考點(diǎn)6 與二次函數(shù)解析式相關(guān)的代數(shù)式的符號(hào)辨析（解析版）

二次函數(shù)的解析式中，a，b，c，b2－4ac，a＋b＋c，a－b＋c，4a＋2b＋c等一系列的代數(shù)式的符號(hào)的確定涉及到的知識(shí)比較多，有一些式子的變形也比較靈活，中考中也是頻繁的出現(xiàn)，這類題通常會(huì)以選擇題或填空題的方式出現(xiàn)．★★★○○○○二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性質(zhì)：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象為拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，)對(duì)稱軸為直線x＝；當(dāng)a＞0時(shí)，開(kāi)口向上，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，x＝時(shí)，y有最小值．當(dāng)a＜0時(shí)，開(kāi)口向下，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，x＝時(shí)，y有最小值．1.①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大?。寒?dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab＞0)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab＜0)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)(簡(jiǎn)稱：左同右異)．③常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)．拋物線與y軸交于(0，c)．2.當(dāng)b2－4ac＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2－4ac＝0，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2－4ac＜0，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．3.2a與b或2a與－b的大小比較看對(duì)稱軸與1或－1的大小關(guān)系；當(dāng)出現(xiàn)a＋b＋c和a－b＋c時(shí)看x＝1和x＝－1時(shí)的函數(shù)值進(jìn)行判定4a＋2b＋c，4a－2b＋c，9a＋3b＋c，9a－3b＋c也是分別看x＝±2，x＝±3時(shí)的函數(shù)值．4.判別函數(shù)值的大小的判別，先看是否在對(duì)稱軸的同側(cè)，若在對(duì)稱軸的同側(cè)，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)判斷，若在對(duì)稱軸的異側(cè)，則根據(jù)對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)與對(duì)稱軸的距離的遠(yuǎn)近來(lái)確定函數(shù)值的大小．5.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，0)(x2，0)，則x，x分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．例1.如圖是二次函數(shù)圖像的一部分，其對(duì)稱軸為x＝－l，且過(guò)點(diǎn)(－3，0).下列說(shuō)法：①abc＜0；②2a－b＝O；③4a＋2b＋c＜0；④若(－5，y1)，是拋物線上兩點(diǎn)，則y1>y2，其中說(shuō)法正確的有()A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)【答案】B∵b＝2a，∴2a?b＝0，∴②正確；把x＝2代入y＝ax2＋bx＋c得：y＝4a＋2b＋c，從圖象可知，當(dāng)x＝2時(shí)y>0，即4a＋2b＋c>0，∴③錯(cuò)誤；∵(?5，y1)關(guān)于直線x＝?1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，y1)，又∵當(dāng)x>?1時(shí)，y隨x的增大而增大，3>，∴y1>y2，∴④正確；即正確的有3個(gè)．故選B．學(xué)科@網(wǎng)例2.拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，那么下面六個(gè)代數(shù)式：①abc；②b2－4ac；③a－b＋c；④a＋b＋c；⑤2a－b；⑥9a－4b中，值小于0的有()．A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【答案】C例3.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為x＝1，給出下列結(jié)論：①abc＞0；②b2＝4ac；③4a＋2b＋c＞0；④3a＋c＞0，其中，正確的結(jié)論是______．(寫(xiě)出正確結(jié)論的序號(hào))【答案】①④1.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)QUOTEy=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是()QUOTE①ac>0①ac＞0；②方程ax2＋bx＋c＝0的兩根之和大于0；③隨x的增大而增大；④a－b＋c＜0，A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)【答案】C【解析】由圖像可知，a＜0，c>0，∴ac＜0，故①錯(cuò)誤；由圖像可知，方程ax2＋bx＋c＝0的兩根之和大于0，故②正確；由圖像可知，在對(duì)稱軸左側(cè)y隨x的增大而增大；故③錯(cuò)誤；由圖像可知，x＝－1時(shí)，y＜0，即－b＋c＜0，故④正確；故選C．學(xué)科@網(wǎng)2.若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象于x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，0)，(x2，0)，且x1＜x2，圖象上有一點(diǎn)M(x0，y0)在x軸下方，對(duì)于以下說(shuō)法：①b2﹣4ac＞0②x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝y(tǒng)0的解；③x1＜x0＜x2④a(x0﹣x1)(x0﹣x2)＜0；⑤x0＜x1或x0＞x2，其中正確的有A.①②B.①②④C.①②⑤D.①②④⑤【答案】B3.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分圖象如圖所示，圖象過(guò)點(diǎn)(﹣1，0)，對(duì)稱軸為直線x＝2，下列結(jié)論：(1)4a＋b＝0；(2)9a＋c＞3b；(3)8a＋7b＋2c＞0；(4)若點(diǎn)A(﹣3，y1)、點(diǎn)B(﹣，y2)、點(diǎn)C(，y3)在該函數(shù)圖象上，則y1＜y3＜y2；(5)若方程a(x＋1)(x﹣5)＝﹣3的兩根為x1和x2，且x1＜x2，則x1＜﹣1＜5＜x2．其中正確結(jié)論的序號(hào)是_______________．(在橫線上填上你認(rèn)為所有正確結(jié)論的序號(hào))【答案】(1)(3)(5)QUOTE135(每道試題10分，總計(jì)100分)1.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖，則下列結(jié)論中正確的有()個(gè)①2a＋b＝0②當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大③c＜0④9a＋3b＋c＝0⑤b2－4ac>0A.2B.3C.4D.5【答案】C2.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖，則下列結(jié)論：①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的兩根之和大于0；③y隨x的增大而增大；④a－b＋c＜0.其中正確的是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】D【解析】試題解析：∵拋物線的圖象開(kāi)口向下，與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，

∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴①正確；

∵拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右邊，∴－＞0，∴＜0，

即方程ax2＋bx＋c＝0的兩根之和－＞0，∴②正確；

在對(duì)稱軸的左側(cè)y隨x的增大而增大，在對(duì)稱軸的右側(cè)y隨x的增大而減小，∴③錯(cuò)誤；

把x＝－1代入拋物線得：y＝a－b＋c＜0，∴④正確；故選D.學(xué)科@網(wǎng)3.如圖是拋物線y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖象的一部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(1，3)，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B，直線y2＝mx＋n(m≠0)經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，下列結(jié)論：①當(dāng)x＜1時(shí)，有y1＜y2；②a＋b＋c＝m＋n；③b2﹣4ac＝﹣12a；④若m﹣n＝﹣5，則B點(diǎn)坐標(biāo)為(4，0)其中正確的是(

)

A.①B.①②C.①②③D.①②③④【答案】D4.如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致圖象，關(guān)于該二次函數(shù)下列說(shuō)法正確的是()A.a＞0，b＜0，c＞0． B.b2﹣4ac＜0．C.當(dāng)﹣1＜x＜2時(shí)，y＞0． D.當(dāng)x>2時(shí)，y隨x的增大而增大．【答案】D【解析】∵拋物線開(kāi)口向上，∴a>0，∵拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，∴b＜0，∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，∴c＜0，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，∴△＝b2?4ac>0，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵拋物線與x軸交于點(diǎn)(?1，0)、(2，0)，∴當(dāng)?1＜x＜2時(shí)，y＜0，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵x>2在對(duì)稱軸的右側(cè)，∴y隨x的增大而增大，所以D選項(xiàng)正確．故選D．學(xué)科@網(wǎng)5.如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象，其對(duì)稱軸為x＝1，下列結(jié)論：①abc＞0；②2a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若，是拋物線上兩點(diǎn)，則y1＜y2其中結(jié)論正確的是()A．①② B．②③ C．②④ D．①③④【答案】C6.如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA＝OC．則下列結(jié)論：①abc＜0；②＞0；③ac－b＋1＝0；④OA?OB＝－．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．4B．3C．2D．1【答案】B．7.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc＜0；②2a＋b＜0；③b2﹣4ac＝0；④8a＋c＜0；⑤a:b:c＝﹣1:2:3，其中正確的結(jié)論有______．【答案】①④⑤【解析】①∵開(kāi)口向下，∴a＜0，∵與y軸交于正半軸，∴c＞0，∵對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴b＞0，∴abc＜0，故①正確；∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x＝1，即二次函數(shù)的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝＝1，∴2a＋b＝0，故②錯(cuò)誤；∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b2﹣4ac＞0，故③錯(cuò)誤；∵b＝﹣2a，∴可將拋物線的解析式化為：y＝ax2﹣2ax＋c(a≠0)；由函數(shù)的圖象知：當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＜0；即4a﹣(﹣4a)＋c＝8a＋c＜0，故④正確；∵二次函數(shù)的圖象和x軸的一個(gè)交點(diǎn)時(shí)(﹣1，0)，對(duì)稱軸是直線x＝1，∴另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，0)，∴設(shè)y＝ax2＋bx＋c＝a(x﹣3)(x＋1)＝ax2﹣2ax﹣3a，即a＝a，b＝﹣2a，c＝﹣3a，∴a:b:c＝a:(﹣2a):(﹣3a)＝﹣1:2:3，故⑤正確；故答案為：①④⑤．學(xué)科@網(wǎng)8.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，則下列6個(gè)結(jié)論正確的有________個(gè).①ac＜0；②2a＋b＝0；③4a＋2b＋c>0；④對(duì)于任意x均有ax2＋bx≥a＋b；⑤3a＋c＝0；⑥b＋2c＜0；⑦當(dāng)x>1時(shí)，y隨著x的增大而減小【答案】5如圖，當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝0，即a－b＋c＝3a＋c＝0，故⑤正確的；⑥∵函數(shù)的圖象與y軸負(fù)半軸相交一點(diǎn)，∴c＜0，又∵由①可知:b＜0，∴b＋2c＜0，故⑥正確；⑦如圖所示:當(dāng)x>1時(shí)，y隨著x的增大而增大，故⑦是錯(cuò)誤的;綜合上述可得:①②④⑤⑥共5個(gè)正確的;故答案是5．學(xué)科@網(wǎng)9.如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)圖象的頂點(diǎn)為D，其圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為－1，3.與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，在下面五個(gè)結(jié)論中:①2a＋b＝0;②a＋b＋c>0;③c＝－3a;④abc>0.⑤b2－4ac＜0其中正確的結(jié)論是.(只填序號(hào))

【答案】①③④10.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①abc＞0；②a﹣b＋c＜0；③2a＋b﹣c＜0；④4a＋2b＋c＞0，⑤若點(diǎn)(﹣，y1)和(，y2)在該圖象上，則y1＞y2．其中正確的結(jié)論是_____(填入正確結(jié)論的序號(hào))【答案】②③④________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________