第四章 第二節(jié) 矩陣三角分解法

第二節(jié)矩陣三角分解

法一、分解法二、平方根法

1、

平方根法

2、分解法

三、追趕法設(shè)矩陣A存在LU分解，即有比較兩端的第一行，有

一、分解法比較兩端的第一列，有

再比較兩端第二行的其余元素得

再比較兩端第二列的其余元素得

從上面的計(jì)算過程，不難歸納出一般的計(jì)算公式

再對(duì)計(jì)算

同時(shí)，由，按上邊順序依次求得：這個(gè)分解過程叫做分解，用這種方法求解方程組所需要的計(jì)算量和用

消元法計(jì)算需要的計(jì)算量基本相同，但這種方法把

對(duì)系數(shù)矩陣的計(jì)算和對(duì)右端項(xiàng)的計(jì)算分開了，這就使我們?cè)谟?jì)算系數(shù)矩陣相同而右端項(xiàng)不同的一系列方程組時(shí)變得特別方便。

與此類似，如果A存在LU分解，則有

其中，是以為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣，是單位上三角矩陣，是下三角矩陣，和分解一樣,我們可以依次得矩陣和的元素和，從而將矩陣A分解為這樣的分解稱為分解。例2

用分解求解方程組和解容易驗(yàn)證系數(shù)矩陣A的順序主子式全不為零，故A存在唯一的分解，由得再由可計(jì)算出

對(duì)第一個(gè)方程組，由和可求得

再由和，求得解對(duì)第二個(gè)方程組，由和得

由和得

二、平方根法

求解對(duì)稱正定方程組，在許多工程實(shí)際計(jì)算問題中經(jīng)常遇到，由于其本身的特點(diǎn)，使用前述的解法是不利的，應(yīng)該采用適合其特點(diǎn)的解法。這里介紹的分解法，其運(yùn)算量和存儲(chǔ)量較LU分解法均節(jié)省一半左右，是目前在計(jì)算機(jī)上解這類問題最有效的方法之一。設(shè)A為對(duì)稱正定矩陣，則A的各階主子式均大于零，于是有如下三角分解其中為下三角矩陣，為單位上三角矩陣。

式中為單位下三角矩陣，為非奇異的對(duì)角矩陣，記為于是成為因?yàn)?，于是有由于的?duì)角元素皆為非零元素，則也有分解式

這里，和同為下三角矩陣，和同為單位上三角矩陣，于是據(jù)分解式的唯一性，有，故若用表示對(duì)角矩陣，則有從而式又可以表為

其中已不是單位下三角矩陣了。

我們稱和為對(duì)稱正定矩陣A的分解，下面據(jù)這兩種分解式來(lái)討論方程組的計(jì)算方法，從分解式出發(fā)而得到的計(jì)算方法稱為平方根法；從分解式出發(fā)而得到的計(jì)算方法稱為分解法（改進(jìn)的平方根法），這兩種方法統(tǒng)稱為分解法

。其中

和分解一樣，比較式兩端對(duì)應(yīng)元素，可以依次算出，今設(shè)從第1列到第k-1列的元素均已算出，現(xiàn)在來(lái)計(jì)算L的第k列元素由關(guān)系式，有

1、

平方根法

設(shè)對(duì)稱正定陣A具有形如的分解：于是當(dāng)時(shí)有

當(dāng)時(shí)，有

對(duì)，重復(fù)n次的計(jì)算后，便求得矩陣L。這樣，求解對(duì)稱正定方程組可化為解三角形方程組及，它們的求解公式為：由式可以看出這說(shuō)明L的元素其絕對(duì)值不會(huì)變得很大，所以分解過程中各元素是完全可以控制的，舍入誤差的增長(zhǎng)也就是可控的。因而上述平方根法的計(jì)算過程是穩(wěn)定的。但在使用這一方法時(shí)，要完成n次開方運(yùn)算，這樣將增加不少運(yùn)算量，為了避免開方運(yùn)算，可直接使用分解式進(jìn)行計(jì)算。其中L是單位下三角矩陣，D是對(duì)角矩陣且對(duì)角元素為正數(shù)，比較式兩端的元素，有于是及L的第一列元素已算出，又于是又可算出和L的第二列元素：2、分解法

設(shè)對(duì)稱正定陣A具有形如的分解：設(shè)及L的第列元素已算出，由關(guān)系式便可得到計(jì)算矩陣D和L的計(jì)算公式其中是D的對(duì)角元素，在計(jì)算時(shí)求和號(hào)中每個(gè)元素都由三個(gè)數(shù)相乘得到，這就增加了計(jì)算量，為此引進(jìn)輔助量，并將改寫為求得矩陣L和D以后，解方程組可分三步完成：1）解，得；2）解，得，即；

3）解，得。例3用分解求方程組的解。解容易驗(yàn)證系數(shù)矩陣A的順序主子式都大于零，故A為對(duì)稱正定矩陣，現(xiàn)在按計(jì)算D和L：這樣就得到依次解方程組：解得解得解得三、追趕法求三次樣條插值函數(shù)及用差分法求解二階常微分方程的邊值問題等，都需要求解所謂對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角方程組，即

(4.1)其中由于在實(shí)際問題中遇到的這種方程組的階數(shù)都較高，所以零元占優(yōu)勢(shì)，為節(jié)省存貯和計(jì)算量，不直接用前述的（或）分解公式，而是根據(jù)矩陣的特殊形狀，推導(dǎo)出更為簡(jiǎn)捷的三角分解計(jì)算和求解公式。由矩陣的特殊形狀可假設(shè)的分解具有如下形式：

(4.2)

比較兩端對(duì)應(yīng)元素，得到如下計(jì)算公式：

容易驗(yàn)證，分解過程（4.3）是數(shù)值穩(wěn)定的。

這樣，解方程組（4.1）可分為兩步求解和，計(jì)算公式是求解公式（4.4）和（4.5）直接用及表示，