22.2.4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

22.2.4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1精選2021版課件1.一元二次方程的解法2.求根公式

復(fù)習(xí)提問(wèn)數(shù)學(xué)活動(dòng)一2精選2021版課件一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：X=(b2-4ac≥0)3精選2021版課件1.

填表，觀察、猜想

數(shù)學(xué)活動(dòng)二

方程

x1,,x2

x1,+x2

x1.x2

x2-2x+1=0

1,121x2+3x-10=02,-5-3-10x2+5x+4=0-1,-4-54問(wèn)題：你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？①用語(yǔ)言敘述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；②

x2+px+q=0的兩根x1,,x2用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

4精選2021版課件根與系數(shù)關(guān)系如果關(guān)于x的方程的兩根是,,則:如果方程二次項(xiàng)系數(shù)不為1呢?5精選2021版課件數(shù)學(xué)活動(dòng)三

方程x1,,x2

x1,+x2

x1.x2

2x2-3x-2=0

3x2-4x+1=0

問(wèn)題：上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論在這里成立嗎？請(qǐng)完善規(guī)律；①用語(yǔ)言敘述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；②

ax2+bx+c=0的兩根x1,,x2用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：6精選2021版課件一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根是X1,X2,那么X1+x2=,X1x2=-（韋達(dá)定理）注：能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為b2-4ac≥07精選2021版課件韋達(dá)（1540－1603）

韋達(dá)是法國(guó)十六世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家之一。第一個(gè)引進(jìn)系統(tǒng)的代數(shù)符號(hào)，并對(duì)方程論做了改進(jìn)。

他生于法國(guó)的普瓦圖。年青時(shí)學(xué)習(xí)法律當(dāng)過(guò)律師，后從事政治活動(dòng)，當(dāng)過(guò)議會(huì)的議員，在對(duì)西班牙的戰(zhàn)爭(zhēng)中曾為政府破譯敵軍的密碼。韋達(dá)還致力于數(shù)學(xué)研究，第一個(gè)有意識(shí)地和系統(tǒng)地使用字母來(lái)表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來(lái)了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進(jìn)步。韋達(dá)討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系（所以人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為“韋達(dá)定理”）。

韋達(dá)在歐洲被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父”。8精選2021版課件一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的證明：X1+x2=+==-X1x2=●===9精選2021版課件1、x2-2x-1=02、2x2-3x+=03、2x2-6x=04、3x2=4x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-示例10精選2021版課件典型題講解：例1、已知3x2+2x-9=0的兩根是x1,x2。

求：(1)(2)x12+x22解：由題意可知x1+x2=-,x1·x2=-3(1)===(2)∵(x1＋x2)2＝x12+x22

＋2x1x2∴x12+x22

＝(x1＋x2)2-2x1x2＝(-)2-2×(-3)＝611精選2021版課件變式練習(xí)：

設(shè)x1，x2是方程2x2+4x-3=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值。（2）

（1）（３）（x1-x2）212精選2021版課件典型題講解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個(gè)根是2,

求它的另一個(gè)根及k的值。解：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解這方程，得k=-2由根與系數(shù)關(guān)系，得x1●2＝3k

即2x1

＝－6∴x1

＝－3答：方程的另一個(gè)根是－3,k的值是－2。13精選2021版課件典型題講解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個(gè)根是2,

求它的另一個(gè)根及k的值。解二：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1

＋2=k+1x1

●2=3k解這方程組，得x1=－3k=－2答：方程的另一個(gè)根是－3,k的值是－2。14精選2021版課件試一試1、已知方程3x2－19x+m=0的一個(gè)根是1，求它的另一個(gè)根及m的值。2、設(shè)x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的兩個(gè)根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1,則x1+1=,∴x1=,又x1●1=,∴m=3x1=16解：由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=-2,x1·x2=∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=15精選2021版課件拓廣探索1、當(dāng)k為何值時(shí)，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的兩根差為1。解：設(shè)方程兩根分別為x1,x2(x1>x2)，則x1-x2=1∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=,x1x2=∴解得k1=9,k2=-3當(dāng)k=9或-3時(shí)，由于△≥0，∴k的值為9或-3。16精選2021版課件2、設(shè)x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x12+x22=4，求k的值。拓廣探索解：由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得即-8k+4≥0由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2∴X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22=4，得2k2-8k+4＝4解得k1=0,k2=4經(jīng)檢驗(yàn)，k2=4不合題意，舍去。∴k=017精選2021版課件歸納小結(jié)：

通過(guò)本節(jié)