期末復(fù)習(xí)：勾股定理及其逆定理-2020-2021學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期高頻考點(diǎn)突破(解析版)

考點(diǎn)1.探索勾股定理

知識框架

'認(rèn)識勾股定理

勾股定理的驗(yàn)證

基礎(chǔ)知識點(diǎn)4

勾股定理的逆定理

.勾股數(shù)

‘勾股定理中的面積再探究

"趙爽弦圖''求值

勾股定理中的最短路線問題

勾股定理中線段平方關(guān)系的證明

勾股定理的應(yīng)用（方程思想）

重難點(diǎn)題型三角形和矩形中的翻折問題

勾股數(shù)有關(guān)問題

利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀

利用勾股定理逆定理構(gòu)造或證明直角

網(wǎng)格作圖

勾股定理綜合

基礎(chǔ)知識點(diǎn):

i.i認(rèn)識勾股定理

1）為什么叫勾股定理？

勾股定理是“人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一。是初等幾何中的一個(gè)基本定理。那么大家知道多少勾股定

理的別稱呢?我可以告訴大家，有.畢達(dá)哥拉斯定理、商高定理、百牛定理、驢橋定理和埃及三角形等。

這個(gè)定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究。

①勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。

但畢達(dá)哥拉斯對勾股定理的證明方法已經(jīng)失傳。

②中國古代對這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多。中國最早的一部數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》

（公元前1000年左右的西周時(shí)期）就有關(guān)于勾股定理的記載，比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年。其中所說的

勾3股4弦5,正是勾股定理的一一個(gè)應(yīng)用特例。所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為“勾股定理”是非常恰當(dāng)?shù)摹?/p>

2）勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么/+〃=/

注：a僅在直角三角形中存在勾股定理；6.由于直角三角形的斜邊最長，故運(yùn)用勾股定理時(shí)，一定要抓住直

角三角形最長邊（斜邊）的平方等于兩短邊（兩直角邊）的平方和，避免出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤

1.（2020?江蘇省南京市初二期中）下列說法中正確的是（）

A.已知。，b,。是三角形的三邊長，^\a2+b2=c2

B.在直角三角形中，兩邊的平方和等于第三邊的平方

C.在RrA/lBC中，若NC=90°，則BC?+402=43?

D.在放AABC中，若4=90°,則BC2+AC2=AB2

【答案】C

【分析】如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么a2+b?=c2.依此即可作出選擇.

【解析】A、己知a、b、c是三角形的三邊，無法確定a2+b2=c2,故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、在直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、在RtZiABC中，ZC=90°,所以AC2+BC2=AB2,故選項(xiàng)正確；

D、在RSABC中，/B=90。，所以AB2+BC2=AC2,故選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選C.

【點(diǎn)睛】考查了勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.

2.（2020?河南省初二期末）如圖中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大

的正方形的邊長為10cm,正方形A的邊長為6cm、B的邊長為5cm、C的邊長為5cm,則正方形D的邊長

為（）

A.3cmB.^4cmC.逐cmD.4cm

【答案】B

【分析】先求出SA、SB、Sc的值，再根據(jù)勾股定理的幾何意義求出D的面積，從而求出正方形D的邊長.

【解析】ft?VSA=6X6=36cm2,SB=5X5=25cm2,Sc=5X5=25cm2,

乂：SA+SH+SC+SD=10x10.,.36+25+25+SD=100.\SD=14,正方形D的邊長為歷cm.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，熟悉勾股定理的幾何意義是解題的關(guān)鍵.

3.（2020?吉林磐石初二期中）已知：在△ACB中，NAC3=90°,BC=3,AC=4,于。.

（1）求AB的長；（2）求C￡＞的長；（3）求3。的長.

c

129

【答案】（1）AB=5;（2）CD=—；（3）BD=《

【分析】（1）在RtAABC中，直接利用勾股定理即可求得AB的長度；（2）利用等面積法可求得CD的長度；

（3）在RSBCD中，利用勾股定理即可求得BD的長度.

【解析】解：（1）???△AC5中，ZACB=90°,BC=3,AC=4

...根據(jù)勾股定理，+即42+32=AB?,解得AB=5；

（2）'：CDLAB,：.SRlDABC=-AC1BC-AB?CD,即！倉科3=-CD,解得C￡>=?；

RlDABC22225

（3）在Rt^BCD中，根據(jù)勾股定理C￡>2+B￡）2=BC2,即（空尸+8。2=32,解得BO=*.

55

【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用勾股定理解直角三角形.掌握在直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊平方和等

面積法的運(yùn)用是解題關(guān)鍵.

4.（2020?遼寧昌圖初二期中）有一塊邊長為24米的正方形綠地，如上右圖所示，在綠地旁邊C處有健身器

材，由于居住在A處的居民踐踏了綠地，小明想在A處樹立一個(gè)標(biāo)牌“少走?米，踏之何忍？”請你計(jì)算后

幫小明在標(biāo)牌的■填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字為：一.

【答案】6

分析：先根據(jù)勾股定理求出斜邊AB的長，比較即可得到結(jié)果。

【解析】在中，4。2=482+8。2=242+72=625,即4。=25

少走的路程:學(xué)年忸-蟹=蔽米,

答：標(biāo)牌的■處應(yīng)填6.

考點(diǎn)：本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是耍注意所求的不是AB的長，而是少走的距離。

5.（2020?湖南初二月考）如圖，在兩面墻之間有一底端在A點(diǎn)的梯子，當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端

在3點(diǎn).當(dāng)它靠在另一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在。點(diǎn)，已知梯子長2.5加，。點(diǎn)到地面的垂直距離

DE=1.5m,兩墻的距離CE長3.5〃?.求B點(diǎn)到地面的垂直距離BC.

【答案】B點(diǎn)到地面的垂直距離BC為2m.

【分析】先利用勾股定理求出AE的長，再根據(jù)線段的和差可得AC的長，然后利用勾股定理即可得.

【解析】由題意得：AB=AT）=2.5〃2，DE=1.5m,CE=3.5m，ZC=ZE=90°

在RtNADE中，AE2=AD2-DE2=2.5?-1.5?=4即AE=2mAC=CE-AE=3.5_2=

在Rt^ABC中，BC2=AB2-AC2=2.52-1.52=4即BC=2（加）

答：3點(diǎn)到地面的垂直距離BC為2m.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用、線段的和差等知識點(diǎn)，掌握勾股定理是解題關(guān)鍵.

6.（2020?黑龍江省樺南實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二期中）ZiABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,則AABC的周長為

A.42B.32C.42或32D.37或33

【答案】C

【分析】存在2種情況，AABC是銳角三角形和鈍角三角形時(shí)，高AD分別在AABC的內(nèi)部和外部

【解析】情況一：如下圖，AABC是銳角三角形

：AD是高，；.AD_LBC；AB=15,AD=12.?.在RsABD中，BD=9

VAC=13,AD=12.?.在RtAACD中，DC=5.'△ABC的周長為：15+12+9+5=42

情況二：如下圖，aABC是鈍角三角形

在RlZkADC中，AD=12,AC=13,，DC=5在RsABD中，AD=12,AB=15,，DB=9ABCM

.?.△ABC的周長為：15+13+4=32故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解題關(guān)鍵是多解，注意當(dāng)幾何題型題干未提供圖形時(shí)，往往存在多解情況.

L2勾股定理的驗(yàn)證

據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，勾股定理的證明方法已經(jīng)多達(dá)400多種了。由于篇幅有限，我們就重點(diǎn)介紹最具代表性的

“勾股圓方圖”的證法。

在《九章算術(shù)》一書中（約在公元50至100年間），勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。中國古代的數(shù)

學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進(jìn)行

證明的，是三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”（后人也把它稱為“趙爽弦圖

用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明（下圖）。（證明過程見例1）

趙爽的這個(gè)證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識。他用幾何圖形的截、害I、拼、補(bǔ)來證明代數(shù)式之間的恒等

關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)

特風(fēng)格樹立了一個(gè)典范。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。

以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且有發(fā)展,只是具體圖形的分合移補(bǔ)略有不同而己。

1.（2020?江蘇無錫初二期中）（1）教材在探索平方差公式時(shí)利用了面積法，面積法可以幫助我們直觀地推

導(dǎo)或驗(yàn)證公式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長都

為a,較小的直角邊長都為匕，斜邊長都為c）,大正方形的面積可以表示為c2,也可以表示為4x,H+（a

2

-h）2,所以4xLa，+（a—與2=到即標(biāo)十/二/.由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊

2

長為mb,斜邊長為c,則/+/=/.圖②為勾股定理的另一種比較簡單的證法，請你利用圖②推導(dǎo)勾股

定理.

ab

圖①圖②

(2)圖②中若大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,求(。+匕)2的值.

【答案】(1)證明見解析;(2)(a+b)2=25

【分析】(1)根據(jù)圖像信息得到SQ6%=C2,S，ME方*=(b-a)2,4SRs=4x；ab=2ab,再利用面積相等得到等式,

即可求證；

⑵利用4SRIA=S大-彩-S小正方彩把數(shù)據(jù)代入計(jì)算,即可得到(a+b>=a2+b?+2ab=c2+2ab=13+12=25.

【解析】解：(1)YS大正方形=<2,S小正方形=(b-a)2,4SRlA=4xyab=2ab,

/.c2=2ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2,BPa2+h2=c2>

(2)V4SRIA=S大正方監(jiān)-S小正方形=13-1=12,/.4SR(A=2ab=12,

(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+12=25.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的證明，正確表示出圖形面積是解題關(guān)鍵.

2.(2020?河南平輿初二期中)如圖(1)是用硬紙板做成的兩個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊的長分別為。和尻

斜邊長為c，圖(2)是以c為直角邊的等腰直角三角形.請你開動腦筋,將它們拼成一個(gè)直角梯形.

(1)在圖(3)處畫出拼成的這個(gè)圖形的示意圖；(2)利用(1)畫出的圖形證明勾股定理.

【答案】⑴見解析；(2)證明見解析.

【分析】(1)此題要由圖中給出的三個(gè)三角形組成一個(gè)梯形，而且上底和下底分別為a,b,高為a+b；

(2)利用梯形的面積和三角形的面積公式列出等式即可求出勾股定理.

【解析】(1)如圖所示；

b

a

ab

⑵由圖我們根據(jù)梯形的面積公式可知，梯形的面積=1(a+b)(a+b),

2

從圖中我們還發(fā)現(xiàn)梯形的面積=三個(gè)二角形的面積，即Lab+Lab+'c2,

222

所以;(a+b)(a+b)=；ab+；ab+；c2,a2+b2=c2.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，解題的鍵是找等量關(guān)系，由等量關(guān)系求證勾股定理.

3.(2020?河南伊川初二期末)勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當(dāng)兩個(gè)全等的直角

三角形如圖擺放時(shí)，可以用“面積法”來證明.

將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示擺放，其中/DAB=90。，求證：a?+b2=c2.

【分析】根據(jù)S四邊形ABC。=SAACD+S.ABC~SdABD+即可得證.

【解析】如圖，過點(diǎn)D作。F_L3C，交BC延長線于點(diǎn)F,連接BD,則。F=CE,

由全等三角形的性質(zhì)得：AC=DE=b,:.DF=CE=AC—AE=b—a，

S四邊形ABC。=^c.ACD+S/BC=S&ABO+J)CD，：.-ACDE+-ACBC^-ADAB+-BCDF,

2222

即16+_Loa=_Lc2+J_a.g—a),整理得：/+》2=。2

2222

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，掌握“面積法”是解題關(guān)鍵.

4.（2020?江蘇寶應(yīng)初一期中）（閱讀理解）勾股定理是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠.她反映了直角三角形

的三邊關(guān)系即直角三角形兩直角邊（即“勾”，“股”）邊長的平方和等于斜邊（即“弦”）邊長的平方.也

就是說，設(shè)直角三角形兩直角邊為。和方，斜邊為C,那么/+〃=。2.迄今為止，全世界發(fā)現(xiàn)勾股定理

的證明方法約有400利I如：美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”（如圖1）,利用三個(gè)直角三角形

拼成一個(gè)直角梯形，于是直角梯形的面積可以表示為,+或者是2x：ab+Jc2,因此得到

222

-（a+hf=2x-ab+-c2,運(yùn)用乘法公式展開整理得到"=。2.

2、,22

圖1圖2圖3

（嘗試探究）（1）其實(shí)我國古人早就運(yùn)用各種方法證明勾股定理，如圖2用四個(gè)直角三角形拼成正方形,

中間也是一個(gè)正方形，其中四個(gè)直角三角形直角邊分別為。、b,斜邊長為。，請你根據(jù)古人的拼圖完成證

明.（2）如圖3是2002年在中國北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)，利用此圖也能證明勾股定理，其中四個(gè)

直角三角形直角邊分別為a、b,斜邊長為。，請你幫助完成.

（實(shí)踐應(yīng)用）（3）已知。、b、c為RtZXABC的三邊（c>h>a）,試比較代數(shù)式與一"的

大小關(guān)系.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）代數(shù)式a2c與/的大小關(guān)系是相等.

【分析】［嘗試探究］（1）根據(jù)圖形面積的不同求法即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)圖形面積的不同求法即可得到結(jié)論；

［實(shí)踐應(yīng)用］（3）分解因式，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解析】解：［嘗試探究］（I）圖中大正方形的面積可表示為伍+。）2,也可表示為c2+4x（g"）,

22222

ap（a+Z?）=c+4x（1a/?）,：.a+b-C；

（2）圖中大正方形的面積可表示為,2,也可表示為S-a）2+4x（gH）,

即（6-a）2+4x（g砧）=c2,a2+b2-c2：

［實(shí)踐應(yīng)用］（3）2c2+°2戶=q2（c2+從）,「一踐=（。2+加）（＜?—6）=（＜?+，）（？,

.??代數(shù)式〃2'2+a2b24c4-b4的大小關(guān)系是相等.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

5.（2020?山西交城初二期中）閱讀材料，并完成相應(yīng)任務(wù).

2000多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，不但因?yàn)檫@個(gè)定理重要、基本，還因?yàn)檫@個(gè)定理貼近人們

的生活實(shí)際，所以很多人都探討、研究它的證明，新的證法不斷出現(xiàn).

下面的圖形是傳說中畢達(dá)哥拉斯的證明圖形：

證明：①在圖1中，?.?5大正方形=（。+0）2

S大正方形=4個(gè)直角三角形的面積+兩個(gè)正方形的面積=4x++.

②在圖2中，；S大正方形=（a+b）2

S大正方形=4個(gè)直角三角形的面積+正方形的面積=4x+.

.?.4x++=4x+.

整理得：lab+a2+b1=2ab+c2

任務(wù)：(1)將材料中的空缺部分補(bǔ)充完整；

(2)如圖3,在AABC中，ZA=60°,ZACB=75°,CD±AB,AC=4,求BC2的值.

【答案】(1)—ab,a~,b~—ab,c~,—ab,a~,b~,—ab,c2,cr-c~''(2)BC2=24

2222

【分析】（1）根據(jù)圖形的特點(diǎn)及完全平方公式即可驗(yàn)證勾股定理;

（2）根據(jù)直角三角形中的特殊角與勾股定理即可求解.

【解析】（1）①在圖1中，:S大正方形=（a+"）2

S大正方形=4個(gè)直角三角形的面積+兩個(gè)正方形的面積=4x："+a2+b2.

②在圖2中，:S大正方形=（。+加2

2

S大正方形=4個(gè)直角三角形的面積+正方形的面積=4x；aZ?+c2.，4xga/?+a2+82=4x^a/?+c.

整理得：2次?+儲+〃=2ab+c2a2+b2=c2.

故填：-ab,c2-ab,a2,b2,-ab,c2,cr+b2=c2

2222

（2）VCD±AB.\ZADC=ZBDC=90°VZA=60°.\ZACD=30°VAC=4AAD=2

在RIAACD中CD2=AC2-AD2=12

又：ZACB=75°.,.ZDCB=ZACB-ZACD=45°.\ZB=45OABD2=CD2=12

在RtABCD中BC2=BD2+CD2=24

【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理的驗(yàn)證與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知勾股定理的性質(zhì)及應(yīng)用.

6.（2020?江蘇南京初二期中）在RtZ\A8C中，NACB=90°,BC=a,AC=h,A8=c.將RtZVIBC繞點(diǎn)O

依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和270。，構(gòu)成的圖形如圖所示.該圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽制作的“勾股圓方圖”，

也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國最早對勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家

大會的會標(biāo)設(shè)計(jì)的主要依據(jù).

（1）請利用這個(gè)圖形證明勾股定理；（2）請利用這個(gè)圖形說明*十墳》2",并說明等號成立的條件；

（3）請根據(jù)（2）的結(jié)論解決下面的問題：長為x,寬為y的長方形，其周長為8,求當(dāng)x,y取何值時(shí)，該

長方形的面積最大？最大面積是多少？

【答案】（1）詳見解析；（2）當(dāng)且僅當(dāng)“=%時(shí)，等號成立；（3）當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)，長方形的面積最大,

最大面積是4.

【分析】（1）根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四

個(gè)直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達(dá)式.（2）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)證明即可.

（3）利用（2）中的結(jié)論求得當(dāng)x,y取何值時(shí)，該矩形面積最大以及其最大面積.

【解析】解：（1）因?yàn)檫呴L為c?的正方形面積為

它也可以看成是由4個(gè)直角三角形與1個(gè)邊長為（〃-匕）的小正方形組成的，

它的面積為4X—ab+（a-b）2—a2+b2,所以c2—a2+b2.

2

（2）；（a-b）2》0,：.a2+h2-2ab^0,：.a2+h2^2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=h時(shí)，等號成立.

（3）依題意得2（x+y）=8,.\x+y=4,長方形的面積為xy,

由（2）的結(jié)論知2孫運(yùn)）2+卡二/+丫產(chǎn)-2孫，；.4xyW（x+y）2,.,.孫W4,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)，長方形的面積最大，最大面積是4.

【點(diǎn)睛】本題考查/四邊形綜合題.需要學(xué)生掌握勾股定理的證明和以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握三角形和正

方形面積計(jì)算公式是解決問題的關(guān)鍵.

知識點(diǎn)L3勾股定理的逆定理

1）勾股定理的逆定理：如果三角形三邊長分別為“，6,c,滿足/+〃=/,則這個(gè)三角形是以c為斜邊的

直角三角形。

2）勾股定理逆定理的證明：

如圖，AB=c,AC=b,CB=a,當(dāng)層+〃=02,證明：AA8C是直角三角形。

過點(diǎn)A作AD垂直于CB交CB于點(diǎn)D,設(shè)CD=x.

根據(jù)勾股定理〃一/“2—（fl+x）2將“2+.=。2代入得±230.?.40

點(diǎn)。與點(diǎn)C^：.ACLCB：.AABC為直角三角形

注：勾股定理的逆定理主要用于證明三角形是直角三角形

1.（2020?河南省初二期中）適合下列條件的AABC中，直角三角形的個(gè)數(shù)為

@a=~,b=Lc=』；②a=6,N4=45°;③/A=32°,NB=58°；

345

④。=7,b=24,c=25；⑤a=2,b=2,c=4.⑥o:〃：c=3:4:5

⑦NA:N3:NC=12:13:156a=5,Z?=12,c=13

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】C

【解析】根據(jù)勾股定理的逆定理，可分別求出各邊的平方，然后計(jì)算判斷：（ly+（1）2^（1）2,故①不

345

能構(gòu)成直角三角形；當(dāng)a=6,NA=45°時(shí)，②不足以判定該三角形是直角三角形；

根據(jù)直角三角形的兩銳角互余，可由/A+/B=90。，可知③是直角三角形；

根據(jù)72=49,242=576,252=625,可知72+242=252,故④能夠成直角三角形；

由三角形的三邊關(guān)系，2+2=4可知⑤不能構(gòu)成三角形；

令a=3x,b=4x,c=5x,可知a2+b?=c2,故⑥能夠成直角三角形；

根據(jù)三角形的內(nèi)角和可知⑦不等構(gòu)成直角三角形；

由a?=25,b2=144,c2=169,a2+b2=c2,故⑧能夠成直角三角形.故選:C.

點(diǎn)睛：此題主要考查了直角三角形的判定，解題關(guān)鍵是根據(jù)角的關(guān)系，兩銳角互余，和邊的關(guān)系，即勾股

定理的逆定理，可直接求解判斷即可，比較簡單.

2.（2020?廣西環(huán)江初二期中）如圖，ZADC=90°,A￡>=4m,C￡>=3m,A8=13m,BC=12m.

（1）試判斷以點(diǎn)A，B,C為頂點(diǎn)的三角形的形狀，并說明理由；（2）求該圖的面積.

2

【答案】（1）AABC是直角三角形（2）24m

【分析】（1）連接AC,根據(jù)勾股定理算出AC的長度，再根據(jù)4。2+5。2=52+122=132=M§2得到

AA5C是直角三角形；（2）根據(jù)該圖的面積=5M叱.-求解即可得到答案；

【解析】解：（1）連接AC,由勾股定理可知，AC=Jm+C￡>2=次+32=5,

又；AC2+BO?=52+12?=132=AB?，???A4BC是直角三角形

(2)該圖的面積=5.此-5"8，=|x5xl2-1x3x4,=24(m2).

2

答：該圖的面積為24m.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理以及等面積法求線段的長度，掌握勾股定理以及

勾股定理的逆定理是解題的關(guān)健.

3.（2020?成都市初二期中聯(lián)考）某航空公司經(jīng)營中有A、B、C、D這四個(gè)城市之間的客運(yùn)業(yè)務(wù).它的部分

機(jī)票價(jià)格如下：A-B為2000元；A-C為1600元；A-D為2500元；B-C為1200元；C-D為900元.現(xiàn)

在已知這家公司所規(guī)定的機(jī)票價(jià)格與往返城市間的直線距離成正比，則B-D的機(jī)票價(jià)格（）

A.1400元B.1500元C.1600元D.1700元

【答案】B

【分析】這家公司所規(guī)定的機(jī)票價(jià)格與往返城市間的直線距離成正比，不妨把兩地價(jià)格看為是兩點(diǎn)間的距

離，則由AG+B<?=A82可以知道/ACB是直角.又AO=AC+C￡>,故A,C,。在一條直線上，利用勾股定

理即可解出8D的長，即是B-Z）的機(jī)票價(jià)格.

【解析】把兩地價(jià)格看為是兩點(diǎn)間的距離，

則A8=2000,AC=1600,AD=2500,BC=1200,8=900.

V16002+12002=20002,.,.AC2+BC2=AB2,ZACB是直角，

V2500=1600+900,HPAD=AC+CD,C,D在一條直線上，是宜角，

BD=yjBC2+CD2=>/12002+9002=1500,即8-0的機(jī)票價(jià)格為1500元.故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離、勾股定理及其逆定理.利用勾股定理的逆定理判斷出/4C8為直角是解

題的關(guān)鍵.

4.（2020?河南內(nèi)鄉(xiāng)初二期末）如圖（1）是超市的兒童玩具購物車，圖（2）為其側(cè)面簡化示意圖，測得支

架AC=24cm,CB=18cm,兩輪中心的距離AB=30cm,求點(diǎn)C到AB的距離.（結(jié)果保留整數(shù)）

兒童玩具購物車

【答案】點(diǎn)C到AB的距離約為14cm.

【分析】通過勾股定理的逆定理來判斷三角形ABC的形狀，從而再利用三角形ABC的面積反求點(diǎn)C到AB

的距離即可.

【解析】解：過點(diǎn)c作CE1AB于點(diǎn)E,則CE的長即點(diǎn)C到AB的距離.

在ZSABC中，VAC=24.CB=18，AB=30.AAC2+CB2=242+182=900.AB2=302=900.

???472+052=432，.?.△ABC為直角三角形，即NACB=90°

7S=-ACxBC=-CExAB,：.ACxBC^CExAB.即

fiAI）c2224xl8=CEx30，.-.CE=14.4~14.

答：點(diǎn)C到AB的距離約為14cm.

【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理，能通過三角形面積反求對應(yīng)的邊長.

5.（2020?曲靖市馬龍區(qū)通泉中學(xué)初二期中）如圖，四邊形草坪A8CD中，/B=90。，A8=24m,BC=7m,

CQ=15m,AD=20m.（1）判斷/AOC是否是直角，并說明理由；（2）試求四邊形草坪A8CD的面積.

【答案】（1）/D是直角，理由見解析；（2）234m2.

【分析】1）連接AC,先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再求出AD的長，結(jié)合勾股定理的逆定理得到/D是

直角；（2）由S四娜ABCD=SAABC+SAADC即可得出結(jié)論.

【解析】（1）ND是直角，理由如下：連接AC,

B

VZB=90°,AB=24m,BC=7m,AAC2=AB2+BC2=242+72=625,；.AC=25(m).

又：CD=15m,AD=2()m,I52+2O2=252,即AD?+DC2=AC2,4ACD是直角三角形，或/D是直角;

2

(2)SmMiABCD=SAABC+SAADC=^AB-BC+^AD-DC,=234(m).

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，熟知勾股定理的應(yīng)用是解答此題的關(guān)鍵.

6.(2020?寧夏固原市原州區(qū)三營中學(xué)初二月考)下圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格.

(1)求四邊形的面積(2)判斷與C￡>的關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)—：(2)AD±CD,見解析

2

【分析】(D根據(jù)四邊形ABCD的面積=大正方形的面積-四個(gè)小直角三角形的面積計(jì)算即可；

(2)AD1DC,利用勾股定理的逆定理證明AADC是直角三角形即可.

【解析】解：(1)由題意可知四邊形ABCD的面積=大正方形的面積-四個(gè)小直角三角形的面積

__1,_1“c1__1__25

=5x5—xlx2—x4x2—x3x3—x2x3=——

22222

(2)AD_LCD，理由如下：AD=yll2+22=75,DC=V22+42=720,AC=5>

.\AD2+DC2=AC2=25,二△ADC是直角三角形，AADICD,

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式和勾股定理的逆定理的運(yùn)用，準(zhǔn)確識圖，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)

知識解題的關(guān)鍵.

知識點(diǎn)L4勾股數(shù)

1)勾股數(shù)：能構(gòu)成直角三角形三條邊的三個(gè)正整數(shù)

2)常見的勾股數(shù)有：①3,4,5；②5,12,13；

注：這兩組勾股數(shù)的倍數(shù)也是勾股數(shù)，如：4,6,8等。在考察勾股數(shù)時(shí)，若出現(xiàn)不熟悉數(shù)組，可利用勾股定

理逆定理判斷，即：a2+b2=c2.

1.(2020?安徽蜀山初二期末)下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的為()

111

A.0.6,0.8,1.0C.1,2,3D.9,40,41

345

【答案】D

【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義進(jìn)行分析，從而得到答案.

【解析】A、不是，因（L）2+（2）2#（1）2；B、不是，因?yàn)樗鼈儾皇钦麛?shù)

453

C、不是，因?yàn)?2+224；D、是，因?yàn)?2+402=412；且都是正整數(shù).故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的逆定理和勾股數(shù)的定義，解題關(guān)鍵在于掌握三角形ABC的三邊滿足a2+b2=c2,

則三角形ABC是直角三角形.

2.（2020?江蘇省泰興市初二期中）下列命題：①如果3、4、5為一組勾股數(shù)，那么3k、4k、5k仍是勾股數(shù)；

②含有45。角的直角三角形的三邊長之比是1：1:J5；③如果一個(gè)三角形的三邊是9,12,13,那么此三角

形是直角三角形；④一個(gè)直角三角形的兩邊長是3和4,它的斜邊是5.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】一般地，如果a,b,c是一組勾股數(shù)，那么ak,bk,ck（k是正整數(shù)）也方式一組勾股數(shù);根據(jù)勾股定理和逆定

理進(jìn)行分析.

【解析】①如果3、4、5為一組勾股數(shù)，那么3k、4k、5k仍是勾股數(shù)；應(yīng)（k是正整數(shù)），錯(cuò)誤；

②含有45。角的直角三角形的三邊長之比是1：1：V2；正確；

③如果一個(gè)三角形的三邊是9,12,13,那么此三角形是直角三角形；92+122,132；錯(cuò)誤；

④一個(gè)直角三角形的兩邊長是3和4,它的斜邊不一定是5；故錯(cuò)誤.

【點(diǎn)睛】考核知識點(diǎn)：勾股定理和逆定理.理解定理內(nèi)容是關(guān)鍵.

3.（2020?海林市朝鮮族中學(xué)初二期末）觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：①3,4,5；②5,12,13；③7,

24,25；④9,40,41；請你寫出具有以上規(guī)律的第⑥組勾股數(shù)：.

【答案】13,84,85

【分析】先根據(jù)給出的數(shù)據(jù)找出規(guī)律，再根據(jù)勾股定理求解即可.

【解析】由題意得，每組第一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，且逐步遞增2,第二、第三個(gè)數(shù)相差為一

故第⑥組的第一個(gè)數(shù)是13；設(shè)第二個(gè)數(shù)為x,第三個(gè)數(shù)為x+1；根據(jù)勾股定理得132+/=（%+1）2

解得x=84,則第⑥組勾股數(shù)：13,84,85。故答案為：13,84,85.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)的規(guī)律題，掌握這些勾股數(shù)的規(guī)律、勾股定理是解題的關(guān)鍵.

4.（202（）?北京昌平初二期末）如果正整數(shù)。、氏c滿足等式/+〃=。2,那么正整數(shù)人Ac叫做勾股數(shù).

某同學(xué)將自己探究勾股數(shù)的過程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知x+y的值為（）

A.47B.62C.79D.98

b

34

8610

15817

241026

xv65

【答案】C

【分析】依據(jù)每列數(shù)的規(guī)律，即可得到a=〃2—l,b=〃2,c=〃2+i,進(jìn)而得出x+y的值.

【解析】解：由題可得：3=2?-1,4=2:5=22+1.........1.a=rr-\,b-=n1,c=rr+\

當(dāng)c="+l=65時(shí)，〃=8，x=63,y=16.,.x+y=79故選C

【點(diǎn)睛】本題為勾股數(shù)與數(shù)列規(guī)律綜合題；觀察數(shù)列，找出規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵.

5.（2020?浙江柯橋初二期末）《九章算術(shù)》提供了許多整勾股數(shù)，如（3,4,5）,（5,12,13）,（7,24,25）,（8,15,17）

等等，并把一組勾股數(shù)中最大的數(shù)稱為“弦數(shù)后人在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究，得到如下規(guī)律：若加是大于1

的奇數(shù)，把它平方后拆成相鄰的兩個(gè)整數(shù)，那么加與這兩個(gè)整數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)；若陽是大于2的偶數(shù)，

把它除以2后再平方，然后把這個(gè)平方數(shù)分別減1,力口1得到兩個(gè)整數(shù)，那么，”與這兩個(gè)整數(shù)構(gòu)成一組勾股

數(shù).由上述方法得到的勾股數(shù)稱為“由加生成的勾股數(shù)若“由9生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)”記為4由20生成

的勾股數(shù)”的"弦數(shù)”記為B,則A+B=.

【答案】142

【分析】根據(jù)題述“由用生成的勾股數(shù)”的計(jì)算方式，分別求得A和B求和即可.

【解析】解：???92=81,81=40+41.丁由9生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)”記為41,即A=4L

20

V（―）2+1=101,...“由20生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)“記為101,即B=101,

2

.?.4+3=41+101=142.故答案為:142.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股數(shù)問題.能理解題中的計(jì)算方式，并能依此計(jì)算是解決此題的關(guān)鍵.需注意在計(jì)算”由

機(jī)生成的勾股數(shù)''時(shí)，m分奇偶計(jì)算方式不同.

重難點(diǎn)題型

題型1.勾股定理中的面積問題再探究

解題技巧:解決此類問題要熟練運(yùn)用勾股定理，結(jié)合正方形、三角形、半圓的面積公式即可解決問題.

1.(2020?上饒市廣信區(qū)第七中學(xué)初二期中)己知如圖，以MA43c的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角

形，若斜邊A3=10,則圖中陰影部分的面積為.

A

【答案】5()

【分析】根據(jù)勾股定理和等腰直角三角形的面積公式，可以證明：以直角三角形的兩條直角邊為斜邊的等

腰直角三角形的面積和等于以斜邊為斜邊的等腰直角三角形的面積.則陰影部分的面積即為以斜邊為斜邊

的等腰直角三角形的面積的2倍.

【解析】解:在Rt^ABC中，AB2=AC2+BC2,AB=5,

222

。一。_1AC1BC+1xAB

、陰影一'△AHC+'ABFC+'AAEB—/x2+/x222

=；x(4C2+BC2+AB2)=g4B2=gxl02=50故答案為：50.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的知識，要求能夠運(yùn)用勾股定理證明三個(gè)等腰直角三角形的面積之間的關(guān)系.

2.(2020?山西省初二期中)如圖，在RhABC中，ABAC=90°，以的三邊為邊分別向外作等

邊三角形V43C,△AB'C,△ABC,若V48C,△AS'C的面積分別是10和4,則△A3。的面

【答案】B

【分析】設(shè)AB=c,AC=b,BC=a,用a、b、c分別表示V4BC,△AB'C，△ABC'的面積，再利用Rt^ABC

得b3+c2=a2,求得c值代入即可求得的面積△ABC的面積.

【解析】設(shè)AB=c,AC=b,BC=a,由題意得V4BC的面積=Lq-且4=10，

22

△AB'C的面積=—■h-b—4cr——yf3,b'——yfs

2233

在Rt^ABC中，/BAC=90。，b2+c2=a2,c2=a2-b2=—A/3--=8A/3

33

???△ABC'的面積旦=與2百X8G=6,故此題選B

2244

【點(diǎn)睛】此題考察勾股定理的運(yùn)用，用直角三角形的三邊分別表示三個(gè)等邊三角形的面積，運(yùn)用勾股定理

的等式求得第三個(gè)三角形的面積

3.（2019?北京海淀教師進(jìn)修學(xué)校附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校初二期中）如圖所示，直角三邊形三邊上的半圓面積從小到

大依次記為岳、邑、S3,則5、邑、S3的關(guān)系是（）

222222222

A.S,+S2=S3B.S,+S2=53c.S1+S2>S3D.S,+S2<S3

【答案】A

分析：設(shè)直角三角形各邊長為2a、2b、2c,如圖所示：

【解析】

???三角形是直角三角形，(2a)2+(2b)2=(2c)2,化簡得:a2+b2=c2,

Si=-na2,S2=--Ttb2,S3=-7ic2；Si+S2=-n:(a2+b2)=-JTC2=SJ.故選A.

22222

考點(diǎn)：勾股定理.

4.（2020?浙江省初三學(xué)業(yè)考試）勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早

有記載.如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放

置在最大正方形內(nèi).若圖2中陰影部分的面積為2,且A5+AC=8,則BC的長為（）

2513

A.472B.6C.—D.—

42

【答案】B

【分析】設(shè)AC=a,AB=b,BC=c根據(jù)勾股定理得到c2=a?+b2,根據(jù)正方形的面積公式、長方形的面積

公式計(jì)算即可求解.

設(shè)AC=a,AB=b,BC=c,貝ija+b=8,c2=a2+b2,HG=c-b,DG=c-a,

則陰影部分的面積S=HG?DG=(c-b)(c-a)=2,

c2

?.*(a+b)2—a-+b2+2ab=64,ab—32———,

2

AS=c2-c(a+b)+ab=c2-8c+32--=2,

2

解得ci=6,C2=10（舍去）.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.

5.（2020?山東省初二期末）有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個(gè)小正

方形，其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，變成了下圖，如果繼續(xù)“生長”

下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2020次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是()

A.2018B.2019C.2020D.2021

【答案】D

【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式，知“生長”1次后，以直角三角形兩條直角邊為邊長的正方形的

面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積，即所有正方形的面積和是2x1=2；“生長”2次后，所有的正方形

的面積和是3x1=3,推而廣之即可求出“生長”2020次后形成圖形中所有正方形的面積之和.

【解析】解：設(shè)直角三角形的是三條邊分別是a,b,c.根據(jù)勾股定理，得a2+b?=c2,

即正方形A的面積+正方形B的面積=正方形C的面積=1.

正方形D的面積+正方形E的面積+正方形F的面積+正方形G的面積=正方形A的面積+正方形B的面積=

正方形C的面積=1.

推而廣之，即：每次“生長”的正方形面積和為1,“生長”了2020次后形成的圖形中所有的正方形的面積和

是2021x1=2021.故選D.

【點(diǎn)睛】此題考查了iE方形的性質(zhì)，以及勾股定理，其中能夠根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)每一次得到的新的正方形

的面枳和與原正方形的面積之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

題型2.趙爽弦圖求值

解題技巧:解決此類問題要熟練運(yùn)用勾股定理及完全平方公式，結(jié)合趙爽弦圖利用面積之間的關(guān)系即可解決

問題.

1.(2020?渦陽縣王元中學(xué)初二月考)“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)

的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b,若(a+b)2=21,大

正方形的面積為13,則小正方形的面積為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】觀察圖形可知，小正方形的面積=大正方形的面積-4個(gè)直角三角形的面積，利用已知(a+力＞=21,

大正方形的面積為13,可以得以直角三角形的面積，進(jìn)而求出答案。

【解析】由于大正方形的邊長的平方為"+〃，又大正方形的面積為13,

即/+^=13,而小正方形的面積表達(dá)式為合+^二門，而小正方形的面積表達(dá)式為

(a-b)2=2(/+/)一(a+與2=2x13—21=5故本題正確答案為C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形，用到勾股定理的證明，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

2.(2020?河北省初二期末)“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.如

圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.大正方形的面積為

49,小正方形的面積為4,設(shè)直角三角形較長直角邊長為小較短直角邊長為江給出四個(gè)結(jié)論：①〃+6=49；

②“-6=2；③2而=45；@a+b-9.其中正確的結(jié)論是()

A.①②③B.①②③④C.①③D.②④

【答案】A

【分析】觀察圖形可知，大正方形的邊長為直角三角形的斜邊長，根據(jù)勾股定理即可得到大正方形的邊長，

從而得到①正確，根據(jù)題意得4個(gè)直角三角形的面積=4x；xab=大正方形的面積-小正方形的面積，從而得

到③正確，根據(jù)①③可得②正確，④錯(cuò)誤.

【解析】解：；直角三角形較長直角邊長為a,較短宜角邊長為b,...斜邊的平方=2?+62,

由圖知，大正方形的邊長為直角三角形的斜邊長，

...大正方形的面積=斜邊的平方=a，+b2,即M+b2=49,故①正確;

根據(jù)題意得4個(gè)直角三角形的面積=4x1xab=2ab,

4個(gè)直角三角形的面積=S大正方彩-Sm=49-4=45,即2ab=45,故③正確；

由??可得a2+b?+2ab=49+45=94,BP（a+b）2=94,/.a+b/9,故④錯(cuò)誤，

由①?可得a2+b2-2ab=49-45=4,BP（a-b）2=4,Va-b>0,a-b=2,故②正確.故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，完全平方公式的運(yùn)用等知識.熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

3.（2020?河北省初二期末）圖①是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形

圍成的.若AC=6,BC=5,將四個(gè)直角三角形中的邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖②所示的“數(shù)

學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長是（）

A.51B.49C.76D.無法確定

【答案】C

【解析】依題意得，設(shè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車''中的四個(gè)