華師一附中2024屆高三《導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-極值點偏移》補充作業(yè)6 答案

第第頁華師一2024屆高三《導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用——極值點偏移》補充作業(yè)6試卷參考答案：1．(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)與直線的切點為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，又，聯(lián)立即可求解；（2）由題意可得，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，進而分析：要證，即證，只需證，即證，只需證，然后構(gòu)造函數(shù)（其中即可證明.【詳解】（1）解：，設(shè)與直線的切點為，則，所以，解得，所以；（2）解：由（1）可知，，，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以在上單調(diào)遞增，又因為，且，所以，因為，所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，要證，即證，只需證，即證，因為，所以，所以只需證，設(shè)（其中，因為，所以在上為增函數(shù)，所以，故式成立，從而得證.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題（2）問解題的關(guān)鍵是，分析要證，即證，只需證，即證，只需證，從而構(gòu)造函數(shù)即可證明.2．(1)(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意得，進而帶入解方即可得答案；（2）根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，進而將問題轉(zhuǎn)化為.再設(shè)，分和兩種情況討論求解即可.(1)解：，因為曲線在點處的切線方程為，所以，即，解得所以(2)解：由（1）知，令，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，是兩個正數(shù)，且所以，不妨設(shè)，當(dāng)時，命題顯然成立，得證.當(dāng)時，令所以所以當(dāng)時，，故所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以即，所以，因為，所以所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.綜上，，證畢.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，極值點偏移問題，考查運算求解能力，邏輯推理能力，是難題.本題第二問解答的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，進而將問題轉(zhuǎn)化為，再分類討論求解即可.3．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由題可知，利用導(dǎo)數(shù)可求最小值，即證；（2）由題可得，要證，只需證，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即證.(1)由題意，，令，則，令，則，故在區(qū)間上，，為減函數(shù)；在區(qū)間上，，為增函數(shù)，∴，故，故在上為增函數(shù).(2)由（1）知為增函數(shù)，且，故由，，可得，則.欲證：，只需證：，即證：，即證：.令，則，令，則，故為增函數(shù)，，故為增函數(shù)，，故，則，∴.4．(1)(2)證明見解析【分析】（1）分別求出和的最小值，列方程即可求出結(jié)果；（1）問題轉(zhuǎn)化為有兩個零點，證明，進而只需要證明只需要證明，也即是，從而令，構(gòu)造函數(shù)求出最值即可證出結(jié)論．【詳解】（1）由．所以．所以．令，則為上的增函數(shù)，且．所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．所以．又．所以．令，則所以為上的增函數(shù)．又．令，因為在上單調(diào)遞增，且，而，因此函數(shù)與直線有唯一交點，故方程在上有唯一解，所以存在唯一，使得．即，故，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以．所以．故而．（2）由題意有兩個零點．所以，即．所以等價于：有兩個零點，證明.不妨令．由．要證，只需要證明．即只需證明：．只需證明：，即．令．只需證明：．令．則，即在上為增函數(shù)．又．所以．綜上所述，原不等式成立．【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．5．(1)(2)見解析【分析】（1）在上單調(diào)遞增即在恒成立，令，分類討論的單調(diào)性，證明即可.（2）求出，要證明，即證明，即證明.令，對求導(dǎo)，得出的單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1）因為在上單調(diào)遞增，所以在恒成立，所以在恒成立，令，，①當(dāng)時，在恒成立，在上單調(diào)遞增，所以，所以滿足題意.②當(dāng)時，令，則.(i)，所以，在單調(diào)遞增，所以，所以滿足題意.（ii），在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，令，，所以在恒成立，所以在上單調(diào)遞減，而，所以不成立.所以實數(shù)a的取值范圍為：.（2），，因為是的極值點，所以滿足，令，則若，解得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，，所以是唯一負極值點，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要證明，即證明，化簡得，由于在上單調(diào)遞增，且由，，可知.故，從而可推得，而，因此.令，則，，而，所以，故單調(diào)遞增，從而，即，從而，即證得.6．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，分，兩種情況，分別研究的正負，即可得到的單調(diào)性；（2）將已知的方程兩邊同時取對數(shù)，得到，由進行分析，利用（1）中的結(jié)論，不妨令，分或兩種情況求解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)及基本不等式，即可證明.【詳解】（1）

當(dāng)時，，，所以單調(diào)遞增；，，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減；，所以單調(diào)遞增；（2）證明：，∴，即當(dāng)時，由（1）可知，此時是的極大值點，因此不妨令要證，即證：①當(dāng)時，成立；②當(dāng)時先證此時

要證，即證：，即，即即：①令，∴∴在區(qū)間上單調(diào)遞增∴，∴①式得證.∴∵，∴

∴

∴7．(1)取值范圍是(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，由此求得的取值范圍.（2）將方程有兩個實根轉(zhuǎn)化為有兩個不相等的零點，由此列方程，將證明轉(zhuǎn)化為證明，解得或?qū)?shù)證得不等式成立.【詳解】（1）的定義域為，，在上單調(diào)遞增，所以的取值范圍是.（2）的定義域為，有兩個不相等的實數(shù)根，令，由（1）知在上遞增，則，則有兩個不相等的零點，，，.要證，只需證，即證，即證，，故只需證，不妨設(shè)，令，則只需證，只需證，令，，所以，即當(dāng)時，成立.所以，即，所以.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，主要的方法是通過已知條件，劃歸與轉(zhuǎn)化所要證明的不等式，然后通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求所構(gòu)造函數(shù)的取值范圍來證得不等式成立.8．（1）詳見解析；（2）詳見解析.【分析】（1）當(dāng)時，顯然無零點；當(dāng)時，考查函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的公共點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果；（2）由（1）得，將要證不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)是函數(shù)的兩個零點得，不等式轉(zhuǎn)化為，不妨設(shè)，令，通過換元不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性可證得不等式成立.【詳解】（1），①當(dāng)時，，因為，所以無零點；②當(dāng)時，，下面考查函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的公共點個數(shù).當(dāng)二者相切時，設(shè)切點為，則，解得，即函數(shù)圖象與函數(shù)圖象相切.由圖可知，當(dāng)時，兩函數(shù)圖象有且只有一個公共點，即有1個零點；當(dāng)，即時，兩函數(shù)圖象無公共點，即無零點；當(dāng)，即時，兩函數(shù)圖象有2個公共點，即有2個零點.綜合①②可知，當(dāng)時，函數(shù)無零點；當(dāng)時，函數(shù)有1個零點；當(dāng)時，函數(shù)有2個零點.（2）由（1）知，當(dāng)時，，即對任意，.因為函數(shù)有2個零點，由（1）知，，所以，即.要證，即證，只需證.因為是函數(shù)的兩個零點，所以，兩式相減得，所以只需證.不妨設(shè)，則，即證，令，即證.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以對任意，，即成立.故原不等式成立.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（2）問的關(guān)鍵點是：通過層層轉(zhuǎn)化，把要證的不等式轉(zhuǎn)化為時，，最終通過構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性證得不等式成立.9．(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)證明見解析【分析】（1）由題意，可得到函數(shù)y的解析式，對函數(shù)進行求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負可得關(guān)于x的取值范圍，故可得y的單調(diào)區(qū)間；（2）對函數(shù)進行求導(dǎo)，由有兩個零點，可得到函數(shù)的判別式及a的取值范圍，由，可得到的取值范圍，對原題中不等式進行轉(zhuǎn)換，再利用換元得到，對進行求導(dǎo)判斷單調(diào)性，則可得的最大值，故可證得不等式成立?！驹斀狻浚?）若，則，所以，由，得；由，得．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）因為函數(shù)，所以，所以．若函數(shù)有兩個零點，則方程的判別式，，所以．又，所以，即，，欲證，只需證，即證．設(shè)，其中，由，得．因為，所以，由得；由得．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為，從而成立．10．(1)；(2)，證明見解析﹒【分析】(1)先求出，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進而可得切線方程；(2)將函數(shù)存在兩個極值點轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)存在兩個零點，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，進而得到的取值范圍，由，可知要證，只要證，只要證，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，進而可得結(jié)果．【詳解】（1）當(dāng)時，，則，，∴，∴曲線在處的切線方程為，即．（2）由題意知，令，，∵存在兩個極值點，∴有兩個零點，易知，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，g(x)至多有一個零點，不合題意．當(dāng)時，由得，若，則，單調(diào)遞增；若，則，單調(diào)遞減．要使有兩個零點，需，解得．當(dāng)時，，∴在上存在唯一零點，記為．∵，∴，，設(shè)，則，令，，則，∴在上單調(diào)遞減，∴，即，∴在上存在唯一零點，記為．則，隨的變化情況如下表：﹣0﹢0﹣↘極小值↗極大值↘∴實數(shù)的取值范圍是．∵，，∴，∵，∴，∵，∴要證，只要證，只要證，只要證，又，∴只要證，即證．設(shè)，，則，∴F(x)在時單調(diào)遞增，∴，∴成立，即得證．【點睛】含有雙變量的不等式證明問題中的雙變量指的是所給的不等關(guān)系中涉及兩個不同變量，處理此類問題有兩個策略：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙變量所滿足的不等式，并把含雙變量的不等式轉(zhuǎn)化為含單變量的不等式求解；二是巧妙構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過求函數(shù)最值求解．11．（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論，確定的單調(diào)性，最大值，解相應(yīng)的不等式可得；（2）變形為，在證的不等式中若或，不等式已經(jīng)成立，因此只要證時不等式成立，首先引入函數(shù)，，，由導(dǎo)數(shù)確定出的單調(diào)性，要證的不等式為轉(zhuǎn)化為證，，即證：，為此再引入新函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可證．【詳解】（1）解：，當(dāng)時，，令得：，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.∴，由，得：，當(dāng)時，，則對恒成立，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以不符合.故：的取值范圍為.（2）∵，∴，得：，若或，則結(jié)論顯然成立.當(dāng)時，，令，，，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，則，證：證：，而，所以等價于證：，即證：，，令：，，得：在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，∴，因為，所以，所以，故原不等式得證.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查考查不等式恒成立問題，考查與方程根的不等式的證明．證明不等式時第一個關(guān)鍵點是利用兩個變量之間的關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化為一個變量，第二個關(guān)鍵點在于等價轉(zhuǎn)化，通過引入函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化．最終轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì)即可證．同時注意問題的轉(zhuǎn)化，如本題中或時，不等式已經(jīng)成立，只要證明時即可．12．（1）g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；（2）見解析【分析】（1）先得到解析式，然后對求導(dǎo)，分別解和，得到其單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間；（2）由題可知x1，x2是g（x）的兩零點，要證x1+x2＞2，只需證x2＞2﹣x1＞1，只需證g（2﹣x1）＞g（x2）＝0，設(shè)h（x）＝ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2，利用導(dǎo)數(shù)證明在（0，1）上單調(diào)遞減，從而證明，即g（2﹣x1）＞g（x2），從而證明x1+x2＞2.【詳解】（1）∵f（x）＝xlnxx2﹣ax+1，∴g（x）＝f'（x）＝lnx﹣x+1﹣a（x＞0），∴g'（x）令g'（x）＝0，則x＝1，∴當(dāng)x＞1時，g'（x）＜0；當(dāng)0＜x＜1時，g'（x）＞0，∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；（2）∵f（x）有兩個極值點x1，x2，∴x1，x2是g（x）的兩零點，則g（x1）＝g（x2）＝0，不妨設(shè)0＜x1＜1＜x2，∴由g（x1）＝0可得a＝lnx1﹣x1+1，∵g（x）在（1，+∞）