華師一附中2024屆高三《導數(shù)的應用-極值點偏移》補充作業(yè)6 答案

第第頁華師一2024屆高三《導數(shù)的應用——極值點偏移》補充作業(yè)6試卷參考答案：1．(1)(2)證明見解析【分析】（1）設與直線的切點為，由導數(shù)的幾何意義可得，又，聯(lián)立即可求解；（2）由題意可得，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，進而分析：要證，即證，只需證，即證，只需證，然后構(gòu)造函數(shù)（其中即可證明.【詳解】（1）解：，設與直線的切點為，則，所以，解得，所以；（2）解：由（1）可知，，，因為，當且僅當時等號成立，所以，所以在上單調(diào)遞增，又因為，且，所以，因為，所以當時，，在上單調(diào)遞增，要證，即證，只需證，即證，因為，所以，所以只需證，設（其中，因為，所以在上為增函數(shù)，所以，故式成立，從而得證.【點睛】關鍵點點睛：本題（2）問解題的關鍵是，分析要證，即證，只需證，即證，只需證，從而構(gòu)造函數(shù)即可證明.2．(1)(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意得，進而帶入解方即可得答案；（2）根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，進而將問題轉(zhuǎn)化為.再設，分和兩種情況討論求解即可.(1)解：，因為曲線在點處的切線方程為，所以，即，解得所以(2)解：由（1）知，令，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，是兩個正數(shù)，且所以，不妨設，當時，命題顯然成立，得證.當時，令所以所以當時，，故所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以即，所以，因為，所以所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.綜上，，證畢.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，極值點偏移問題，考查運算求解能力，邏輯推理能力，是難題.本題第二問解答的關鍵在于構(gòu)造函數(shù)，進而將問題轉(zhuǎn)化為，再分類討論求解即可.3．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由題可知，利用導數(shù)可求最小值，即證；（2）由題可得，要證，只需證，，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)即證.(1)由題意，，令，則，令，則，故在區(qū)間上，，為減函數(shù)；在區(qū)間上，，為增函數(shù)，∴，故，故在上為增函數(shù).(2)由（1）知為增函數(shù)，且，故由，，可得，則.欲證：，只需證：，即證：，即證：.令，則，令，則，故為增函數(shù)，，故為增函數(shù)，，故，則，∴.4．(1)(2)證明見解析【分析】（1）分別求出和的最小值，列方程即可求出結(jié)果；（1）問題轉(zhuǎn)化為有兩個零點，證明，進而只需要證明只需要證明，也即是，從而令，構(gòu)造函數(shù)求出最值即可證出結(jié)論．【詳解】（1）由．所以．所以．令，則為上的增函數(shù)，且．所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．所以．又．所以．令，則所以為上的增函數(shù)．又．令，因為在上單調(diào)遞增，且，而，因此函數(shù)與直線有唯一交點，故方程在上有唯一解，所以存在唯一，使得．即，故，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以．所以．故而．（2）由題意有兩個零點．所以，即．所以等價于：有兩個零點，證明.不妨令．由．要證，只需要證明．即只需證明：．只需證明：，即．令．只需證明：．令．則，即在上為增函數(shù)．又．所以．綜上所述，原不等式成立．【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．5．(1)(2)見解析【分析】（1）在上單調(diào)遞增即在恒成立，令，分類討論的單調(diào)性，證明即可.（2）求出，要證明，即證明，即證明.令，對求導，得出的單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1）因為在上單調(diào)遞增，所以在恒成立，所以在恒成立，令，，①當時，在恒成立，在上單調(diào)遞增，所以，所以滿足題意.②當時，令，則.(i)，所以，在單調(diào)遞增，所以，所以滿足題意.（ii），在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，令，，所以在恒成立，所以在上單調(diào)遞減，而，所以不成立.所以實數(shù)a的取值范圍為：.（2），，因為是的極值點，所以滿足，令，則若，解得，所以當時，，當時，，所以，，所以是唯一負極值點，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要證明，即證明，化簡得，由于在上單調(diào)遞增，且由，，可知.故，從而可推得，而，因此.令，則，，而，所以，故單調(diào)遞增，從而，即，從而，即證得.6．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導，分，兩種情況，分別研究的正負，即可得到的單調(diào)性；（2）將已知的方程兩邊同時取對數(shù)，得到，由進行分析，利用（1）中的結(jié)論，不妨令，分或兩種情況求解，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究其性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)及基本不等式，即可證明.【詳解】（1）

當時，，，所以單調(diào)遞增；，，所以單調(diào)遞減；當時，，所以單調(diào)遞減；，所以單調(diào)遞增；（2）證明：，∴，即當時，由（1）可知，此時是的極大值點，因此不妨令要證，即證：①當時，成立；②當時先證此時

要證，即證：，即，即即：①令，∴∴在區(qū)間上單調(diào)遞增∴，∴①式得證.∴∵，∴

∴

∴7．(1)取值范圍是(2)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，由此求得的取值范圍.（2）將方程有兩個實根轉(zhuǎn)化為有兩個不相等的零點，由此列方程，將證明轉(zhuǎn)化為證明，解得或?qū)?shù)證得不等式成立.【詳解】（1）的定義域為，，在上單調(diào)遞增，所以的取值范圍是.（2）的定義域為，有兩個不相等的實數(shù)根，令，由（1）知在上遞增，則，則有兩個不相等的零點，，，.要證，只需證，即證，即證，，故只需證，不妨設，令，則只需證，只需證，令，，所以，即當時，成立.所以，即，所以.【點睛】利用導數(shù)證明不等式，主要的方法是通過已知條件，劃歸與轉(zhuǎn)化所要證明的不等式，然后通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)來求所構(gòu)造函數(shù)的取值范圍來證得不等式成立.8．（1）詳見解析；（2）詳見解析.【分析】（1）當時，顯然無零點；當時，考查函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的公共點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果；（2）由（1）得，將要證不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)是函數(shù)的兩個零點得，不等式轉(zhuǎn)化為，不妨設，令，通過換元不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性可證得不等式成立.【詳解】（1），①當時，，因為，所以無零點；②當時，，下面考查函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的公共點個數(shù).當二者相切時，設切點為，則，解得，即函數(shù)圖象與函數(shù)圖象相切.由圖可知，當時，兩函數(shù)圖象有且只有一個公共點，即有1個零點；當，即時，兩函數(shù)圖象無公共點，即無零點；當，即時，兩函數(shù)圖象有2個公共點，即有2個零點.綜合①②可知，當時，函數(shù)無零點；當時，函數(shù)有1個零點；當時，函數(shù)有2個零點.（2）由（1）知，當時，，即對任意，.因為函數(shù)有2個零點，由（1）知，，所以，即.要證，即證，只需證.因為是函數(shù)的兩個零點，所以，兩式相減得，所以只需證.不妨設，則，即證，令，即證.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以對任意，，即成立.故原不等式成立.【點睛】關鍵點點睛：第（2）問的關鍵點是：通過層層轉(zhuǎn)化，把要證的不等式轉(zhuǎn)化為時，，最終通過構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性證得不等式成立.9．(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)證明見解析【分析】（1）由題意，可得到函數(shù)y的解析式，對函數(shù)進行求導，由導函數(shù)的正負可得關于x的取值范圍，故可得y的單調(diào)區(qū)間；（2）對函數(shù)進行求導，由有兩個零點，可得到函數(shù)的判別式及a的取值范圍，由，可得到的取值范圍，對原題中不等式進行轉(zhuǎn)換，再利用換元得到，對進行求導判斷單調(diào)性，則可得的最大值，故可證得不等式成立?！驹斀狻浚?）若，則，所以，由，得；由，得．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）因為函數(shù)，所以，所以．若函數(shù)有兩個零點，則方程的判別式，，所以．又，所以，即，，欲證，只需證，即證．設，其中，由，得．因為，所以，由得；由得．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為，從而成立．10．(1)；(2)，證明見解析﹒【分析】(1)先求出，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進而可得切線方程；(2)將函數(shù)存在兩個極值點轉(zhuǎn)化為其導函數(shù)存在兩個零點，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，進而得到的取值范圍，由，可知要證，只要證，只要證，構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，進而可得結(jié)果．【詳解】（1）當時，，則，，∴，∴曲線在處的切線方程為，即．（2）由題意知，令，，∵存在兩個極值點，∴有兩個零點，易知，當時，，在上單調(diào)遞增，g(x)至多有一個零點，不合題意．當時，由得，若，則，單調(diào)遞增；若，則，單調(diào)遞減．要使有兩個零點，需，解得．當時，，∴在上存在唯一零點，記為．∵，∴，，設，則，令，，則，∴在上單調(diào)遞減，∴，即，∴在上存在唯一零點，記為．則，隨的變化情況如下表：﹣0﹢0﹣↘極小值↗極大值↘∴實數(shù)的取值范圍是．∵，，∴，∵，∴，∵，∴要證，只要證，只要證，只要證，又，∴只要證，即證．設，，則，∴F(x)在時單調(diào)遞增，∴，∴成立，即得證．【點睛】含有雙變量的不等式證明問題中的雙變量指的是所給的不等關系中涉及兩個不同變量，處理此類問題有兩個策略：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙變量所滿足的不等式，并把含雙變量的不等式轉(zhuǎn)化為含單變量的不等式求解；二是巧妙構(gòu)造函數(shù)，再借用導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過求函數(shù)最值求解．11．（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）求出導函數(shù)，分類討論，確定的單調(diào)性，最大值，解相應的不等式可得；（2）變形為，在證的不等式中若或，不等式已經(jīng)成立，因此只要證時不等式成立，首先引入函數(shù)，，，由導數(shù)確定出的單調(diào)性，要證的不等式為轉(zhuǎn)化為證，，即證：，為此再引入新函數(shù)，，利用導數(shù)可證．【詳解】（1）解：，當時，，令得：，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.∴，由，得：，當時，，則對恒成立，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以不符合.故：的取值范圍為.（2）∵，∴，得：，若或，則結(jié)論顯然成立.當時，，令，，，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，則，證：證：，而，所以等價于證：，即證：，，令：，，得：在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，∴，因為，所以，所以，故原不等式得證.【點睛】關鍵點點睛：本題考查考查不等式恒成立問題，考查與方程根的不等式的證明．證明不等式時第一個關鍵點是利用兩個變量之間的關系，把問題轉(zhuǎn)化為一個變量，第二個關鍵點在于等價轉(zhuǎn)化，通過引入函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化．最終轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì)即可證．同時注意問題的轉(zhuǎn)化，如本題中或時，不等式已經(jīng)成立，只要證明時即可．12．（1）g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；（2）見解析【分析】（1）先得到解析式，然后對求導，分別解和，得到其單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間；（2）由題可知x1，x2是g（x）的兩零點，要證x1+x2＞2，只需證x2＞2﹣x1＞1，只需證g（2﹣x1）＞g（x2）＝0，設h（x）＝ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2，利用導數(shù)證明在（0，1）上單調(diào)遞減，從而證明，即g（2﹣x1）＞g（x2），從而證明x1+x2＞2.【詳解】（1）∵f（x）＝xlnxx2﹣ax+1，∴g（x）＝f'（x）＝lnx﹣x+1﹣a（x＞0），∴g'（x）令g'（x）＝0，則x＝1，∴當x＞1時，g'（x）＜0；當0＜x＜1時，g'（x）＞0，∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；（2）∵f（x）有兩個極值點x1，x2，∴x1，x2是g（x）的兩零點，則g（x1）＝g（x2）＝0，不妨設0＜x1＜1＜x2，∴由g（x1）＝0可得a＝lnx1﹣x1+1，∵g（x）在（1，+∞）