專題04 開放拓展問題（精練）-2019年中考數學高頻考點突破全攻略（解析版）

一、選擇題（10×3=30分）1.（2017?寧德）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E分別在邊BC和AC上，若AD=AE，則下列結論錯誤的是（）A．∠ADB=∠ACB+∠CAD B．∠ADE=∠AEDC．∠CDE=∠BAD D．∠AED=2∠ECD【分析】由三角形的外角性質、等腰三角形的性質得出選項A、B、C正確，選項D錯誤，即可得出答案．2.（2018?安徽）?ABCD中，E，F的對角線BD上不同的兩點．下列條件中，不能得出四邊形AECF一定為平行四邊形的是（）A．BE=DF B．AE=CF C．AF∥CE D．∠BAE=∠DCF【分析】連接AC與BD相交于O，根據平行四邊形的對角線互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，只要證明得到OE=OF即可，然后根據各選項的條件分析判斷即可得解．3.（2018?揚州）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，則下列結論一定成立的是（）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC【分析】根據同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根據角平分線的定義可得出∠ACE=∠DCE，再結合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角對等邊即可得出BC=BE，此題得解．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE．故選：C．學科&網4.（2018?宜昌）尺規(guī)作圖：經過已知直線外一點作這條直線的垂線，下列作圖中正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據過直線外一點向直線作垂線即可．5.（2018?東營）如圖，在四邊形ABCD中，E是BC邊的中點，連接DE并延長，交AB的延長線于點F，AB=BF．添加一個條件使四邊形ABCD是平行四邊形，你認為下面四個條件中可選擇的是（）A．AD=BC B．CD=BF C．∠A=∠C D．∠F=∠CDF【分析】正確選項是D．想辦法證明CD=AB，CD∥AB即可解決問題；6.（2018?臺灣）如圖，銳角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，甲、乙兩人想找一點P，使得∠BPC與∠A互補，其作法分別如下：（甲）以A為圓心，AC長為半徑畫弧交AB于P點，則P即為所求；（乙）作過B點且與AB垂直的直線l，作過C點且與AC垂直的直線，交l于P點，則P即為所求對于甲、乙兩人的作法，下列敘述何者正確？（）A．兩人皆正確 B．兩人皆錯誤C．甲正確，乙錯誤 D．甲錯誤，乙正確【分析】甲：根據作圖可得AC=AP，利用等邊對等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定義可知：∠BPC+∠APC=180°，根據等量代換可作判斷；乙：根據四邊形的內角和可得：∠BPC+∠A=180°．【解答】解：甲：如圖1，∵AC=AP，∴∠APC=∠ACP，∵∠BPC+∠APC=180°∴∠BPC+∠ACP=180°，∴甲錯誤；乙：如圖2，∵AB⊥PB，AC⊥PC，∴∠ABP=∠ACP=90°，∴∠BPC+∠A=180°，∴乙正確，故選：D．7.（2018?眉山）如圖，在?ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于點E，F為DC的中點，連結EF、BF，下列結論：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四邊形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正確結論的個數共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】如圖延長EF交BC的延長線于G，取AB的中點H連接FH．想辦法證明EF=FG，BE⊥BG，四邊形BCFH是菱形即可解決問題；【解答】解：如圖延長EF交BC的延長線于G，取AB的中點H連接FH．∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正確，∵S△DFE=S△CFG，∴S四邊形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正確，8.（2017呼和浩特）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，E，F為BD所在直線上的兩點，若AE=，∠EAF=135°，則下列結論正確的是（）A．DE=1 B．tan∠AFO=C．AF= D．四邊形AFCE的面積為【分析】根據正方形的性質求出AO的長，用勾股定理求出EO的長，然后由∠MAN=135°及∠BAD=90°可以得到相似三角形，根據相似三角形的性質求出BF的長，再一一計算即可判斷．在Rt△AOF中，AF===，故C正確，tan∠AFO===，故B錯誤，∴S四邊形AECF=?AC?EF=××=，故D錯誤，故選C．學科&網9.（2017?玉林）如圖，AB是⊙O的直徑，AC，BC分別與⊙O相交于點D，E，連接DE，現給出兩個命題：①若AC=AB，則DE=CE；②若∠C=45°，記△CDE的面積為S1，四邊形DABE的面積為S2，則S1=S2，那么（）A．①是真命題②是假命題 B．①是假命題②是真命題C．①是假命題②是假命題 D．①是真命題②是真命題【分析】根據等腰三角形的性質得到∠C=∠B，根據圓內接四邊形的性質得到∠B=∠CDE，根據等腰三角形的判定判斷①；根據相似三角形的面積比等于相似比的平方判斷②．∴AC=CE，∵四邊形ABED內接于⊙O，∴∠B=∠CDE，∠CAB=∠CED，∴△CDE∽△CBA，∴=（）2=，∴S1=S2，②正確，故選：D．10.（2017山東濱州）如圖，點P為定角∠AOB的平分線上的一個定點，且∠MPN與∠AOB互補，若∠MPN在繞點P旋轉的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點，則以下結論：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長不變，其中正確的個數為（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要證明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判斷．在△POE和△POF中，，∴△POE≌△POF，∴OE=OF，二、填空題（6×4=24分）.11.（2018?金華）如圖，△ABC的兩條高AD，BE相交于點F，請?zhí)砑右粋€條件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及輔助線），你添加的條件是．【分析】添加AC=BC，根據三角形高的定義可得∠ADC=∠BEC=90°，再證明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．【解答】解：添加AC=BC，∵△ABC的兩條高AD，BE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，∴∠EBC=∠DAC，在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC（AAS），故答案為：AC=BC．12.（2017貴州）如圖，點B、F、C、E在一條直線上，已知FB=CE，AC∥DF，請你添加一個適當的條件使得△ABC≌△DEF．【分析】根據全等三角形的判定定理填空．13.（2017齊齊哈爾）矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，請你添加一個適當的條件，使其成為正方形（只填一個即可）【分析】此題是一道開放型的題目答案不唯一，也可以添加AC⊥BD等．【解答】解：添加條件：AB=BC，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，AB=BC，∴四邊形ABCD是正方形，故答案為：AB=BC（答案不唯一）．14.（2018?湖州）在每個小正方形的邊長為1的網格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．以頂點都是格點的正方形ABCD的邊為斜邊，向內作四個全等的直角三角形，使四個直角頂點E，F，G，H都是格點，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點弦圖．例如，在如圖1所示的格點弦圖中，正方形ABCD的邊長為，此時正方形EFGH的而積為5．問：當格點弦圖中的正方形ABCD的邊長為時，正方形EFGH的面積的所有可能值是（不包括5）．【分析】當DG=，CG=2時，滿足DG2+CG2=CD2，此時HG=，可得正方形EFGH的面積為13．當DG=8，CG=1時，滿足DG2+CG2=CD2，此時HG=7，可得正方形EFGH的面積為49．當DG=7，CG=4時，滿足DG2+CG2=CD2，此時HG=3，可得正方形EFGH的面積為9．15.（2018?香坊區(qū)）已知邊長為5的菱形ABCD中，對角線AC長為6，點E在對角線BD上且tan∠EAC=，則BE的長為．【分析】根據菱形的性質和分兩種情況進行解答即可．【解答】解：當點E在對角線交點左側時，如圖1所示：16.（2017四川南充）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG邊長分別為a和b，正方形CEFG繞點C旋轉，給出下列結論：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+b2，其中正確結論是（填序號）【分析】由四邊形ABCD與四邊形EFGC都為正方形，得到四條邊相等，四個角為直角，利用SAS得到三角形BCE與三角形DCG全等，利用全等三角形對應邊相等即可得到BE=DG，利用全等三角形對應角相等得到∠1=∠2，利用等角的余角相等及直角的定義得到∠BOD為直角，利用勾股定理求出所求式子的值即可．∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠BOC=90°，∴BE⊥DG；故①②正確；連接BD，EG，如圖所示，∴DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=b2，則BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+b2，故③正確．故答案為：①②③．學科&網三、解答題（共46分）.17.（2018?徐州）已知四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，給出下列四個論斷：①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．請你從中選擇兩個論斷作為條件，以“四邊形ABCD為平行四邊形”作為結論，完成下列各題：①構造一個真命題，畫圖并給出證明；②構造一個假命題，舉反例加以說明．【分析】如果①②結合，那么這些線段所在的兩個三角形是SSA，不一定全等，那么就不能得到相等的對邊平行；如果②③結合，和①②結合的情況相同；如果①④結合，由對邊平行可得到兩對內錯角相等，那么AD，BC所在的三角形全等，也得到平行的對邊也相等，那么是平行四邊形；最易舉出反例的是②④，它有可能是等腰梯形．18.（2018?濱州）已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D為BC的中點．（1）如圖①，若點E、F分別為AB、AC上的點，且DE⊥DF，求證：BE=AF；（2）若點E、F分別為AB、CA延長線上的點，且DE⊥DF，那么BE=AF嗎？請利用圖②說明理由．【分析】（1）連接AD，根據等腰三角形的性質可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根據同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可證出△BDE≌△ADF（ASA），再根據全等三角形的性質即可證出BE=AF；（2）連接AD，根據等腰三角形的性質及等角的補角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根據同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可證出△EDB≌△FDA（ASA），再根據全等三角形的性質即可得出BE=AF．（2）BE=AF，證明如下：連接AD，如圖②所示．∵∠ABD=∠BAD=45°，∴∠EBD=∠FAD=135°．∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，∴∠EDB=∠FDA．在△EDB和△FDA中，，∴△EDB≌△FDA（ASA），∴BE=AF．19.（2018?無錫）如圖，平面直角坐標系中，已知點B的坐標為（6，4）．（1）請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作一條直線AC，它與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和點C，且使∠ABC=90°，△ABC與△AOC的面積相等．（作圖不必寫作法，但要保留作圖痕跡．）（2）問：（1）中這樣的直線AC是否唯一？若唯一，請說明理由；若不唯一，請在圖中畫出所有這樣的直線AC，并寫出與之對應的函數表達式．【分析】（1）①作線段OB的垂直平分線AC，滿足條件，②作矩形OA′BC′，直線A′C′，滿足條件；（2）分兩種情形分別求解即可解決問題；【解答】（1）解：如圖△ABC即為所求；20.（2017齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標系中，把矩形OABC沿對角線AC所在直線折疊，點B落在點D處，DC與y軸相交于點E，矩形OABC的邊OC，OA的長是關于x的一元二次方程x2﹣12x+32=0的兩個根，且OA＞OC．（1）求線段OA，OC的長；（2）求證：△ADE≌△COE，并求出線段OE的長；（3）直接寫出點D的坐標；（4）若F是直線AC上一個動點，在坐標平面內是否存在點P，使以點E，C，P，F為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）解方程即可得到結論；（2）由四邊形ABCO是矩形，得到AB=OC，∠ABC=∠AOC=90°，根據折疊的性質得到AD=AB，∠ADE=∠ABC=90°，根據全等三角形的判定得到△ADE≌△COE；根據勾股定