線性代數(shù)：許文翠主編

十四五普通高等院校公共課程類系列教材

“”

線性代數(shù)

許文翠主編

◎

李楠楊積鳳梁樹(shù)星陳忠副主編

◎

內(nèi)容簡(jiǎn)介

本書針對(duì)應(yīng)用型本科和高等職業(yè)院校學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)適當(dāng)?shù)販p弱了理論上的

,

深度和難度內(nèi)容淺顯易懂全書共七章分別為行列式矩陣向量組的線性相

,。,、、

關(guān)性線性方程組相似矩陣二次型投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型每章配有小結(jié)習(xí)題

、、、、。、

和測(cè)試題可供學(xué)生復(fù)習(xí)和檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果使用

,。

本書適合應(yīng)用型本科和高等職業(yè)院校理工類和經(jīng)管類專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)使用

。

圖書在版編目CIP數(shù)據(jù)

()

線性代數(shù)許文翠主編北京中國(guó)鐵道出版社

/.—:

有限公司

,2022.6

十四五普通高等院校公共課程類系列教材

“”

ISBN978-7-113-29443-4

線許線性代數(shù)高等學(xué)校

Ⅰ.①…Ⅱ.①…Ⅲ.①--

教材

Ⅳ.①O151.2

中國(guó)版本圖書館數(shù)據(jù)核字第號(hào)

CIP(2022)125449

書名:線性代數(shù)

作者:許文翠

策劃:潘星泉編輯部電話:

(010)51873090

責(zé)任編輯:潘星泉徐盼欣

封面設(shè)計(jì):劉穎

責(zé)任校對(duì):苗丹

責(zé)任印制:樊啟鵬

出版發(fā)行:中國(guó)鐵道出版社有限公司北京市西城區(qū)右安門西街號(hào)

(100054,8)

網(wǎng)址:

/51eds/

印刷:三河市興達(dá)印務(wù)有限公司

版次:年月第版年月第次印刷

202261202261

開(kāi)本:印張:字?jǐn)?shù):千

710mm×1000mm1/169.75190

書號(hào):

ISBN978-7-113-29443-4

定價(jià):元

28.00

版權(quán)所有侵權(quán)必究

凡購(gòu)買鐵道版圖書如有印制質(zhì)量問(wèn)題請(qǐng)與本社教材圖書營(yíng)銷部聯(lián)系調(diào)換電話

,,。:(010)63550836

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:(010)63549461

前言

線性代數(shù)是普通高等院校理工類和經(jīng)管類專業(yè)學(xué)生的一門重要基

礎(chǔ)課,可以培養(yǎng)學(xué)生將自然科學(xué)、工程基礎(chǔ)和專業(yè)知識(shí)運(yùn)用到復(fù)雜的計(jì)

算工程問(wèn)題的能力。這門課程比較抽象,學(xué)生學(xué)習(xí)有一定的難度,對(duì)于

應(yīng)用型本科和高等職業(yè)院校的學(xué)生難度更大。目前,適合應(yīng)用型本科和

高等職業(yè)院校學(xué)生學(xué)習(xí)的線性代數(shù)教材較少,本書針對(duì)應(yīng)用型本科和高

等職業(yè)院校學(xué)生特點(diǎn)編寫,既滿足教學(xué)要求,又符合應(yīng)用型本科和高等

職業(yè)院校學(xué)生的特點(diǎn)。

本書適當(dāng)?shù)販p弱了理論上的深度和難度,在介紹一些重要的概念和

定理時(shí),通過(guò)實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生理解概念和定理的內(nèi)容,使學(xué)生更容易掌握

學(xué)習(xí)內(nèi)容。本書語(yǔ)言通俗易懂,內(nèi)容循序漸進(jìn)。為便于學(xué)生解題,書中

例題較多,其中較為重點(diǎn)的類型題給出解題步驟,易于自學(xué)。本書第

7

章給出了投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型,介紹了有關(guān)的線性代數(shù)基本知識(shí),為經(jīng)管

類學(xué)生學(xué)習(xí)提供幫助,同時(shí)也給出理工類學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)模型的新

方法。每章配有本章小結(jié),對(duì)本章內(nèi)容進(jìn)行知識(shí)總結(jié),使學(xué)生在學(xué)習(xí)本

章內(nèi)容后有比較完整的理論體系。每章配有測(cè)試題,便于學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)

和檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果。

本書由許文翠任主編,李楠、楊積鳳、梁樹(shù)星、陳忠任副主編。具體

編寫分工如下:許文翠編寫第章、第章、第章和第章,李楠編寫第

1236

章和第章,楊積鳳編寫第章,梁樹(shù)星和陳忠編寫習(xí)題參考答案部

457

分。本書由許文翠統(tǒng)稿和定稿。

由于編寫時(shí)間倉(cāng)促,加之編者水平有限,書中不妥與疏漏之處在所

難免,敬請(qǐng)廣大讀者批評(píng)指正。

編者

年月

20224

目錄

第1章行列式………………………

1

二階行列式和三階行列式………………

1.11

二階行列式………

1.1.11

三階行列式………

1.1.23

三階行列式的展開(kāi)………………

1.1.34

n階行列式………………

1.26

n階行列式的定義………………

1.2.17

行列式按行(列)展開(kāi)定理………

1.2.27

行列式的性質(zhì)與計(jì)算……………………

1.39

行列式的性質(zhì)……………………

1.3.19

行列式的計(jì)算……………………

1.3.210

克拉默法則………………

1.414

克拉默法則………

1.4.114

運(yùn)用克拉默法則討論齊次線性方程組的解……

1.4.216

習(xí)題…………

117

本章小結(jié)………………………

19

測(cè)試題………………………

120

第2章矩陣………………………

22

矩陣概述…………………

2.122

矩陣的概念………

2.1.122

幾種特殊矩陣……………………

2.1.224

矩陣的運(yùn)算………………

2.225

矩陣的加(減)法…………………

2.2.125

數(shù)與矩陣的乘法…………………

2.2.226

矩陣的乘法………

2.2.326

轉(zhuǎn)置矩陣…………

2.2.429

線性代數(shù)

·Ⅱ·

逆矩陣……………………

2.331

逆矩陣的概念……………………

2.3.131

逆矩陣的求法……………………

2.3.231

逆矩陣的性質(zhì)……………………

2.3.333

矩陣的初等變換…………

2.434

矩陣的初等變換…………………

2.4.134

用矩陣的初等行變換求逆矩陣…………………

2.4.235

用矩陣的初等變化轉(zhuǎn)化行階梯形矩陣…………

2.4.337

矩陣的秩…………………

2.539

矩陣的秩的概念…………………

2.5.139

用矩陣的初等變換求矩陣的秩…………………

2.5.240

習(xí)題…………

243

本章小結(jié)………………………

45

測(cè)試題………………………

246

第3章向量組的線性相關(guān)性……………………

48

向量的概念及其運(yùn)算……………………

3.148

n維向量的概念…………………

3.1.148

n維向量的運(yùn)算及運(yùn)算律………

3.1.249

向量組的線性相關(guān)性……………………

3.251

向量組的線性組合………………

3.2.151

向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)……

3.2.253

向量組的秩………………

3.357

向量組的等價(jià)關(guān)系………………

3.3.157

極大線性無(wú)關(guān)組(極大無(wú)關(guān)組)…………………

3.3.258

向量組的秩………

3.3.359

習(xí)題…………

361

本章小結(jié)………………………

62

測(cè)試題………………………

364

第4章線性方程組………………

67

消元法……………………

4.167

消元法……………

4.1.168

矩陣的初等行變換與消元法……

4.1.269

線性方程組解的判定……………………

4.271

非齊次線性方程組的解的判定定理……………

4.2.171

目錄

·Ⅲ·

齊次線性方程組解的判定………

4.2.274

線性方程組的解的結(jié)構(gòu)…………………

4.375

齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)……

4.3.176

非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)……

4.3.280

習(xí)題…………

484

本章小結(jié)………………………

85

測(cè)試題………………………

486

第5章相似矩陣…………………

88

矩陣的特征值與特征向量………………

5.188

矩陣的特征值與特征向量的定義………………

5.1.188

矩陣特征值與特征向量的性質(zhì)…………………

5.1.290

相似矩陣與矩陣的相似對(duì)角化…………

5.292

矩陣的相似………

5.2.192

矩陣可對(duì)角化的條件……………

5.2.294

實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化………

5.398

內(nèi)積的基本概念………………

5.3.198

正交向量組與正交矩陣…………

5.3.299

實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化……………

5.3.3102

習(xí)題…………

5104

本章小結(jié)………………………

105

測(cè)試題………………………

5107

第6章二次型……………………

109

二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形……………………

6.1109

二次型的定義與矩陣表示……

6.1.1109

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形………………

6.1.2110

矩陣的合同關(guān)系………………

6.1.3111

化二次為標(biāo)準(zhǔn)形………

6.2113

用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形………………

6.2.1113

用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形…………………

6.2.2116

正定二次型……………

6.3117

慣性定理………

6.3.1117

正定二次型……………………

6.3.2118

習(xí)題…………

6119

線性代數(shù)

·Ⅳ·

本章小結(jié)………………………

120

測(cè)試題………………………

6122

第7章投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型………

123

投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)介………………

7.1123

投入產(chǎn)出表……………………

7.1.1123

投入產(chǎn)出的數(shù)學(xué)模型…………

7.1.2125

投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型的分析和計(jì)算……

7.2127

直接消耗系數(shù)…………………

7.2.1127

平衡方程組的解………………

7.2.2129

完全消耗系數(shù)…………………

7.2.3131

投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用……………

7.3133

投入產(chǎn)出的數(shù)學(xué)模型在制訂計(jì)劃方面的應(yīng)用………………

7.3.1133

投入產(chǎn)出的數(shù)學(xué)模型在調(diào)整計(jì)劃方面的應(yīng)用………………

7.3.2134

習(xí)題…………

7135

本章小結(jié)………………………

136

測(cè)試題………………………

7137

習(xí)題參考答案………………………

139

參考文獻(xiàn)……………

148

第1章

行列式

學(xué)習(xí)目標(biāo)

:

理解二三階行列式的定義

(1)、.

理解n階行列式的定義元素aij的余子式代數(shù)余子式的定義

(2),、.

掌握行列式的性質(zhì)

(3).

掌握行列式計(jì)算的基本方法并能熟練計(jì)算二三四階行列式的值會(huì)計(jì)

(4),、、,

算簡(jiǎn)單的n階行列式

.

理解克拉默法則并會(huì)運(yùn)用克拉默法則解線性方程組

(5),.

解方程是代數(shù)中的一個(gè)基本問(wèn)題在中學(xué)代數(shù)中我們解過(guò)二元三元以至四

,,、

元一次方程組本章介紹行列式的一些基本概念性質(zhì)并以行列式作為工具求解

.、,

線性方程組

.

1.1二階行列式和三階行列式

1.1.1二階行列式

對(duì)于二元線性方程組

axaxb

111+122=1

axaxb,(1-1)

211+222=2

如果aaaa時(shí)則由加減消元法方程組有唯一解其解可表示為

1122-1221≠0,,(1-1),

?

baab

?x122-122

?1aaaa

=11221221

?-.

??abba(1-2)

x112-121

2=aaaa

?1122-1221

由式可以看出二元線性方程組的唯一解由未知數(shù)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)確

(1-2),

定式的分母是兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)乘積的差為簡(jiǎn)便將方程組的系數(shù)

。(1-2),,(1-1)

按原來(lái)的順序排好并在兩邊各加一豎線用記號(hào)

,,

2線性代數(shù)

··

aa

1112

aa

2122

來(lái)表示aaaa即

1122-1221,

aa

1112aaaa

aa=1122-1221.(1-3)

2122

定義1.1式的左端稱為二階行列式它是由個(gè)數(shù)組成并且按照

(1-3).2×2,

一定順序排列而成的一個(gè)算式其結(jié)果為aaaa又稱二階行列式的展

,1122-1221,

開(kāi)式

.

二階行列式的橫排稱為行縱排稱為列aijij稱為二階行列式

;;(=1,2;=1,2)

的元素或元第一個(gè)下標(biāo)i稱為行標(biāo)表明該元素位于第i行第二個(gè)下標(biāo)稱為列

;,;j

標(biāo)表明該元素位于第j列

,.

例1計(jì)算下列行列式

.

ab

1223

(1);(2);(3)ba.

2314

解12

(1)=1×3-2×2=3-4=-1.

23

23

(2)=2×4-3×1=8-3=5.

14

ab

aabba2b2

(3)ba=×-×=-.

下面討論二元線性方程組與二階行列式的關(guān)系

,.

不難發(fā)現(xiàn)式的分子分別可表示為

,(1-2)

baab

D112baabD111abba

1=ba=122-122,2=ab=112-121.

222212

記

aa

D1112aaaa

=aa=1122-1222.

2122

為二元線性方程組的系數(shù)行列式則方程組的解在D的條件下可

(1-1),(1-1),≠0

表示為

DD

x1x2

1=D,2=D.(1-4)

式中x的分子D是用常數(shù)項(xiàng)bb替換D中的系數(shù)aa所得的二階

(1-4),111、211、21

行列式x的分子D是用常數(shù)項(xiàng)bb替換D中的系數(shù)aa所得的二階行

;221、212、22

列式

.

第1章行列式3

··

例2解二元線性方程組

xx

31+22=7.

xx

41-2=2

解因?yàn)?/p>

D32

==3×(-1)-2×4=-3-8=-11≠0,

4-1

D72

1==7×(-1)-2×2=-7-4=-11,

2-1

D37

2==3×2-7×4=6-28=-22,

42

所以二元線性方程組的解為

,

?

?D

?x1-11

1=D==1

?-11

??D.

x2-22

2=D==2

?-11

1.1.2三階行列式

定義1.2記號(hào)

aaa

111213

aaa

212223(1-5)

aaa

313233

稱為三階行列式它是由2個(gè)數(shù)排成的一個(gè)三行三列的并在左右兩邊各加一豎線

,3

的算式定義其值為

,

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

112233+122331+132132-112332-122133-132231(1-6)

式稱為三階行列式的展開(kāi)式

(1-6)(1-5).

觀察三階行列式的展開(kāi)規(guī)律展開(kāi)式有六項(xiàng)每項(xiàng)由不同行不同列的三個(gè)數(shù)的

,,

乘積組成有三項(xiàng)取正號(hào)有三項(xiàng)取負(fù)號(hào)其規(guī)律如圖所示

,,,1-1.

圖

1-1

4線性代數(shù)

··

圖中實(shí)線連接的方向?yàn)橹鲗?duì)角線方向虛線連接的方向?yàn)榇螌?duì)角線方向

1-1,,

也就是說(shuō)三階行列式的值為主對(duì)角線方向上的不同行不同列元素之積的和減去

,

次對(duì)角線方向上不同行不同列元素之積的和這種方法稱為對(duì)角線法則

,.

位于三條實(shí)線上三個(gè)元素的乘積冠正號(hào)位于三條虛線上三個(gè)元素的乘積冠

,

負(fù)號(hào)

.

例3計(jì)算三階行列式

113

D

=251.

321

解應(yīng)用對(duì)角線法則有

,

D

=1×5×1+1×1×3+3×2×2-3×5×3-1×2×1-1×1×2

=5+3+12-45-2-2

=-29.

類似于二元一次線性方程組的情形對(duì)于三元一次線性方程組

,

?

?axaxaxb

?111+122+133=1

?

?axaxaxb

?211+222+233=2,(1-7)

axaxaxb

?311+322+333=3

記系數(shù)行列式為

aaa

111213

Daaa.

=212223

aaa

313233

如果D設(shè)

≠0,

baaabaaab

112131111311121

DbaaDabaDaab

1=22223,2=21223,3=21222

baaabaaab

332333133331323

則方程組有唯一解

(1-7)