河南省許昌市示范中學(xué)2022年高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3,請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

22

1.設(shè)耳，工是雙曲線(xiàn)。：之一方=1（4>0/>0）的左，右焦點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸2作C的一條漸近線(xiàn)的垂

線(xiàn)，垂足為P.若歸耳|=#］。尸|,則C的離心率為（）

A.V2B.V3C.2D.3

2020

2.著名的斐波那契數(shù)列{。“}：1,1>2,3,5,8,…，滿(mǎn)足%=%=1，。"+2=〃eN>若。2”-1>

n=l

貝II左=（）

A.2020B.4038C.4039D.4040

3.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”,

亦稱(chēng)“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的）.類(lèi)比“趙

爽弦圖”.可類(lèi)似地構(gòu)造如下圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成一個(gè)大等邊三角

形.設(shè)。尸=2Ab=2,若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小等邊三角形（陰影部分）的概率是（）

4.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)利用暑假游玩某風(fēng)景名勝大峽谷，四人各自去景區(qū)的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠(yuǎn)

古村寨四大景點(diǎn)中的一個(gè)，每個(gè)景點(diǎn)去一人.已知：①甲不在遠(yuǎn)古村寨，也不在百里絕壁；②乙不在原始森林，也不

在遠(yuǎn)古村寨；③“丙在遠(yuǎn)古村寨''是"甲在原始森林”的充分條件；④丁不在百里絕壁，也不在遠(yuǎn)古村寨.若以上語(yǔ)句都

正確，則游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

5.已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓q：（X—mm—6『=2與圓。2：（x+l『+（y—2）2=1交于A，B兩

點(diǎn)，若|Q4|=\OB\,則實(shí)數(shù)〃1的值為（）

A.1B.2C.-1D.-2

6.若點(diǎn)（2,k）到直線(xiàn)5x-12y+6=0的距離是4,則k的值是（）

-5-17

A.1B.-3C.1或一D.-3或一

33

7.已知條件條件4：直線(xiàn)x-a>+l=O與直線(xiàn)x+/y-l=O平行，則P是4的（）

A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知定義在R上的函數(shù)/（x）在區(qū)間［0,+8）上單調(diào)遞增,且y=/（》一1）的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱(chēng)，若實(shí)數(shù)“滿(mǎn)足

flog,a</（-2）,則a的取值范圍是（）

、2>

A—,+ooC.D.（4,-K?）

4）

,a

1-tan

37r2

9.已知sina-2cosa=1,ae（^,一），則（）

,a

21+tan—

2

1

A.C.一D.2

~22

10.已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等,E是SB的中點(diǎn)，則AE,所成的角的余弦值為（）

1B及「732

L?-----D.-

33

11.要得到函數(shù)/（x）=sin（3x+（）的導(dǎo)函數(shù)/'（X）的圖像，只需將/（x）的圖像（）

A.向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍

B.向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的§倍

C.向左平移W個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的1倍

JJ

TT

D.向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍

6

x-y<0,

12.若x,丁滿(mǎn)足約束條件，x+y42,,則z=4x+y的取值范圍為（）

x+l>0,

A.[-5,-1]B.[-5,5]C.[-1,5]D.[-7,3]

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在一次醫(yī)療救助活動(dòng)中，需要從A醫(yī)院某科室的6名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別抽調(diào)3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，

且男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師必須參加，則不同的選派案共有_______種.（用數(shù)字作答）

17

14.已知點(diǎn)尸是拋物線(xiàn)y=2/的焦點(diǎn)，M,N是該拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，若|MF|+|N/q=一,則線(xiàn)段MN中點(diǎn)的縱

4

坐標(biāo)為.

15.已知集合A=｛x|x<1,XGZ｝,8=｛x|04x<2｝，則=.

16.在數(shù)列｛q｝中，已知4=1,凡?a“M=2"（〃€N*）,則數(shù)列｛4｝的的前2〃+1項(xiàng)和為52,用=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，

直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.

（1）求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；

（2）已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用（單

位：元），求X的分布列.

X=1COS69,

18.（12分）在直角坐標(biāo)系宜萬(wàn)中，直線(xiàn)4的參數(shù)方程為."a為參數(shù)），直線(xiàn)/,的參數(shù)方程為

y=Zsin（p.

x-Zcos

,（/為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，％軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)。的極坐標(biāo)方程為

y-rsinl--^7

psin2^=cos^.

（i）求小4的極坐標(biāo)方程和。的直角坐標(biāo)方程;

（II）設(shè)4，4分別交。于A,B兩點(diǎn)（與原點(diǎn)。不重合），求|。4卜|。目的最小值.

19.（12分）如圖1,四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為2的菱形，44Q=60。，E為CZ）的中點(diǎn)，以8E為折痕將ABCE折起

到APBE的位置，使得平面平面ABCO,如圖2.

ECP

(i)證明：平面RLBJ_平面PBK；

(2)求點(diǎn)。到平面Q46的距離.

20.(12分)已知在二二二二中，角二二二的對(duì)邊分別為二二二且學(xué)+學(xué)=言.

(1)求二的值；

(2)若cos二+y'JsinZ=二,求二+二的取值范圍.

兀

21.(12分)已知函數(shù)了(工)=sin?x+sinxcos(x——).

6

(1)求函數(shù)/")的最小正周期；

71

(2)求f(X)在0,y上的最大值和最小值.

22.(10分)max{〃?,〃}表示機(jī)，〃中的最大值，如max，,JT5}=,己知函數(shù)f(x)=max{x2-i,21nx},

g(x)=max<x+lnx,-^2+卜一；卜+2"+4。}.

(1)設(shè)/心)=/5)一3口一；卜萬(wàn)-1)2,求函數(shù)/z(x)在(0,1]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

3

(2)試探討是否存在實(shí)數(shù)。4-2,+8),使得g(x)<]x+4。對(duì)xe(a+2,w)恒成立？若存在，求。的取值范圍;

若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

設(shè)過(guò)點(diǎn)月(。,0)作)，=—工的垂線(xiàn)，其方程為y=——C),聯(lián)立方程，求得x=￡,丫=竺，即2—,由

abccycc)

戶(hù)用=指|OP|,列出相應(yīng)方程，求出離心率.

【詳解】

解：不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)E(GO)作y=^x的垂線(xiàn)，其方程為y=-f(x—c),

ab

b

>=-X2,/2i\

+Ja初殂aabanDab

由j解得尤=-9y=一，即尸——,—，

Cl(\cc{CC)

y=_/(x-c)、7

,?I_亦、(6,2YA?4a2b2、

由I尸DI用?=J6|OP],所I以I*有2F-------1-C-6—Z-d------2一，

c-(c)\cc)

化簡(jiǎn)得3/=。2,所以離心率e=￡=6.

a

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線(xiàn)的概念、直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解、推理論證能力，屬于中檔題.

2.D

【解析】

計(jì)算?,+%=%，代入等式，根據(jù)4+2=%+1+4化簡(jiǎn)得到答案.

【詳解】

4=1,4=2,%=3,故4+%=4，

2020

Z〃2〃-1=+%+…+“4039=。4+〃5+%+…+%039=%+%+…+“4039=…=。404()，

n=}

故％=4040.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了斐波那契數(shù)列，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

3.A

【解析】

根據(jù)幾何概率計(jì)算公式，求出中間小三角形區(qū)域的面積與大三角形面積的比值即可.

【詳解】

在AABD中，A￡>=3，BD=1,ZADB=120°,由余弦定理，得AB='AD?+BD?_2AZ>BQcos120°=岳，

DF2

所以布=而.

所以所求概率為濁空4

SMBC13

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何概型的概率計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

4.D

【解析】

根據(jù)演繹推理進(jìn)行判斷.

【詳解】

由①②④可知甲乙丁都不在遠(yuǎn)古村寨，必有丙同學(xué)去了遠(yuǎn)古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千

丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是丁.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查演繹推理，掌握演繹推理的定義是解題基礎(chǔ).

5.D

【解析】

由|。4|=|0卻可得，O在AB的中垂線(xiàn)上，結(jié)合圓的性質(zhì)可知O在兩個(gè)圓心的連線(xiàn)上，從而可求.

【詳解】

因?yàn)?所以O(shè)在AB的中垂線(xiàn)上，即O在兩個(gè)圓心的連線(xiàn)上，0（0,0）,G（私〃計(jì)6）,。2（-1,2）三點(diǎn)

"2+6

共線(xiàn)，所以"二=-2,得加=-2,故選D.

m

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓的性質(zhì)應(yīng)用，幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化是求解的捷徑.

6.D

【解析】

|2x5-⑵+6|

由題得=4,解方程即得k的值.

游+(-12)2

【詳解】

|2x5-⑵+6|

由題得4,解方程即得1<=-3或§.

荷+（72）2

故答案為：D

【點(diǎn)睛】

(1)本題主要考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.(2)點(diǎn)P(%,%)到直線(xiàn)

/:Ax+By+C=0的距離d=邑號(hào)士生

VA2+B2

7.C

【解析】

先根據(jù)直線(xiàn)X-ay+1=0與直線(xiàn)x+/y-1=o平行確定a的值，進(jìn)而即可確定結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)橹本€(xiàn)x-ay+l=0與直線(xiàn)x+a2y-1=0平行，

所以片+4=0,解得a=0或。=一1；即4：。=0或。=一1；

所以由夕能推出q；q不能推出P；

即。是q的充分不必要條件.

故選c

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判定，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.

8.C

【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的圖象變換分析可得函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)，又由函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，分

/\

析可得了log/</(-2)=>/(|log2?|)<,/-(2)=>|log2?|<2,解可得4的取值范圍，即可得答案.

I2)

【詳解】

將函數(shù)y=的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)y=f(x)的圖象，

由于函數(shù)y=/(x-l)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，則函數(shù))，=/(%)的圖象關(guān)于)'軸對(duì)稱(chēng)，

即函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)，由/log1，</(一2),得川log2a|)</(2),

???函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，則|log24＜2,得-2＜嘎2。＜2,解得;＜。＜4.

因此，實(shí)數(shù)”的取值范圍是4).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式，注意分析函數(shù)y=/(x)的奇偶性，屬于中等題.

9.B

【解析】

結(jié)合siYa+cos2a=1求得sina,cosa的值，由此化簡(jiǎn)所求表達(dá)式，求得表達(dá)式的值.

【詳解】

|sincr-2cosctr=13乃.34

由《.2219以及aw（4，-^-），解得sina=■-二,cosa二一=.

sincr+cosa=1255

.a

sin—

1---------2

1aaa.aaaa.a

I-tan—cos——cos-----sincos-----sinl-2cos-sin

22-222222

1a.aaaaaa.aa.2a

1+tan—sm—cos—+sincos-----sin—cos--Hsinco2s-----snr一

21+—22222222

a

cos—

2

1+

1-sincr1_

COS24

5

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求值，考查二倍角公式，屬于中檔題.

10.C

【解析】

試題分析：設(shè)AC、的交點(diǎn)為。，連接￡0,則NAE。為所成的角或其補(bǔ)角；設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為",

^AE^a,EO^a,OA^a,所以?物年慧需。

11.D

【解析】

先求得/'（X）,再根據(jù)三角函數(shù)圖像變換的知識(shí)，選出正確選項(xiàng).

【詳解】

<乃、

3x+1713sin|3x+—3sin3(j+y71,所以由

依題意/（x）=3cos3x4■—=3cos~2

、3）I63

y（x）=sin（3x+?）向左平移弓個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍得到/'（X）的圖像.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查誘導(dǎo)公式，考查三角函數(shù)圖像變換，屬于基礎(chǔ)題.

12.B

【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域，找到使直線(xiàn)y=-4x+z的截距取最值得點(diǎn)，相應(yīng)坐標(biāo)代入z=4x+y即可求得取值范圍.

【詳解】

畫(huà)出可行域，如圖所示：

由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)z=4x+y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（—1,-1）時(shí)，工取得最小值一5；經(jīng)過(guò)點(diǎn)8（1,1）時(shí)，二取得最大值5,故-5領(lǐng)￡5.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)線(xiàn)性規(guī)劃求范圍，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.60

【解析】

首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師，由題意利用排列組合公式即可確定不同的選派案方法種數(shù).

【詳解】

首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師，

然后從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別抽調(diào)2名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，

故選派的方法為：=10x6=60.

故答案為60.

【點(diǎn)睛】

解排列組合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素（或位置）的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)；二是按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步.具體地說(shuō),

解排列組合問(wèn)題常以元素（或位置）為主體，即先滿(mǎn)足特殊元素（或位置），再考慮其他元素（或位置）.

14.2

【解析】

運(yùn)用拋物線(xiàn)的定義將拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)距離，然后求解結(jié)果.

【詳解】

拋物線(xiàn)y=2/的標(biāo)準(zhǔn)方程為：則拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-設(shè)N（X2N），則

IMF|+|NF1=所以y“+yv=4,則線(xiàn)段MN中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為沖迎=2.

8842

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線(xiàn)的定義，由拋物線(xiàn)定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離，需要熟練掌握定義，并能靈活運(yùn)用，

本題較為基礎(chǔ).

15.{0,1}

【解析】

直接根據(jù)集合A和集合B求交集即可.

【詳解】

解：A={x|x〈l,xeZ},

B-{x[0<2},

所以AnB=｛0』｝.

故答案為：｛0,1｝

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交集運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

16.2"*2-3

【解析】

由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列｛4｝的所有奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，得到S?,,,

再由與“M=S2“+%,+I求解.

【詳解】

解：由q=1,4皿,,+1=2"(”eN*),

得%M,=2"T(〃.⑵,

也=2(〃..2),

%

則數(shù)列｛?！埃乃衅鏀?shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.

/?-1

2斤，〃為奇數(shù)

二/=?，

22,〃為偶數(shù)

S2n=(4+a3+...+/"_|)+(4+卬+?.?+4”)

=(l+2+22+...+2"-')+(2+22+...+2n)

]_2n

=3(1+2+22+...+2吟=3.丁?=3.2"-3.

???S…S2?+*=3?2"-3+2"=2*2-3.

故答案為：2-2-3.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

3

17.(1)—；(2)見(jiàn)解析.

【解析】

(1)利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可計(jì)算出所求事件的概率；

(2)由題意可知隨機(jī)變量X的可能取值有200、300、400,計(jì)算出隨機(jī)變量X在不同取值下的概率，由此可得出

隨機(jī)變量X的分布列.

【詳解】

233

(1)記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A,則P(A)=-x==二；

5410

(2)由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值為200、300、400.

421&+GGA；_3

貝!|P（X=200）=,=MP（X=300）

6一I。'

133

P（X=400）=1-P（X=200）-P（X=300）=1-歷

故X的分布列為

X200300400

133

p

10To5

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的計(jì)算，同時(shí)也考查了隨機(jī)變量分布列，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.(I)直線(xiàn)4的極坐標(biāo)方程為e=9(夕eR),直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為6='-雙夕eR),C的直角坐標(biāo)方程為尸=x;

（II）2.

【解析】

(I)由定義可直接寫(xiě)出直線(xiàn)。〃的極坐標(biāo)方程，對(duì)曲線(xiàn)C同乘夕可得：爐sin?8=「cos。，轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)為

X

e=①,cos(P6=/一%一sin69

(D)分別聯(lián)立兩直線(xiàn)和曲線(xiàn)。的方程，由.2〃八得〃=「竺，由得/二行，

/?sm26^=cos^,sincp

夕sin2夕=cosa

......Icos69|Isin(p\1?

則\OA\-\OB\=\pAp,\==r-------r=「77，結(jié)合三角函數(shù)即可求解;

'11sin-(pcos(psincos(p\sin2(p\

【詳解】

(I)直線(xiàn)4的極坐標(biāo)方程為。=8(peR),

直線(xiàn)4的極坐標(biāo)方程為。-cSeR)

由曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程得p2sin2^=pcos0,

所以C的直角坐標(biāo)方程為丁=X.

(0

(H)4,與。的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得1—八所以0==co要s?

夕sure=cosasin(P

/,與c的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得《一5一°’所以必=金華.

,COS(P

psin"^=cos

所以?xún)z.如以小剪?吧

11sin(pcos(psin97cossin2型

所以當(dāng)9=?+4(AwZ)時(shí)，|Q4H。同取最小值2.

【點(diǎn)睛】

本題考查參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，極坐標(biāo)中「的幾何意義，屬于中檔題

19.(1)證明見(jiàn)解析(2)B

2

【解析】

(1)由題意可證得PELAB,ABLBE,所以ABL平面罰組，則平面Q4B_L平面P3E可證；

(2)解法一：利用等體積法由VP_ADK=VD_APII可求出點(diǎn)。到平面PA6的距離；解法二：由條件知點(diǎn)。到平面上鉆的

距離等于點(diǎn)E到平面Q46的距離，過(guò)點(diǎn)E作依的垂線(xiàn)，垂足尸，證明砂，平面PS,計(jì)算出爐即可.

【詳解】

解法一：(1)依題意知，因?yàn)镃E_L3E,所以PELBE.

又平面~BE_L平面ABCD,平面PBEc平面ABC￡>=3E,PEu平面PBE,

所以PE_L平面488.

又Afi］平面ABCO,

所以PE_LA3.

由已知，ABCZ)是等邊三角形，且E為CD的中點(diǎn)，所以BE工CD.

因?yàn)锳B〃C￡>,所以AB，BE.

又PEcBE=E,所以4?_L平面尸BE.

又平面Q4B,所以平面QA3_L平面P5E.

p

（2）在ABD中，AB=AD=2,N54￡>=60。，所以心如=8.

由（1）知，PEJ_平面他￡）,且PE=1，

所以三棱錐P—ABO的體積V=1xgxl=3.

33

在Rf"BE中,PE=1，BE=6,得PB=2,

由（1）知，ABL平面P3E,所以ABLPB,

所以Si=2，

設(shè)點(diǎn)。到平面％6的距離d,

則三棱錐E—P43的體積V'=,x2xd=也，得d=@.

332

解法二：（1）同解法一；

（2）因?yàn)镈EHAB,AB\平面Q46,平面。46,

所以DE〃平面P4B.

所以點(diǎn)E到平面PAB的距離等于點(diǎn)D到平面PAB的距離.

過(guò)點(diǎn)E作PB的垂線(xiàn)，垂足尸，即所，尸B.

由（1）知，平面平面尸8E,平面ELBc平面EFu平面PBE,

所以所，平面Q43,即石戶(hù)為點(diǎn)。到平面RLB的距離.

由（1）知，PE上BE,

在RfAPBE中,PE=T，BE=拒,得PB=2.

又PExBE=PBxEF,所以EF=也.

所以點(diǎn)。到平面e鉆的距離為且.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間面面垂直的的判定及點(diǎn)到面的距離，考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力.求點(diǎn)

到平面的距離一般可采用兩種方法求解：①等體積法；②作（找）出點(diǎn)到平面的垂線(xiàn)段，進(jìn)行計(jì)算即可.

20.（1）二=?（2）二+二6（二,\司

【解析】試題分析：（1）本問(wèn)考查解三角形中的的“邊角互化”.由于求二的值，所以可以考慮到根據(jù)余弦定理將cos二,cos二

分別用邊表示，再根據(jù)正弦定理可以將三轉(zhuǎn)化為二于是可以求出二的值；（2）首先根據(jù)sm二+、3cos二=2求出角二的

值，根據(jù)第（1）問(wèn)得到的二值，可以運(yùn)用正弦定理求出二二二二外接圓半徑二，于是可以將二+二轉(zhuǎn)化為二sm二+2二沏二

又因?yàn)榻嵌闹狄呀?jīng)得到，所以將二二sin二+2二sm二轉(zhuǎn)化為關(guān)于二的正弦型函數(shù)表達(dá)式，這樣就可求出取值范圍；另外

本問(wèn)也可以在求出角二的值后，應(yīng)用余弦定理及重要不等式二：+二：22二二，求出二+二的最大值，當(dāng)然，此時(shí)還要注

意到三角形兩邊之和大于第三邊這一條件.

試題解析：（1）由李+苧竽，

應(yīng)用余弦定理，可得

二，三二二-+二,三二二.=咨

化簡(jiǎn)得二=6則二=4

（2）vcosZ+yJsinZ=2

???"os二+-?sinZ=/即sin（1+Z）=J

???二e（。,二）.%=|所以二=|

法一::2匚===i,

則二十二=sinZ+sinZ

=sinZ+sin（1r一二）

=-：sin_+-T-COS-

=vJsin(Z+0

又...。＜二〈三，二+二=白

法二

因?yàn)槎?E由余弦定理二：=二：+二：一2二二cos：：

得：=（匚+二）；一3二二

又因?yàn)槎迹ㄍぃ?，當(dāng)且僅當(dāng)二=二時(shí)“=”成立.

所以：=（二+二）;一3二二2（二+二）;一3（言/=與

z+z＜、3又由三邊關(guān)系定理可知二+二〉二=4

綜上二+二e（~r，V?]

考點(diǎn)：1.正、余弦定理；2.正弦型函數(shù)求值域；3.重要不等式的應(yīng)用.

21.（1）兀；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)即可求出函數(shù)的最小正周期

（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出函數(shù)在定義域上的最大值和最小值

【詳解】

（I）由題意得、

1.

原式=sinx+sirtxcosx+—Sim:

27

%代+與加的

22

=—(1-cos2x)+^-sin2x

4V14

_V3f1._百o\3

=——sin2x----cos2x+一

2(22)4

x/3/4>3

2I3j4

.-./(x)的最小正周期為萬(wàn).

「八兀

(II)vxe0,—,

_2_

71一、乃一2萬(wàn)

---42x---4—.

333

:.當(dāng)2X即X=()時(shí)，/(Am=°；

山C7171m5乃,2G+3

當(dāng)21-二=77，即x時(shí)，f(x)=-......

3212V/max4

綜上，得x=0時(shí)，/(X)取得最小值為0；

當(dāng)尤=稱(chēng)時(shí)，/(X)取得最大值為邁口?

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了兩角和與差的余弦公式展開(kāi)，輔助角公式，三角函數(shù)的性質(zhì)等，較為綜