考研數(shù)學(xué)(高等數(shù)學(xué)-線性代數(shù)-概率論)公式

目錄

高等數(shù)學(xué)公式

1導(dǎo)數(shù)公式...........................................................................1

2.基本積分表.........................................................................1

3..三角函數(shù)的有理式積分..............................................................1

4.一些初等函數(shù).....................................................................2

5.兩個(gè)重要極限....................................................................2

6.三角函數(shù)公式：...................................................................2

7.高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲（Leibniz）公式：......................................3

8.中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：...........................................................3

9.曲率............................................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

10.定積分的近似計(jì)算................................................................4

11.定積分應(yīng)用相關(guān)公式..............................................................4

12.空間解析幾何和向量代數(shù).........................................................4

13.多元函數(shù)微分法及應(yīng)用

5

14微分法在幾何上的應(yīng)用：...........................................................6

15.方向?qū)?shù)與梯度..................................................................6

16.多元函數(shù)的極值及其求法.........................................................6

17.重積分及其應(yīng)用..................................................................7

18.柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)..............................................................7

19.曲線積分........................................................................7

20.曲面積分........................................................................8

21.高斯公式........................................................................9

22.斯托克斯公式—曲線積分與曲面積分的關(guān)系......................................9

23.常數(shù)項(xiàng)級數(shù).....................................................................9

24.級數(shù)審斂法.....................................................................15

25.絕對收斂與條件收斂.............................................................10

26.零級數(shù).........................................................................10

27.函數(shù)展開成鬲級數(shù)...............................................................11

28.一些函數(shù)展開成零級數(shù)...........................................................11

29.歐拉公式.......................................................................11

30.三角級數(shù).......................................................................12

31.傅立葉級數(shù).....................................................................12

32微分方程的相關(guān)概念.............................................................115

二.概率公式整理

1.隨機(jī)事件及其概率...............................................................14

2.概率的定義及其計(jì)算.............................................................14

3.條件概率.......................................................................15

4隨機(jī)變量及其分布.................................................................15

5.離散型隨機(jī)變量.................................................................15

6.連續(xù)性隨機(jī)變量.................................................................16

7.多維性隨機(jī)變量及其分布.........................................................17

8.連續(xù)型二維隨機(jī)變量.............................................................17

9.二維隨機(jī)變量的條件分布.........................................................18

1().隨機(jī)變量的數(shù)字特征..............................................................18

三.線性代數(shù)部分

1.基本運(yùn)算........................................................................20

2.有關(guān)乘法的基本運(yùn)算.............................................................21

3.可逆矩陣的性質(zhì).................................................................22

4.伴隨矩陣的基本性質(zhì).............................................................23

5.伴隨矩陣的其他性質(zhì).............................................................23

6.線性表示........................................................................24

7.線性相關(guān)........................................................................24

8.各性質(zhì)的逆否形式...............................................................25

9.極大無關(guān)組.....................................................................26

10.矩陣的秩的簡單性質(zhì)............................................................26

11.矩陣在運(yùn)算中秩的變化...........................................................27

12.解的性質(zhì).......................................................................27

13.解的情況判斷..................................................................28

14.特征值特征向量................................................................29

15.特征值的性質(zhì)..................................................................29

16.特征值的應(yīng)用..................................................................29

17.正定二次型與正定矩陣性質(zhì)與判別...............................................30

18.基本概念.......................................................................31

19.代數(shù)余子式....................................................................32

20.范德蒙行列式..................................................................32

21.乘機(jī)矩陣的列向量與行向量......................................................33

22.初等矩陣及其在乘法中的作用....................................................34

23.乘法的分塊法則................................................................34

24矩陣方程與可逆矩陣..............................................................35

25可逆矩陣及其逆矩陣..............................................................35

26.伴隨矩陣.......................................................................35

27.線性表示.......................................................................35

28.線性相交性....................................................................36

29..極大無關(guān)組和秩................................................................36

30.有相同線性關(guān)系的向量組........................................................36

31.矩陣的秩.......................................................................37

32.方程組的表達(dá)形式..............................................................38

33.基礎(chǔ)解系和通解................................................................38

34.通解...........................................................................38

35.特征向量與特征值..............................................................39

36.特征向量與特征值計(jì)算..........................................................39

9

9

39判別法則........................................................................40

40.二次型(實(shí)二次型)...............................................................40

41.可逆線性變量替換..............................................................41

42.實(shí)對稱矩陣的合同..............................................................41

43.二次型的標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化........................................................41

44.正二次型與正定矩陣............................................................42

附錄一內(nèi)積，正交矩陣，實(shí)對稱矩陣的對角化

1.向量的內(nèi)積......................................................................45

2.正交矩陣........................................................................46

3.施密特正交化方法...............................................................47

4.實(shí)對稱矩陣的對角化.............................................................47

附錄二向量空間

.................................................................................................................................................................49

2,基，維數(shù)，坐標(biāo)....................................................................49

3.過渡矩陣,坐標(biāo)變化公式..........................................................50

4.規(guī)范正交積.....................................................................51

高等數(shù)學(xué)公式

1.導(dǎo)數(shù)公式：

(tgx)'=sec2x(arcsinx)'=,

Vl-x2

(c，gx)'=-csc2x

f(arcCOST)/=——/

(secx)=secx-tgxVl-x2

(csex)'=-cscx?cfgx

(arctgx\

=axina

jtgxdx=-ln|cpsx|+C

(a

jctgxdx=InN抓對+C,1+廣

rebef21人

——z—=csc~xdx=C

jsecx6Zx=ln|secx+^+CJsin2xJ

=secx+C

JcscxJx=ln|cscx-cfgA|+C

[esex-ctgxdx=-cscx+C

jshxdx=chx+C

fchxdx=shx+C

=ln(x+Vx2±a~)+C

7t兀

Ii

=Jsin"xdx=jcos"xdx-1n-2

oon

2_____

+a2dx=—yjx2+a2+；ln(x+Wx2+/)+c

JG2

-a2dx=—ylx2-a2A/X2-er+C

22

JJ/-x2dx=—yla2-X2+—arcsin-+C

22a

2.基本積分表：

3.三角函數(shù)的有理式積分:

4.一些初等函數(shù):5.兩個(gè)重要極限:

6.三角函數(shù)公式:

?誘導(dǎo)公式：

\^數(shù)

角裊、sincostgctg

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

?和差角公式:■和差化積公式:

sin(a±4)=sinacos4土cosasin°sina+sin夕=2sin,夕

cos^or±/3)=cosacos/?+sinasin/3

tga±tgpsina-sin/?=2cossin」:

tg(a±0=

1+tga-tgpcca+Boc—L

cosa+cos〃=2cos----cos-----

22

cosa-cos￡=2sin"+'sin'~~~

22

?倍角公式：

?半角公式：

?正弦定理：」_=/_=_J=2R

?余弦定理：c~=cr4-Z?2-2abcosC

sinAsinBsinC

71

?反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx=--arcco&rarctgx=--arcctgx

2

7.高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲（Leibniz）公式:

8.中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：

9.曲率：

10.定積分的近似計(jì)算：

11.定積分應(yīng)用相關(guān)公式：

12.空間解析幾何和向量代數(shù):

13.多元函數(shù)微分法及應(yīng)用

14.微分法在幾何上的應(yīng)用：

x=(p(t)

xf_yf_zz。

空間曲y=以f)在點(diǎn)M(%,y0,z0)處的切線方程:

叭to)"'(。)蘇"o)

z=<y(Z)

在點(diǎn)M處的法平面方程：夕'(%)(x—Xo)+“?o)(y—%)+〃&)(z—z0)=0

若空間曲線方程為"《"Z)=°,則切向量亍={?!,"

G"G,

G(尤,y,z)=OG).GzGz

曲面F(x,y,z)=0上一點(diǎn)則：

1、過此點(diǎn)的法向量：/j={Fr(Xo，yO，Zo)，G(Xo，yo，Zo)，￡ao，yo，Zo)}

2、過此點(diǎn)的切平面方程f；.(x0,^0,z0)(x-x0)+F/x0,y0,z0)(y-^0)+F2(x0,y0,z0)(z-z0)=0

3、過此點(diǎn)的法線方程：""°—=—一

乙(4,%*0)Fv(x0,y0,z0)￡*0，%*0)

15.方向?qū)?shù)與梯度：

16.多元函數(shù)的極值及其求法：

17.重積分及其應(yīng)用：

18.柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：

19.曲線積分：

20.：曲面積分：

21.高斯公式：

22.斯托克斯公式——曲線積分與曲面積分的關(guān)系：

23.常數(shù)項(xiàng)級數(shù)：

24.級數(shù)審斂法：

25.絕對收斂與條件收斂：

26.幕級數(shù)：

23/|刀|<1時(shí)，收斂于」一

1+X+X"+X'H—?+%”+…(I-X

\兇2財(cái)，發(fā)散

對于級數(shù)(3)/+%%+生￡+…+a"x"+…，如果它不是僅在原點(diǎn)I攵斂，也不是在全

時(shí)收斂

數(shù)軸上都收斂，則必存生R,使(忖〉式時(shí)發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。

\忖=/?時(shí)不定

時(shí)，

0=0時(shí)，/?=+8

p=+8時(shí)，R=0

27.函數(shù)展開成幕級數(shù)：

28.一些函數(shù)展開成幕級數(shù)：

29.歐拉公式：

30.三角級數(shù)：

31.傅立葉級數(shù)：

周期為2/的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)：

32.微分方程的相關(guān)概念：

一階線性微分方程：

全微分方程：

二階微分方程：

二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法:

(*)式的通解

兩個(gè)不相等實(shí)根(p2—4q>0)

兩個(gè)相等實(shí)根(p2—4q=0)

一對共枕復(fù)根(p2-4q<0)

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

二.概率公式整理

1.隨機(jī)事件及其概率

Au。=QAcQ=A

吸收律：Au0=AAc0=0

Au(AB)=AAc(AuB)=A

反演律：AuB=AB~AB=A^B

2.概率的定義及其計(jì)算

若Au6nP(8—A)=P(8)—P(A)

對任意兩個(gè)事件A,8,有P(B—A)=P(B)—P(A8)

加法公式：對任意兩個(gè)事件A,B,有

3.條件概率

乘法公式

全概率公式

Bayes公式

4.隨機(jī)變量及其分布

分布函數(shù)計(jì)算

5.離散型隨機(jī)變量

(1)0-1分布

⑵二項(xiàng)分布B(〃,p)

若尸(A)=p

*Possion定理

lincH(l—pJ-'e-'T

伺1k\

女=0,1,2,?一

⑶Poisson分布P(4)

6.連續(xù)型隨機(jī)變量

(1)均勻分布U(a,b)

⑵指數(shù)分布E(2)

(3)正態(tài)分布N(〃，cr2)

*N(O,1)—標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

7.多維隨機(jī)變量及其分布

二維隨機(jī)變量(X))的分布函數(shù)

邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)

8.連續(xù)型二維隨機(jī)變量

(1)區(qū)域G上的均勻分布，U(G)

(2)二維正態(tài)分布

9.二維隨機(jī)變量的條件分布

10.隨機(jī)變量的數(shù)字特征

數(shù)學(xué)期望

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

X的k階原點(diǎn)矩

X的左階絕對原點(diǎn)矩

X的左階中心矩

X的方差

x,y的幺+/階混合原點(diǎn)矩

x,y的&+/階混合中心矩

x,y的二階混合原點(diǎn)矩

X,Y的二階混合中心矩X,Y的協(xié)方差

X,Y的相關(guān)系數(shù)

X的方差

D(X)=E((X-￡(X))2)

協(xié)方差

相關(guān)系數(shù)

三.線性代數(shù)部分

梳理：條理化，給出一個(gè)系統(tǒng)的，有內(nèi)在有機(jī)結(jié)構(gòu)的理論體系。

溝通：突出各部分內(nèi)容間的聯(lián)系。

充實(shí)提高：圍繞考試要求，介紹一些一般教材上沒有的結(jié)果，教給大家常見問題的實(shí)用而簡捷

的方法。

大家要有這樣的思想準(zhǔn)備：發(fā)現(xiàn)我的講解在體系上和你以前學(xué)習(xí)的有所不同，有的方法是你不

知道的。但是我相信，只要你對它們了解了，掌握了，會提高你的解題能力的。

1.基本運(yùn)算

①A+6=3+A

②(A+B)+C=A+(B+C)

③c(A+B)=cA+cB(c+d)A=cA+dA

④c{dA)=(cd)A

⑤cA=0<=>。=0或4=0。

時(shí)=小4）。

轉(zhuǎn)置值不變[A[=|A]

逆值變w

A=（al,a2,a3）,3階矩陣

2.有關(guān)乘法的基本運(yùn)算

線性性質(zhì)（4+4）8=46+

結(jié)合律（AB）C=A（8C）

（聞人=屋8"不一定成立！

AE=A,EA=A

A（kE）=kA,也垃A=kA

與數(shù)的乘法的不同之處

（A8>=不一定成立！

無交換律因式分解障礙是交換性

一個(gè)矩陣A的每個(gè)多項(xiàng)式可以因式分解，例如

無消去律（矩陣和矩陣相乘）

當(dāng)AB=0時(shí)/A=0或3=0

由Aw0和AB=0於3=0

由A/0時(shí)ACR8=C（無左消去律）

特別的設(shè)A可逆，則A有消去律。

左消去律：A3=AC=B=C。

右消去律：BA=CA=^B=C.

如果A列滿秩，則A有左消去律，即

①AB=0=6=0

②AB=AC=5=C

3.可逆矩陣的性質(zhì)

i）當(dāng)A可逆時(shí)，

A，也可逆,且卜少=（*），

A火也可逆，且（4*尸=（1）"。

數(shù)cw0,數(shù)也可逆,(cA)-1=-A-1.

ii）A,B是兩個(gè)〃階可逆矩陣oAB也可逆，且（AB尸=B7AT。

推論：設(shè)A,8是兩個(gè)〃階矩陣，則

命題：初等矩陣都可逆，且

命題：準(zhǔn)對角矩陣

000A：ooo

0A000AJ00

A=22可逆。每個(gè)A,7都可逆，記A-'=

00?.0001-.0

1

000Akk000A-

4.伴隨矩陣的基本性質(zhì)：

A

當(dāng)A可逆時(shí),（求逆矩陣的伴隨矩陣法）

(A-1>=|A-1|(A-1)-1=^

5.伴隨矩陣的其他性質(zhì)

①|(zhì)"=聯(lián)，A*=|4|A-1

②(A7■卜=(A*y,

③(C、A)*=C"TA*

④(A8?=B*A*,

⑤(M>=(A*)”,

a-h

⑥（4*卜=網(wǎng)"2人。〃=2時(shí)，(A*)*=AA*=

-cd

關(guān)于矩陣右上肩記號：T,k,-1,*

i）任何兩個(gè)的次序可交換,

如(AT〉=(A*)T,

(A*/=(*)*等

ii)(AB)'=BTAT,(AB)~'=B'A',

但（A8>不一定成立!

6.線性表示

B-?at,a2,---,as=x}at+x2a2d-----Fxsas=/?有解

<=>以,。2,…,a,）x=,有解Q=（X|,…,xj）

Ax=〃有解，即夕可用A的列向量組表示

A8=C=（，”,???”,），4=（四,=2,,

則八，々，…，八

…,4,

則存在矩陣C,使得的血,…，以）=（%,%，???，%￡

線性表示關(guān)系有傳遞性當(dāng)月］,尸2,…M->al,a2,--,as,

則6I，62,…，￡,—與，…，尸"。

等價(jià)關(guān)系：如果與A，&…血互相可表示

a）,a2,???,av

記作q,&2,…,鬼三月四,…。

7.線性相關(guān)

5=1,單個(gè)向量a,xa=Oa相關(guān)oa=0

S-2,。1,。2相關(guān)O對應(yīng)分量成比例%,02相關(guān)：々=。2也=-=。"：，

①向量個(gè)數(shù)5=維數(shù)〃，則必，…,明線性相（無）關(guān)…*=（今0

A=（al,a2,■--,??）,Ax=0有非零解=網(wǎng)=0

如果s>〃，則《一定相關(guān)

Ax=0的方程個(gè)數(shù)〃（未知數(shù)個(gè)數(shù)s

②如果%,。2,《無關(guān)，則它的每一個(gè)部分組都無關(guān)

③如果…,無關(guān)，而…，見，尸相關(guān)，則￡-%,。2,…，4

證明：設(shè)c”…,c$,c不全為0,使得G%+…+Csq+c/=0

則其中CHO,否則G，…,c.,不全為0,cta}+---+csas=0,與條件囚，…,心無關(guān)矛

盾。于是尸=——,,,—cts<,

cc

④當(dāng)￡a,時(shí)，表示方式唯一?<=>%…4無關(guān)

（表示方式不唯一=必…見相關(guān)）

⑤若尸，1…,2，并且，>s，則4,…，口一定線性相關(guān)。

證明：記A=（%」??,</,）,B=（0],…，仇）,

則存在sx/矩陣C,使得B=AC.

口=0有s個(gè)方程，，個(gè)未知數(shù)，s<t,有非零解〃，?！?0。

則BZ7=ACZ7=0,即7也是Bx=0的非零解，從而用，…,四線性相關(guān)。

8.各性質(zhì)的逆否形式

①如果％,。2,…，&無關(guān)，則sW〃。

②如果％,。2,《有相關(guān)的部分組，則它自己一定也相關(guān)。

③如果火…%無關(guān)，而￡fa”…,a*,則a*￡無關(guān)。

⑤如果?>a,月1…夕無關(guān),則/4s。

推論：若兩個(gè)無關(guān)向量組％…%與，…夕等價(jià),則5=九

9.極大無關(guān)組

一個(gè)線性無關(guān)部分組（/）,若#（/）等于秩%,02，。4，06f（/），（/）就一定是極大無關(guān)組

①四,%無關(guān)O7（%，%，…，4）=5

②4一a”％,…,4

另一種說法：取藥,鬼，…，&的一個(gè)極大無關(guān)組（/）

（/）也是%,。2,…，見，萬的極大無關(guān)組=（/），/相關(guān)。

證明：尸一藥,…,a,o〃—（/）=（/）,尸相關(guān)。

③夕可用必,…,凡唯一表示=/，⑶=7（%,…,a,）=s

④%0/（%,川，…，月）=/4,???,%）

⑤％,???,4三川，…，仇…4,以…處）=7的,…,0）

10.矩陣的秩的簡單性質(zhì)

A行滿秩：r（A）=m

A列滿秩：r（A）=n

〃階矩陣4滿秩：｛A）=〃

A滿秩=A的行（列）向量組線性無關(guān)

oA可逆

oAr=0只有零解，Ax=/?唯一解。

11.矩陣在運(yùn)算中秩的變化

初等變換保持矩陣的秩

①r（A，）=r（A）

②cH0時(shí)，r（cA）=r（A）

③'（A±6）＜r（A）+r（B）

④r（A6）＜min｛廠⑷,廣⑻｝

⑤A可逆時(shí)，r（AB）=r（B）

弱化條件:如果A列滿秩,則y（AB）=y（B）

證：下面證A8x=0與8x=0同解。

〃是ABx=0的解oABz/=0

=Brj=0o〃是8r=0的解

8可逆時(shí)，廠（AB）=《A）

⑥若AB=O,貝iJr（A）+r（B）W〃（A的列數(shù)，8的行數(shù)）

⑦A列滿秩時(shí)，（A8）=r（B）

3行滿秩時(shí)r（AB）=r（A）

@r（AB）+n>r（A）+r（B）

12.解的性質(zhì)

（1）.Ax=0的解的性質(zhì)。

H7

如果7,〃2,…,”是一組解，則它們的任意線性組合+C2772----FCe7”一定也

是解。

（2）.Ax—隊(duì)。豐0）

①如果。，昆，…，。是Ax=夕的一組解，則

C怎+C2J2+…+。片《也是4x=’的解oC|+c2+…+c?=1

c后+c2,^2+?-?+eg是Ax=0的解oG++…+q=0

特別的：當(dāng)。，々是Ax=Q的兩個(gè)解時(shí)，。一統(tǒng)是Ax=。的解

②如果乙是Ax=夕的解，則〃維向量J也是Ax=夕的解OJ一&是Ax=0的解。

13.解的情況判別

方程：Ax-（3,即+x2a24----I-xnan=°

I有解|oB—3，%，…，氏

四o/（A|⑶>7（A）

唯一解=/（A|0）=7（A）=n

無窮多解|oy（A|⑼=7⑷<n

方程個(gè)數(shù)相：

①當(dāng)y（A）=加時(shí)，/（川￡）=加，有解

②當(dāng)〃？〈〃時(shí)，/（A）<n,不會是唯一解

對于齊次線性方程組Ax=0,

只有零解=y(A)=〃(即A列滿秩)

(有非零解=y(A)<〃)

14.特征值特征向量

/I是A的特征值=2是A的特征多項(xiàng)式|x￡—M的根。

兩種特殊情形：

(1)A是上(下)三角矩陣，對角矩陣時(shí)，特征值即對角線上的元素。

(2)r(A)=l時(shí)：A的特征值為0,0,…,0,0(A)

15.特征值的性質(zhì)

命題：〃階矩陣A的特征值;I的重?cái)?shù)N〃-r(/lE-A)

命題：設(shè)A的特征值為4“/I2,…，％“，貝!?

小人…"不

②4i+42~1---------久”=

命題：設(shè)〃是A的特征向量，特征值為4,即=則

①對于A的每個(gè)多項(xiàng)式/(A),/(A%=f(x"

1IAI

②當(dāng)A可逆時(shí)，A]r/=—r],A^TJ=----rj

4A

命題：設(shè)A的特征值為21以2,…，"，則

①/(A)的特征值為,),/(22),-,/(2?)

②A可逆時(shí)，A”的特征值為一L,1-,1

A1九2

A*的特征值為口父,磔|A|

A]A，2

③的特征值也是41,/t2,…，4“

16.特征值的應(yīng)用

①求行列式|川=九卜乙,…,2.

②判別可逆性

4是A的特征值0氏七一川=00人—；1后不可逆

A—4E可逆oX不是A的特征值。

當(dāng)/(A)=0時(shí)，如果/(C)H0,則A-c￡可逆

若見是A的特征值，則/（，）是〃A）的特征值=>/（2）=0?

/（c）彳0=c不是A的特征值。AcE可逆。

n階矩陣的相似關(guān)系

當(dāng)AU=U4時(shí)，8=4,而時(shí)，B^A.

相似關(guān)系有i）對稱性：A~B<^B~A

U-'AU=B,則4=

ii）有傳遞性：A~B,B~C,則A~C

U-'AU^B,V'BV-C,則

命題當(dāng)A?3時(shí)，A和5有許多相同的性質(zhì)

①同=慟

②MA）=7（8）

③A,8的特征多項(xiàng)式相同，從而特征值完全一致。

A與8的特征向量的關(guān)系：〃是A的屬于％的特征向量〃是8的屬于2的特征向量。

17.正定二次型與正定矩陣性質(zhì)與判別

可逆線性變換替換保持正定性

/（再，彳2-、》”）變?yōu)間（y,必，…，％），則它們同時(shí)正定或同時(shí)不正定

A-B,則A,8同時(shí)正定，同時(shí)不正定。

例如B=C7'AC。如果A正定，則對每個(gè)XHO

（C可逆，xwo,.?.a/0!）

我們給出關(guān)于正定的以下性質(zhì)

A正定=A-E

O存在實(shí)可逆矩陣C,A=C'C。

=4的正慣性指數(shù)="。

oA的特征值全大于0。

<=>A的每個(gè)順序主子式全大于0。

判斷A正定的三種方法：

①順序主子式法。

②特征值法。

③定義法。

18.基本概念

對稱矩陣A，=A。

反對稱矩陣A，=—A。

簡單階梯形矩陣：臺角位置的元素都為1,臺角正上方的元素都為0。

如果A是一個(gè)〃階矩陣，A是階梯形矩陣=A是上三角矩陣，反之不一定

矩陣消元法：（解的情況）

①寫出增廣矩陣（4|尸），用初等行變換化（川夕）為階梯形矩陣（金）o

②用（他）判別解的情況。

i）如果（金）最下面的非零行為（0,…,O|d）,則無解，否則有解。

ii）如果有解，記/是（中）的非零行數(shù)，貝ij

y=〃時(shí)唯一解。

/〈〃時(shí)無窮多解。

iii）唯一解求解的方法（初等變換法）

去掉（卻7）的零行，得（聞九），它是〃x（〃+c）矩陣，8。是〃階梯形矩陣，從而是上三角

矩陣。

則bnn0=＞匕"-0=…々都不為0。

（A|/7）—r）—J?（目〃就是解。

a\\a\2…a\n

一個(gè)〃階行列式的22%"的值：

????????????

%an2…ann

①是〃!項(xiàng)的代數(shù)和

a

②每一項(xiàng)是〃個(gè)元素的乘積,它們共有〃!項(xiàng)。"。2上'"njn其中/j…/”是12…,〃的一個(gè)全

排列。

③牝…a*前面乘的應(yīng)為（-1），㈤2"，）r（y-j2...的逆序數(shù)

19.代數(shù)余子式

M狀為4的余子式。

定理：一個(gè)行列式的值。等于它的某一行（列），各元素與各自代數(shù)余子式乘積之和。

一行（列）的元素乘上另一行（列）的相應(yīng)元素代數(shù)余子式之和為0。

20.范德蒙行列式

111

-r-rc

11”=「［（%--%）c：個(gè)

乘法相關(guān)

AB的(i,7)位元素是A的第i行和8的第/列對應(yīng)元素乘積之和。

21.乘積矩陣的列向量與行向量

(I)設(shè)“2X〃矩陣4=(外,4,…,a”)，〃維列向量/?=0],為,…，2Y，貝IJ

矩陣乘法應(yīng)用于方程組

方程組的矩陣形式

Ax=。，(尸=佃也，…也)’)

方程組的向量形式

(2)設(shè)AB=C,

AB的第i個(gè)列向量是A的列向量組的線性組合，組合系數(shù)是B的第/個(gè)列向量的各分

量。

A8的第i個(gè)行向量是8的行向量組的線性組合，組合系數(shù)是A的第，?個(gè)行向量的各分

量。

矩陣分解

當(dāng)矩陣C的每個(gè)列向量都是A的列向量的線性組合時(shí)，可把