大學(xué)微積分l知識點(diǎn)總結(jié)(二)

【第五部分】不定積分1.書本知識（包含一些補(bǔ)充知識）（1）原函數(shù)：F’（x）=f（x），x∈I，則稱F（x）是f（x）的一個(gè)“原函數(shù)”。（2）若F（x）是f（x）在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則f（x）在區(qū)間上的全體函數(shù)為F（x）+c（其中c為常數(shù)）（3）基本積分表（α≠1，α為常數(shù)）（4）零函數(shù)的所有原函數(shù)都是c（5）C代表所有的常數(shù)函數(shù)數(shù)乘運(yùn)算（6）運(yùn)算法則數(shù)乘運(yùn)算線性運(yùn)算加減運(yùn)算線性運(yùn)算加減運(yùn)算（7）（8）（8）（9）連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)，但是有原函數(shù)的函數(shù)不一定連續(xù)，沒有原函數(shù)的函數(shù)一定不連續(xù)。（10）不定積分的計(jì)算方法①湊微分法（第一換元法），利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則②變量代換法（第二換元法），利用一階微分形式不變性值得注意的問題：第一，一般積分方法并不一定是最簡便的方法，要注意綜合使用各種積分方法，簡便計(jì)算；第二，初等函數(shù)的原函數(shù)并不一定是初等函數(shù)，因此不一定都能夠積出。不能用普通方法積出的積分：2、特殊類型不定積分求解方法匯總（1）多次分部積分的規(guī)律（3）簡單無理函數(shù)的積分被積函數(shù)為簡單式的有理式，可以通過根式代換化為有理函數(shù)的積分小結(jié)：幾分鐘含有根號，應(yīng)當(dāng)考慮采用合適的方法去掉根號再進(jìn)行計(jì)算。【第六部分】定積分1.書本知識（包含一些補(bǔ)充知識）（1）定義幾種簡化定積分的計(jì)算方法①關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上的函數(shù)的定積分當(dāng)f(x)為偶函數(shù)當(dāng)f(x)為偶函數(shù)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)設(shè)f(x)是周期為T的周期函數(shù)，且連續(xù)。則：（n為奇數(shù)）（（n為奇數(shù)）（n為偶數(shù)）分的值無關(guān)，依然可以正常去求。極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位。設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x,y)，它的極坐標(biāo)是(ρ,0).則：θxρyθxρ定積分中容易混淆的x與t的關(guān)系的問題對于定積分，被積表達(dá)式中的無所謂t還是x，最后都會被積分上下限所替代。所以在變限函數(shù)積分的上下限中含x的時(shí)候，被積表達(dá)式用t表示以示區(qū)別。當(dāng)然如果此時(shí)被積表達(dá)式中含x和t，在二者都有的情況下，則把x看成常數(shù)提到外面或者換元換走x。例證：定積分證明問題中關(guān)于x與t化簡后的計(jì)算方法：補(bǔ)充知識（課外補(bǔ)充）☆【積分中值定理及其應(yīng)用】☆積分中值定理是積分學(xué)的一個(gè)重要性質(zhì)。它建立了定積分與被積函數(shù)之間的關(guān)系，從而使我們可以通過被積函數(shù)的性質(zhì)研究積分的性質(zhì)，有較高的理論價(jià)值以及廣泛的應(yīng)用。一、積分中值定理的內(nèi)容定理①：積分第一中值定理定理②：推廣的積分第一中值定理二、積分中值定理的應(yīng)用由于該定理可以使積分符號去掉，從而使問題簡化，對于證明包含函數(shù)積分和某個(gè)函數(shù)之間的等式或不等式，常可以考慮使用積分中值定理在應(yīng)用積分中值定理時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①在應(yīng)用中應(yīng)注意被積函數(shù)在區(qū)間[a,b]上這一連續(xù)條件，否則結(jié)論不一定會成立②在定理中的g(x)在[a,b]上面不能變號，這個(gè)條件也不能去掉。③定理中所指出的ξ并不一定是唯一的，也不一定必須是[a,b]內(nèi)的點(diǎn)下面就其應(yīng)用進(jìn)行討論（1）估計(jì)定積分的值（2）求含有定積分的極限說明：解決此類問題的關(guān)鍵是用積分中值定理去掉積分符號。在應(yīng)用該定理時(shí)，要注意中值ξ不僅依賴于積分區(qū)間，而且依賴于限式中n的趨近方式。（3）證明中值ξ的存在性命題說明：在證明有關(guān)題設(shè)中含有抽象函數(shù)的定積分等式時(shí)，一般應(yīng)用積分中值定理。（4）證明積分不等式說明：由于積分有許多特殊的運(yùn)算性質(zhì)，故積分不等式的證明往往具有很強(qiáng)的技巧性。在證明含有定積分的不等式時(shí)，也?？紤]使用積分中值定理，以便去掉積分符號。若被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)之積時(shí)，可考慮使用廣義積分中值定理。（5）證明函數(shù)的單調(diào)性三、積分中值定理的拓展（1）第二積分中值定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可積，而g(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)，則在[a,b]上至少存在一點(diǎn)ξ，使得：特別地，g(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，則：（2）特殊積分中值定