河北省遷西縣2023年高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

2

1.設(shè)大，工分別是雙線［-y2=1（。＞0）的左、右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以耳心為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近

線分別交于A,8兩點(diǎn)（A,8位于》軸右側(cè)），且四邊形OA6B為菱形，則該雙曲線的漸近線方程為（）

A.x±y=0B.氐土y=（）C.x土島=（）D.3x±y=0

2+3z

2.已知i為虛數(shù)單位，則（［_2/）廣（）

74.74.47.47.

A.一+一，B.-----1C.—+—zD.----1

55555555

3.已知復(fù)數(shù)二滿足手下=2-，（其中三為z的共甄復(fù)數(shù)），貝ij|z|的值為（）

1—1

A.1B.2C.73D.75

22

4.若雙曲線;-與=13＞0力＞0）的一條漸近線與直線6x-3y+l=0垂直，則該雙曲線的離心率為（）

a~b~

A.2B.立C.—D.26

22

5.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時24海里的速度沿南偏東40。的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)8處，在C處有一座

燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70。，在3處觀察燈塔，其方向是北偏東65。，那么8,C兩點(diǎn)間的距離

C.80海里D.86海里

03

6.設(shè)a=log3（）.5,b=log020.3,c=2>則a,6,c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

7.(x—N)的展開式中，含/項(xiàng)的系數(shù)為()

A.-60B.-12C.12D.60

8.已知A={M|X|<1},B={X|2X<1},則AU3=()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(—l,+oo)D.(-00,1)

9.已知數(shù)列｛”“｝是公比為2的正項(xiàng)等比數(shù)列，若金、。“滿足2a“<%<1024a“，貝!|(加一1)?+〃的最小值為()

A.3B.5C.6D.1()

10.已知x=0是函數(shù)f(x)=x(ar—tanx)的極大值點(diǎn)，則a的取值范圍是

A.(-oo,-l)B.(-oo,l]

C.[0,+8)D.

11.已知機(jī)，”是兩條不同的直線，。，尸是兩個不同的平面，給出四個命題:

①若。0，=加，〃ua,nlm,則。_1_月；②若m_La,ml/3,則?！??；

③若加〃“，加ua,alip,則〃〃夕；④若〃z_La,nL/3,mLn,則。J-4

其中正確的是()

A.①②B.③④C.①④D.②④

.Ilog,x|,x>0??

12.已知函數(shù)/(x)=I2cC八，方程/(x)-a=()有四個不同的根，記最大的根的所有取值為集合。，貝心函

x2+2x+2,x<0

數(shù)F(x)=f(x)-kx(xGD)有兩個零點(diǎn)”是“A>；”的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在一次體育水平測試中，甲、乙兩校均有100名學(xué)生參加，其中:甲校男生成績的優(yōu)秀率為70%,女生成績的優(yōu)秀

率為50%;乙校男生成績的優(yōu)秀率為60%,女生成績的優(yōu)秀率為40%.對于此次測試，給出下列三個結(jié)論：

①甲校學(xué)生成績的優(yōu)秀率大于乙校學(xué)生成績的優(yōu)秀率；

②甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績的優(yōu)秀率；

③甲校學(xué)生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績的優(yōu)秀率的大小關(guān)系不確定.其中，所有正確結(jié)論的序號是

14.對任意正整數(shù)〃，函數(shù)/(")=2〃3-7〃2cos〃?-/l〃-l,若/(2)20,則X的取值范圍是；若不等式

/(〃)>。恒成立，則4的最大值為.

15.已知函數(shù)/(x)對于xeR都有“4-x)=/(x),且周期為函當(dāng)xe[—3,-2]時，/(x)=(x+2)2,則

嗚卜------------------------.

16.若非零向量B滿足(叫=2，同=6，忖+4=祈，則忖=____,

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)隨著現(xiàn)代社會的發(fā)展，我國對于環(huán)境保護(hù)越來越重視，企業(yè)的環(huán)保意識也越來越強(qiáng).現(xiàn)某大型企業(yè)為此建

立了5套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)，并制定如下方案：每年企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測費(fèi)用預(yù)算定為1200萬元，日常全天候開啟3套環(huán)境監(jiān)

測系統(tǒng)，若至少有2套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標(biāo)，則立即檢查污染源處理系統(tǒng)；若有4月有1套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標(biāo)，則

立即同時啟動另外2套系統(tǒng)進(jìn)行1小時的監(jiān)測，且后啟動的這2套監(jiān)測系統(tǒng)中只要有1套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標(biāo)，也立

即檢查污染源處理系統(tǒng).設(shè)每個時間段(以1小時為計(jì)量單位)被每套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標(biāo)的概率均為p(O<p<l),

且各個時間段每套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標(biāo)情況相互獨(dú)立.

(1)當(dāng)p=g時，求某個時間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率；

(2)若每套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)運(yùn)行成本為300元/小時(不啟動則不產(chǎn)生運(yùn)行費(fèi)用)，除運(yùn)行費(fèi)用外，所有的環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)

每年的維修和保養(yǎng)費(fèi)用需要100萬元.現(xiàn)以此方案實(shí)施，問該企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測費(fèi)用是否會超過預(yù)算(全年按9000小時計(jì)

算)？并說明理由.

x=3+2cos。

18.(12分)已知曲線C的參數(shù)方程為<,c.3為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸并

y=l+2sina

取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程，并說明其表示什么軌跡；

(2)若直線I的極坐標(biāo)方程為sin0-2cos。,求曲線C上的點(diǎn)到直線I的最大距離.

P

22

19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：二+斗=1(4>/,>0)的右焦點(diǎn)為口(4根,0)

a~b~

(加>0,，"為常數(shù))，離心率等于0.8,過焦點(diǎn)尸、傾斜角為。的直線/交橢圓C于M、N兩點(diǎn).

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若8=90°時，」_+」一=述，求實(shí)數(shù)加；

MFNF9

⑶試問「一+」一的值是否與。的大小無關(guān)，并證明你的結(jié)論.

MFNF

20.（12分）在平面四邊形AC8D（圖①）中，AABC與AABD均為直角三角形且有公共斜邊A3,設(shè)A3=2,

ZBAD=3O°,N84C=45°,將AABC沿45折起，構(gòu)成如圖②所示的三棱錐C'—ABO,且使C'O=JL

21.（12分）如圖，三棱錐P—ABC中，點(diǎn)O,E分別為AB,8C的中點(diǎn)，且平面長羽，平面ABC.

（1）求證：AC//平面PDE；

（2）若PZ）=AC=2,PE=6求證：平面PBC_L平面A8C.

22.（10分）已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，且滿足S,,=24-15wN*）.

（I）求數(shù)列伍"的通項(xiàng)公式;

（D）證明:

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

由于四邊形。AgB為菱形，且=所以A4。6為等邊三角形，從而可得漸近線的傾斜角，求出其斜率.

【詳解】

如圖，因?yàn)樗倪呅?486為菱形，|0閭=所以△"）行為等邊三角形，乙4。工=60°,兩漸近線的斜

率分別為百和-

【點(diǎn)睛】

此題考查的是求雙曲線的漸近線方程，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算法則，即可求解.

【詳解】

2+3i_2+3i_（2+3i）（2-i）_74.

（l-2z）z-2+i~（2+z）（2-z）-55;

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題題.

3.D

【解析】

按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則先求出三，再寫出z,進(jìn)而求出忖.

【詳解】

1+/(1+Z)22i.

?口一(1-zxi+o-T-Z,

??.-=2-z=>z-z=2-i=>z=^=-z(2-z)=-l-2z,

1-ii

z=T+2in|z1=7(-l)2+22=卮

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共扼復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模，考查基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

由題中垂直關(guān)系，可得漸近線的方程，結(jié)合°2=儲+〃，構(gòu)造齊次關(guān)系即得解

【詳解】

雙曲線二一E=13>。力>0)的一條漸近線與直線6x—3y+1=0垂直.

a~b~

...雙曲線的漸近線方程為y=±gx.

得4/=/,/一。？=_￡°2.

a24

則離心率6=2=好.

a2

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的漸近線和離心率，考查了學(xué)生綜合分析，概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

5.A

【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形A8C的三個內(nèi)角，再結(jié)合A3可求，應(yīng)用正弦定理即可求解.

【詳解】

由題意可知：ZBAC=70°-40°=30o.ZACD=110°,/.ZACB=110°-65°=45°,

AZABC=180°-30°-45°=105°.又48=24x0.5=12.

BC

s山30°'

12_BC

即也一]_，?,?BC=6萬

T2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是將給的角度、線段長度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，利用正余弦定理求解.屬于中

檔題.

6.A

【解析】

選取中間值。和1,利用對數(shù)函數(shù)y=log3X,y=log0,2光和指數(shù)函數(shù)y=2'的單調(diào)性即可求解.

【詳解】

因?yàn)閷?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,

y=log3x（0,+e）

log,0.5<log,1=0,

因?yàn)閷?shù)函數(shù),y=10go,2X在((),+8)上單調(diào)遞減,

所以

0=log021<log020.3<log020.2=1,

因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=2'在R上單調(diào)遞增,

所以2°3>2°=1,

綜上可知,a<b<c.

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識的綜合運(yùn)用能力;選取合適的中間值是

求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.

7.B

【解析】

在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的塞指數(shù)等于3,求出廠的值，即可求得含丁項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】

［x—之］的展開式通項(xiàng)為卻=C；?產(chǎn)'(一之］=仁，(一2)，?產(chǎn)3"

令6-3廠=3,得r=1,可得含d項(xiàng)的系數(shù)為C：x(—2)=-12.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

分別解出集合A、6,然后求并集.

【詳解】

解：A=|x||x|<={x|-l<x<11,8={巾*<1}={x|x<0}

AU§=C00』)

故選：D

【點(diǎn)睛】

考查集合的并集運(yùn)算，基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)幕的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得1<加-〃<1()再根據(jù)此范圍求("Li)?+〃的

最小值.

【詳解】

：數(shù)列{為}是公比為2的正項(xiàng)等比數(shù)列，%.、an滿足2a“<am<1024%,

m+9

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得2a,-2"-'<a,-2'"-'<l()24a/2"-',即2?<2-'<2"，

；2<2吁"<夕°，可得1〈加一〃<10,且〃八〃都是正整數(shù)，

求(機(jī)-1)2+〃的最小值即求在1<加—〃<10,且m、〃都是正整數(shù)范圍下求加一1最小值和"的最小值，討論〃?、n

取值.

,當(dāng)加=3且n=1時，(m―I)?+〃的最小值為(3—I)?+1=5.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)幕的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力和分類討論思

想，是中等題.

10.B

【解析】

方法一：令g(x)=or-tanx,則/(x)=x-g(x),g\x)=a——^―,

cosX

當(dāng)aWl,時，g'(x)40,g(x)單調(diào)遞減，

IT

xe(——,0)時，g(x)>g(0)=0,f(x)=x-g(x)<0,且/(x)=xg'(x)+g(x)>0,

2

7T

.?.1(x)>0,即/(x)在(一一,0)上單調(diào)遞增，

2

7T

xe(0,—)時，g(x)<g(0)=0,f(x)=x-g(x)<0,且/(x)=xg?)+g(x)<0,

2

7F

即/(X)在(0,耳)上單調(diào)遞減，.??xnO是函數(shù)/(X)的極大值點(diǎn)，.?.avi滿足題意；

JT1

當(dāng)a>l時，存在"(。3)使得cos/二耳，即g")=0,

1jr

又爐(幻二。一一七在(0,小上單調(diào)遞減，，X￡(O,/)時，g(x)>g(0)=(),所以/3=x?g(%)>0,

cos~x2

這與X=0是函數(shù)fM的極大值點(diǎn)矛盾.

綜上，a<l.故選B.

方法二：依據(jù)極值的定義，要使x=0是函數(shù)Ax)的極大值點(diǎn)，須在x=0的左側(cè)附近，f(x)<0,即or-tanx>0；

在x=0的右側(cè)附近，f(x)<0,即or-tanxvO.易知，。=1時，>=也與y=tanx相切于原點(diǎn)，所以根據(jù)丁=辦

與y=tanx的圖象關(guān)系，可得故選B.

11.D

【解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷①；根據(jù)空間面面平行的判定定理可判斷②；根據(jù)線面平行的判定定理可判斷③；根

據(jù)面面垂直的判定定理可判斷④.

【詳解】

對于①，若cn，=〃?，〃ua,機(jī)，a,夕兩平面相交，但不一定垂直，故①錯誤；

對于②，若〃z_La,mL/3,則?！ㄊ?，故②正確；

對于③，若根〃〃，mua,al1/3,當(dāng)〃u￡,則〃與夕不平行，故③錯誤；

對于④，若〃z_La,6，m_L〃，則故④正確；

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，屬于基礎(chǔ)題.

12.A

【解析】

作出函數(shù)f(x)的圖象，得到D=(2,4],把函數(shù)F(x)=f(x)-kx(xeD)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為y=kx與y=f(x)在(2,

4]上有交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，即可求得k的取值范圍，再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷.

【詳解】

作出函數(shù)f(x)=[llo§2xh->°的圖象如圖，

7X2+2X+2,X<0

由圖可知，D=(2,4],

函數(shù)F(x)=f(x)-kx(xeD)有2個零點(diǎn)，即f(x)=kx有兩個不同的根，

也就是丫=1?與丫=“乂)在(2,4]上有2個交點(diǎn)，則k的最小值為:；

設(shè)過原點(diǎn)的直線與y=log2X的切點(diǎn)為(Xo』Og2Xo),斜率為《百，

則切線方程為yTog2X=—：(X—X0),

x0ln2

把(0,0)代入，可得一k)g,Xo=-」，即x0=e,.,.切線斜率為工，

m2em2

.?.k的取值范圍是(工，匚1)，

\2eln2)

函數(shù)F(x)=f(x)-kx(xeD)有兩個零點(diǎn)，，是“k>的充分不必要條件,

本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上

某點(diǎn)處的切線方程，試題有一定的綜合性，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(2X3)

【解析】

根據(jù)局部頻率和整體頻率的關(guān)系，依次判斷每個選項(xiàng)得到答案.

【詳解】

不能確定甲乙兩校的男女比例，故①不正確；

因?yàn)榧滓覂尚５哪猩膬?yōu)秀率均大于女生成績的優(yōu)秀率，故甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女

生成績的優(yōu)秀率，故②正確；

因?yàn)椴荒艽_定甲乙兩校的男女比例，故不能確定甲校學(xué)生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績的優(yōu)秀率的大小關(guān)

系，故③正確.

故答案為：②③.

【點(diǎn)睛】

本題考查局部頻率和整體頻率的關(guān)系，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.

【解析】

將〃=2代入求解即可；當(dāng)〃為奇數(shù)時,cos〃萬=-1,則轉(zhuǎn)化/(〃)=2/+7"—加_12o為幾W2〃2+7〃-L設(shè)

n

g(〃)=2/+7〃-士由單調(diào)性求得g(〃)的最小值；同理，當(dāng)〃為偶數(shù)時,cosn兀=1,則轉(zhuǎn)化

n

/(〃)=2〃3_7〃2一而_120為4W2*-7〃—L,設(shè)。(幻=2%2—7X—工(X22)，利用導(dǎo)函數(shù)求得h(x)的最小值,

nx

進(jìn)而比較得到兄的最大值.

【詳解】

13

由題J(2)=16—28—22—120,解得/IW—5.

當(dāng)〃為奇數(shù)時,cos〃乃=一1,由f(n)=2/+7/-4〃一1，0,得2W2n2+7n--,

n

°1

而函數(shù)g(n)=2n2+7〃一一為單調(diào)遞增函數(shù)，所以=g⑴=8,所以兄48；

n

當(dāng)〃為偶數(shù)時,coswr=l,由/5)=2/-7〃2一九〃一120,得4遼2〃2一7〃一,，

n

設(shè)/z(x)=2x2-lx--(x22),

x

???X22,h'(x)=4x—7+-V>0,〃(x)單調(diào)遞增，

x

1313

〃⑴mm=hQ)=—；■，所以4W—j

13

綜上可知，若不等式/(?)>0恒成立，則2的最大值為-

生依m(xù)且(13*]13

故答案為：(1)|一°°,一77：⑵一'—?

I2」2

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值，考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想.

1

5.41

利用"4一x)=/(x),且周期為2,可得/(—x)=/(x),得/

【詳解】

V/(4-x)=/(%),且周期為2,

二/(—x)=/(x),又當(dāng)xe[—3,—2]時，/(x)=(x+2)2,

故答案為：g

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的周期性與對稱性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.1

【解析】

根據(jù)向量的模長公式以及數(shù)量積公式，得出|方『+3出1-4=0,解方程即可得出答案.

【詳解】

根+可=J(G+5)2=J同2+2萬石+忖=幣

W+2x-s/3xcos-^x|^|+3=7,即+3|S|-4=0

解得|B|=1或|B|=-4(舍)

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量的數(shù)量積公式以及模長公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

25

17.(1)—；(2)不會超過預(yù)算，理由見解析

32

【解析】

(1)求出某個時間段在開啟3套系統(tǒng)就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為

=C；(g)3+C；(g)3=1，某個時間段在需要開啟另外2套系統(tǒng)才能確定需要檢查污染源處理系

統(tǒng)的概率為C](1)3[l-(1)2]=卷，可得某個時間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率;

(2)設(shè)某個時間段環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)的運(yùn)行費(fèi)用為X元，則X的可能取值為900,1500.求得P(X=1500)=C\p(\-p)2,

p(X=9()0)=l-C；，(l-〃)2,求得其分布列和期望E(X)=900+1800p(l-p)2,對其求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性,

可得期望的最大值，從而得出結(jié)論.

【詳解】

(1)???某個時間段在開啟3套系統(tǒng)就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為

%)24+C"(1)3=*)3+線)3=1,

某個時間段在需要開啟另外2套系統(tǒng)才能確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為

11Q1025

G()3口-(力=5，某個時間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為一+—=—?

223223232

(2)設(shè)某個時間段環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)的運(yùn)行費(fèi)用為X元，則X的可能取值為900,1500.

?.?尸(X=15()())=C；P(1-〃)2,P(X=9()())=l—C；p(l-p)2

E(X)=900x[l-C]p(l-p)2]+15()()xC>(l-p)2=900+1800p(l-p)2

令g(p)=pQ-P)2，P0(。，1)，則g'(p)=(l-pY-2p(l-p)=(3。-l)(p-1)

當(dāng)pe(0,g)時，g'(p)>0,g(p)在(0,；)上單調(diào)遞增；

當(dāng)peg,1)時，g'(p)<0,g(p)在上(；,1)單調(diào)遞減，

14

??.g(p)的最大值為g(?=行，

4

，實(shí)施此方案，ft^100+9000x(900+1800x—)x10-4-1150(萬元)，

27

?"150<1200,故不會超過預(yù)算.

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立重復(fù)事件發(fā)生的概率、期望，及運(yùn)用求導(dǎo)函數(shù)研究期望的最值，由根據(jù)期望值確定方案，此類題目解決

的關(guān)鍵在于將生活中的量轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中和量，屬于中檔題.

18.(1)22_6pcos6—20sine+4=O,表示圓心為(3,1),半徑為2的圓；(2)竿+2

【解析】

(1)根據(jù)參數(shù)得到直角坐標(biāo)系方程(x-3)2+(y-1)2=4,再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程得到答案.

(2)直線方程為〉-2x=l,計(jì)算圓心到直線的距離加上半徑得到答案.

【詳解】

x=3+2cosa,、2,、2,

(1)],即(x—3)一+(丁—1)-=4,化簡得到：x2+/-6x-2y+4=0.

y=l+2sina、‘、’

即22_60cose-2psine+4=0,表示圓心為(3,1),半徑為2的圓.

(2)sin^-2cos^=—,即y-2x=l,圓心到直線的距離為d=-馥=施.

P65

故曲線C上的點(diǎn)到直線I的最大距離為"+廠=述+2.

5

【點(diǎn)睛】

本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，直線和圓的距離的最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

19.(1)+-^—v=1(2)m=6(3)+為定值

25"09m~NFMF9m

【解析】

22

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法可得，橢圓方程為一，+」==1;

25m29m2

（2）我們要知道8=90的條件應(yīng)用，在于直線/交橢圓兩交點(diǎn)M,N的橫坐標(biāo)為x=4〃?，這樣代入橢圓方程，容易

得到NF=Mf=|y|=?，從而解得m=血；

（3）需討論斜率是否存在.一方面斜率不存在即。=90時，由（2）得」一+」一=3；另一方面，當(dāng)斜率存在即

NFMF9m

6/90時，可設(shè)直線的斜率為％,得直線MN：y=k（x-4m）,聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理和焦半徑公式,

就能得到工二+」=「，所以工二+工=「為定值，與直線/的傾斜角。的大小無關(guān)

NFMF9mNFMF9m

4r22

試題解析：（1）c=4m,e=一得：a=5m,橢圓方程為丁方+j=l

525m29m2

22I|

81w4H9/72

(2)當(dāng)x=4，〃時,y得：

于是當(dāng)…°時’…嗎,于是++—啜=亭

得到機(jī)=V2

（3）①當(dāng)。=90時，由（2）知「一+」-=10

NFMF9m

②當(dāng)。士90時，設(shè)直線的斜率為A,M（x，y）,%（%,%）則直線MN：y=k（x-4m）

聯(lián)立橢圓方程有(9+25k2)x2-200/，m+25m2(16/-9)=0,

200%2M25加（16公_9）

,-（9+25公）1-（9+25公）

4

11——]-————10m一二（石+“2）90加（1+%2）

____?___=4+4=----------------------------------------=------------------

MFNF5〃廣5%5〃?-產(chǎn)25加-4小+屯+1|中2?81/（1+^）?

但1110

得----?-----=---

NFMF9m

綜上，工三+」=二為定值，與直線/的傾斜角6的大小無關(guān)

NFMF9m

考點(diǎn)：（1）待定系數(shù)求橢圓方程；（2）橢圓簡單的幾何性質(zhì)；（3）直線與圓錐曲線

20.（1）證明見解析；（2）-由叵

35

【解析】

(1)取A5的中點(diǎn)。，連接C'。,。。，證得從而證得。0_L平面A3。，再結(jié)合面面垂直的判定定理，

即可證得平面CAB，平面DAB;

(2)以。為原點(diǎn)，AB,OC所在的直線為y軸，z軸，建立的空間直角坐標(biāo)系，求得平面AC'。和平面8C'。的法向

量，利用向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】

(1)取AB的中點(diǎn)。，連接C'O,DO,

在.RtbAC'S和KfAADB中，AB=2,則。9=0。=1,

又CD=V2，所以CO2+DO2=CD2，即C'O±OD,

又C'0_L4B,S.ABHOD=O,AB,O￡>u平面A8D,所以CO_L平面ABD,

又COu平面C'AB,所以平面C'AB_L平面DAB

(2)以。為原點(diǎn)，AB,OC所在的直線為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

)

則A(0,-1,0),3(0,1,0),0(0,0,1),D—^,-,0,

[22,

____.(731、

所以AC'=(0,1,1)，BC'=(O,—1,1)，CD=—,-,-1,

\7

設(shè)平面ACO的法向量為々=（x,,K，zj

y+Zi=o

n.1AC[nt-AC'=Q

則4，即4,八,代入坐標(biāo)得G1,

勺±CD[4?C。=0

~YX\+/弘一4=0

令Z]=1,得y=T,X[=B所以“=（G,T,I）,

設(shè)平面8c'。的法向量為〃2=,y2,z2）,