云南省昆明市祿勸重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

?勸高中2023~2024學(xué)年上學(xué)期期末教學(xué)測(cè)評(píng)試卷高二數(shù)學(xué)本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．第I卷第1頁(yè)至第3頁(yè)，第II卷第3頁(yè)至第6頁(yè)．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．第I卷（選擇題，共60分）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚．2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，在試題卷上作答無效．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．命題“，”的否定為A．， B．，C．， D．，2．已知直線，，若，則實(shí)數(shù)A． B． C．0 D．13．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為A． B． C． D．4．已知空間向量，，若，則的值為A．4 B．2 C．1 D．無法確定5．已知集合，，則中的元素個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．0 D．1或26．要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象A．向右平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位7．紅燈籠，起源于中國(guó)的西漢時(shí)期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會(huì)掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營(yíng)造一種喜慶的氛圍．如圖甲，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個(gè)相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面除去上下兩個(gè)相同球冠剩下的部分．如圖乙，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半徑為，球冠的高為，則球冠的面積．如圖甲，已知該燈籠的高為，圓柱的高為，圓柱的底面圓直徑為，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為A． B． C． D．8．已知，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），比較，，的大小A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．關(guān)于三角函數(shù)的性質(zhì)，下列說法正確的是A．函數(shù)的最小周期為 B．函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為C．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱 D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)10．設(shè)，，為兩兩不重合的平面，，，為兩兩不重合的直線，則下列命題中正確的是A．若，，，，則B．若，且，則C．若，，，，則D．若，，則11．下列說法正確的是A．若直線過點(diǎn)，且被兩直線，截得的線段恰被點(diǎn)平分，則直線的方程為B．命題，若命題是假命題，則C．中，是的充要條件D．“”是“，的夾角為鈍角”的充分不必要條件12．如圖所示，四棱錐中，為的中點(diǎn)，，分別為線段，上的一動(dòng)點(diǎn)；為等邊三角形，底面為平行四邊形，平面平面，，，下列說法正確的是A．存在點(diǎn)，使得平面B．若為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為C．為定值6D．若三棱錐與三棱錐的體積之比為，則線段長(zhǎng)度的最小值為2第II卷（非選擇題，共90分）注意事項(xiàng)：第II卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則__________．14．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則雙曲線的離心率為__________．15．已知關(guān)于的不等式在上有解，則的取值范圍為__________．16．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則周長(zhǎng)的最小值為__________．四、解答題（共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分10分）《青年大學(xué)習(xí)》是共青團(tuán)中央組織的以“學(xué)習(xí)新思想，爭(zhēng)做新青年”為主題的黨史團(tuán)課學(xué)習(xí)行動(dòng)，2023年已開展到第9期．團(tuán)縣委為了解全縣青年每周利用“青年大學(xué)習(xí)”了解國(guó)家動(dòng)態(tài)的情況，從全縣隨機(jī)抽取1000名青年進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)他們每周利用“青年大學(xué)習(xí)”進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘），根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖如圖3所示：（I）求被抽取的青年每周利用“青年大學(xué)習(xí)”進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)長(zhǎng)的第75百分位數(shù)；（II）縣宣傳部門擬從被抽取青年中選出部分青年參加座談會(huì)．辦法是：采用分層抽樣的方法從學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在和的青年中共抽取5人，且從參會(huì)的5人中又隨機(jī)抽取2人發(fā)言，求學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在中至少有1人被抽中發(fā)言的概率．18．（本小題滿分12分）已知圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上，直線．（I）求圓的方程；（II）證明：直線與圓相交．19．（本小題滿分12分）某學(xué)校有高中學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人．有人為了獲得該校全體高中學(xué)生的身高信息，采用分層抽樣的方法抽取樣本，并觀測(cè)樣本的指標(biāo)值（單位：），計(jì)算得男生樣本的均值為170，方差為17，女生樣本的均值為160，方差為30．（I）根據(jù)以上信息，能夠計(jì)算出總樣本的均值和方差嗎？為什么？（II）如果已知男、女樣本量按比例分配，你能計(jì)算出總樣本的均值和方差各為多少吧？20．（本小題滿分12分）如圖，已知底面是正方形，平面，，，點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn)．（I）求證：平面；（II）求平面與平面夾角的余弦值．21．（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，．（I）證明：；（II）求當(dāng)面積取得最大值時(shí)，的周長(zhǎng)．22．（本小題滿分12分）已知橢圓，是橢圓的右頂點(diǎn)，是橢圓的上頂點(diǎn)，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)位于第一象限．（I）若，證明：直線和的斜率之積為定值；（II）若，求四邊形的面積的最大值．祿勸高中2023~2024學(xué)年上學(xué)期期末教學(xué)測(cè)評(píng)試卷高二數(shù)學(xué)參考答案第I卷（選擇題，共60分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）題號(hào)12345678答案DBCACABD【解析】4．因?yàn)?，所以，使得，即?duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，即，則，，所以，故選A．5．方法一：解方程組，聯(lián)立方程，得，解得：或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，舍去；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，舍去，所以為空集，故選C．方法二：如圖1，兩圖象的交點(diǎn)在第一或第三象限，則，所以為空集，故選C．6．，故選A．7．由題意得：，所以，所以，所以兩個(gè)球冠的面積為，則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為：，故選B．8．由不等式，得，又函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)，則，所以，綜上所述：，故選D．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）題號(hào)9101112答案ADBCACABD【解析】10．由，，為兩兩不重合的平面，，，為兩兩不重合的直線，知：A．若，，，，則與相交或平行，故A錯(cuò)誤；B．若，，且，則由面面垂直的判定得，故B正確；C．若，，，，則由線面平行的性質(zhì)定理得，故C正確；D．若，，則與相交、平行或，故D錯(cuò)誤，故選BC．11．對(duì)于A，設(shè)兩交點(diǎn)為，，在直線上，則，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，代入得，所以直線方程為，故正確；對(duì)于B，因?yàn)槊}是假命題，所以為真命題，當(dāng)時(shí)，不等式為恒成立；當(dāng)時(shí)，需滿足，解得，綜上所述，的取值范圍為，故不正確；對(duì)于C，若，由三角形中“大邊對(duì)大角”可知，，由正弦定理可知，；若，由正弦定理可知，，從而，故“”是“”的充要條件，故正確，對(duì)于D，“，的夾角為鈍角”的充要條件是“且不平行于”，所以“”是“，的夾角為鈍角”的必要不充分條件，故不正確，故選AC．12．選項(xiàng)A，如圖2，取的中點(diǎn)為，連接，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，為的中位線，則，即四邊形為平行四邊形，則平面，選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，為的中點(diǎn)，則，由選項(xiàng)A可知，平面，平面平面，平面平面，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，點(diǎn)到平面的距離為，所以，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，由得：，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，，又，所以，即，由余弦定理得：，所以線段長(zhǎng)度的最小值為2，選項(xiàng)D正確，綜上所述：故選ABD．第II卷（非選擇題，共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）題號(hào)13141516答案9【解析】13．方法一：，．方法二：．14．不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線為，圓的圓心為，半徑，則圓心到漸近線的距離為，所以弦長(zhǎng)，化簡(jiǎn)得：，即，解得，所以．15．原不等式等價(jià)于在有解，又函數(shù)在單增，則，所以．16．方法一：由余弦定理得：，又，則，所以，即，則，又兩邊之和大于第三邊，即，所以的取值范圍，所以周長(zhǎng)的最小值為．方法二：（均值換元法）設(shè)，，，則由正弦定理和等比和定理得：，所以，由得，所以，所以周長(zhǎng)的最小值為．四、解答題（共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分10分）解：（I）由頻率之和為1，即，解得，頻率直方分布圖中從左到右的6個(gè)小矩形面積面積依次記為，因?yàn)?，，所以設(shè)第75百分位數(shù)為，由，解得，即第75百分位數(shù)為84．（II）學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在和的青年人數(shù)分別是200、300人．從中抽5人，則學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在的抽取2人，記為，，學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在的抽取3人，記為，，，從5人中隨機(jī)再抽2人的方法為：，，，，，，，，，，共10種，其中學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在中至少有1人被抽中發(fā)言的有7種，故學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在中至少有1人被抽中發(fā)言的概率為．18．（本小題滿分12分）（I）解：方法一：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知條件得：，解得：，所以圓的方程為．方法二：設(shè)點(diǎn)為圓心，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，則可設(shè)，所以，即，解得，所以圓心，半徑長(zhǎng)，所以圓的方程為．方法三：由已知可得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以弦的垂直平分線的斜率為，線段的垂直平分線方程為，則圓心是直線與的交點(diǎn)，由得：，即圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)，所以圓的方程為（II）證明：方法一：由直線的方程可知：直線恒過定點(diǎn)，所以點(diǎn)到圓心的距離為，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，即直線與圓相交．方法二：直線，圓心到的距離，因?yàn)?，所以，即，所以直線與圓相交．19．（本小題滿分12分）解：（I）不能，因?yàn)轭}目沒有給出男、女生的樣本量．（II）總體樣本的均值為，總體樣本的方差為．20．（本小題滿分12分）（I）證明：方法一：如圖3，分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，由題意可知點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)、、、四點(diǎn)共面，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．又因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又因?yàn)椋?、平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫妫椒ǘ阂驗(yàn)闉檎叫?，且平面，所以、、兩兩互相垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線分別為、、軸建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，，所以，易知平面的一個(gè)法向量，所以，所以，又因?yàn)槠矫妫云矫妫↖I）解：設(shè)平面的法向量，，，則，取，可得，所以平面的一