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文檔簡(jiǎn)介
第二節(jié)矩陣三角分解
法一、分解法二、平方根法
1、
平方根法
2、分解法
三、追趕法設(shè)矩陣A存在LU分解,即有比較兩端的第一行,有
一、分解法比較兩端的第一列,有
再比較兩端第二行的其余元素得
再比較兩端第二列的其余元素得
從上面的計(jì)算過程,不難歸納出一般的計(jì)算公式
再對(duì)計(jì)算
同時(shí),由,按上邊順序依次求得:這個(gè)分解過程叫做分解,用這種方法求解方程組所需要的計(jì)算量和用
消元法計(jì)算需要的計(jì)算量基本相同,但這種方法把
對(duì)系數(shù)矩陣的計(jì)算和對(duì)右端項(xiàng)的計(jì)算分開了,這就使我們?cè)谟?jì)算系數(shù)矩陣相同而右端項(xiàng)不同的一系列方程組時(shí)變得特別方便。
與此類似,如果A存在LU分解,則有
其中,是以為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣,是單位上三角矩陣,是下三角矩陣,和分解一樣,我們可以依次得矩陣和的元素和,從而將矩陣A分解為這樣的分解稱為分解。例2
用分解求解方程組和解容易驗(yàn)證系數(shù)矩陣A的順序主子式全不為零,故A存在唯一的分解,由得再由可計(jì)算出
對(duì)第一個(gè)方程組,由和可求得
再由和,求得解對(duì)第二個(gè)方程組,由和得
由和得
二、平方根法
求解對(duì)稱正定方程組,在許多工程實(shí)際計(jì)算問題中經(jīng)常遇到,由于其本身的特點(diǎn),使用前述的解法是不利的,應(yīng)該采用適合其特點(diǎn)的解法。這里介紹的分解法,其運(yùn)算量和存儲(chǔ)量較LU分解法均節(jié)省一半左右,是目前在計(jì)算機(jī)上解這類問題最有效的方法之一。設(shè)A為對(duì)稱正定矩陣,則A的各階主子式均大于零,于是有如下三角分解其中為下三角矩陣,為單位上三角矩陣。
式中為單位下三角矩陣,為非奇異的對(duì)角矩陣,記為于是成為因?yàn)?,于是有由于的?duì)角元素皆為非零元素,則也有分解式
這里,和同為下三角矩陣,和同為單位上三角矩陣,于是據(jù)分解式的唯一性,有,故若用表示對(duì)角矩陣,則有從而式又可以表為
其中已不是單位下三角矩陣了。
我們稱和為對(duì)稱正定矩陣A的分解,下面據(jù)這兩種分解式來討論方程組的計(jì)算方法,從分解式出發(fā)而得到的計(jì)算方法稱為平方根法;從分解式出發(fā)而得到的計(jì)算方法稱為分解法(改進(jìn)的平方根法),這兩種方法統(tǒng)稱為分解法
。其中
和分解一樣,比較式兩端對(duì)應(yīng)元素,可以依次算出,今設(shè)從第1列到第k-1列的元素均已算出,現(xiàn)在來計(jì)算L的第k列元素由關(guān)系式,有
1、
平方根法
設(shè)對(duì)稱正定陣A具有形如的分解:于是當(dāng)時(shí)有
當(dāng)時(shí),有
對(duì),重復(fù)n次的計(jì)算后,便求得矩陣L。這樣,求解對(duì)稱正定方程組可化為解三角形方程組及,它們的求解公式為:由式可以看出這說明L的元素其絕對(duì)值不會(huì)變得很大,所以分解過程中各元素是完全可以控制的,舍入誤差的增長(zhǎng)也就是可控的。因而上述平方根法的計(jì)算過程是穩(wěn)定的。但在使用這一方法時(shí),要完成n次開方運(yùn)算,這樣將增加不少運(yùn)算量,為了避免開方運(yùn)算,可直接使用分解式進(jìn)行計(jì)算。其中L是單位下三角矩陣,D是對(duì)角矩陣且對(duì)角元素為正數(shù),比較式兩端的元素,有于是及L的第一列元素已算出,又于是又可算出和L的第二列元素:2、分解法
設(shè)對(duì)稱正定陣A具有形如的分解:設(shè)及L的第列元素已算出,由關(guān)系式便可得到計(jì)算矩陣D和L的計(jì)算公式其中是D的對(duì)角元素,在計(jì)算時(shí)求和號(hào)中每個(gè)元素都由三個(gè)數(shù)相乘得到,這就增加了計(jì)算量,為此引進(jìn)輔助量,并將改寫為求得矩陣L和D以后,解方程組可分三步完成:1)解,得;2)解,得,即;
3)解,得。例3用分解求方程組的解。解容易驗(yàn)證系數(shù)矩陣A的順序主子式都大于零,故A為對(duì)稱正定矩陣,現(xiàn)在按計(jì)算D和L:這樣就得到依次解方程組:解得解得解得三、追趕法求三次樣條插值函數(shù)及用差分法求解二階常微分方程的邊值問題等,都需要求解所謂對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角方程組,即
(4.1)其中由于在實(shí)際問題中遇到的這種方程組的階數(shù)都較高,所以零元占優(yōu)勢(shì),為節(jié)省存貯和計(jì)算量,不直接用前述的(或)分解公式,而是根據(jù)矩陣的特殊形狀,推導(dǎo)出更為簡(jiǎn)捷的三角分解計(jì)算和求解公式。由矩陣的特殊形狀可假設(shè)的分解具有如下形式:
(4.2)
比較兩端對(duì)應(yīng)元素,得到如下計(jì)算公式:
容易驗(yàn)證,分解過程(4.3)是數(shù)值穩(wěn)定的。
這樣,解方程組(4.1)可分為兩步求解和,計(jì)算公式是求解公式(4.4)和(4.5)直接用及表示,
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