例題剖析：

例1、一個總體含有6個個體，從中抽取一個樣本容量為2的樣本，說明為什么在整個抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等.

解：設(shè)任意一個個體為α，那么個體α被抽到分兩種情況：

（1）第一次被抽到：根據(jù)等可能事件概率得P1=

1，6

（2）第二次被抽到：即是個體α第一次沒被抽到、第二次被抽到這兩件事都發(fā)生.

51,個體α第一次沒被抽第二次被抽到的概率是.65

511

根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式,個體α第二次被抽到的概率是P2=×=.(也

656

個體α第一次沒被抽到的概率是

可這樣分析：根據(jù)等可能事件的概率求得，一共取了兩次，根據(jù)分步原理所有可能結(jié)果為6×5=30，個體α第一次沒被抽到第二次被抽到這個隨機事件所含的可能結(jié)果為5×1=5，所以個體α第二次被抽到的概率是P2=

51

=)306

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個體α在第一次被抽到與在第二次被抽到是互斥事件,根據(jù)互斥事件的概率加法公式,在先后抽取2個個體的過程中,個體α被抽到的概率P=P1+P2=111+=.663

1)3由個體α的任意性,說明在抽樣過程中每個個體被抽到的概率都相等(都等于

點評：注意區(qū)分“任一個個體α每次抽取時被抽到的概率”與“任一個個體α在整個抽樣過程中個體α被抽到的概率”的區(qū)別,一般地,如果用簡單隨機抽樣從個體數(shù)為N的總體中抽取一個容量為n的樣本,那么“任一個個體α每次抽取時被抽到的概率”都相等且等于

樣過程中被抽到的概率”為1,“任一個個體α在整個抽Nn.N

例2、（1）在120個零件中，一級品24個，二級品36個，三級品60個，從中抽取一個容量為20的一個樣本，

求①每個個體被抽到的概率，

②若有簡單隨機抽樣方法抽取時，其中個體α第15次被抽到的的概率，

③若用分層抽抽樣樣方法抽取時其中一級品中的每個個體被抽到的概率.

解：①因為總體個數(shù)為120，樣本容量為20，則每個個體被抽到的概率P1=

②因為總體個數(shù)為120，則體α第15次被抽到的的概率P2=

③用分層抽樣方法：按比例201=120611202011=分別在一級品、二級品、三級品中抽取24×=4個，12066

114136×=6個，60×=10，所以一級品中的每個個體被抽到的概率為P3==.66246

1注：其實用分層抽樣方法抽取時二級品、三級品中每個體被抽到的概率也都為.6

n點評：本題說明兩種抽樣方法都能保證在抽樣過程中，每個個體被抽到的概率都相等.且為.N

例3、某地區(qū)有3000人參加今年的高考，現(xiàn)從中抽取一個樣本對他們進行分析，每個考生被抽到的概率為1，求這個樣本容量.10

n1解：設(shè)樣本容量為n，則=，所以n=300.300010

點評：“在整個抽樣過程中個體α被抽到的概率”為n這一結(jié)論的逆用.N

例4、下列抽取樣本的方式是否屬于簡單隨機抽樣?說明理由.

(1)從無限多個個體中抽取50個個體作樣本.

(2)盒子里共有100個零件,從中選出5個零件進行質(zhì)量檢驗.在抽樣操作時,從中任意拿出一個零件進行質(zhì)量檢驗后再把它放回盒子里.

解：(1)不是簡單隨機抽樣.由于被抽取樣本的總體個數(shù)是無限的.

(2)不是簡單隨機抽樣.由于不符合“逐個抽取”的原則,且抽出的結(jié)果可能是只有一個零件重復(fù)出現(xiàn).

點評：簡單隨機抽樣的特點：

(1)它要求被抽取樣本的總體個數(shù)是有限的.

(2)它是從總體中逐個地進行抽取.

(3)它是一種不放回抽樣.

例5、某校有學(xué)生1200人,為了調(diào)查午休對學(xué)習(xí)成績的影響情況,計劃抽取一個樣本容量為60水激石則鳴，勵激志則宏！知識改變命運，勤奮成就未來！共25頁第12頁3/31/2013

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的樣本,問此樣本若采用簡單隨機抽樣將如何進行?

解：可用兩種方法：

方法一：（抽簽法）

（1）編號：將1200名學(xué)生進行隨機編號為1，2，?，1200，（可按學(xué)生的學(xué)號或按學(xué)生的生日進行編號）.

（2）制簽：做1200個大小、形狀相同的號簽，分別寫上這1200個數(shù)，放在個容器里，并進行均勻攪拌.

（3）逐個抽?。哼B續(xù)抽取60個號簽，號簽對應(yīng)的同學(xué)即為樣本.

方法二：（隨機數(shù)表法）

（1）編號：將1200名學(xué)生進行編號分別為0000，0001，?，1199，

（2）選數(shù)：在課本附表1隨機數(shù)表中任選一個數(shù)作為開始.(如從第11行第7列的數(shù)9開始)

(3)讀數(shù)：從選定的數(shù)開始向右（或向上、向下、向左）讀下去，選取介于范圍的號碼，直到滿60個號碼為止.

(4)抽取：抽取與讀出的號碼相對應(yīng)的學(xué)生進行分析.

點評：抽簽法和隨機數(shù)表法是常見的兩種簡單隨機抽樣方法，本問題顯然用隨機數(shù)表法更方便一些，因為總體個數(shù)較多.另外隨機數(shù)表法編號時,位數(shù)要一樣,首數(shù)確定后,可向左、向右、向上、向下各個確定的方向進行抽取.

例6、某工廠中共有職工3000人,其中,中、青、老職工的比例為5∶3∶2，從所有職工中抽取一個樣本容量為400的樣本，應(yīng)采取哪種抽樣方法較合理？且中、青、老年職工應(yīng)分別抽取多少人？

解：采用分層抽抽樣樣方法較為合理.由樣本容量為400,中、青、老職工的比例為5∶3∶2,所以應(yīng)抽取中年職工為400×

應(yīng)抽取青年職工為400×53=200人,應(yīng)抽取青年職工為400×=120人,10102=80人.10

例6.見課本P43例1.

點評：因為總體由三類差異較明顯的個體構(gòu)成，所以應(yīng)采用分層抽抽樣樣方法進行抽取.總體分布的估計

ⅰ.頻率分布表：見課本第51頁：★例1

1.注意全距，組距的確定。一般是先查出最大值，最小值，其差值取適當(dāng)?shù)牧孔鳛槿?，正常情況下分為十組左右，組距全距，也就是合理分組組數(shù)

2.分組的時候一般取左閉右開區(qū)間，最后一個區(qū)間取閉區(qū)間，然后填寫分組、頻數(shù)、頻率、合計

3.如果全距不利于分組（如不能被組數(shù)整除）就可適當(dāng)?shù)脑龃笕?，即在左右兩端增加相同的?/p>

4.分組過少，總體的特征不明顯；分組過多，總體特征不利于比較

ⅱ.頻率分布直方圖：1.橫軸表示數(shù)據(jù)的內(nèi)容，每一線段表示一個組的組距，注意橫軸要有單位

2.縱軸表示的是：頻率3.每個小矩形的面積都是該組所對應(yīng)的頻率組距

ⅲ.頻率分布折線圖：1.由頻率分布直方圖直接得到，取值區(qū)間的兩端點分別向外延伸半個組水激石則鳴，勵激志則宏！知識改變命運，勤奮成就未來！共25頁第13頁3/31/2013

14

距并取此組距上再x軸上的點，然后順次連接直方圖中每一個小矩形上底邊的中點，形成折線圖2.當(dāng)樣本容量足夠大，分組的組距取得足夠小時，折線圖取與一條平滑的曲線，稱這條曲線為總體分布的密度曲線，而且曲線與橫軸圍成的面積為13.在總體密度曲線中，總體在區(qū)間（a,b）內(nèi)取值的可能性就是直線x=a,x=b,y=0和總體密度曲線圍成的面積4.累計頻率分布曲線上任意一點Pa,b的縱坐標標b表示的連續(xù)型總體，取小于等于a的值的可能性

ⅳ.三者的特點

頻率分布表：數(shù)據(jù)翔實、具體、清晰明了，便于查閱

頻率分布直方圖：形象直觀，對比效果強烈

頻率分布折線圖：能夠反映變化趨勢

ⅴ.莖葉圖的特點：優(yōu)點——簡單易行，雜亂的數(shù)據(jù)在用莖葉圖表示后能直觀地反映出數(shù)據(jù)的

水平狀況、穩(wěn)定程度；所有的數(shù)據(jù)都可以在莖葉圖中找到.缺點——分析只是粗略的，對差異不大的兩組數(shù)據(jù)不易分析，另外，對位數(shù)較多的數(shù)據(jù)不易操作，數(shù)據(jù)較多時效果

不是很好.

注意點：1.對重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏2.莖要從小到大自上而下的排列，中

間用一條豎線隔開3.葉也要按照從小到大的順序排列，對于兩組數(shù)據(jù)的可以用兩條

豎線把莖和葉隔開，左邊的葉最好按照從大到小的順序排列，右邊的葉按照從小到大的

順序排列4.莖葉圖一般在衡量一位或者兩位運動員在比賽時的得分情況

（例題見課本P58）

總體特征數(shù)的估計

反映總體某種特征的量較總體特征數(shù)，比如平均數(shù)、中位數(shù)、方差、眾數(shù)等

a1a2...an1n

ⅰ.平均數(shù)（average）或均值（mean）：aainni1

其原理：最小二乘法——設(shè)與實驗數(shù)據(jù)近似的值為x則它與這n個實驗數(shù)據(jù)的離差為xa1,xa2,xa3,...,xan由于上面的離差有正有負，故不易直接相加，就考慮離差的平方和fxxa1xa2...xan222

nx22a1a2...anxa1a2...an22

a1a2...an1n

所以當(dāng)xai時，離差的平方和的函數(shù)取得最小，誤差也就最小，故nni1

而用a1a2...an作為這組數(shù)據(jù)的理想近似值.n

ⅱ.平均數(shù)的求法:題目類型有離散型和連續(xù)型兩種情況

水激石則鳴，勵激志則宏！知識改變命運，勤奮成就未來！共25頁第14頁3/31/2013

15

nx1x2...xn1n

①xxi②加權(quán)平均數(shù):xx1p1x2p2...xnpnxipinni1i1（其中p1,p2,...，這里也是為我們今后將要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué),pi為x1,x2,...,xi對應(yīng)的頻率）

期望作鋪墊

見課本例2P6465注：特別地，對于連續(xù)型的隨機變量在分好組后，其x1,x2,...,xi應(yīng)該取每一組的組中值近似的表示

1nⅲ.樣本方差（variance）:sxixni122

=[(x1x)(x2x)(x3x)(xnx)]

21n

樣本標準差(standarddeviation)：sxxini11n2222

說明：1.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是描述數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量

2.方差、標準差是反映一組數(shù)據(jù)波動大小或穩(wěn)定程度或各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的離散程度的統(tǒng)計量，記住它們的表達形式，在選擇題中常出現(xiàn)關(guān)于它們的判斷

21n23.一個重要結(jié)論：sxixni12

4.方差與越大，穩(wěn)定性越差

5.關(guān)于它們的運算，分連續(xù)型和離散型兩種情況，見課本P6768對于離散型的隨機變量也要注意選擇組中值

例題：從兩塊玉米地里各抽取10株玉米苗，分別測得它們的株高如下（單位：cm）:

甲：25414037221419392142

乙：27164427441640401640

根據(jù)以上數(shù)據(jù)回答下面的問題：

（1）哪種玉米苗長得高？

（2）哪種玉米苗長得齊？

[分析]：看哪種玉米苗長得高，只要比較甲乙兩種玉米苗的平均高度即可；要比較哪種玉米苗長得齊，只要比較哪種玉米苗高的方差即可，方差越小，越整齊，因為方差反映的是一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度12541403722141939214230cm10解：（1）1x乙2716442744164040164031cm10x甲x甲x乙乙種玉米長得高

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22222225304130403037302230143012s甲2222（2）101930393021304230

104.2cm2

2s乙1222222731316313403124431128.8cm210

22x甲x乙甲種玉米長得齊

評：1.特別注意本題中的兩問的說法的不同，所以算法就不同2.一般的說哪組數(shù)據(jù)齊、穩(wěn)定、

波動情況等都是通過方差來判斷

ⅳ.幾個重要的結(jié)論：對于一組數(shù)據(jù)x1,x2,...,xn的平均數(shù)為x方差為s2標準差為s①若xi,i1,2,...,n都增加a,則平均數(shù)為xa方差為s標準差為s2

也可以這樣解釋：同時增加a，也就是相當(dāng)數(shù)據(jù)平移了，不會改變數(shù)據(jù)的波動程度，所以方差

和標準差都不會變.

②若xi,i1,2,...,n都遞增a%，則平均數(shù)為1a%x方差為1a%s2標準差為2

1a%s

③若xi,i1,2,...,n都變?yōu)樵瓉淼腶倍，則平均數(shù)為ax方差為as標準差為as22

例題:已知x1,x2,...,xn的方差為2，則2x13,2x23,...,2xn3的標準差為？

解法1：（公式推導(dǎo)法）2x32x23...2xn3x1x2...xnx12x3nn

1n

方差2xi32x36i121n4xix4s24286i12

標準差22

解法2：（推理法）

因為數(shù)據(jù)的每一項都是先2倍后加上3，而加上3對方差沒有影響，2倍后則方差變

為原來的4倍，即方差標為8，則標準差為22.

線性回歸方程

ⅰ.變量之間的關(guān)系：①確定的函數(shù)關(guān)系②相關(guān)關(guān)系（有一定的關(guān)系，但不能用函數(shù)表達出來）ⅱ.對于一組數(shù)據(jù)探討它們滿足的關(guān)系，可以先畫出散點圖，看它們的大致趨勢，然后選擇一種函數(shù)進行數(shù)據(jù)擬合，電腦和計算器一般給出6種擬合函數(shù)，也就是說對于一組數(shù)據(jù)可以用各種水激石則鳴，勵激志則宏！知識改變命運，勤奮成就未來！共25頁第16頁3/31/2013

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函數(shù)模型來擬合，只不過擬合度不同而已，當(dāng)擬合度R越接近于1則擬合得越好，本教材之研究線性擬合，也就是求線性回歸方程

ⅲ.線性回歸分析：理論依據(jù)——最小二乘法見課本P72ⅳ.設(shè)線性回歸方程為ybxa，關(guān)鍵在于求a,b

2

nn

nxiyixiyii1i1i1b2nn

2

nxixii1i1

n

x

i1

ni1

n

i

yinxy

2i

x

i1

n

n

i

xyiy

i

x

nx2

x

i1

x

2

aybx

ⅴ.相關(guān)系數(shù)：r

xy

ii1

n

i

nxy

稱為y與x的樣本相關(guān)系數(shù)

n

n222xinxyiny2i1i1

當(dāng)r0時,正相關(guān);當(dāng)r0時,負相關(guān);r1,r越接近于1線性相關(guān)程度越高r越接近于0線性相關(guān)程度越低

ⅵ.顏老師說明：

1.由于公式的復(fù)雜，數(shù)據(jù)有的也較多，所以在具體做題目時可以列出表格來，對應(yīng)填進去，然后用公式計算，這樣就不會產(chǎn)生慌亂的感覺

2.做題目時要細心，不要亂，在我們高一階段一般只給出5～6組數(shù)據(jù)，算起來已經(jīng)不是很難了

3.當(dāng)然這種擬合（我們主要學(xué)習(xí)線性擬合——就是求線性回歸方程）在電腦里都可作出來圖像來，而且求出相應(yīng)的擬合度，有興趣的同學(xué)可以在Excel軟件里試一試

4.表格形式：

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§3.概率

事件：隨機事件（randomevent），確定性事件:必然事件(certainevent)和不可能

事件(impossibleevent)

隨機事件的概率(統(tǒng)計定義)：一般的，如果隨機事件A在n次實驗中發(fā)生了m次，當(dāng)實

驗的次數(shù)n很大時，我們稱事件A發(fā)生的概率為PAmn

說明：①一個隨機事件發(fā)生于具有隨機性，但又存在統(tǒng)計的規(guī)律性，在進行大量的重復(fù)事件

時某個事件是否發(fā)生，具有頻率的穩(wěn)定性，而頻率的穩(wěn)定性又是必然的，因此偶然性和必然性

對立統(tǒng)一②不可能事件和確定事件可以看成隨機事件的極端情況③隨機事件的頻率是指事

件發(fā)生的次數(shù)和總的試驗次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試

驗次數(shù)的不斷增多，這個擺動的幅度越來越小，而這個接近的某個常數(shù)，我們稱之為概事件發(fā)生

的概率④概率是有巨大的數(shù)據(jù)統(tǒng)計后得出的結(jié)果，講的是一種大的整體的趨勢，而頻率是具體

的統(tǒng)計的結(jié)果⑤概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值

概率必須滿足三個基本要求：①對任意的一個隨機事件A，有0PA1

②用和分別表示必然事件和不可能事件,則有P1,P0③如果事件

A和B互斥,則有:PABPAPB

古典概率（Classicalprobabilitymodel）：①所有基本事件有限個②每個基本事件發(fā)生

的可能性都相等滿足這兩個條件的概率模型成為古典概型

如果一次試驗的等可能的基本事件的個數(shù)為個n，則每一個基本事件發(fā)生的概率都是1，n

如果某個事件A包含了其中的m個等可能的基本事件，則事件A發(fā)生的概率為PAmn

幾何概型（geomegtricprobabilitymodel）：一般地，一個幾何區(qū)域D中隨機地取一點，記

事件“改點落在其內(nèi)部的一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為

PAd的側(cè)度（這里要求D的側(cè)度不為0，其中側(cè)度的意義由D確定，一般地，線D的側(cè)度

段的側(cè)度為該線段的長度；平面多變形的側(cè)度為該圖形的面積；立體圖像的側(cè)度為其體積）

幾何概型的基本特點：①基本事件等可性②基本事件無限多

顏老師說明：為了便于研究互斥事件，我們所研究的區(qū)域都是指的開區(qū)域，即不含邊界，在區(qū)

域D內(nèi)隨機地取點，指的是該點落在區(qū)域D內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能

性大小只與該部分的側(cè)度成正比，而與其形狀無關(guān)。

互斥事件(exclusiveevents)：不能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件

對立事件（complementaryevents）：兩個互斥事件中必有一個發(fā)生,則稱兩個事件為對立事件，

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事件A的對立事件記為：A

獨立事件的概率：若A,B為相互獨立的事件事件,則PABPAPB，

若A1,A2,...,An為兩兩獨立的事件,則PA1A2...AnPA1PA2...PAn顏老師說明：①若A,B為互斥事件,則A,B中最多有一個發(fā)生,可能都不發(fā)生，但不可能同時發(fā)生，從集合的關(guān)來看兩個事件互斥，即指兩個事件的集合的交集是空集②

對立事件是指的兩個事件，而且必須有一個發(fā)生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一個發(fā)生，可能都不發(fā)生③對立事件一定是互斥事件④從集合論來看：表示互斥事件和對立事件的集合的交集都是空集，但兩個對立事件的并集是全集，而兩個互斥事件的并集不一定是全集⑤兩個對立事件的概率之和一定是1，而兩個互斥事件的概率之和小于或者等于1⑥若事件A,B是互斥事件，則有PABPAPB⑦一般地，如果

A1,A2,...,An兩兩互斥，則有PA1A2...AnPA1PA2...PAn⑧

PA1PA⑨在本教材中A1A2...An指的是A1,A2,...,An中至少發(fā)生一個

⑩★在具體做題中，希望大家一定要注意書寫過程，設(shè)處事件來，利用哪種概型解題，就按照那種概型的書寫格式，最重要的是要設(shè)出所求的事件來，具體的格式請參照我們課本上（新課標試驗教科書-蘇教版）的例題

例題選講：

例1.在大小相同的6個球中，4個是紅球，若從中任意選2個，求所選的2個球至少有一個是紅球的概率？

【分析】題目所給的6個球中有4個紅球，2個其它顏色的球，我們可以根據(jù)不同的思路有不同的解法

解法1：（互斥事件）設(shè)事件A為“選取2個球至少有1個是紅球”，則其互斥事件為A意

義為“選取2個球都是其它顏色球”

11114

PA1-PA1-

(65)151515

14

答：所選的2個球至少有一個是紅球的概率為.

1565

15種情況，設(shè)事件A為“選取2個解法2：（古典概型）由題意知，所有的基本事件有2

43

14球至少有1個是紅球”，而事件A所含有的基本事件數(shù)有422

14

所以PA

15

14

答：所選的2個球至少有一個是紅球的概率為.

15

PA

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20

解法3：（獨立事件概率）不妨把其它顏色的球設(shè)為白色求，設(shè)事件A為“選取2個球至少有1個是紅球”，事件A有三種可能的情況：1紅1白；1白1紅；2紅，對應(yīng)的概率分別為：42244342244314,,，則有PA65656565656515

14答：所選的2個球至少有一個是紅球的概率為.15

評價：本題重點考察我們對于概率基本知識的理解，綜合所學(xué)的方法，根據(jù)自己的理解用不同的方法，但是基本的解題步驟不能少!

變式訓(xùn)練1：在大小相同的6個球中，2個是紅球，4個是白球，若從中任意選取3個，求至少有1個是紅球的概率？

解法1：（互斥事件）設(shè)事件A為“選取3個球至少有1個是紅球”，則其互斥事件為A，意

義為“選取3個球都是白球”

433C4144321PA3PA1-PA1-654555C6(654)21

答：所選的3個球至少有一個是紅球的概率為4.5

365420種情況，設(shè)事件A為“選321

取3個球至少有1個是紅球”，而事件A所含有的基本事件數(shù)有

4316422C414216，所以PA2205

4答：所選的3個球至少有一個是紅球的概率為.5

解法3：（獨立事件概率）設(shè)事件A為“選取3個球至少有1個是紅球”，則事件A的情況如解法2：（古典概型）由題意知，所有的基本事件有C6下：

紅白白24316545

43211紅2白白白紅6545

4231白紅白6545

2141紅紅白65415

24112紅1白紅白紅65415

4211白紅紅65415

114所以PA335155

答：所選的3個球至少有一個是紅球的概率為4.5

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變式訓(xùn)練2：盒中有6只燈泡，其中2只次品，4只正品，有放回的從中任抽2次，每次抽取1只，試求下列事件的概率：（1）第1次抽到的是次品

（2）抽到的2次中，正品、次品各一次解：設(shè)事件A為“第1次抽到的是次品”，事件B為“抽到的2次中，正品、次品各一次”

214224424424

，PB（或者PB）6366966669

14

答：第1次抽到的是次品的概率為，抽到的2次中，正品、次品各一次的概率為

39

則PA

變式訓(xùn)練3：甲乙兩人參加一次考試共有3道選擇題，3道填空題，每人抽一道題，抽到后不放

回，求（1）甲抽到選擇題而乙抽到填空題的概率？（2）求至少1人抽到選擇題的概率？【分析】（1）由于是不放回的抽，且只抽兩道題，甲抽到選擇題而乙抽到填空題是獨立的，所以可以用獨立事件的概率（2）事件“至少1人抽到選擇題”和事件“兩人都抽到填空題”時互斥事件，所以可以用互斥事件的概率來

解：設(shè)事件A為“甲抽到選擇題而乙抽到填空題”，事件B為“至少1人抽到選擇題”，則為“兩人都抽到填空題”

P31P31333333

（1）PA或者PA265106510P6

P32114321PB1PB1（2）PB則或者PB2556555P6

答：甲抽到選擇題而乙抽到填空題的概率為

34

，少1人抽到選擇題的概率為.105

變式訓(xùn)練4：一只口袋里裝有5個大小形狀相同的球，其中3個紅球，2個黃球，從中不放回摸

出2個球，球兩個球顏色不同的概率？

【分析】先后抽出兩個球顏色相同要么是1紅1球，要么是1黃1球略解:PA

3223363

或者PA254545C55

變式訓(xùn)練5：設(shè)盒子中有6個球，其中4個紅球，2個白球，每次人抽一個，然后放回，若連續(xù)

抽兩次，則抽到1個紅球1個白球的概率是多少？略解:PA

422442244666666669

例2.急救飛機向一個邊長為1千米的正方形急救區(qū)域空頭急救物品，在該區(qū)域內(nèi)有一個長寬分別為80米和50米的水池，當(dāng)急救物品落在水池及距離水池10米的范圍內(nèi)時，物品會失效，假設(shè)急救物品落在正方形區(qū)域內(nèi)的任意一點是隨機的（不考慮落在正方形區(qū)域范圍之外的），求發(fā)放急救物品無效的概率？

【分析】為題屬于幾何概型，切是平面圖形，其測度用面積來衡量

解：如圖，設(shè)急救物品投放的所有可能的區(qū)域，即邊長為1千米的正方形為區(qū)域D，事件“發(fā)放急救物品無效”為A，距離水池10米范圍為區(qū)域d，即為圖中的陰影部分，則有

PA

d測度D測度

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805028010250104

10001000

102

答：略

顏老師說明：這種題目要看清題目意思，為了利用幾何概率，題目中一般都會有落在所給的大的區(qū)域之外的不計的條件，但如果涉及到網(wǎng)格的現(xiàn)象是一般則不需要這個條件，因為超出一個網(wǎng)格，就會進入另外一個網(wǎng)格，分析是同樣的

變式訓(xùn)練1：在地上畫一正方形線框，其邊長等于一枚

硬幣的直徑的2倍，向方框中投擲硬幣硬幣完全落在正方形外的不計，求硬幣完全落在正方形內(nèi)的概率？略解：PA

d測度D測度

224

22

3244141

變式訓(xùn)練2：如圖，設(shè)有一個正方形網(wǎng)格，其中每個小正三角形的邊長都是a,現(xiàn)有一直徑等于

的硬幣落在此網(wǎng)格上，求硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點的概率？

【分析】因為圓的位置由圓心確定，所以要與網(wǎng)格線有公共點只要圓心到網(wǎng)格線的距離小于等于半徑

解：如圖，正三角形ABC內(nèi)有一正三角形A1B1C1，其中

ABa,A1DB1EA1F

A1D1

a,ADBE6tan30

3aa1a，A1B1AB2ADa336

當(dāng)圓心落在三角形A1B1C1之外時，硬幣與網(wǎng)格有公共點

有公共點的概率P

SABC-SA1B1C1

SA1B1C1

2

A

D

a

E

B

3232

1aa4430.8232a4

答：硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點的概率為0.82.變式訓(xùn)練

中，AB5,AC7,在正方形內(nèi)3：如圖，已知矩形ABCD

任取一點P,求APB90的概率？

水激石則鳴，勵激志則宏！知識改變命運，勤奮成就未來！共25頁第22頁3/31/2013

15

522

略解：PA

5756

變式訓(xùn)練4：平面上畫了彼此相距2a的平行線把一枚半徑r<a的

硬幣，任意的拋在這個平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率？

解：設(shè)事件A為“硬幣不與任何一條平行線相碰”為了確定硬幣的位置，有硬幣的中心向距離最近的平行線作垂線OM，垂足為M，