第2節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則

491第二節(jié)二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則

函數(shù)的求導(dǎo)法則

第二章492第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則前面根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求出了一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。但是，對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)，直接根據(jù)定義來求它們的導(dǎo)數(shù)往往很困難。在本節(jié)和下節(jié)中，將介紹求導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)基本法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。借助這些法則和公式，就能比較方便的求出常見的函數(shù)—初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。493學(xué)習(xí)指導(dǎo)1.教學(xué)目地：掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；掌握反函數(shù)求導(dǎo)法則與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；2.基本練習(xí)：熟記四則運(yùn)算求導(dǎo)法側(cè)，對(duì)四則運(yùn)算表示的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)計(jì)算；熟記反函數(shù)求導(dǎo)法則與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，熟記反三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式，對(duì)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)計(jì)算；熟練使用公式計(jì)算初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3.注意事項(xiàng)：

(1)若函數(shù)可以化簡(jiǎn)時(shí)，應(yīng)先化簡(jiǎn)再進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算步驟。

(2)利用鏈?zhǔn)椒▌t求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，首先應(yīng)對(duì)函數(shù)的復(fù)合關(guān)系做到心中有數(shù)，在具體計(jì)算時(shí)不要遺漏復(fù)合函數(shù)的復(fù)合步驟。

(3)要注意商的求導(dǎo)、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)以及區(qū)分與的求導(dǎo)公式。494思路:(構(gòu)造性定義)求導(dǎo)法則其它基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式證明中利用了兩個(gè)重要極限初等函數(shù)求導(dǎo)問題本節(jié)內(nèi)容495一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則

定理1.的和、差、積、商(除分母為0的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x

可導(dǎo),且下面分三部分加以證明,并同時(shí)給出相應(yīng)的推論和例題.496此法則可推廣到任意有限項(xiàng)的情形.證:

設(shè),則故結(jié)論成立.497(2)證:

設(shè)則有故結(jié)論成立.498(3)證:

設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:(C為常數(shù))4994910求導(dǎo)法則的推廣

(u

v

w)

=u

v

w

(uvw)

=u

vw+uv

w+uvw

特殊情況

(Cu)

=Cu

注意

一般地說,乘積的導(dǎo)數(shù)≠導(dǎo)數(shù)的乘積;

商的導(dǎo)數(shù)≠導(dǎo)數(shù)的商.4911例1解例2求及解4912例3求解4913例4解同理可得4914例5解同理可得正割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4915例6解4916二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理或即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。4917

由于x

f(y)可導(dǎo)(從而連續(xù))

所以x

f(y)的反函數(shù)y

f

1(x)連續(xù)

當(dāng)x

0時(shí)

y

0

所以4918例7解同理可得4919特別地例8解利用反函數(shù)的求導(dǎo)方法4920在點(diǎn)x

可導(dǎo),三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理3.在點(diǎn)可導(dǎo)復(fù)合函數(shù)且在點(diǎn)x

可導(dǎo),證:在點(diǎn)

u可導(dǎo),故（當(dāng)時(shí))故有(復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t)

4921推廣即因變量對(duì)自變量求導(dǎo),等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).(鏈?zhǔn)椒▌t)4922例如,關(guān)鍵:搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)。推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.4923例9解4924例10求解可看作由復(fù)合而成，4925例11解4926例12解例13解4927例14求解思考:

若存在,如何求這兩個(gè)記號(hào)含義不同練習(xí):

設(shè)的導(dǎo)數(shù)?4928例15.

求下列導(dǎo)數(shù):解:(1)(2)(3)說明:

類似可得4929注熟練地掌握了復(fù)合函數(shù)的分解及鏈?zhǔn)椒▌t后，可以不寫出中間變量（符號(hào)），采用逐層求導(dǎo)的方式計(jì)算復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（這樣可省去還原這一步）。4930四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式

1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)(C)

0

(2)(xm)

m

xm

1

(3)(sinx)

cosx

(4)(cosx)

sinx

(5)(tanx)

sec2x

(6)(cotx)

csc2x

(7)(secx)

secx

tanx

(8)(cscx)

cscx

cotx

(9)(a

x)

a

xlna

(10)(e

x)

ex

49312.有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則(C為常數(shù))3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則4.初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),由定義證,說明:最基本的公式其它公式用求導(dǎo)法則推出.且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)4932現(xiàn)在我們可以（利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及常數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t）求出所有初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。4933解例16求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù).4934解例17求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).4935

例18

y

sinnx

sinn

x(n為常數(shù))

求y

nsinn

1x

sin(n+1)x

ncosnx

sinn

x+nsinn

1x

cosx

(sinx)

n

sinn

1x+sinnx

sinn

x

ncosnx+sinnx

(sinn

x)

(sinnx)

sinn

x

解

4936例19解4937例20.求解:例21.設(shè)解:求4938例22.求解:關(guān)鍵:

搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)4939例23.設(shè)求解:4940五、小結(jié)2、反函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意成立條件）.3、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（鏈?zhǔn)椒▌t）（注意函數(shù)的復(fù)合過程）.4、基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。

注意:分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí),分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)要用左右導(dǎo)數(shù)來求.1、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：5、可以求出所有初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

49411.思考與練習(xí)對(duì)嗎?2.

設(shè)其中在因故時(shí),下列做法是否正確?在求處連續(xù),4942正確解法:49433.

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解:(1)(2)或49444.

設(shè)求解:

方法1

利用導(dǎo)數(shù)定義.方法2

利用求導(dǎo)公式.4945作業(yè)P972(2),