人教版-2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題4 韋達定理應(yīng)用探討

【2021年中考攻略】專題4:韋達定理應(yīng)用探討

韋達，1540年出生于法國的波亞圖，早年學(xué)習(xí)法律，但他對數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，常利用業(yè)余時間鉆研

數(shù)學(xué)。韋達第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘幕，帶來了代數(shù)學(xué)理論研究的

重大進步。韋達討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系（所以人們把敘述一元二

次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為“韋達定理”）。人們?yōu)榱思o念他在代數(shù)學(xué)上的功績，稱他為“代數(shù)學(xué)之

父”。

hc

韋達定理說的是:設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=O（awO）有二實數(shù)根X],x2,則X]+x2=-1,x,-x2=-o

這兩個式子反映了一元二次方程的兩根之積與兩根之和同系數(shù)a,b,c的關(guān)系。其逆命題:如果rX?滿

hc

足X]+x?=——,x,-x2=-,那么X|,X?是一元二次方程ax2+bx+c=0（aH0）的兩個根也成立。

韋達定理的應(yīng)用有一個重要前提，就是一元二次方程必須有解，即根的判別式A=b2-4acNO。

韋達定理及其逆定理作為一元二次方程的重要理論在初中數(shù)學(xué)教學(xué)和中考中有著廣泛的應(yīng)用。錦元數(shù)

學(xué)工作室將其應(yīng)用歸納為:①不解方程求方程的兩根和與兩根積；②求對稱代數(shù)式的值；③構(gòu)造，一元二

次方程；④求方程中待定系數(shù)的值；⑤在平面幾何中的應(yīng)用；⑥在二次函數(shù)中的應(yīng)用。下面通過近年全

國各地中考的實例探討其應(yīng)用。

一、不解方程求方程的兩根和與兩根積：已知一元二次方程，可以直接根據(jù)韋達定理求得兩根和與兩

根積。

典型例題：

例1:（2021湖北武漢3分）若xi、X2是一元二次方程x2—3x+2=0的兩根，則xdx2的值是【】

A.-2B.2C.3D.1

【答案】C?

【考點】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得K+X2=3。故選C。

例2:（2001湖北武漢3分）若xi、X2是一元二次方程xq4x+3=0的兩個根，則x「X2的值是

[1

A.4.B.3.C.—4.D.-3.

【答案】Bo

【考點】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。

【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得X「X2=±=三=3。故選B。

a1

例3:（2021山東煙臺3分）下列一元二次方程兩實數(shù)根和為-4的是【

A.X2+2X-4=0B.x2-4x+4=0C.x2+4x+10=0D.x2+4x-5=0

【答案】D。

【考點】一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系。

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，要使方程的兩實數(shù)根和為-4,必須方程根的

判別式△=b2-4ac20,且*+x2=-P=-4。據(jù)此逐一作出判斷：

A.X2+2X-4=0:A=b"-4ac=20>0,xi+xa=--=-2,所以本選項不合題意；

a

J2

B.x-4x+4=0:A=b-4ac=0,xi+x2=--=4,所以本選項不合題意；

a

C.x2+4x+10=0:A=b2-4ac=-28<0,方程無實數(shù)根，所以本選項不合題意;

D.X2+4X-5=0:b2-4ac=36>0,,Xi+X2=--=-4,所以本選項符號題意。

a

故選Do

例4:（2021廣西來賓3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x+m=0的一個實數(shù)根為1,那么它的另一個實數(shù)

根是【】

A.-2B.0C.1D.2

【答案】Ao

【考點】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。

【分析】設(shè)方程的另一個實數(shù)根為x,則根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x+l=-l,解得小一2。

故選Ao

練習(xí)題：

1.（2007重慶市3分）已知一元二次方程2x2—3x—1=0的兩根為x1、X2,則二▲。

2.（2005浙江湖州3分）已知一元二次方程x?+12x—7=0的兩個根為X1、X2,則a+x?的值是【】

A.-12B.12C.-7D.7

3.（2021廣西來賓3分）已知一元二次方程x2+mx-2=0的兩個實數(shù)根分別為小、x2,則X1?x?二▲.

4.（2021湖北咸寧3分）若關(guān)于x的方程一一2%+m=0的一個根為-1,則另一個根為【】

A,-3B.-1C.1D.3

5.（2021云南昆明3分）若xi,X2是一元二次方程2x?-7x+4=0的兩根，則x1+x2與小小的值分別是【】

A.-7-2B>-72C、7—2D>7-2

2222

二、求對稱代數(shù)式的值:應(yīng)用韋達定理及代數(shù)式變換，可以求出一元二次方程兩根的對稱式的值。所

謂對稱式，即若將代數(shù)式中的任意兩個字母交換，代數(shù)式不變(f(x,y)=f(y,X)),則稱這個代數(shù)式為完

全對稱式，如x?+y2,工+1等。擴展后，可以視x-y中x與—y對稱。

xy

典型例題：

例1:(2021四川攀枝花3分)已知一元二次方程:x，-3x-1=0的兩個根分別是xi、xz,則x&z+xix/的值為

[1

A.-3B.3C.-6D.6

【答案】A。

【考點】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求代數(shù)式的值。

【分析】由一元二次方程:--3x-1=0的兩個根分別是xi、也，

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，xi+xz=3,XM=-1,

22

/.X]X2+XIX2=XIX2(XI+X2)=(-1)?3=—3?故選A。

例2:(2021山東萊蕪3分)已知m、n是方程x?+2啦x+l=0的兩根，則代數(shù)式折不不菰的值為【】

A.9B.±3C.3D.5

【答案】Co

【考點】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求代數(shù)式的值。

【分析】,.'m>n是方程x2+27x+1=0的兩根，，m+n=-2夜，mn=lo

AVm2+n2+3mn=^(m+n)2+mn=^-2\/2j+1=J8+1=?=3。故選C。

例3:(2021江蘇南通3分)設(shè)m、n是一元二次方程x2+3x-7=0的兩個根，則小旺短+產(chǎn)▲.

【答案】4o

【考點】求代數(shù)式的值，?元二次方程的解，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。

【分析】n是一元二次方程x?+3x—7=0的兩個根，

AmJ+3m—7=0,即nr+3m=7；m+n=—3。

mJ+4m+n=(m"+3m)+(m+n)=7—3=4。

例4:(2021湖北鄂州3分)設(shè)Xi、X2是一元二次方程x2+5x—3=0的兩個實根，且2X](x；+6x2-3)+a=4,

則a二▲.

【答案】10。

【考點】一元二次方程的解和根與系數(shù)的關(guān)系。

【分析】,**xi>X2是一元二次方程x+5x—3=0的兩個實根，.??X2‘+5x2—3=0,XiX2=_3<>

又<2X](x；+6x2—3)+a=4,即2X](x：+5x2—3+Xz)+a=4,EP2X1(0+x2)+a=4o

A2XjX2+a=4,即2(—3)+a=4,解得a=10。

練習(xí)題：

1.(2021湖南張家界3分)已知m和n是方程2x2-5x-3=0的兩根，則—.

mn

2.(2021四川瀘州3分)設(shè)X”xz是一元二次方程(-3x-1=0的兩個實數(shù)根，則x：+x22+4x山？的

值為▲

3.（2021山東日照4分）已知刈、也是方程2x2+14x76=0的兩實數(shù)根，那么乜+上的值為▲.

X|x2

4.（2021黑龍江綏化3分）設(shè)a,b是方程x?+x—2021=0的兩個不相等的實數(shù)根，則I+2a+b的值為

▲

5.（2021黑龍江大慶4分）若方程x2-x-l=0的兩實根為a、b,求工+J?的值.

ab

6.（2021湖北荊州、荊門3分）關(guān)于x的方程ax2-（3a+l）x+2（a+l）=0有兩個不相等的實根'、x2,

且有XI-X|X2+x2=1-a,則a的值是【】

A.1B.-1C.1或一1D.2

7.（2021貴州黔東南4分）若a、b是一元二次方程x?-201lx+1=（）的兩根，則！+‘的值為【】

ab

A、2010B、2021C、」一D、」一

20102011

8.（2021江蘇蘇州3分）已知a、b是一元二次方程x?-2x-1=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式

（a-b）（a+b-2）+ab的值等于▲.

2

9.（2021山東德州4分）若X”X2是方程x+x-1=0的兩個根，則x5+x/二▲.

10.（2021廣西玉林、防城港6分）已知：x「X2是一元二次方程x2—4x+l=0的兩個實數(shù)根.求:

（X]+X,）24-（-----1---）的值.

X|x2

三、構(gòu)造一元二次方程:如果我們知道問題中某兩個字母的和與積，則可以利用韋達定理構(gòu)造以這兩

個字母為根的一元二次方程。擴展后字母可為代數(shù)式。

典型例題：

'22

例1:(2021湖北隨州4分)設(shè)a?+2a—1=0,b4-2b2-1=0,且1—ab'WO,則m+b-3a+l=

IaJ

▲.

【答案】-32.

【考點】韋達定理的應(yīng)用，求代數(shù)式的值.

【分析】由aFa-JO得[-[-1=0.

由b4-2b2-l=0^ib2|2-2b2-l=0,

Ab2為一元二次方程z2+2z-l=0的兩根.

a

由韋達定理，得-+b2=2,--b2=-l.

aa

.(ab2+b2-3a+l^|1a.b21”

IaJIaaJ

【點評】本題的關(guān)鍵是構(gòu)造一元二次方程z?+2z-1=0,利用韋達定理求解；難點是將a2+2a-l=0變

/1>27

形成----1=0；易錯點是忽視條件l-ab2#0,而把凡一產(chǎn)看作方程z2+2z-l=0的兩根來求解.

⑴a

例2:(2021四川內(nèi)江12分)如果方程尤2+px+q=0的兩個根是X1,%,那么毛+/二一〃,%./=/請根

據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：

(1)已知關(guān)于龍的方程/+如+〃=0,(〃。0),求出一個一元二次方程，使它的兩個根分別是已知方程兩

根的倒數(shù)；

Z71)

(2)已知a、b滿足a?一154一5=0,62一156一5=0,求一+上的值；

ba

(3)已知。、b、。滿足a+7?+。=(),々仄?=16求正數(shù)。的最小值。

【答案】解：(1)設(shè)關(guān)于X的方程/+m+〃=0,(〃。0)的兩根為七，々，則有.：

Xi+x2=-m,xrx2=n，且由已知所求方程的兩根為-'-，,

11_X]+%2_~m11_1_1

??I==f*==o

x.x0x,x2nx,x2xxx2n

.?.所求方程為/-Hx+'=O,即小2+/"+]=0(〃/0)。

nn

(2)Va.b滿足/—15。—5=(),。2一15人一5=o,

，“、b是方程x?-15x-5=0的兩根。；.。+匕=15,次?=-5。

,aba2+b2(a+bf-2ab(a+Z>)2152

baababab-5

(3)Va+h+c=0.abc=16且c>0:.a+b=-c,ab=—。

c

二a、b是一元二次方程x2-(-c)x+—=0(c>0)的兩個根，

c

代筒，得CX:2+C2X+16=0(C>0)O

2233

又???此方程必有實數(shù)根，...此方程的ANO,BP(C)-4-C-16>0,C(C-4)>0O

又：c〉()AC3-43>0.Ac>4o

正數(shù)c的最小值為4。.

【考點】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式，代數(shù)式化簡。

1111I

【分析】(1)設(shè)方程無2+3+〃=0,(〃/0)的兩根為項，為,得出一+一=一，-----=_,再根據(jù)

Xix2nX]x2n

這個一元二次方程的兩個根分別是已知方程兩根的倒數(shù)，即可求出答案。

(2)根據(jù)。、b滿足。2-15?！?=0，〃一15人一5=0,得出a、b是一元二次方程f—15X—5=0的

兩個根，由。+8=15,。8=一5,即可求出色+^的值。

ha

(3)根據(jù)a+/?+c=0,aZ?c=16,得出a+A=-c,a〃=L,“、b是一元二次方程ex?+?！?16=0的

c

兩個根，再根據(jù)△2(),即可求出。的最小值。

例3:(2021四川宜賓8分)某市政府為落實“保障性住房政策，2021年已投入3億元資金用于保障性住房

建設(shè)，并規(guī)劃投入資金逐年增加，到2021年底，將累計投入10.5億元資金用于保障性住房建設(shè).

(1)求到2021年底，這兩年中投入資金的平均年增長率(只需列出方程)：

⑵設(shè)(1)中方程的兩根分別為x“X2,且mx『-4nA'+mx；的值為⑵求m的值.

【答案】解：(1)設(shè)到2021年底，這兩年中投入資金的平均年增長率為x,

根據(jù)題意得:3+3(x+1)+3(x+l)2=10.5。

(2)由(1)得，x，3x-0.5=0,

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，x)+x2=-3,x)x2=-0.5?

2+22

又,.,mxi2-4mxiX2mx2=12即m[(x)+x2)-2xiXz]-4m%兇=12,

QPm[9+l]-4mJ(-0.5)=12,即m'+5m-6=0,解得，m=-6m=1(>

【考點】一元二次方程的應(yīng)用，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。

【分析】(D方程的應(yīng)用解題關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，列出方程求解。本題等量關(guān)系為：

2021年、2021年和2021某市用于保障房建設(shè)資金總量=10.5億元，

把相關(guān)數(shù)值代入求得合適的解即可。

(2)由(1)得到的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得關(guān)于m的一元二次方程，解之即得m的

值。

例4:(2021貴州黔西南14分)問題：已知方程x?+x-1=0,求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方

程根的2倍。

解:設(shè)所求方程的根為y,則y=2x,所以x=X

2

把x=2代入已知方程，得—1=0

化簡，得：y?+2y—4=0

故所求方程為y2+2y-4=0

這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”。請閱讀材料提供的“換根法”求新方程(要

求:把所求方程化成一般,形式)

(1)已知方程X2+X-2=0,求一個一元二次方程，「使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為：

(2)己知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=O(a#O)有兩個不等于零的實數(shù)根，求一個一元二次方程，使它

的根分別是已知方程的倒數(shù)。

【答案】解：⑴]—y—2=00

(2)設(shè)所求方程的根為y,則y=L(xW0),于是x=L(yW0)。

xy

ifiA2i

把x=—代入方程ax^+bx+cu。，得2,—+b?—+c=0,

ylyJy

去分母，得a+by+cyJ。。

若c=0,有ax'bxuO,可得有一個解為x=0,與已知不符，不符合題意。

.,.c^Oo

，所求方程為cy'by+a=0(cWO)。

【考點】一元二次方程的應(yīng)用。

【分析】（】）設(shè)所求方程的根為y,則丫=一x所以x=—y.

把x=-y代入己知方程，得y2-y-2=0。

（2）根據(jù)所給的材料，設(shè)所求方程的根為y,再表示出x,代入原方程，整理即得出所求的方程。

練習(xí)題：

1.（2004遼寧沈陽2分）請你寫出一個二次項系數(shù)為1,兩實數(shù)根之和為3的一元二次方程：▲.

2.（2005山東臨沂3分）請寫出一個一元二次方程,要求二次項系數(shù)不為2且其兩根互為倒數(shù)▲.

3.（2002浙江杭州10分）已知某二次項系數(shù)為1的一元二次方程的兩個實數(shù)根為P、q,且滿足關(guān)系式

p+q（p+l）=5,試求這個一元二次方程.

[pq+pq=6

4.（2007江蘇淮安3分）寫出一個兩實數(shù)根符號相反的一元二次方程：▲.

四、求方程中待定系數(shù)的值：已知方程兩根滿足某種關(guān)系，則可以利用韋達定理確定方程中待定字母

系數(shù)的值。

典型例題：

例1:（2021湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田3分）如果關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+a=0的兩個不相等實

數(shù)根xi,xz滿足X1X2-2xi-2x2-5=0,那么a的值為【】

A.3B.-3C.13D.-13

【答案】B。

【考點】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。

【分析】刈是關(guān)于x的一元二次方程x，4x+a=0的兩個不相等實數(shù)根，

/.Xi+X2=-4,XiX2=ao

/.XiX2ff-2xi-2x2-5=XIX2_2（xi+x2）-5=a-2X（-4）-5=0,即a+3=0,

解得，a=-3o故選Bo

2

例2:（2021湖南株洲3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x-bx+c=0的兩根分別為XFI,X2=-2,則b與c

的值分別為【】

A.b=-1,c=2B.b=Lc=-2C.b=Lc=2D.b=-1,c=-2

【答案】Do

【考點】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。

【分析】??,關(guān)于x的一元二次方程xJbx+c=0的兩根分別為X2=-2,

.'.Xi+x2=b=l+（-2）=-1,xi#X2=c=lX（-2）=-2o

b=-1,c=-2O故選D。

例3:（2021內(nèi)蒙古呼和浩特3分）已知：xi,X2是一元二次方程x?+2ax+b=0的兩根,且x】+x2=3,xix2=l,則

a、b的值分別是【】

33

A.a=-3,b=lB.a,—3,b=lC.a=—,b=-1D.a=—,b—1

22

【答案】Do

【考點】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。

:

【分析】Vxi,X2是,元二次方程x"+2ax+b=0的兩根，，xi+x2=-2a,xix2=b,

3

VXI+X2=3,XIX=L-2a=3,b=l,解得a=——，b=l故選D。

22o

例4:（2021內(nèi)蒙古包頭3分）關(guān)于x的一元二次方程x2—mx+5（m-5）=0的兩個正實數(shù)根分別為xl,x2,

且2xi+xz=7,則m的值是【】

A.2B.6C.2或6D.7

【答案】B。

【考點】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解不等式和一元二次方程。

【分析】???方程x2-mx+5（m-5）=0有兩個正實數(shù)根，

X]+x2=m>0

/?一/、=>m>5。

X]-x2=5（m-5）>0

又-/2XI+X2=7,Xi=7-mo

將xi=7—m代入方程x?-mx+5（m-5）=0,得（7-m『-m（7-m）+5（m-5）=0。

解得m=2或m=6o

m>5,/.m=6o故選B。

例5:（2021山東威海3分）若關(guān)于x的方程x?+（a-l）x+a2=0的兩根互為倒數(shù)，則a二▲.

【答案】-1。

【考點】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，倒數(shù)。

【分析】?..關(guān)于X的方程x?+（a-l）x+a2=0的兩根互為倒數(shù)，.?.設(shè)兩根為X和L。

X

'1,

x+-=1—a

則根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得X。

12

x?—=a-

x

由x?—=a2Ma=±1o

x

但當a=l時，x+'=l—a無意義。

X

??a二1o

例6:(2021湖北孝感12分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+l=0.

(1)求證:無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若xi、X2是原方程的兩根，且|XI—X21=2立，求m的值和此時方程的兩根.

【答案】解：(1)證明：由關(guān)于x的一元二次方程x°+(m+3)x+m+l=0得

△=(m+3)2—4(m+1)=(m+1)2+4,

???無論m取何值，(m+l)2+4恒大于0,

???原方程總有兩個不相等的實數(shù)根。

e

(2)Vxi,X2是原方程的兩根，，Xi+x2=—(m+3),xix2=m+lo

V|Xi—X2I=2&?A(xi—X2)2=8,B[J(XI+X2)~—4XIX2=8O

/?[—(m+3)]2—4(m+1)=8,即m2+2m—3=0o

解得：nii二一3,niz=lo

當m=-3時，原方程化為:x?—2=0,解得3產(chǎn)血,x2=—V2,

當m=l時，原方程化為:x°+4x+2=0,解得:xi=-2+夜，X2=-2一垃。

【考點】一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系。

【分析】(D根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+l=0的根的判別式△」?一4ac的符號來判定該

方程的根的情況。

⑵根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得xdx2和XJX2,由已知條件|XLX/=2應(yīng)平方后可以得到關(guān)于*+

制和XJX2的等式，從而列出關(guān)于m的方程，通過解該方程即可求得m的值，最后將m值代入原方程并解方

程。

例7:(2021湖南懷化10分)已知Xl，X2是一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0的兩個實數(shù)根.

(1)是否存在實數(shù)a,使-X|+X|X2=4+X2成立？若存在，求出a的值；若不存在，請你說明理由；

(2)求使(X1+l)(x2+1)為負整數(shù)的實數(shù)a的整數(shù)值.

【答案】解：(1)成立。

:X1,X2是一元二次方程(a-6)x?+2ax+a=0的兩個實數(shù)根，

???由根與系數(shù)的關(guān)系可知，X|X?=—L,X]+X2=-3-;

;一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0有兩個實數(shù)根，

/.△=4a2—4(a—6)*a^0,且a-6#0,解得,a20,且a￥6。

a2a

由一X[+X[X2=4+X2得X]X2=4+X]+X2,即——=4——---o

a-6a-6

解得，a=24>0,且a-6W0。

???存在實數(shù)a,使-X]+乂科2=4+X2成立，a的值是24。

a2a

(2)(X]+1)52+1)=XX+X]+x+1=----------------+1=---------，

122a—6a—6a—6

???當(X]+1)(X2+1)為負整數(shù)時，a-6>0,且a—6是6的約數(shù)。

???a-6=6,a-6=3,a-6=2,a—6=1。Aa=12,9,8,7。

??.使(X]+1)(X2+1)為負整數(shù)的實數(shù)a的整數(shù)值有⑵9,8,7o

【考點】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式，解分式方程。

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得XJ2=「一，X|+x,=-烏-；根據(jù)一元二次方程的根的判別式求得a

a-6a-6

的取值范圍。

(1)將已知等式變形為X1X2=4+(X2+X),即-_=4-烏通過解該關(guān)于a的方程即可求得a的

a-6a-6

值；

(2)根據(jù)限制性條件“(xi+l)(xz+l)為負整數(shù)”求得a的取值范圍，然后在取值范圍內(nèi)取a的整數(shù)

值。

2

例8:(2021四川南充8分)關(guān)于的一元二次方程x+2x+k+l=0的實數(shù)解是Xi和x2.

(1)求k的取值范圍；

(2)如果xi+xz-xix2<-1且k為整數(shù)，求k的值.

【答案】解：(1廠.?方程有實數(shù)根，...△=2J4(k+l)20,解得kWO。

，k的取值范圍是kWO。

(2)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得xi+x,=-2,x1X2=k+l,

/?xi+xz-X1X2--2-(k+1)o

由-2-(k+1)<-1,解得k>-2。

又由（DkWO,-2<kW0。

；k為整數(shù)，，k的值為-1和0。

【考點】一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，解一元一次不等式組。

【分析】（1）方程有兩個實數(shù)根，必須滿足△=b2-4ac20,從而求出實數(shù)k的取值范圍。

（2）先由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得X,+X2=-2,x,x2=k+l.再代入所給不等式即可求得k

的取值范圍，然后根據(jù)k為整數(shù)，求出k的值。

例9:

練習(xí)題：

1.（2021湖南株洲3分）孔明同學(xué)在解一元二次方程3x+c=0時，正確解得?=1,X2=2,則c的

值為▲.

2.（2021湖北孝感10分）已知關(guān)于x的方程x2-2（k-l）x+k2=0有兩個實數(shù)根X”x2>

（D求k的取值范圍；

（2）若|X|+X21=X]-x2-1,求k的值。

3.（2021湖北鄂州8分）關(guān)于x的一元二次方程x?—（m—3）x—m2=0。

（1）證明:方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）設(shè)這個方程的兩個實數(shù)根為X”整，且|x"=I|-2,求m的值及方程的根。

2

4.（2021四川南充8分）關(guān)于x的一元二次方程x+3x+m-l=0的兩個實數(shù)根分別為x,,x2o

（1）求m的取值范圍；

（2）若2（X1+X2）+xiX2+10=0.求m的值。

5.（2021四川達州3分）已知關(guān)于x的方程x?-mx+n=0的兩個根是0和-3,則m二▲,n二▲。

6.（2021四川瀘州2分）已知關(guān)于x的方程x2+（2k+l）x+k2-2=0的兩實根的平方和等于11,則k的值為

▲O

7.（2021四川樂山10分）題甲：已知關(guān)于x的方程乂2+2缶一1次+@2—7@—4=0的兩根為k、x2,且滿

足x「X2—3x「3x2—2=0.求（l+1+一）?士史的值。

a2-4a

8.（2006北京市。7分）已知：關(guān)于x的方程mx?-14x-7=0有兩個實數(shù)根X1和x2,關(guān)于y的方程

y?—2（n—l）y+n--2n=0有兩個實數(shù)根yi和y2,且一2Wyi<y?W4.當

2

--------+2Qyl-y2）+14=0

X1+x2X）-x2

時，求m的取值范圍。

9.（2006四川涼山6分）已知d+a'x+bR的兩個實數(shù)根為xi、x2：1、y?是方程，+5ay+7=0的兩個實數(shù)根，

且Xi—yi=xz—yz=2.求a、b的值。

五、在平面幾何中的應(yīng)用：在平面幾何中，①兩圓外切，兩圓圓心距離等于兩圓半徑之和；②勾股定

理兩直角邊的平方和等于斜邊的平方的應(yīng)用，可以與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系相結(jié)合命題。

典型例題：

例1：（2012山東濟南3分）已知◎01和。的半徑是一元二次方程x?—5x+6=0的兩根，若圓心距。1。2=5,

則。。1和。。2的位置關(guān)系是1】

A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切

【答案】B.

【考點】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，圓與扇的位置關(guān)系.

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可知圓心距=兩圓半徑之和，再根據(jù)圓與扇的位置關(guān)系作出

判斷，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系的判定：外切（兩圓圓心距離等于兩圓半徑之和），內(nèi)切（兩圓圓心距離等于

兩圓半徑之差），相離（兩圓圓心距離大于兩圓半徑之和），相交（兩圓圓心距離小于兩圓半徑之和大于兩

圓半徑之差），內(nèi)含（兩圓圓心距離小于兩圓半徑之差）.因此，

和002的半徑是一元二次方程x2—5x+6=0的兩根，，兩根之和=5=兩圓半徑之和.

又：圓心距。1。2=5，...兩圓外切.故選B.

例2:（2003江蘇鎮(zhèn)江6分）已知,，如圖,RtZkABC中,ZACB=90°,AB=5,兩直角邊A&、BC的長是關(guān)于x

的方程x2-（m+5）x+6m=0的兩個實數(shù)根。

⑴求m的值及AC、BC的長（BOAC）

（2）在線段BC的延長線上是否存在點D,使得以I）、A、C為頂點的三角形與AABC相似？若存在，求出CD

的長：若不存在，請說明理由。

【答案】解：⑴設(shè)方程x2-（m+5）x+6m=0的兩個根分別是訃x?。

/.Xi+x2=m+5,xi*X2=6nio

222

/.x,+x2=(Xj+xj-2x^2=(m+5)-2-6m。

;m△ABC中，ZACB=90°,AB=5,

222

X,+x2=ABo

222

(m+5)-2-6m=5,in—m=0。Am=0或m=2o

當m二0時，原方程的解分別為XLO,X2=5,但三角形的邊長不能為0,所以mW）舍去;

當m=2時，原方程為?一方+1為0,其解為Xi=3,X2=4,所以兩直"角邊AC=3,BO4。

/.m=2,AC=3,BC=4o

（2）存在。

已知AC=3,BCM,AB=5,欲使以△ADC為頂

點的三角形與4ABC相似,

ABACBC

貝miIIJ-----=-----=

AD,CD,AC

349

貝IJCD一。

CD^~34

欲使以2c為頂點的三角形與AABC相似，則——=一二=，。

AD2CD,AC

.,.BC=CD2=4?

綜上所述，在線段BC的延長線上是存在點D,使得以D、A、C為頂點的三角形與aABC

相似，CD的長為29或4。

4

【考點】相似三角形的判定，根與系數(shù)的的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。

【分析】（1）先利用根與系數(shù)的關(guān)系與勾股定理求出m的值，再代入m的值求出AC、BC的長。

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)來解答此題，利用相似比即可求出CD的長。

練習(xí)題：

1.（2021山東濰坊3分）己知兩圓半徑n、m分別是方程x2—7x+10=0的兩根，兩圓的圓心距為7,則兩圓

的位置關(guān)系是【J.

A.相交B.內(nèi)切C.外切D.外離

2.（2006四川廣安8分）已知：AABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0

的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5.試問：k取何值時，AABC是以BC為斜邊的直角三角形？

3.(2002江蘇無錫9分)已知：如圖，。。的半徑為r,CE切。。于C,且與弦AB的延長線交于點E,CD1AB

于D.如果CE=2BE,且AC、BC的長是關(guān)于x的方程x?-3(r-2)x+r?-4=0的兩個實數(shù)根.

求：(1)AC、BC的長;(2)CD的長.

4.(2002湖南益陽10分)巳知：如圖，在aABC中，ZB=90°,0是AB上一點，以0為圓心，0B為半徑的

半圓交AB于點E,與AC切于點D.當AD?+AE2=5時，AD、AE(AD>AE)是關(guān)于x的方程x?-(m-1)x+m

—2=0(m/0)的兩個根.

⑴求實數(shù)m的值；

(2)證明:CD的長度是無理方程萬-x=l的一個根；

⑶以B點為坐標原點，分別以AB、BC所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，求過A、B、D三點且

對稱軸平行于y軸的拋物線的解析式.

5.(2010湖南株洲3分)兩圓的圓心距d=5,它們的半徑分別是一元二次方程x2-5x+4=0的兩個根，這兩

圓的位置關(guān)系是▲

七、在二次函數(shù)中的應(yīng)用：--元二次方程ax^+bx+cSWO)可以看作二次函數(shù)yuaxP+bx+cEWO)當

y=0時的情形，因此若干二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a^0)的圖象與x軸交點的綜合問題都可以用韋達定理

解題。

典型例題：

例1:(2021天津市3分)若關(guān)于x的一元二次.方程(x—2)(x—3)=m有實數(shù)根xbx2,且xHxz,有下列結(jié)論:

①xi=2,X2=3；②m>」；

4

③二次函數(shù)y=(x—xi)(x—x-2)+m的圖象與x軸交點的坐標為(2,0)和(3,0).

其中，正確結(jié)論的個數(shù)是【】

(A)0(B)l(C)2(D)3

【答案】C.

【考點】拋物線與X軸的交點，一元二次方程的解，一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】①.二一元二次方程實數(shù)根分別為X】、出,

.'.xi=2,X2=3,只有在m=0時才能成立，故結(jié)論①錯誤.

②一元二次方程(X—2)(X—3)=m化為一般形式得：X2—5x+6—m=0,

,二方■程有兩個不相等的實效根Xi、.,.A=b2-4ac=(-5)2—4(6—m)=4m+1>0>

解得：tn>.故結(jié)論②正確.

4

③'.'一元二次方程N—5x+6—m=0實數(shù)根分別為xi、出,.'.XI+X2=5,XIX2=6—m.

二，欠函數(shù)產(chǎn)(X—xj)(X—xj)+m=^—(xi+xj)x+X1X2+m=2?—5x+(6—m)+m

=x2-5x+6=(x-2)(x—3).

令y=0,即(x—2)(x—3)=0,解得：x=2或3.

...拋物線與x軸的交點為(2,0)或(3,0),故結(jié)論③正確.

綜上所述，正確的結(jié)論有2個，②③.故選C.

例2:(2021甘肅蘭州10分)若xi、xz是關(guān)于一元二次方程ax2+bx+c(a^0)的兩個根，則方程的兩個根Xi、

bc

X2和系數(shù)a、b、c有如下關(guān)系:XI+X2=-9,X.-X2=-.把它稱為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理.如果