專題04 導數在切線中的應用（精講）

第1頁（共34頁）專題04·導數在切線中的應用命題規(guī)律切線的相關問題是高考中的熱門考點，經常出現在選擇填空題中，偶爾也會出現在解答題中.特別是近幾年高考中關于公切線的相關考點出現較多.導數在高中數學中，作為解題工具具有很重要的地位，導數的幾何意義為解決曲線的切線和公切線提供諸多便利.本專題研究導數在切線中的應用，希望對同學們解決切線和公切線有所幫助.題型歸納題型1求切線【解題技巧】曲線切線方程的求法：1.以曲線上的點(x0，f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：①求出函數f(x)的導數f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡．2.如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設出切點(x0，y0)，解方程組得切點(x0，y0)，進而確定切線方程．【例1】（2023?江西模擬）已知函數f(x)=g(x)，x＞0xex+xA．ex﹣y﹣1＝0 B．（e﹣1）x﹣2y+e﹣1＝0 C．2（e﹣1）x﹣y+1﹣e＝0 D．3x﹣y+2＝0【分析】由已知求得函數g（x）的解析式，再求其導函數，得到g′（1）與g（1）的值，利用直線方程的點斜式得答案．【解答】解：∵函數f（x）為奇函數，且x＜0時，f（x）=x∴設x＞0，則﹣x＜0，f（x）＝﹣f（﹣x）=??xe?x?x2∴g（x）＝xex﹣x2，x＞0，當x＞0時，g′（x）＝ex+xex﹣2x，g′（1）＝2e﹣2，又g（1）＝e﹣1，∴g（x）在x＝1處的切線方程為y＝（2e﹣2）（x﹣1）+e﹣1，即2（e﹣1）x﹣y+1﹣e＝0．故選：C．【點評】本題考查函數解析式的求解及常用方法，訓練了利用導數求過曲線上某點處的切線方程，是中檔題．【例2】（2023?汕頭一模）已知f（x）是定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，當x＞0時，f（x）＝ex﹣1﹣1，則曲線y＝f（x）在點（﹣1，f（﹣1））處的切線方程為．【分析】由函數的奇偶性的定義，求得f（x）在x＜0時的解析式，求得導數，可得切線的斜率和切點，由直線的點斜式方程，可得切線的方程．【解答】解：由f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，得f（﹣x）＝﹣f（x），當x＞0時，f（x）＝ex﹣1﹣1，可得x＜0時，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣e﹣x﹣1+1，x＜0時，f（x）的導數為f′（x）＝e﹣x﹣1，則曲線y＝f（x）在點（﹣1，f（﹣1））處的切線的斜率為1，切點為（﹣1，0），則切線的方程為y﹣0＝x+1，即有y＝x+1．故答案為：y＝x+1．【點評】本題考查函數的奇偶性和導數的運用：求切線的方程，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．題型2求切點【解題技巧】已知斜率求切點：已知斜率k，求切點(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k．【例1】（2022秋?遵義月考）若直線y＝k（x﹣1）與曲線y＝ex相切，則切點的坐標為．【分析】設切點為（x0，y0），求出函數的導函數，再結合切點同時在直線、曲線上，即可求解．【解答】解：設切點為（x0，y0），∵y'＝ex，∴k=e又∵y0=ex0y∴切點坐標為（2，e2）．故答案為：（2，e2）．【點評】本題主要考查利用導數研究曲線上某點切線的方程，屬于基礎題．【例2】（2022春?浙江月考）已知函數f（x）＝x3﹣x﹣2．（1）求曲線y＝f（x）在點（2，4）處的切線方程；（2）直線l為曲線的切線，且經過原點，求直線l的方程及切點坐標．【分析】（1）求得f（x）的導數，得切線斜率，由直線的點斜式方程，可得切線的方程；（2）設切點為（m，n），可得切線的斜率和方程，代入原點，解得m，可得切點和切線的方程．【解答】解：（1）函數f（x）＝x3﹣x﹣2的導數為f′（x）＝3x2﹣1，可得在點（2，4）處切線的斜率為3×4﹣1＝11，則切線方程為y﹣4＝11（x﹣2），即為11x﹣y﹣18＝0；（2）設切點為（m，n），則n＝m3﹣m﹣2，切線的方程為y﹣n＝（3m2﹣1）（x﹣m），代入原點，可得﹣m3+m+2＝﹣3m3+m，解得m＝﹣1，所以切點為（﹣1，﹣2），切線l的方程為y＝2x．【點評】本題考查導數的運用：求切線的方程，以及直線方程的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．題型3由切線求參數【解題技巧】由導數的幾何意義求參數的值時，一般是利用切點P(x0，y0)既在曲線上又在切線上和切線的斜率等于該點處的導函數值構造方程組求解．【例1】（2022秋?淮安期末）直線y＝kx+1與曲線f（x）＝ax3+b相切于點P（1，2），則b＝（）A．13 B．1 C．53【分析】求出原函數的導函數，由已知可得關于k，a，b的方程組，求解得答案．【解答】解：由f（x）＝ax3+b，得f′（x）＝3ax2，∵直線y＝kx+1與曲線f（x）＝ax3+b相切于點P（1，2），∴k=3aa+b=22=k+1，解得故選：C．【點評】本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查運算求解能力，是基礎題．【例2】（2023?郫都區(qū)模擬）若直線l：x+y+a＝0是曲線C：y＝x﹣2lnx的一條切線，則實數a的值為（）A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2【分析】設切點坐標，求出y＝x﹣2lnx的導函數，由導函數值為﹣1求解切點坐標，把切點坐標代入切線方程求得a值．【解答】解：設直線與曲線的切點P（m，n），直線x+y+a＝0斜率為﹣1，由題意可得，y'|得m＝1，∴n＝1﹣2ln1＝1，則切點為（1，1），切線方程為y＝﹣（x﹣1）+1，即x+y﹣2＝0．∴a＝﹣2．故選：C．【點評】本題考查已知切線方程求參數，是基礎題．題型4切線條數問題【解題技巧】1．設點列方程過程同前（求切線過程）．2．切線條數判斷，實質是切點橫坐標為變量的函數（方程）零點個數判斷．【例1】（2023?泰州模擬）若過點P（t，0）可以作曲線y＝（1﹣x）ex的兩條切線，切點分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則y1y2的取值范圍是（）A．（0，4e﹣3） B．（﹣∞，0）∪（0，4e﹣3） C．（﹣∞，4e﹣2） D．（﹣∞，0）∪（0，4e﹣2）【分析】設切點(x0，(1?x0)ex0)，根據導數的幾何意義求得切線方程，再根據切線過點P（t，0），結合韋達定理可得【解答】解：設切點(x則切線方程為y?(1?x0∴?(1?x0)ex0=?x0ex∴x0?1=?tx0+x0其中x1x2=1，xy1令g（t）＝（1﹣t）et+1，t＞1或t＜﹣3，g'（t）＝﹣tet+1，當t＜﹣3時，g'（t）＞0，當t＞1時，g'（t）＜0，∴函數g（x）在（﹣∞，﹣3）上遞增，在（1，+∞）上遞減，又g（﹣3）＝4e﹣2，g（1）＝0，當t→﹣∞時，g（t）→0，當t→+∞時，g（t）→+∞，∴g（t）∈（﹣∞，0）∪（0，4e﹣2），即y1故選：D．【點評】本題考查根據導數的幾何意義求得切線方程，方程思想，韋達定理的應用，函數思想，利用導數研究函數的單調性及最值，屬中檔題．【例2】（2022春?肥城市期中）過曲線C：f（x）＝x3﹣ax+b外一點A（1，0）作C的切線恰有兩條，則（）A．a＝b B．a﹣b＝1 C．b＝a+1 D．a＝2b【分析】設出切點，求出切點處的導函數值，據點斜式寫出切線的方程，將切點代入，列出關于切點橫坐標的方程，據題意此方程有兩個根，構造函數，通過導函數求出兩個極值，令極值為0，求出a，b的關系．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣a，過點A（1，0）作曲線C的切線，設切點（x0，f（x0）），則切線方程為：y＝（3x02﹣a）（x﹣1），將（x0，f（x0））代入得：f（x0）＝（3x02﹣a）（x0﹣1）＝x03﹣ax0+b，即2x03﹣3x02+a﹣b＝0（*），由條件切線恰有兩條，得方程（*）恰有兩根．令u（x）＝2x3﹣3x2+a﹣b，則u′（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），顯然有兩個極值點x＝0與x＝1，于是u（0）＝0或u（1）＝0當u（0）＝0時，a＝b，符合題意；當u（1）＝0時，a﹣b＝1，此時f（x）＝x3﹣ax+a﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1﹣a），f（x）經過（1，0），與條件不符．故a＝b．故選：A．【點評】本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，訓練了利用導數求極值，考查化歸與轉化思想，考查運算求解能力，是中檔題．題型5求公切線【解題技巧】1．共切點的公切線問題：直接利用切線方程建立方程求解即可．2．不共點的公切線問題：先設出切點后，再利用切線方程建立方程求解即可．3．抓住切點處的導數值即為斜率和原函數與切線方程均過切點這兩點列方程．【例1】（2022秋?贛州月考）若函數f(x)=3x+1x?3(x＞0)的圖象與函數g（x）＝txex的圖象有公切線l，且直線l與直線y=?A．1e B．e2 C．1e或2e D．【分析】先由題意可得直線l的斜率k＝2，再根據l與f（x）相切求切線l的方程，再設切線l與g（x）＝txex切于點P（x0，y0），接著根據切點的特點及導數的幾何意義建立方程組，最后再解方程組即可得解．【解答】解：由題意可得直線l的斜率k＝2，令f'(x)=3?1x2=2，（x＞0），∴∴切線l的方程為y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，設切線l與g（x）＝txex切于點P（x0，y0），又g′（x）＝tex（x+1），∴y0=2x∴x0x0+1=2x0?12，∴2x∴t=1e或t＝4故選：D．【點評】本題考查導數的幾何意義，利用導數求切線，方程思想，屬中檔題．【例2】（2022?通遼模擬）已知直線l是曲線y＝ex﹣1與y＝lnx+1的公共切線，則l的方程為．【分析】設出切點坐標，求解切線方程，利用兩條曲線的切線方程相同，轉化求解即可．【解答】解：直線l與曲線y＝ex﹣1相切，切點為（a，ea﹣1），y′＝ex，切線的斜率為：ea，切線方程為：y﹣ea+1＝ea（x﹣a），即y＝eax﹣aea+ea﹣1．直線l與y＝lnx+1相切，切點為（b，lnb+1），所以y′=1x，切線的斜率為：1b，切線方程為：y﹣lnb﹣1=1b（x﹣b），即：y直線l是曲線y＝ex﹣1與y＝lnx+1的公共切線，可得1b=ealnb=?aea+ea所以l的方程為：y＝ex﹣1或y＝x．故答案為：y＝ex﹣1或y＝x．【點評】本題考查曲線的切線方程的求法，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．題型6公切線條數問題【解題技巧】1．共切點的公切線問題：直接利用切線方程建立方程求解即可．2．不共點的公切線問題：先設出切點后，再利用切線方程建立方程求解即可．3．抓住切點處的導數值即為斜率和原函數與切線方程均過切點這兩點列方程．【例1】（2022?昆都侖區(qū)校級一模）曲線f（x）＝ax2（a＞0）與g（x）＝lnx有兩條公切線，則a的取值范圍為．【分析】分別求出導數，設出各自曲線上的切點，得到切線的斜率，再由兩點的斜率公式，結合切點滿足曲線方程，可得切點坐標的關系式，整理得到關于一個坐標變量的方程，由已知的兩條切線得到方程有兩個解，借助于函數的極值和最值，即可得到a的范圍．【解答】解：f（x）＝ax2的導數f′（x）＝2ax，g（x）＝lnx的導數為g′（x）=1設切線與f（x）＝ax2相切的切點為（s，t），與曲線g（x）＝lnx相切的切點為（m，n）m＞0，則有公共切線斜率為2as=1m=t?ns?m，又t＝as2∴2as=1m=as2?lnms?m設h（s）＝as2﹣ln（2as）﹣1，∴h'（s）＝2as?2a∵a＞0，s＞0，∴由h'（s）＞0，得到當s＞12a時，h′（s）＞0，h（當0＜s＜12a時，h′（s）＜0，h（即有s=12a時，h（s）取得極小值，也為最小值，且為h（12a）＝﹣由恰好存在兩條公切線，即h（s）＝0有兩解，且h（0）→+∞，當s→+∞，f（s）→+∞，∴只要h（12a）＜0，可得a的范圍是a＞∴a的取值范圍為（12e故答案為：（12e【點評】本題考查導數的幾何意義，主要考查導數的運用：求單調區(qū)間和極值、最值，考查運算能力，屬于中檔題．【例2】（2023?安徽模擬）已知直線l與曲線y＝ex、y＝2+lnx都相切，則直線l的方程為．【分析】分別求出直線l與曲線y＝ex的切線方程，直線l與曲線y＝2+lnx的切線方程，再根據題意建立方程組，解出即可．【解答】解：設直線l與曲線y＝ex的切點為（m，em），由y＝ex，得y′＝ex，則直線l的方程為y﹣em＝em（x﹣m），即y＝emx﹣mem+em，設直線l與曲線y＝2+lnx的切點為（n，2+lnn），由y＝2+lnx，得y'=1x，則直線l的方程為y?(2+lnn)=所以em=1ne所直線l的方程為y＝ex或y＝x+1．故答案為：y＝ex或y＝x+1．【點評】本題主要考查導數的幾何意義，考查方程思想以及運算求解能力，屬于中檔題．題型7由公切線求參數【解題技巧】1．共切點的公切線問題：直接利用切線方程建立方程求解即可．2．不共點的公切線問題：先設出切點后，再利用切線方程建立方程求解即可．3．抓住切點處的導數值即為斜率和原函數與切線方程均過切點這兩點列方程．【例1】（2022?江蘇模擬）若兩曲線y＝x2﹣1與y＝alnx﹣1存在公切線，則正實數a的取值范圍為（）A．（0，2e] B．（0，e] C．[2e，+∞） D．（e，2e]【分析】首先設出兩個函數在A，B兩點處的切線，利用待定系數法將a用x2表示，在構造函數解決函數最值即可．【解答】解：設A(xy1'=2x，y故在A處切線為：y?(x12在B處切線為y?(alnx2?1)=所以2x1=構造函數f（x）＝4x2（1﹣lnx），f′（x）＝4x（1﹣2lnx），令f′（x）＜0，解得：x＞e，故f（x）在(0，e)故f(x)∵正實數a＞0，∴a的取值范圍是（0，2e]，故選：A．【點評】本題主要考查利用導函數研究函數切線及求解函數最值，屬于中檔題．【例2】（多選）（2022春?石家莊期末）若兩曲線y＝x2﹣1與y＝alnx﹣1存在公切線，則正實數a的取值可能是（）A．1.2 B．4 C．5.6 D．2e【分析】設公切線與兩曲線的切點，利用導數求得過切點的切線方程，再由斜率相等、直線在y軸上的截距相等列式，可得a=?4x22(lnx2?1)，令g（x）＝﹣4【解答】解：切線與y＝x2﹣1與y＝alnx﹣1的切點分別為A（x1，y1），B（x2，y2），由y＝x2﹣1，得y′＝2x，由y＝alnx﹣1，得y′=a則兩切線方程分別為y?(x12化簡得y=2x1x?1?又兩條切線為同一條，可得2x1=令g（x）＝﹣4x2（lnx﹣1）（x＞0），得g'（x）＝4x（1﹣2lnx），當x∈(0，e)時，g'（x）＞0，g當x∈(e，+∞)時，g'（x）＜0，g（x）單調遞減，∴∴a∈（0，2e]．結合選項可得，正實數a的取值可能是ABD．故選：ABD．【點評】本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查運算求解能力，是中檔題．題型8切線應用:距離問題【解題技巧】1．一般的距離問題：當直線l平移到與曲線C相切位置時，切點Q到直線l的距離最小.再根據點到直線的距離公式求解即可．2．距離公式轉化型：①距離公式形式：平方和；②以此還可以類比斜率公式形式．【例1】（2022?南京模擬）已知點A在曲線y＝ex上，點B在直線y＝x﹣2上，則點A，B之間的距離的最小值為．【分析】設A（x0，ex0【解答】解：設A（x0，ex0），由y＝ex，得則y'|x=x0=ex0∴點A，B之間的距離的最小值為|0?1?2|1故答案為：32【點評】本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查化歸與轉化思想，考查點到直線距離公式的應用，是中檔題．【例2】（2022春?邢臺月考）已知點P是函數f（x）＝x2的圖象上的任意一點，則點P到直線y＝x﹣2的最短距離是．【分析】利用導數的幾何意義求出切點坐標，再求切點到直線的距離即為所求．【解答】解：∵y＝x2，∴y′＝2x，令y′＝2x＝1，可得x=1∴與直線y＝x﹣2平行的直線與曲線y＝x2的切點為（12，1（12，14）到直線y＝x﹣2的距離d∴點P到直線y＝x﹣2的最短距離是72故答案為：72【點評】本題考查了利用導數研究曲線上某點的切線方程，以及點到直線的距離公式的應用問題，是中檔題．題型9切線應用:存在或恒成立問題【解題技巧】利用切線作為“臨界線”放縮．這類思維，有時也應用于大題的不等式證明，稱之為“切線放縮”．【例1】（2022春?東區(qū)校級月考）已知函數f（x）＝lnx，g（x）＝ax+1，若存在x0≥1e使得f（x0）＝g（﹣x0），則實數【分析】由題意可得a=1?lnx0x0在x0≥1e上有解．設h（x）【解答】解：由f（x0）＝g（﹣x0），可得lnx0＝﹣ax0+1，即a=1?lnx0x0設h（x）=1?lnxx（x≥1e），h′（當x＞e2時，h′（x）＞0，h（x）遞增；當1e≤x＜e2時，h′（x）＜0，h（可得h（x）在x＝e2處取得極小值，且為最小值?1又h（x）的最大值為h（1e）＝2e所以?1e2≤a≤2e，即a的取值范圍是[故答案為：[?1e2【點評】本題考查存在性問題解法，考查方程思想和轉化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．【例2】（多選）（2022春?撫順期末）已知函數f(x)=??x2?2x，x≤0，xlnx，x＞0，若關于x的不等式f（x）＞ax﹣eA．﹣1 B．0 C．12 【分析】將恒成立轉化成f（x）的圖象恒在直線y＝ax﹣e的上方，再數形結合即可求解．【解答】解：∵f（x）＞ax﹣e在R上恒成立，∴等價于f（x）的圖象恒在直線y＝ax﹣e的上方，畫出f(x)=?又直線y＝ax﹣e恒過點（0，﹣e），①當直線與y＝xlnx，x＞0相切時，設切點P（x0，x0lnx0），y'＝lnx+1，可得k＝1+lnx0，由1+lnx0=x0ln②當直線與y=??直線y＝ax﹣e與半圓（x+1）2+y2＝1（y≤0）相切，如圖，由|?a?e|a2+1=1，解得a=1?故選：ABC．【點評】本題考查考查數形結合法解恒成立問題，導數研究曲線的切線，直線與圓相切，屬中檔題．題型10切線應用:零點問題【解題技巧】對于函數與直線交點個數，可以借助于切線（臨界線）來求解，但是一定要注意函數一般情況下，是比較簡單的凸凹函數．【例1】（2023?二七區(qū)校級模擬）已知函數f（x）滿足f(x+1)=ax+a，x≤?1，ln(x+1)，x＞?1．，函數g（x）＝f（x）﹣f（﹣xA．(?1e，0) B．(0，1【分析】畫出f（x），f（﹣x）的圖象，因為y＝ax與y＝﹣ax，y＝lnx與y＝ln（﹣x）的圖象關于y軸對稱，且y＝ax與y＝﹣ax交于原點，要使f（x）＝f（﹣x）恰有5個零點，y＝lnx與y＝﹣ax的圖象必需有兩個交點，求出y＝lnx與y＝﹣ax相切時a的值可得答案．【解答】解：因為f(x+1)=ax+a，x≤?1所以f(x)=ax，x≤0lnx，x＞0，因為函數g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）恰有5個零點，所以f（x），f（﹣x）的圖象恰有5個交點，畫出f（x），f（﹣x）的圖象，由圖象可得，因為y＝ax與y＝﹣ax，y＝lnx與y＝ln（﹣x）的圖象關于y軸對稱，且y＝ax與y＝﹣ax交于原點，要恰有5個零點，則y＝ax與y＝ln（﹣x），y＝lnx與y＝﹣ax的圖象必有兩個交點，當y＝lnx與y＝﹣ax的圖象相切時，設切點（m，n），此時切線的斜率為y'=1x=1m=nm，可得n即?a=1e，交點所以要使函數g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）恰有5個零點，則a∈(?1故選：A．【點評】本題考查了函數的零點與方程根的關系，考查了轉化思想和數形結合思想，屬中檔題．【例2】（2022春?岳普湖縣月考）若關于x的方程x（|x|+a）＝1有三個不同的實數解，則實數a的可能取值（）A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．3【分析】圓方程可化為|x|+a=1x，作出函數y＝|x|+a和y【解答】解：因為x＝0不是方程的解，原方程可化為|x|+a=1則條件轉化為函數y＝|x|+a和y=1作出函數圖像如下：當a≥0時，僅有1個公共點，不符合；當a＜0時，結合圖像，由方程﹣x+a=1x（x＜0）有一解，可得所以a＜﹣2符合要求．故選：A．【點評】本題考查函數零點與方程根的關系，其中根據已知中函數的解析式，畫出函數的圖象，再利用數形結合是解答本題的關鍵，屬于中檔題．最新模擬一．選擇題1．（2023?洪澤區(qū)校級開學）若直線y＝3x+m與函數f（x）＝xex﹣3lnx+5的圖象相切于點A（x0，y0），則x0+lnx0＝（）A．3 B．ln3 C．e3 D．﹣ln3【答案】B【題型】求切點【解析】解：由題意可得f'(x)=(x+1)e由已知可得x0＞0，f'(x0)=(可得ex0=3x0，兩邊取自然對數可得x0所以x0+lnx0＝ln3．故選：B．2．（2022?淮安模擬）已知函數f（x）＝cos2x，x∈（0，π）在x＝x0處的切線斜率為85，則sinx0﹣cosx0A．?35 B．35 C．?【答案】D【題型】求切點【解析】解：由f（x）＝cos2x，得f′（x）＝﹣2sin2x，∴f′（x0）＝﹣2sin2x0=85，即sin2x0∵x0∈（0，π），且sin2x0＝2sinx0cosx0?45＜0，∴x0∈（π則sinx0﹣cosx0=(sin故選：D．3．（2022秋?鄠邑區(qū)期末）若曲線y＝x2+ax+b在點（0，b）處的切線方程為x﹣y+1＝0，則a+b＝（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2【答案】A【題型】由切線求參數【解析】解：由y＝x2+ax+b，得y′＝2x+a，由題意，y′|x＝0＝a＝1，且0﹣b+1＝0，即b＝1．∴a+b＝2．故選：A．4．（2023?榆林一模）已知函數f（x）＝alnx+x2的圖象在x＝1處的切線方程為3x﹣y+b＝0，則a+b＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】B【題型】由切線求參數【解析】解：∵f（x）＝alnx+x2，∴f'(x)=a又f（x）的圖象在x＝1處的切線方程為3x﹣y+b＝0，∴f'（1）＝a+2＝3，∴a＝1，∴f（x）＝lnx+x2，∴f（1）＝1，∴切點坐標為（1，1），將其代入切線方程3x﹣y+b＝0中可得：3﹣1+b＝0，∴b＝﹣2，∴a+b＝﹣1．故選：B．5．（2023?周至縣一模）過點（1，2）可作三條直線與曲線f（x）＝x3﹣3x+a相切，則實數a的取值范圍為（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）【答案】D【題型】切線條數問題【解析】解：設切點為(x則切線方程為y?(x∵切線過點（1，2），∴2?(x∵過點（1，2）可作三條直線與曲線f（x）＝x3﹣3x+a相切，∴a=2x令g（x）＝2x3﹣3x2+5，則g'（x）＝6x2﹣6x，令g'（x）＝0，則x＝0或x＝1，當x＜0或x＞1時，g'（x）＞0；當0＜x＜1時，g'（x）＜0，∴g（x）在（﹣∞，0）和（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，∴g（x）極大值＝g（0）＝5，g（x）極小值＝g（1）＝4，由a=2x可知函數y＝a與y=2x03∴a的取值范圍為（4，5）．故選：D．6．（2021秋?新鄉(xiāng)月考）已知函數f（x）＝kx2+kx﹣4lnx，若關于x的不等式f（x）＜0的解集中恰有兩個整數，則實數k的取值范圍為（）A．[2ln25，ln33） B．（2ln25，C．[2ln25，2ln33） D．（2ln25【答案】A【題型】切線應用:零點問題【解析】解：由題意可知函數f（x）的定義域為（0，+∞），從而f（x）＜0等價于k（x+1）＜4lnx即轉化為y＝k（x+1）的圖象在y=4lnx因為y=4lnxx，所以當0＜x＜e時，y′＞0；當x＞e時，y′＜0，故函數y=4lnxx在（0，e）上單調遞增，在（畫出函數y=4lnx如圖所示．A（2，2ln2），B（3，4ln33），C（4，2ln由圖可知KPC≤K＜KPB，即k∈[2ln2故選：A．7．（2022?湖北模擬）若過點（a，b）可以作曲線y＝x?1x（A．b＞a＞0 B．a?1a＜bC．0＜a?1a＜b＜a D．a＞b＞a?【答案】D【題型】切線條數問題【解析】解：設切點為（x0，x0?1x0），（x0＞0），y′＝1+1x則切線方程為：y﹣（x0?1x0）＝（1+1x02）（x﹣x0），把點（a，b）代入可得：b﹣（x0?1x0）＝（1+1x02）（a﹣令f（x）＝（b﹣a）x2+2x﹣a，x＞0，b﹣a≠0，則f（x）＝（b﹣a）(x?1a?b)則必須滿足b﹣a＞0，﹣a?1b?a＜0，1a?b＞0，f（0）＝﹣a＞0；或b﹣a＜0，﹣a?1b?a由b﹣a＞0，﹣a?1b?a＜0，1a?b＞由b﹣a＜0，﹣a?1b?a＞0，1a?b＞0，f（0）＝﹣a＜0，解得a＞0，a＞故選：D．8．（2022秋?亭湖區(qū)校級月考）已知直線l：y＝kx（k＞0）既是函數f（x）＝x2+1的圖象的切線，同時也是函數g（x）=pxx+1+lnx(p∈R)的圖象的切線，則函數gA．0 B．1 C．0或1 D．1或2【答案】B【題型】由公切線求參數【解析】解：設A(x1，x1由于f′（x）＝2x，則2x1=k設B(x2，px由于g'(x)=p(x+1所以2x令h（x）＝2x2﹣x+lnx﹣1，x＞0，則?'(x)=4x?1+所以函數h（x）在（0，+∞）上單調遞增，又h（1）＝0，則函數h（x）有唯一零點x2＝1，則p＝4，所以g(x)=4x而g(x)=4xx+1+lnx=lnx?則由函數零點存在性定理可知，函數g（x）在(1故選：B．9．（2022?晉中模擬）若兩曲線y＝lnx﹣1與y＝ax2存在公切線，則正實數a的取值范圍是（）A．（0，2e] B．[12e?3，+∞) C．【答案】B【題型】由公切線求參數【解析】解：設公切線與兩曲線y＝lnx﹣1與y＝ax2的切點分別為（x1，lnx1﹣1），（x2由y'|x=x得1x1=2a令h（x）＝x2（lnx﹣2），則h′（x）＝x（2lnx﹣3），由h′（x）＝0，得x=e∴當x∈（e3，+∞）時，h′（x）＞0，當x∈（0，e3）時，h′（可得h（x）的最小值為h（e3）=?從而?14a≥?∴正實數a的取值范圍是[1故選：B．二．多選題10．（2022?新羅區(qū)校級開學）已知函數f（x）=1e（ex+1）與g（x）＝ex+1?1A．l的斜率大于12 B．l在x軸上的截距為﹣2C．l的斜率小于12 D．l在y【答案】BC【題型】求公切線【解析】解：設切點分別為P(x因為f′（x）＝ex﹣1，g′（x）＝ex+1，所以ex可得x1﹣1＝x2+1，即x1＝x2+2，則1e所以x1=0，P(0，2e)，Q(?2，0)，所以公切線方程為y?所以選項BC正確．故選：BC．三．填空題11．（2023?福州模擬）已知曲線y＝x3﹣3x2+6x+2在點P處的切線與在點Q處的切線平行，若點P的縱坐標為1，則點Q的縱坐標為．【答案】11【題型】求切點【解析】解：曲線y＝x3﹣3x2+6x+2，y′＝3x2﹣6x+6，y″＝6x﹣6，令6x﹣6＝0，可得x＝1，此時y＝13﹣3×12+6×1+2＝6，所以函數的對稱中心為（1，6）．曲線y＝x3﹣3x2+6x+2在點P處的切線與在點Q處的切線平行，若點P的縱坐標為1，則點Q的縱坐標為11．故答案為：11．12．（2022?蘇州模擬）若直線y＝k（x﹣2）與曲線y＝ex相切，則切點的坐標為．【答案】（3，e3）【題型】求切點【解析】解：設切點為（x0，y0），∵y′＝ex，∴k=e又∵y0=ex0，y0=k(x0?2)故答案為：（3，e3）．13．（2022春?永順縣期中）已知f（x）為奇函數，當x＞0時，f（x）＝2lnx+x2，則曲線y＝f（x）在點（﹣1，f（﹣1））處的切線方程是．【答案】4x﹣y+3＝0【題型】求切線【解析】解：設x＜0，則﹣x＞0，又f（x）為奇函數，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[2ln（﹣x）+x2]＝﹣2ln（﹣x）﹣x2，則f′（x）=?2x?2x又f（﹣1）＝﹣1，∴f（x）在點（﹣1，f（﹣1））處的切線方程是y+1＝4（x+1），即4x﹣y+3＝0．故答案為：4x﹣y+3＝0．14．（2023?梅河口市校級二模）若直線y＝kx與曲線y＝lnx和曲線y＝eax都相切，則a＝．【答案】1【題型】由公切線求參數【解析】解：設切點坐標為P（m，lnm），∵曲線y＝lnx，∴y′=1x，∴k＝y(tǒng)′|x＝m=又∵切點P（m，lnm）在切線y＝kx上，∴l(xiāng)nm＝km，②由①②，解得k=1直線y=1ex和曲線y＝eax相切，切點為（n，e可得y′＝aeax，aean=1e，ean=ne故答案為：1e15．（2021?沙坪壩區(qū)校級模擬）已知a∈R，b∈R，則(a?b)2+【答案】2【題型】切線應用:距離問題【解析】解：由題意，看成點（a，a）到點（b，1+eb）兩點之間的距離問題，轉化為y＝x上的點到函數y＝1+ex的最小值，設y＝1+ex與直線y＝x+c的切點為（m，n），那么n=1+eme那么函數y＝1+ex到y(tǒng)＝x的最小值即為切點到直線y＝x的最小值，所以，最小值d=|2?0|2=2．那么得故答案為：2．16．（2023?山西模擬）若曲線y=ax(x＞0)與曲線y＝2lnx存在公切線，則a【答案】[?2【題型】由公切線求參數【解析】解：設公切線與曲線f（x）=ax（x＞0）的切點為（x1，ax1），與曲線g（x）＝2lnx的切點為（x2，2lnx2），∵f'（x）=?ax2∴y＝f（x）在x＝x1處的切線方程為y＝（?ax12）（x﹣x1）+ax同理可得，y＝g（x）在x＝x1處的切線方程為y=2x2x+2由題意可知，?ax12∵ax12=?2x2＜0，∴a方程組①消去x1，整理得a=?x設lnx2＝t＜1，則a（t）=?(t?1)2et2，∴令a'（t）＝0，解得t＝﹣1，當t＜﹣1時，a'（t）＜0，a（t）單調遞減；當﹣1＜t＜1時，a'（t）＞0，a（t）單調遞增，∴a（t）min＝a（﹣1）=?2又∵a（1）＝0，∴?2e≤a＜0，即a故答案為：[?217．（2023?邵陽二模）已知直線l是曲線y＝ln（x﹣2）+2與y＝ln（x﹣1）的公切線，則直線l與x軸的交點坐標為．【答案】（3+ln22【題型】求公切線【解析】解：由y＝ln（x﹣2）+2，得y′=1x?2，由y＝ln（x﹣1），得y′設直線l與曲線y＝ln（x﹣2）+2和y＝ln（x﹣1）分別切于（a，ln（a﹣2）+2），（b，ln（b﹣1）），則1a?2=1b?1，即a＝可得ln(b?1)+2?ln(b?1)1=1b?1∴y′＝2，切點為（32，﹣ln2），則切線方程為y＝2（x?32取y＝0，得x=3+ln22．∴直線l與x軸的交點坐標為（故答案為：（3+ln22四．解答題18．（2022春?喀什市校級期中）已知y＝1+lnx．（1）求曲線y＝1+lnx在點P（e，2）處的切線方程；（2）求曲線y＝1+lnx過原點O（0，0）的切線方程．【答案】（1）x﹣ey+e＝0；（2）x﹣y＝0．【題型】求切線【解析】解：（1）由y＝1+lnx求導得：y'=1x，當x＝e時，由點斜式得曲線在點P（e，2）處的切線方程為y?2=1e(x?e)，即x﹣ey所以曲線y＝1+lnx在點P（e，2）處的切線方程x﹣ey+e＝0；（2）由題意知，點O（0，0）不在曲線上，設切點為B（x0，1+lnx0），由（1）知曲線y＝1+lnx在點B處切線斜率為1x切線方程為y?(1+lnx即y=1x0x+lnx0解得x0＝1，于是得所求切線方程為y＝x，所以曲線y＝1+lnx過原點O（0，0）的切線方程為x﹣y＝0．真題在線一．選擇題1．（2021?新高考Ⅰ）若過點（a，b）可以作曲線y＝ex的兩條切線，則（）A．eb＜a B．ea＜b C．0＜a＜eb D．0＜b＜ea【答案】D【題型】切線條數問題【解析】解：法一：函數y＝ex是增函數，y′＝ex＞0恒成立，函數的圖象如圖，y＞0，即切點坐標在x軸上方，如果（a，b）在x軸下方，連線的斜率小于0，不成立．點（a，b）在x軸或下方時，只有一條切線．如果（a，b）在曲線上，只有一條切線；（a，b）在曲線上側，沒有切線；由圖象可知（a，b）在圖象的下方，并且在x軸上方時，有兩條切線，可知0＜b＜ea．故選：D．法二：設過點（a，b）的切線橫坐標為t，則切線方程為y＝et（x﹣t）+et，可得b＝et（a+1﹣t），設f（t）＝et（a+1﹣t），可得f′（t）＝et（a﹣t），t∈（﹣∞，a），f′（t）＞0，f（t）是增函數，t∈（a，+∞），f′（t）＜0，f（t）是減函數，因此當且僅當0＜b＜ea時，上述關于t的方程有兩個實數解，對應兩條切線．故選：D．2．（2020?新課標Ⅰ）函數f（x）＝x4﹣2x3的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為（）A．y＝﹣2x﹣1 B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+1【答案】B【題型】求切線【解析】解：由f（x）＝x4﹣2x3，得f′（x）＝4x3﹣6x2，∴f′（1）＝4﹣6＝﹣2，又f（1）＝1﹣2＝﹣1，∴函數f（x）＝x4﹣2x3的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣（﹣1）＝﹣2（x﹣1），即y＝﹣2x+1．故選：B．3．（2019?新課標Ⅲ）已知曲線y＝aex+xlnx在點（1，ae）處的切線方程為y＝2x+b，則（）A．a＝e﹣1，b＝1 B．a＝e﹣1，b＝﹣1 C．a＝e，b＝﹣1 D．a＝e，b＝1【答案】B【題型】由切線求參數【解析】解：∵y＝aex+xlnx，∴y′＝aex+lnx+1，由在點（1，ae）處的切線方程為y＝2x+b，可得ae+1+0＝2，解得a＝e﹣1，又切點為（1，1），可得1＝2+b，即b＝﹣1．故選：B．4．（2019?新課標Ⅱ）曲線y＝2sinx+cosx在點（π，﹣1）處的切線方程為（）A．x﹣y﹣π﹣1＝0 B．2x﹣y﹣2π﹣1＝0 C．2x+y﹣2π+1＝0 D．x+y﹣π+1＝0【答案】C【題型】求切線【解析】解：由y＝2sinx+cosx得y′＝2cosx﹣sinx，∴y′|x＝π＝2cosπ﹣sinπ＝﹣2，∴y＝2sinx+cosx在點（π，﹣1）處的切線方程為y+1＝﹣2（x﹣π），即2x+y﹣2π+1＝0．故選：C．5．（2018?全國）若函數f（x）＝ax2+1圖象上點（1，f（1））處的切線平行于直線y＝2x+1，則a＝（）A．﹣1 B．0 C．14 【答案】D【題型】由切線求參數【解析】解：函數f（x）＝ax2+1的導數為f′（x）＝2ax，可得點（1，f（1））處的切線斜率為2a，由點（1，f（1））處的切線平行于直線y＝2x+1，可得2a＝2，解得a＝1，故選：D．6．（2018?新課標Ⅰ）設函數f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）為奇函數，則曲線y＝f（x）在點（0，0）處的切線方程為（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x【答案】D【題型】求切線【解析】解：f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）為奇函數，f（﹣x）＝﹣f（x），﹣x3+（a﹣1）x2﹣ax＝﹣（x3+（a﹣1）x2+ax）＝﹣x3﹣（a﹣1）x2﹣ax．所以：（a﹣1）x2＝﹣（a﹣1）x2可得a＝1，所以函數f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，曲線y＝f（x）在點（0，0）處的切線的斜率為：1，則曲線y＝f（x）在點（0，0）處的切線方程為：y＝x．故選：D．二．填空題7．（2022?新高考Ⅰ）若曲線y＝（x+a）ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是．【答案】（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）【題型】切線條數問題【解析】解：y'＝ex+（x+a）ex，設切點坐標為（x0，（x0+a）ex∴切線的斜率k=e∴切線方程為y﹣（x0+a）ex0=（ex0+(又∵切線過原點，∴﹣（x0+a）ex0=（ex整理得：x0∵切線存在兩條，∴方程有兩個不等實根，∴Δ＝a2+4a＞0，解得a＜﹣4或a＞0，即a的取值范圍是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞），故答案為：（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．8．（2022?新高考Ⅱ）曲線y＝ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為，．【答案】x﹣ey＝0，x+ey＝0【題型】求切線【解析】解：當x＞0時，y＝lnx，設切點坐標為（x0，lnx0），∵y'=1x，∴切線的斜率k=1x0，∴切線方程為y﹣lnx0=1又∵切線過原點，∴﹣lnx0＝﹣1，∴x0＝e，∴切線方程為y﹣1=1e(x?e)，即x當x＜0時，y＝ln（﹣x），與y＝lnx的圖像關于y軸對稱，∴切線方程也關于y軸對稱，∴切線方程為x+ey＝0，綜上所述，曲線y＝ln|x|經過坐標原點的兩條切線方程分別為x﹣ey＝0，x+ey＝0，故答案為：x﹣ey＝0，x+ey＝0．9．（2022?全國）曲線y＝xlnx在點（1，0）處的切線方程為．【答案】x﹣y﹣1＝0【題型】求切線【解析】由f（x）＝xlnx得y'=lnx+x?1x=lnx+1，∴即曲線f（x）＝xlnx在點（1，0）處的切線的斜率為1，則曲線f（x）＝xlnx在點（1，0）處的切線方程為y﹣0＝1×（x﹣1），整理得：x﹣y﹣1＝0．故答案為：x﹣y﹣1＝0．10．（2021?全國）曲線y＝2x3﹣6x2﹣18x+7在點（﹣2，3）處的切線方程是．【答案】30x﹣y+63＝0【題型】求切線【解析】解：函數y＝2x3﹣6x2﹣18x+7的導數為y′＝6x2﹣12x﹣18，可得曲線在點（﹣2，3）處的切線的斜率為6×4﹣（﹣24）﹣18＝30，則曲線y＝2x3﹣6x2﹣18x+7在點（﹣2，3）處的切線方程為y﹣3＝30（x+2），即為30x﹣y+63＝0．故答案為：30x﹣y+63＝0．11．（2021?甲卷）曲線y=2x?1x+2在點（﹣1，﹣3）處的切線方程為【答案】5x﹣y+2＝0【題型】求切線【解析】解：因為y=2x?1所以y′=2(x+2)?(2x?1)(x+2)2=5則曲線y=2x?1y﹣（﹣3）＝5[x﹣（﹣1）]，即5x﹣y+2＝0．故答案為：5x﹣y+2＝0．12．（2020?新課標Ⅰ）曲線y＝lnx+x+1的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為．【答案】y＝2x【題型】求切線【解析】解：y＝lnx+x+1的導數為y′=1設切點為（m，n），可得k＝1+1m=則切線的方程為y﹣2＝2（x﹣1），即y＝2x，故答案為：y＝2x．13．（2019?天津）曲線y＝cosx?x2在點（0，1）處的切線方程為【答案】x+2y﹣2＝0【題型】求切線【解析】解：由題意，可知：y′＝﹣sinx?12，∵y′|x＝0＝﹣sin0y＝cosx?x2在點（0，1）處的切線方程：y﹣1=?12x，整理得：故答案為：x+2y﹣2＝0．14．（2019?江蘇）在平面直角坐標系xOy中，點A在曲線y＝lnx上，且該曲線在點A處的切線經過點（﹣e，﹣1）（e為自然對數的底數），則點A的坐標是．【答案】（e，1）【題型】求切點【解析】解：設A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′=1∴y'|x=x0=1x0，則該曲線在點∵切線經過點（﹣e，﹣1），∴?1?lnx即lnx0=ex0，則x0＝故答案為：（e，1）．15．（2019?江蘇）在平面直角坐標系xOy中，P是曲線y＝x+4x（x＞0）上的一個動點，則點P到直線x+y＝0的距離的最小值是【答案】4【題型】切線應用:距離問題【解析】解：由y＝x+4x（x＞0），得y′＝1設斜率為﹣1的直線與曲線y＝x+4x（x＞0）切于（x0，由1?4x02=?1，解得∴曲線y＝x+4x（x＞0）上，點P（2，32）到直線最小值為|2故答案為：4．16．（2019?新課標Ⅰ）曲線y＝3（x2+x）ex在點（0，0）處的切線方程為．【答案】y＝3x【題型】求切線【解析】解：∵y＝3（x2+x）ex，∴y'＝3ex（x2+3x+1），∴當x＝0時，y'＝3，∴y＝3（x2+x）ex在點（0，0）處的切線斜率k＝3，∴切線方程為：y＝3x．故答案為：y＝3x．17．（2018?新課標Ⅱ）曲線y＝2lnx在點（1，0）處的切線方程為．【答案】y＝2x﹣2【題型】求切線【解析】解：∵y＝2lnx，∴y′=2x，當x＝1時，