江西贛州市五校協(xié)作體2022年高考沖刺數(shù)學模擬試題含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知等差數(shù)列{4,}的前〃項和為S”，且％=-3,兀=24,若q+勺=0(Z,JGN*,且貝h的取

值集合是()

A.{1,2,3}B.{6,7,8}C.{1,2,3,4,5}D.{6,7,8,9,10}

2.已知函數(shù)f(x)滿足當xW0時，2/(x-2)=/(%),且當xe(-2,0］時，/(x)=|x+l|-l；當x>0時，

/(x)=log?尤(a>0且。。1).若函數(shù),fM的圖象上關(guān)于原點對稱的點恰好有3對，則?的取值范圍是()

A.(625,+oo)B.(4,64)C.(9,625)D.(9,64)

3.設〃2,"是兩條不同的直線，a,夕是兩個不同的平面，下列命題中正確的是()

A.若mua,?<=/?,則加

B.若?！?，加ua,nu0,則加〃〃

C.若加，“，mua，nu0,則

D.若mlIn,nil(3,則a_L/?

4.網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1單位長度，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為()

3

5.已知拋物線f=4y上一點A的縱坐標為4,則點A到拋物線焦點的距離為()

A.2B.3C.4D.5

6.已知集合4={(乂丁)|y=》2},3={(x,y)|x2+y2=i},則AD5的真子集個數(shù)為()

A.1個B.2個C.3個D.4個

7.要得到函數(shù)y=sin(2x+()的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象()

A.向右平移J個單位B.向右平移1個單位

C.向左平移g個單位D.向左平移?個單位

8.在精準扶貧工作中，有6名男干部、5名女干部，從中選出2名男干部、1名女干部組成一個扶貧小組分到某村工

作，則不同的選法共有()

A.60種B.70種C.75種D.150種

/、flog,x+a,x>0/、/、

9.已知a>()且”1,函數(shù)/(x)=Cz?/八，若"。)=3,則〃一a)=()

3-l,xW0

228

A.2B.-C.——D.——

339

10.已知"，，"是兩條不同的直線，a,尸是兩個不同的平面，給出四個命題：

①若an/?=根，/ua,nYm,則a_L￡；②若〃?_La,ml./3,則a〃尸；

③若m〃n,mua,alI[3,則〃〃/?；④若〃JL尸，ml.n,則。>L/?

其中正確的是()

A.①②B.③④C.①④D.②④

11.某三棱錐的三視圖如圖所示，那么該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為()

??nm

A.1B.2C.3D.0

12.下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)是

(1)對于命題e/?使得焉-lKO,則A都有/-I〉。；

(2)已知X?N(2,(T2),貝！IP(X>2)=0.5

(3)已知回歸直線的斜率的估計值是2,樣本點的中心為(4,5),則回歸直線方程為$=2x-3；

(4)“x21”是“x+—22”的充分不必要條件.

X

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知aSeR,復數(shù)z=a—i且=-=1+4,(i為虛數(shù)單位)，則必=__________,曰=_________.

1+z

14.某同學周末通過拋硬幣的方式?jīng)Q定出去看電影還是在家學習，拋一枚硬幣兩次，若兩次都是正面朝上，就在家學

習，否則出去看電影，則該同學在家學習的概率為.

15.如圖所示，在正三棱柱ABC-45?中，。是AC的中點，AA：AB=JL1,則異面直線A耳與3。所成的角

為一.

16.某學習小組有4名男生和3名女生.若從中隨機選出2名同學代表該小組參加知識競賽，則選出的2名同學中恰好1

名男生1名女生的概率為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

x=-3+—

2

17.(12分)在直角坐標系xOy中，直線/的參數(shù)方程為昌.a為參數(shù)).以坐標原點。為極點，x軸的正半

軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為22-4pcos6+3=0.

(1)求/的普通方程及C的直角坐標方程；

(2)求曲線C上的點尸至心距離的取值范圍.

18.(12分)已知曲線C的極坐標方程是夕=4cos6.以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸，建立平面

V2

x=m-\-----1

?

直角坐標系，直線1的參數(shù)方程是：｛la是參數(shù)).

五,

y=——t

-2

(1)若直線1與曲線C相交于A、B兩點，且|AB|=g,試求實數(shù)m值.

(2)設為曲線。上任意一點，求x+2y的取值范圍.

19.(12分)已知直線/的極坐標方程為「5山。一。=6,x-lOcos?

圓C的參數(shù)方程為S.八(。為參數(shù)).

y=lOsint)

(1)請分別把直線/和圓C的方程化為直角坐標方程;

（2）求直線/被圓截得的弦長.

20.（12分）已知六面體ABCOEF如圖所示，BE1平面ABC。，BE//AF,AD//BC,BC=1,CD<,

FM1

AB=AF=AD=2,M是棱在。上的點，且滿足——=-.

MD2

（1）求證：直線〃平面M4C；

（2）求二面角A—MC—。的正弦值.

21.（12分）在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期，我市教育局提出“停課不停學”的口號，鼓勵學生線上學習.某校

數(shù)學教師為了調(diào)查高三學生數(shù)學成績與線上學習時間之間的相關(guān)關(guān)系，對高三年級隨機選取45名學生進行跟蹤問卷,

Q

其中每周線上學習數(shù)學時間不少于5小時的有19人，余下的人中，在檢測考試中數(shù)學平均成績不足120分的占三，

13

統(tǒng)計成績后得到如下2x2列聯(lián)表：

分數(shù)不少于120分分數(shù)不足120分合計

線上學習時間不少于5小時419

線上學習時間不足5小時

合計45

（1）請完成上面2*2列聯(lián)表；并判斷是否有99%的把握認為“高三學生的數(shù)學成績與學生線上學習時間有關(guān)”；

（2）①按照分層抽樣的方法，在上述樣本中從分數(shù)不少于120分和分數(shù)不足120分的兩組學生中抽取9名學生，設抽

到不足120分且每周線上學習時間不足5小時的人數(shù)是X,求X的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；

②若將頻率視為概率，從全校高三該次檢測數(shù)學成績不少于120分的學生中隨機抽取20人，求這些人中每周線上學習

時間不少于5小時的人數(shù)的期望和方差.

（下面的臨界值表供參考）

2

P(K>k0)0.100.050.0250.0100.0050.001

202.7063.8415.0246.6357.87910.828

(參考公式K2=----------------------^其中n=a+b+c+d)

(〃+/?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

22.(10分)已知/(x)=Asin(s:+。)(A＞0,0＜。＜4,闞＜々77"))過點(0,1上)，且當x=7上7"時，函數(shù)/⑴取得最

226

大值1.

(1)將函數(shù)“X)的圖象向右平移-個單位得到函數(shù)g(x)，求函數(shù)g(x)的表達式；

6

jr

(2)在(1)的條件下，函數(shù)力。)=/。)+8*)+2852%-1,求〃(X)在［0,萬］上的值域.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足《+%=0的i的取值集合.

【詳解】

設公差為d,由題知%=-3nq+3d=-3,

S12=24=＞12a+^-^-6/=24,

、2

解得4=-9,［=2,

所以數(shù)列為—9,—7,—5,—3,—1,1,3,5,7,9,11,一,

故ie{1,2,3,4,5}.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎題.

2.C

【解析】

先作出函數(shù)/（X）在（-8,0］上的部分圖象，再作出了（無）=10g“X關(guān)于原點對稱的圖象，分類利用圖像列出有3個交點

時滿足的條件，解之即可.

【詳解】

先作出函數(shù)fM在（-oo,0］上的部分圖象，再作出/（無）=logax關(guān)于原點對稱的圖象，

如圖所示，當0<a<l時，對稱后的圖象不可能與/（x）在（-8,0］的圖象有3個交點；

當a>1時，要使函數(shù)/（-r）關(guān)于原點對稱后的圖象與所作的圖象有3個交點，

故選：C.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點個數(shù)問題，考查學生數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.

3.D

【解析】

試題分析：-La,〃||力，故選D.

考點：點線面的位置關(guān)系.

4.A

【解析】

采用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐，然后根據(jù)錐體體積公式，可得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)三視圖可知：該幾何體為三棱錐

如圖

A

Q.i

M

該幾何體為三棱錐A-38,長度如上圖

=1x1x1=-

所以S&MBD=SgEc=/X1X2=LS阪N

22

_3

所以S曲8=2乂2—SWBD一■S'DEC-S阪N

-2

所以匕=1

故選：A

【點睛】

本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積，熟悉常見圖形的三視圖：比如圓柱，圓錐，球，三棱錐等；對本題可以利用長

方體，根據(jù)三視圖刪掉沒有的點與線，屬中檔題.

5.D

【解析】

試題分析：拋物線f=4y焦點在.V軸上，開口向上，所以焦點坐標為(0,1),準線方程為丁=-1,因為點A的縱坐

標為4,所以點A到拋物線準線的距離為4+1=5,因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，所以點A與

拋物線焦點的距離為5.

考點：本小題主要考查應用拋物線定義和拋物線上點的性質(zhì)拋物線上的點到焦點的距離，考查學生的運算求解能力.

點評：拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，這條性質(zhì)在解題時經(jīng)常用到，可以簡化運算.

6.C

【解析】

求出的元素，再確定其真子集個數(shù).

【詳解】

7275-2

2x=---------------

y=x2

_或2,AA8中有兩個元素，因此它的真子集有3個.

由＜22，解得《

1MiV5-1

y=y=----

-2

故選：c.

【點睛】

本題考查集合的子集個數(shù)問題，解題時可先確定交集中集合的元素個數(shù)，解題關(guān)鍵是對集合元素的認識，本題中集合

A8都是曲線上的點集.

7.D

【解析】

直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可；

【詳解】

解：函數(shù)y=sin2x+?)=sin2卜+看］,

???要得到函數(shù)y=sin(2x+的圖象，

只需將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移B個單位.

6

故選：D.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)圖象平移的應用問題，屬于基礎題.

8.C

【解析】

根據(jù)題意，分別計算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數(shù)，由分步計數(shù)原

理計算可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，從6名男干部中選出2名男干部，有C：=15種取法，

從5名女干部中選出1名女干部，有C；=5種取法，

則有15*5=75種不同的選法；

故選：C.

【點睛】

本題考查排列組合的應用，涉及分步計數(shù)原理問題，屬于基礎題.

9.C

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式，知當xWO時，/(力=3向—1,且/(x)<3,由于〃。)=3,則/(a)=log/+a=3,即

可求出4.

【詳解】

由題意知：

當x40時，/(力=3向—1,且/(6<3

由于/(。)=3,則可知：a>Q,

貝ij/(a)=k)g“a+a=3,

???。=2,則-。-2,

?

貝！1/(-q)="-2)=3T—1=—

2

即/(_a)=一1

故選：C.

【點睛】

本題考查分段函數(shù)的應用，由分段函數(shù)解析式求自變量.

10.D

【解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷①；根據(jù)空間面面平行的判定定理可判斷②；根據(jù)線面平行的判定定理可判斷③；根

據(jù)面面垂直的判定定理可判斷④.

【詳解】

對于①，若。機，“ua,n^m,a,夕兩平面相交，但不一定垂直，故①錯誤；

對于②，若〃z_La,mip,則?！ㄊ?，故②正確；

對于③，若m〃n,mua,a///?,當〃<=尸，則〃與不平行，故③錯誤；

對于④，若〃?_La,nA./3,mLn,則a_L/?,故④正確；

故選：D

【點睛】

本題考查了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，屬于基礎題.

11.C

【解析】

由三視圖還原原幾何體，借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù).

【詳解】

由三視圖還原原幾何體如圖,

其中A4BC,ABCD,AADC為直角三角形.

.??該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為3.

故選：C.

【點睛】

本小題主要考查由三視圖還原為原圖，屬于基礎題.

12.C

【解析】

由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，即可判定是正確的；（2）中，根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，即可

判定是正確的；（3）中，由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點斜式方程，即可判定是正確；（4）中，基本不等式和充要

條件的判定方法，即可判定.

【詳解】

由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可知命題〃與不€/?使得則都有

尤2一1>0,是錯誤的；

（2）中，已知X?N（2,b）,正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，可知其對稱軸的方程為x=2,所以P（X>2）=0.5是正確的;

（3）中，回歸直線的斜率的估計值是2,樣本點的中心為（4,5）,由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點斜式方程，可得

回歸直線方程為9=2x-3是正確；

當時，只需滿足x>0,所以“xil”是“龍+122”

（4）中，當工之1時，可得x2

XXX

成立的充分不必要條件.

【點睛】

本題主要考查了命題的真假判定及應用，其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、回歸直線方程的性

質(zhì)，以及基本不等式的應用等知識點的應用，逐項判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于

基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.ab=—6|z|=VlO

【解析】

7

?.?復數(shù)z=且一=1+沅

1+z

ci—i(cz—z)(l—z)(tz—1)—(4Z+l)l.,.

..-----=---------------=-------------------—\+bi

1+z22

a+i,

-------=b

2

a=3

：.{

b=-2

:.ab=W,忖=百+（-1）2=廂

故答案為-6,Vio

14.1

4

【解析】

采用列舉法計算古典概型的概率.

【詳解】

拋擲一枚硬幣兩次共有4種情況，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），

在家學習只有1種情況，即（正，正），故該同學在家學習的概率為

4

故答案為：一

4

【點睛】

本題考查古典概型的概率計算，考查學生的基本計算能力，是一道基礎題.

15.60

【解析】

要求兩條異面直線所成的角，需要通過見中點找中點的方法，找出邊的中點，連接出中位線，得到平行，從而得到兩

條異面直線所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角.

【詳解】

取AC的中點E,連AE,B|E,易證面ACG4于點E,.?.NA與E為異面直線A4與BD所成角,

ABE1

設等邊三角形邊長為。，易算得431=&二在放入44￡中，《)5/人13#=北-=不

2ABi2

ANAB]E=60’

本題考查異面直線所成的角，本題是一個典型的異面直線所成的角的問題，解答時也是應用典型的見中點找中點的方

法，注意求角的三個環(huán)節(jié)，一畫，二證，三求.

4

16.-

7

【解析】

從7人中選出2人則總數(shù)有C；,符合條件數(shù)有C：-C；,后者除以前者即得結(jié)果

【詳解】

從7人中隨機選出2人的總數(shù)有C；=21,則記選出的2名同學中恰好1名男生1名女生的概率為事件A,

4

7

4

故答案為：一

7

【點睛】

組合數(shù)與概率的基本運用，熟悉組合數(shù)公式

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

__S5/3

22

17.(1)>/3x—y+3>/3=0,x+y-4JC4-3=0.(2)-h——Hl

【解析】

X=-3H—,

2

(1)根據(jù)直線/的參數(shù)方程為〈廠(/為參數(shù))，消去參數(shù)L即可求得的/的普通方程，曲線。的極坐標方

x=pcosO

程為0?-4pcos。+3=0,利用極坐標化直角坐標的公式:、[y=Ps^'即可求得答案;

(2)C的標準方程為(x-2>+y2=i,圓心為C(2,0),半徑為1,根據(jù)點到直線距離公式，即可求得答案.

【詳解】

x=-3d—,

2。為參數(shù))，消去參數(shù)f

(1)直線/的參數(shù)方程為《r

6

y=——t

2

；./的普通方程為Gx-y+36=0.

曲線。的極坐標方程為夕2一%cos6+3=0,

x=pcos0

利用極坐標化直角坐標的公式：〈

y=psin。

二C的直角坐標方程為爐+/一4%+3=0.

(2)C的標準方程為(x—2y+y2=i,圓心為C(2,0),半徑為1

圓心C到/的距離為仆也產(chǎn)=竽

5白,5省

???點P到/的距離的取值范圍是

22

【點睛】

本題解題關(guān)鍵是掌握極坐標化直角坐標的公式和點到直線距離公式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.

18.(1)m=l或m=3;(2)[2—2逐,2+2逐].

【解析】

(1)將曲線。的極坐標方程?=4cos8化為直角坐標方程，在直角坐標條件下求出曲線。的圓心坐標和半徑，將直

線的參數(shù)方程化為普通方程，由勾股定理列出等式可求R的值；(2)將圓C化為參數(shù)方程形式，代入x+y由三角公

式化簡可求其取值范圍.

【詳解】

(1)曲線C的極坐標方程是。=4cose化為直角坐標方程為:

x2+y2-4x=0直線]的直角坐標方程為：y=x-m

二圓心到直線I的距離(弦心距)

圓心(2,0)到直線￥=》一所的距離為：巴"列=巫=

m-2|=l

、傷2

二m=1或m=3

x-2+2cos。

(2)曲線C的方程可化為Cr—2)2+y2=4,其參數(shù)方程為:{y=2sin。(。為參數(shù))

為曲線C上任意一點,x+2y=2+26sin(上+a)

.?.x+2y的取值范圍是[2-26,2+26]

19.(1)\/3x—y+12=0.x2+j2=l.(2)16

【解析】

(1)直接利用極坐標方程和參數(shù)方程公式化簡得到答案.

(2)圓心(0,0)到直線的距離為d=]=6,故弦長為2彳二F得到答案?

【詳解】

、

(1)psin(j=6,即2—1sin^-百日口15/3

cos。=6,即一y----X=6>

2T72'2

即Gx-y+12=().

X=lOcos。..

k1廝。'故=i0°.

/、12_______

(2)圓心(0,0)到直線的距離為。=彳=6,故弦長為2,2_/=16.

【點睛】

本題考查了極坐標方程和參數(shù)方程，圓的弦長，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.

20.(1)證明見解析(2)巫運

18

【解析】

(D連接80,設B￡>cAC=O,連接MO.通過證明MO//證得直線3尸〃平面MAC.

(2)建立空間直角坐標系，利用平面M4c和平面MCO的法向量，計算出二面角A—MC—O的正弦值.

【詳解】

(D連接8。，設80cAe=O,連接MO,

2

因為AZ)〃BC,所以△5OCS/\DQA,所以空=A"

OBBC1

*m^MD2DO

在AEBD中，因為——-——――>

MF1OB

所以MO"BF,且M。u平面MAC,

故〃平面M4c.

(2)因為旬〃BC,AB=2,BC=\,AD=2,CD=亞,所以ABLAD,

因為BE/AF,BE1平面ABC。，所以AF_L平面ABC。，

所以AFLAB,AFYAD,

取AB所在直線為x軸，取A￡)所在直線為)'軸，取AE所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

由已知可得3(2,0,0),C(2,l,0),￡>(0,2,0),E(2,0,3),F(0,0,2)

一FM1

所以。E=(0,—2,2),因為礪=5,

.___.2?~?(44、

所以/=[0,-44

33

所以點”的坐標為(o,|,(

所以恁=(2,1,0),而=O,g,g,設而=(x,y,z)為平面MAC的法向量,

_---f2x+y=0

inAM=0

一=>S24八令x=1,解得,y=-2,z=i,

m-AC=0—y+—z=0

[3.3

所以送=(1,-2,1),即而二(1,-2,1)為平面MAC的一個法向量.

CM=1-2，K),CD=(-2,1,0)

同理可求得平面MCD的一個法向量為/；=(1,2,2)

1-4+2___1

所以cos〈〃z,〃〉=

>/6x33\/6

所以二面角A—MC—。的正弦值為Y巫

18

【點睛】

本小題主要考查線面平行的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

21.(1)填表見解析；有99%的把握認為“高三學生的數(shù)學成績與學生線上學習時間有關(guān)”(2)①詳見解析②期望12;

方差4.8

【解析】

(1)完成列聯(lián)表，代入數(shù)據(jù)即可判斷;

(2)利用分層抽樣可得X的取值，進而得到概率，列出分布列；根據(jù)分析知丫~3(20,0.6),計算出期望與方差.

【詳解】

(1)