激光原理與技術(shù)課件

第一章鐳射的基本原理本章概雷射器基本原理。討論的重點是光的相干性和光波模式的聯(lián)繫、光的受激輻射以及光放大和振盪的基本概念。

1.1相干性的光子描述一、光子的基本性質(zhì)·

光的量子學(xué)說(光於說)認為，光是一種以光速c運動的光子流。光子（電磁場量子）和其他基本粒子一樣，具有能量、動量和品質(zhì)等。它的粒子屬性(能量，動量，品質(zhì)等)和波動屬性(頻率、彼矢、偏振等)密切聯(lián)繫，並可歸納如下：（1）光子的能量ε與光波頻率ν對應(yīng)

ε=hv（1.1.1）式中h＝6.626×10-34J．s，稱為普朗克常數(shù)。（2）光子具有運動品質(zhì)m，並可表示為

光子的靜止品質(zhì)為零。（1.1.2）（3）光子的動量P與單色平面光波的波矢k對應(yīng)（1.1.3）

n。為光子運動方向(平面光波傳播方向)上的單位向量。

4．光於具有兩種可能的獨立偏振狀態(tài)，對應(yīng)於光波場的兩個獨立偏振方向。

5．光於具有自旋，並且自旋量子數(shù)為整數(shù)。因此大量光於的集合，服從玻色—愛因斯坦統(tǒng)計規(guī)律。處於同一狀態(tài)的光子數(shù)目是沒有限制的，這是光子與其它服從費米統(tǒng)計分佈的粒子(電子、質(zhì)子、中子等)的重要區(qū)別。上述基本關(guān)係式(1.1.1)相(1.1.3)後來為康普頓(ArthurCompton)散射實驗所證實(1923年)，並在現(xiàn)代量子電動力學(xué)中得到理論解釋。量子電動力學(xué)從理論上把光的電磁(波動)理論和光子(微粒)理論在電磁場的量子化描述的基礎(chǔ)上統(tǒng)一起來，從而在理論上闡明了光的波粒二象性。在這種描述中，任意電磁場可看作是一系列單色平面電磁波(它們以波矢k為標(biāo)誌)的線性疊加，

式中或一系列電磁被的本征模式(或本征狀態(tài))的疊加。但每個本征模式所具有的能量是量子化的，即可表為基元能量hv的整數(shù)倍。本征模式的動量也可表為基元動量hk1的整數(shù)倍。這種具有基元能量hv1和基元動量hk1的物質(zhì)單元就稱為屬於第L個本征模式(或狀態(tài))的光子。具有相同能量和動量的光子彼此間不可區(qū)分，因而處於同一模式(或狀態(tài))。每個模式內(nèi)的光子數(shù)目是沒有限制的。二、光波模式和光子狀態(tài)相格從上面的敘述已經(jīng)可以看出，按照量子電動力學(xué)概念，光波的模式和光子的狀態(tài)是等效的概念。下麵將對這一點進行深入一步的討論。由於光的波粒二象性，我們可以用波動和粒子兩種觀點來描述它。在鐳射理論中，光波模式是一個重要概念。按照經(jīng)典電磁理論，光電磁波的運動規(guī)律由麥克斯韋(C.Maxwell)方程決定。單色平面波是麥克斯韋方程的一種特解，它表示為式中E0為光波電場的振幅向量，ν為單色平面波的頻率，r為空間位置座標(biāo)向量，k為波矢。而麥克斯韋方程的通解可表為一系列單色平面波的線性疊加。在自由空間，具有任意波矢k的單色平面波都可以存在。但在一個有邊界條件限制的空間V(例如諧振腔)內(nèi)，只能存在一系列獨立的具有特定波矢k的平面單色駐波。這種能夠存在於腔內(nèi)的駐波(以某一波矢k為標(biāo)誌)稱為電磁被的模式或光波模。一種模式是電磁波運動的一種類型，不同模式以不同的k區(qū)分。同時，考慮到電磁波的兩種獨立的偏振，同一波矢k對應(yīng)著兩個具有不同偏振方向的模。（1.1.4）

下麵求解空腔v內(nèi)的模式數(shù)目。設(shè)空腔為V=ΔxΔyΔz的立方體，則沿三個坐標(biāo)軸方向傳播的波分別應(yīng)滿足的駐波條件為

Δx=mλ/2,Δy=nλ/2,Δz=qλ/2式中mλq為正整數(shù)。而波矢k的三個分量應(yīng)滿足條件

kx=лm/Δx,ky=лn/Δy,kz=лq/Δz(1.1.5)每一組正整數(shù)m,n,q對應(yīng)腔內(nèi)一種模式(包含兩個偏振)。如果在以kxkykz為軸的直角坐標(biāo)系中，即在波矢空間中表示光波模,側(cè)每個模對應(yīng)波矢空間的一點(如圖1.1.1所示)。每一模式在三個座標(biāo)鈾方向與相鄰模的間隔為

Δkx=л/Δx，Δky=л/Δy，Δkz=л/Δy(1.1.6)因此，每個模式在波矢空間佔有一個體積元

ΔkxΔkyΔkz=л3/（ΔxΔyΔz）=л3/V(1.1.7)在k空間內(nèi)，波矢絕對值處於|k|～|k|+d|k|區(qū)間的體積為(1／8)4л|k|2d|k|，故在此體積內(nèi)的模式數(shù)為(1／8)4л|k|2d|k|V/л3。又因|k|＝2л/λ=2λv/c;d|k|=2лdv/c,代入上式則得頻率在v～v+dv區(qū)間內(nèi)的模式數(shù)。再考慮到對應(yīng)同一k有兩種不同的偏振，上述模式效應(yīng)乘2，於是，在體積為V的空腔內(nèi)，處在頻率v附近頻帶dv內(nèi)的模式數(shù)為

P=(8лv2/c3)Vdv(1.1.8)

現(xiàn)在再從粒子的觀點闡明光子狀態(tài)的概念，並且證明，光子態(tài)和光波橫是等效的概念。

在經(jīng)典力學(xué)中，質(zhì)點運動狀態(tài)完全由其座標(biāo)(x，y，z)和動量(PxPyPz)確定。我們可以用廣義笛卡兒(Cartesian)座標(biāo)x、y、z、PxPyPz所支撐的六維空間來描述質(zhì)點的運動狀態(tài)。這種六維空間稱為相空間，相空間內(nèi)的一點表示質(zhì)點的一個運動狀態(tài)。當(dāng)宏觀質(zhì)點沿某一方向(例如：x軸)運動時，它的狀態(tài)變化對應(yīng)於二維相空間(x，Px)的一條連續(xù)曲線，如圖1.1.2所示。但是，光子的運動狀態(tài)和經(jīng)典宏觀質(zhì)點有著本質(zhì)的區(qū)別，它受量子力學(xué)測不準(zhǔn)關(guān)係的制約。測不準(zhǔn)關(guān)係表明：微觀粒子的座標(biāo)和動量不能同時準(zhǔn)確測定，位置測得越準(zhǔn)確，動量就越測不準(zhǔn)。對於一維運動情況．則不準(zhǔn)關(guān)係表示為

ΔxΔPx︾h(1.1.9)上式意味著處於二維相空間面積元ΔxΔPx︾h之內(nèi)的粒子運動狀態(tài)在物理上是不可區(qū)分的，因而它們應(yīng)屬於同一種狀態(tài)。

在三維運動情況下，測不準(zhǔn)關(guān)係為

ΔxΔyΔzΔPxΔPyΔPz︾h3故在六維相空間中，一個光子態(tài)對應(yīng)(或佔有)的相空間體積元為

ΔxΔyΔzΔPxΔPyΔPz︾h3(1.1.10)上述相空間體積元稱為相格。相格是相空間中用任何實驗所能分辨的最小尺度。光子的某一運動狀態(tài)只能定域在一個相格中，但不能確定它在相格內(nèi)部的對應(yīng)位置。於是我們看到，微觀粒子和宏觀質(zhì)點不同，它的運動狀態(tài)在相空間中不是對應(yīng)一點而是對應(yīng)一個相格。這表明微觀粒子運動的不連續(xù)性。僅當(dāng)所考慮的運動物體的能量和動量遠遠大於由普朗克常數(shù)h所標(biāo)誌的l量hv9和hk，以致量子化效應(yīng)可以忽略不計時，量子力學(xué)運動才過渡到經(jīng)典力學(xué)運動。從式(1.1.10)還可得出，一個相格所佔有的座標(biāo)空間體積（或稱相格空間體積)為ΔxΔyΔz︾h3/（ΔPxΔPyΔPz）（1.1.11）現(xiàn)在證明，光波模等效於光子態(tài)。為此將光波模的波矢空間體積元表示式(1.1.7)改寫為在相空間中的形式?？紤]到一個光波模是由兩列沿相反方向傳播的行波組成的駐波．因此一個光波模在相空間的Px，Py和Pz軸方向所占的線度為

ΔPx=2hΔkx,ΔPy=2hΔky,ΔPz=2hΔkz(1.1.12)於是，式(1.1.7)在相空間中可改寫為

ΔPxΔPyΔPzΔxΔyΔz=h3(1.I.13)可見，一個光波模在相空間也佔有一個相格.因此，一個光波模等效於一個光子態(tài)。一個光波模或一個光子態(tài)在座標(biāo)空間都佔有由式(1.1.11)表示的空間體積。

三、光子的相干性為了把光子態(tài)和光子的相干性兩個概念聯(lián)繫起來，下麵對光源的相干性進行討論。在一般情況下，光的相干性理解為：在不同的空間點上、在不同的時刻的光波場的某些特性(例如光波場的相位)的相關(guān)性。在相干性的經(jīng)典理論中引入光場的相干函數(shù)作為相干性的度量。但是，作為相干性的一種粗略描述，常常使用相干體積的概念。如果在空間體積Vc內(nèi)各點的光波場都具有明顯的相干性，則Vc稱為相干體積。Vc又可表示為垂直於光傳播方向的截面上的相干面積Ac和沿傳播方向的相干長度Lc的乘積

Vc=AcLc(1.1.14)式(1.1.14)也可表示為另一形式；

Vc=Acτcc(1.1.15)式中c為光速，τc＝Lc／c是光沿傳播方向通過相干長度Lc所需的時間，稱為相干時間。普通光源發(fā)光，是大量獨立振子(例如發(fā)光原子)的自發(fā)輻射。每個振子發(fā)出的光波是由持續(xù)一段時間Δt或在空間佔有長度cΔt的波列所組成．如圖l.1.3圖所示。不同振子發(fā)出的光波的相位是隨機變化的。對於原子譜線來說，Δt即為原子的激發(fā)態(tài)壽命(Δt︾10-8s秒)。對波列進行頗譜分析，就得到它的頻帶寬度

Δv︾1/ΔtΔv是光源單色性的量度。物理光學(xué)中已經(jīng)闡明，光波的相干長度就是光波的波列長度

Lc＝cΔt＝c/Δv(1.1.16)於是，相干時間τc與光源頻帶寬度Δv的關(guān)係為

τc＝Δt=1/Δv(1.1.17)上式說明，光源單色性越好，則相干時間越長。

物理光學(xué)中曾經(jīng)證明：在圖圖1.1.4中，由線度為Δx的光源A照明的S1和S2兩點的光波場具有明顯空間相干性的條件為

(ΔxLx/R)≤λ(1.1.18)式中λ為光源波長。距離光源R處的相干面積Ac可表示為

λ＝Lx2＝(Rλ/Δx)2(1.1.19)如果用Δθ表示兩縫間距對光源的張角，則(1.1.18)式可寫為(Δx)2≤(λ/Δθ)2(1.1.20)上式的物理意義是：如果要求傳播方向(或波矢k)限於張角Δθ之內(nèi)的光波是相干的，則光源的面積必須小於(λ/Δθ)2。因此，(λ/Δθ)2就是光源的相干面積，或者說，只有從面積小於(λ/Δθ)2的光源面上發(fā)出的光波才能保證張角在Δθ之內(nèi)的雙縫具有相干性(見圖1.1.4)根據(jù)相干體積定義，可得光源的相干體積為

(1.1.21)此式可同樣理解為：如要求傳播方向限於Δθ之內(nèi)並具有頻帶寬度Δv的光波相干，則光源應(yīng)局限在空間體積Vcs之內(nèi)。

現(xiàn)在再從光子觀點分析圖1.1.4。由面積為(Δx)2的光源發(fā)出動量P限於立體角Δθ內(nèi)的光子，因此光子具有動量測不準(zhǔn)量，在Δθ很小的情況下其各分量為

（1.1.22）以為Δθ很小，故有

Pz≈|P|ΔPz≈Δ|P|=(h/c)Δv（1.1.23）如果具有上述動量測不準(zhǔn)量的光子處於同一相格之內(nèi)，即處於一個光子態(tài)，則光子佔有的相格空間體積(即光子的座標(biāo)測不準(zhǔn)量)可根據(jù)(1.1.11)、(1.1.22)、（1.1.23）以及（1.1.21）式求得

（1.124）上式表明，相格的空間體積和相干體積相等。如果光子屬於同一光子態(tài)，則他們因該包含在相干體積之內(nèi)。也就是說屬於同一光子態(tài)的光子是相干的綜上所述可得下述關(guān)於相干性的重要結(jié)論：

1．相格空間體積以及一個光波模或光子態(tài)佔有的空間體積都等於相干體積。

2．屬於同一狀態(tài)助光子或同一模式的光波是相干的。不同狀態(tài)的光子或不同模式的光波是不相干的。

四光子簡並度具有相干性的光波場的強度(相干光強)在相干光的技術(shù)應(yīng)用中，也是一個重要的參量。一個好的相干光源應(yīng)具有盡可能高的相干光強、足夠大的相干面積和足夠長的相干時間．對普通光源來說增大相干面積、相干時間和增大相干光強是矛盾的。由(1.1.17)和(1.1.19)式可訊知，為了增大相干面積和相干時間，可以採用光學(xué)濾波來減小Δv，縮小光源線度或加光闌以減小Δx以及遠離光源等辦法。但這一切都將導(dǎo)致相干光強的減少。這正是普通光源給相干光學(xué)技術(shù)的發(fā)展帶來的限制。例如光全息技術(shù)，它的原理早在1948年就被提出，但在鐳射出現(xiàn)之前一直沒有實際應(yīng)用，其原因就在於此。而雷射器卻是一種把光強和相干性兩者統(tǒng)一起來的強相干光源。我們在後面將對此加以說明。相干光強是描述光的相干性的參量之一。從相干性的光子描述出發(fā)，相干光強決定於具有相干性的光子的數(shù)目或同態(tài)光子的數(shù)目。這種處於同一光子態(tài)的光子數(shù)稱為光子簡並度n。顯然，光子簡並度具有以下幾種相同的含義，同態(tài)光子數(shù)、同一模式內(nèi)的光子數(shù)、處於相干體積內(nèi)的光子數(shù)、處於同一相格內(nèi)的光子數(shù)。1．2光的受激輻射基本概念光與物質(zhì)的共振相互作用，特別是這種相互作用中的受激輻射過程是雷射器的物理基礎(chǔ)。我們將在第四章和第八章中較詳細地討論這種相互作用的理論處理方法。本節(jié)先給出基本物理概念。受激輻射概念是愛因斯坦首先提出的(1917年)。在普朗克(MaxPlanck)於1900年用輻射量子化假設(shè)成功地解釋了黑體輻射分佈規(guī)律，以及波爾(NieleBohr)在1913年提出原子中電子運動狀態(tài)量子化假設(shè)的基礎(chǔ)上，愛因斯坦從光量子概念出發(fā)，重新推導(dǎo)了黑體輻射的普朗克公式，並在推導(dǎo)中提出了兩個極為重要的概念：受激輻射和自發(fā)輻射。四十年後，受激輻射概念在鐳射技術(shù)中得到了應(yīng)用。一：黑體輻射的普朗克公式我們知道，處於某一溫度T的物體能夠發(fā)出和吸收電磁輻射。如果某一物體能夠完全吸收任伺波長的電磁輻射，則稱此物體為絕對黑體簡稱黑體。如因1.2.1所示的空腔輻射體就是一個比較理想的絕對黑體，因為從外界射入小孔的任何波長的電磁輻射都將在腔內(nèi)來回反射而不再逸出腔外。物體除吸收電磁輻射外，還會發(fā)出電磁輻射，這種電磁輻射稱為熱輻射或溫度輻射。1.1節(jié)中提到的普通光源就可以是一種熱輻射光源

如果圖圖I.2.所示的黑體處予某一溫度T的熱平衡情況下，則它所吸收的輻射能量應(yīng)等於發(fā)出的輻射能量，即黑體與輻射場之間應(yīng)處於能量(熱)平衡狀態(tài)。顯然，這種平衡必然導(dǎo)致空腔記憶體在完全確定的輻射場。這種輻射場稱為黑體輻射或平衡輻射。黑體輻射是黑體溫度T和輻射場頻率v的函數(shù)。並用單色能量密度ρv描述。ρv定義為：單位體積內(nèi)，頻率處於v附近的單位頻率間隔中的電磁輻射能量，其綱量為J*m-3*s.

為了從理論上解釋實驗所得的黑體輻射ρv隨(T,v)的分佈規(guī)律，人們從經(jīng)典物理學(xué)出發(fā)所作的一切努力都歸於失敗後來，普朗克提出了與經(jīng)典概念完全不相容的輻射能量量子化假設(shè)，並在此基礎(chǔ)上成功地得到了與實驗相符的黑體輻射普朗克公式。這一公式可表述為：在溫度T的熱平衡情況下，黑體輻射分配到腔內(nèi)每個模式上的平均能量為（1.2.1）為了求得腔內(nèi)模式數(shù)目，可利用(1.1.8)。顯然，腔內(nèi)單位體積中頻率處於v附近單位頻率間隔內(nèi)光波模式數(shù)nv為：

於是，黑體輻射普朗克公式為

(1.2.2)式中K為玻爾茲曼常數(shù)，其數(shù)值為

K＝1.38062×10-23J／oC

二受激輻射和自發(fā)輻射概念

(1.2.2)式表示的黑體輻射，實質(zhì)上是輻射場ρv和構(gòu)成黑體的物質(zhì)原子相互作用的結(jié)果。為簡化問題，我們只考慮原子的兩個能級E2和E1並有

E2—E1=hv(1.2.3)單位體積內(nèi)處於兩能級的原子數(shù)分別用n2和n1，表示，如圖(1.2.2)所示。

愛因斯坦從輻射與原於相互作用的量子論觀點出發(fā)提出，相互作用應(yīng)包含原子的自發(fā)輻射躍遷、受激輻射躍遷和受激吸收躍遷三種過程。自發(fā)輻射[圖圖1.2.3(a)]。處於高能級E2的一個原子自發(fā)地向E1躍遷，併發(fā)射一個能量為hv的光子。這種過程稱為自發(fā)躍遷。由原於自發(fā)躍遷發(fā)出的光子稱為自發(fā)輻射。自發(fā)躍遷過程用自發(fā)躍遷幾率A21描述。A21定義為單位時間內(nèi)n2個高能態(tài)原子中發(fā)生自發(fā)躍遷的原子數(shù)與n2的比值：

（1.2.4）式中(dn21)sp表示由於自發(fā)躍遷引起的由E2向E1躍遷的原子數(shù)。應(yīng)該指出，自發(fā)躍遷是一種只與原於本身性質(zhì)有關(guān)而與輻射場Pv無關(guān)的自發(fā)過程。因此A21只決定於原子本身的性質(zhì)。由(1.2.4)式容易證明，A21就是原子在能級E21的平均壽命τs的倒數(shù)，因為在單位時間內(nèi)能級E2所減少的粒子數(shù)為

將(1.2.4)式代入則得

由此式可得

式中

A21=1/τs(1.2.5)A21也稱為自發(fā)躍遷愛因斯坦係數(shù)。2．受激吸收[圖1.2.3(b)]。如果黑體物質(zhì)原子和輻射場相互作用只包含上述自發(fā)躍遼過程，是不能維持由(1.2.2)式所表示的腔內(nèi)輻射場的穩(wěn)定值的。因此．愛因斯坦認為必然還存在一種原子在輻射場作用下的受激躍遷過程，從而第一次從理論上預(yù)測了受激輻射的存在。

處於低能態(tài)E1的一個原於在頻率為v的輻射場作用(激勵)下，吸收一個能量為hv的光子，並向E2能態(tài)躍遷，這種過程稱為受激吸收躍遷，並用受激躍遷幾率W12描述：（1.2.6）式中，(dn12)st表示由於受激躍遷引起的由E1向E2躍遷的原子數(shù)。

應(yīng)該強調(diào)，受激躍遷和自發(fā)躍遷是本質(zhì)不同的物理過程，反映在躍遷幾率上就是A21只與原子本身性質(zhì)有關(guān)；而W12不僅與原子性質(zhì)有關(guān)還與輻射場的ρv成正比。我們可將這種關(guān)係唯象地表示為

W12=B12ρv(1.2.7)式中，比例係數(shù)B12稱為受激吸收躍遷愛因斯坦係數(shù)，它只與原子性質(zhì)有關(guān)。3.受激輻射〔圖I.2.3(c)〕。受激吸收躍遷的反過程就是受激輻射躍。處於能級E2d原子在頻率為v的輻射場作用下，躍遷至低能級E1

並輻射一個能量為hv的光子。受激輻射躍遷發(fā)出的光波稱為受激輻射。受激輻射躍遷幾率為

（1.2.8）（1.2.9）式中B21為受激輻射躍遷愛因斯坦係數(shù)。由原子受激輻射躍遷發(fā)出的光於稱為受激輻射。

三A12B21B12的相互關(guān)係現(xiàn)在根據(jù)上述相互作用物理模型分析空腔黑體的熱平衡過程，從而導(dǎo)出愛因斯坦三係數(shù)之間的關(guān)係。如前所述，正是由於腔內(nèi)黑體輻射場ρv與物質(zhì)原子相互作用的結(jié)果應(yīng)該維持黑體處於溫度為T的熱平衡狀態(tài)。這種熱平衡狀態(tài)的標(biāo)誌是：（1）腔記憶體在著由式(1.2.2)式表示的熱平衡黑體輻射。（2）腔內(nèi)物質(zhì)原子數(shù)按能級分佈應(yīng)服從熱平衡狀態(tài)下的波爾茲曼(LudwingBoltzman)分佈（1.2.10）式中，f2和f1分別為能級E1和E2的統(tǒng)計權(quán)重。

（3）在熱平衡狀態(tài)下，n2(或nl)應(yīng)保持不變，於是有

（1.2.11）

四受激輻射的相干性最後我們要強調(diào)指出受激輻射與自發(fā)輻射的極為重要的區(qū)別——相干性。如前所述，自發(fā)輻射是原子在不受外界輻射場控制情況下的自發(fā)過程。因此，大量原子的自發(fā)輻射場的相位是無規(guī)則分佈的，因而是不相干的。此外，自發(fā)輻射場的傳播方向和偏振方向也是無規(guī)則分佈的，或者如式(1.2.1)和(1.2.2)所表述的那樣，自發(fā)輻射平均地分配到腔內(nèi)所有模式上。受激輻射是在外界輻射場的控制下的發(fā)光過程，因而容易設(shè)想各原子的受激輻射的相位不再是無規(guī)則分佈，而應(yīng)具有和外界輻射場相同的相位。在量子電動力學(xué)的基礎(chǔ)上可以證明：受激輻射光子與入射(激勵)光子屬於同一光子態(tài)；或者說，受激輻射場與入射輻射場具有相同的頻率、相位、波矢(傳播方向)和偏振，因而，受激輻射場與入射輻射場屬於同一模式圖圖I.2.4示意地表示這一特點。特別是，大量原子在同一輻射場激發(fā)下產(chǎn)生的受激輻射處於同一光波模或同一光子態(tài)，因而是相干的。受激輻射的這一重要特性就是現(xiàn)代量子電子學(xué)(包括鐳射與微波激勵)的出發(fā)點。以後將說明，鐳射就是一種受激輻射相干光。受激輻射的這一特性在上述愛因斯坦理論中是得不到證明的，因為那裏使用的是唯象方法．沒有涉及原子發(fā)光的具體物理過程。嚴(yán)格的證明只有依靠量子電動力學(xué)。但是，原子發(fā)光的經(jīng)典電子論模型可以幫助我們得到一個定性的粗略理解。按經(jīng)典電子論模型，原子的自發(fā)躍遷是原子中電子的自發(fā)阻尼振盪，沒有任何外加光電場來同步各個原子的自發(fā)阻尼振盪，因而電子振盪發(fā)出的自發(fā)輻射是相位無關(guān)的。而受激輻射對應(yīng)於電子在外加光電場作用下作強迫振盪時的輻射，電子強迫振盪的頻率、相位、振動方向顯然應(yīng)與外加光電場一致。因而強迫振動電子發(fā)出的受激輻射應(yīng)與外加光輻射場具有相同的頻率、相位、傳播方向和偏振狀態(tài)。1．3光的受激輻射放大一光放大概念的產(chǎn)生在鐳射出現(xiàn)之前，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展對強相干光源提出了迫切的要求，例如，光全息技術(shù)和相干光學(xué)計量技術(shù)要求在盡可能大的相干體積或相干長度內(nèi)有儘量強的相干光。但是．正如1．1中所指出的，對普通熱光源來說上述要求是矛盾的。又如相干電磁波源(各種無線電振盪器、微波電子管等)曾大大推動了無線電技術(shù)的發(fā)展，而無線電技術(shù)的發(fā)展又要求進一步縮短相干電磁波的波長，即要求強相干光源。但是普通熱光源的自發(fā)輻射光實質(zhì)上是一種光頻“雜訊”，所以在鐳射出現(xiàn)以前，無線電技術(shù)很難向光頻波段發(fā)展。為進一步說明普通光源的相干性限制。我們來分析黑體輻射源的光子簡並度，它可由式(1.2.1)求出：

（1.3.1）按此式可計算與波長及溫度的關(guān)係。例如，在室溫T＝300K的情況下，對λ＝30cm的微波輻射，≈103，這時可以認為黑體基本上是相干光源；對λ＝60um的遠紅外輻執(zhí),≈103，而對λ＝0.6um的可見光,≈10-35，即在一個光波模內(nèi)的光子數(shù)是10-35個，這時黑體就是完全非相干光源。即使提高黑體溫度也不可能對其相干性有根本的改善。例如為在λ＝l微米處得到≈1，要求黑體溫度高達50000K?？梢?，普通光源在紅外和可見光波段實際上是非相干光源。為了理解構(gòu)成雷射器的基本思想我們進一步分折(1.3.1)式,它可改寫為（1.3.2）上式在物理上是容易理解的，因為受激輻射產(chǎn)生相干光子，而自發(fā)輻射產(chǎn)生非相干光子。這個關(guān)係對腔內(nèi)每一特定光子態(tài)或光波模均成立。從(1.3.2)式出發(fā)，如果我們能創(chuàng)造一種情況，使腔內(nèi)某一特定模式(或少數(shù)幾個模式)的ρv大大增加，而其他所有模式的ρv

很小，就能在這一特定(或少數(shù)幾個)模式內(nèi)形成很高的光子簡並度。也就是說，使相干的受激輻射光子集中在某一特定(或幾個)模式內(nèi)，而不是均勻分配在所有模式內(nèi)。這種情況可用下述方法實現(xiàn)：如圖圖l.3.1所示，將一個充滿物質(zhì)原子的長方體空腔(黑體)去掉側(cè)壁，只保留兩個端面.如果端面壁。如果端面壁對光有很高的反射系係數(shù)．則沿垂直端面的腔軸方向傳播的光(相當(dāng)於少數(shù)幾個模式)在腔內(nèi)多次反射而不逸出腔外，而所有其他方向的光則很容易逸出腔外。此外，如果沿腔軸傳播的光在每次通過腔內(nèi)物質(zhì)時不是被光子吸收(受激吸收)，而是由於原子的受激輻射而得到放大．那麼腔內(nèi)軸向模式的ρv就能不斷增強，從而在鈾向模內(nèi)獲得極高的光子簡並度。這就是構(gòu)成雷射器的基本思想。

可以看出，上述思想包含兩個重要部分：第一是是光波模式的選擇，它由兩塊平行平面反射鏡完成，這實際上就是光學(xué)技術(shù)中熟知的法布裏—泊羅(Fabry—Perot)干涉儀，在鐳射技術(shù)中稱為光諧振腔。第二是受激輻射放大，鐳射的英文縮寫名稱LASER(LightAmplificationbyStimulatedEmissionofRadiation)正反映了這一物理本質(zhì)。順便指出，雷射器的上述基本思想，對於產(chǎn)生相干電磁波的傳統(tǒng)電子器件(如微波電子管)來說也是一種技術(shù)思想的突破。在傳統(tǒng)的微波電子器件中，使用尺寸可與波長相比擬的封閉諧振腔選擇模式，利用自由電子和電磁波相互作用對單摸電磁場進行放大。但是在力圖縮短微波器件波長(例如小於1毫米)的過程中，繼續(xù)沿用傳統(tǒng)方法就遇到了極大的困難。首先是封閉諧振腔的尺寸必須小到不能實現(xiàn)的程度，其次是使用普通自由電子束對光波進行有效的放大也是極其困難的。雷射器正是在這兩方面突破了傳統(tǒng)方法，即用開式諧振腔代替封閉諧振腔，用原子中束縛電子的受激輻射光放大代替自由電子對電磁波的放大，從而為獲得光波段的相干電磁播源開闢了極其廣闊的道路。二實現(xiàn)光放大的條件——集居數(shù)反轉(zhuǎn)下麵討論在由大量原於(或分子)組成的物質(zhì)中實現(xiàn)光的受激輻射放大的條件。在物質(zhì)處於熱平衡狀態(tài)時，各能級上的原子數(shù)(或稱集居數(shù))服從玻耳茲曼統(tǒng)計分佈：

為簡化起見，式中已令f2＝f1。因E2＞E1，所以n2＜n1，即在熱平衡狀態(tài)下，高能級集居數(shù)恒小於低能級集居數(shù)，如圖圖1.3.2所示。當(dāng)頻率v＝(E2—E1)／h的光通過物質(zhì)時，受激吸收光子數(shù)n1W12.恒大於受激輻射光子數(shù)n2W21.。因此，處於熱平衡狀態(tài)下的物質(zhì)只能吸收光子。

但是，在一定的條件下物質(zhì)的光吸收可以轉(zhuǎn)化為自己的對立面——光放大。顯然，這個條件就是n2>n1，稱為集居數(shù)反轉(zhuǎn)(也可稱為粒子數(shù)反轉(zhuǎn))。一船來說當(dāng)物質(zhì)處於熱平衡狀態(tài)(B即它與外界處於能量平衡狀態(tài))時，集居數(shù)反轉(zhuǎn)是不可能的，只有當(dāng)外界向物質(zhì)供給能量(稱為激勵或泵浦過程)，從而使物質(zhì)處於非熱平衡狀態(tài)時，集居數(shù)反轉(zhuǎn)才可能實現(xiàn)。激勵(或泵浦)過程是光放大的必要條件。典型雷射器的集體激烈過程在第九章仲介紹。三光放大物質(zhì)的增益?zhèn)S數(shù)與增益曲線處於集居數(shù)反轉(zhuǎn)狀態(tài)的物質(zhì)稱為啟動物質(zhì)(或鐳射介質(zhì))。一段啟動物質(zhì)就是一個光放大器。放大作用的大通小常用放大(或增益)係數(shù)g來描述。如圖圖1.3.3所示，設(shè)在光傳播方向上z處的光強I(z)(光強I正比於光的單色能量密度p)．則增益?zhèn)S數(shù)字義為（1.3.3）所以g(z)表示光通過單位長度啟動物質(zhì)後光強增長的百分數(shù)。顯然，dI(z)正比於單位體積啟動物質(zhì)的淨(jìng)受激發(fā)射光子數(shù)

由上式可寫為

（1.3.4）所以

（1.3.5）如果(n2一n1)不隨z而變化，則增益?zhèn)S數(shù)g(z)為一常數(shù)g0，(1.3.3)式為線性微分方程。積分式（1.3.3）得：

（1.3.6）式中，Is為z＝0處的初始光強。造就是如圖圖1.3.3所示的線性增益或小信號增益情況。但是，實際上光強I的增加正是由於高能級原子向低能級受激躍遷的結(jié)果，或者說光放大正是以單位體積內(nèi)集居數(shù)差值n2(z)一n1(z)的減小為代價的。並且，光強I越大．n2(z)一n1(z)減少得越多，所以實際上n2(z)一n1(z)隨z的增加而減少。因而增益?zhèn)S數(shù)g(z)也隨z的增加而減小，這稱為增益飽和效應(yīng)。與此相應(yīng)，我們可將單位體積內(nèi)集居數(shù)差值表示為光強I的函數(shù)(詳見4.5)：

（1.3.7）式中，Is為飽和光強。在這裏，可暫暫時Is理解為為描述增益飽和效應(yīng)而唯象引入的參量。n20一n10為光強I=0時單位體積內(nèi)的初始集居數(shù)差值。從(1.3.7)式出發(fā),我們可將式（1.3.5）改寫為（1.3.8）或

（1.3.9）式中，g0＝g(I＝0)即為小信號增益?zhèn)S數(shù)。如果在放大器中光強始終滿足條件I《Is。則增益?zhèn)S數(shù)g(I)＝g0.常級且不隨z變化.這就是(1.3.6)式表示的小信號情況。反之，在條件I《Is不能滿足時，(1.3.9)式表示的g(I)稱為大信號增益?zhèn)S數(shù)（或飽和增益?zhèn)S數(shù)）。

最後指出，增益?zhèn)S數(shù)也是光波頻率v的函數(shù)，表示為g（v,I）。這是因為能級E1和E2由於各種原因(見第四章)總有一定的寬度，所以在中心頻率v＝(E2—E1)／h附近一個小範(fàn)圍(±?Δv)內(nèi)都有受激躍遷發(fā)生。g(v，I)隨頻率v的變化曲線稱為增益曲線，Δv稱為增益曲線寬度．如圖圖1.3.4所示。關(guān)於增益?zhèn)S數(shù)的詳細討論見第四章。1．4光的自激振盪上節(jié)所述的鐳射放大器在許多大功率裝置中廣泛地用來把弱的雷射光束逐級放大。但是在更多的場合下須要使用鐳射自激振盪器，通常所說的雷射器就是指鐳射自激振盪器。一自激振盪概念在光放大的同時，總是還存在著光的損耗，我們可以引入損耗係數(shù)α來描述。α定義為光通過單位距離後光強衰減的百分比，它表示為

（1.4.1）同時考慮增益和損耗，則有（1.4.2）

假設(shè)有微弱光（光強為I0）進入一無限長放大器。起初，光強I(z)將按小信號放大規(guī)律增長，但是隨I(z)的增加．g(I)將由於飽和效應(yīng)而按(1.3.9)式減小，因而I(z)的增長將逐漸變緩。最後，當(dāng)g(I)＝α?xí)r，I(z)不再增加並達到一個穩(wěn)定的極限值Im(見圖1.4.1).根據(jù)條件g(I)＝α可求得Im

為

即（1.4.3）可見，Im只與放大器本身的參數(shù)有關(guān)而與初始光強I。無關(guān)，特別是，不管初始I。多麼微弱．只要放大器足夠長，就總是形成確定大小的光強Im，這實際上就是自激振盪的概念。這就表明，當(dāng)鐳射放大器的長度足夠大時，它可能成為一個自激振盪器。實際上，我們並不須要真正把啟動物質(zhì)的長度無限增加，而只要在具有大就有可能在軸向光波模上產(chǎn)生光的自激振盪，這就是雷射器。一定長度的光放大器兩端放置如1.3節(jié)所述的光諧振腔。這樣，軸向光波模就能在反射鏡間往返傳播，就等效於增加放大器長度。光諧振腔的這種作用也稱為光的回饋。由於在腔內(nèi)總是存在頻率在v。附近的微弱的自發(fā)輻射光(相當(dāng)於初始光強I。)，它經(jīng)過多次受激輻射放

綜上所述，一個雷射器應(yīng)包括光放大器和光諧振腔兩部分，這和1.3節(jié)所述構(gòu)成雷射器的基本思想是一致的。但對光腔的作用則應(yīng)歸結(jié)為兩點：

1．模式選擇，保證雷射器單模(或少數(shù)鈾向模)震盪，從而提高雷射器的相干性。

2．提供軸向光波模的回饋。應(yīng)該指出，光腔的上述作用雖然是重要的，但並不是原則上不可缺少的。對於某些增益?zhèn)S數(shù)很高的啟動物質(zhì)，不需要很長的放大器就可以達到(1.4.3)式所示的穩(wěn)定飽和狀態(tài)，因而往往不用光諧振腔(當(dāng)然在相干性上有所損失)。關(guān)於這一問題將在6.5節(jié)詳細討論。

二振盪條件。一個雷射器能夠產(chǎn)生自激振盪的條件，即任意小的初始光強

I。都能形成確定大小的腔內(nèi)光強I。的條件可從(1.4.3)式求得：這就是雷射器的振盪條件。式中g(shù)0為小信號增益?zhèn)S數(shù)；α為包括放大器損耗和諧振腔損耗在內(nèi)的平均損耗係數(shù)。

當(dāng)g0=α?xí)r，稱為閾值振盪情況，這時腔內(nèi)光強維持在初始光強I。的極其微弱的水準(zhǔn)上。當(dāng)g0>α?xí)r，腔內(nèi)光強Im就增加，並且Im正比於(g0—α)?？梢娫鲆婧蛽p耗這對矛盾就成為雷射器是否振盪的決定因素。特別應(yīng)該指出，雷射器的幾乎一切特性(例如輸出功率、單色性、方向性等)以及對雷射器採取的技術(shù)措施(例如穩(wěn)頻、選模、鎖模等)都與增益和損耗特性有關(guān)。因此工作曲物質(zhì)的增益特性和光腔的損耗特性是掌握鐳射基本原理的線索。振盪條件式（1.4.4）有時也表示為另一種形式。設(shè)工作物質(zhì)長度為l，光腔長度為L,令αL＝δ稱為光腔的單程損耗．．振盪條件可寫為

g0l≥δ(1.4.5)g0l稱為單程小信號增益。1.5鐳射的特性從前幾節(jié)所述的概念中可以預(yù)見到．雷射器一定具有和普通光源根不相同的特性。第一臺紅寶石雷射器從實驗上很典型地顯示了這一點。圖圖1.5.1給出第一臺紅寶石鐳射器在疝燈光強低於振盪閾值和高於振盪閾值時的不同光束特性。顯然，前者是普通光，死後者是鐳射。這免冠燈光強的量壹在一定的關(guān)節(jié)點(閡值)上引起光束特性的質(zhì)變。圖1.5.1(a)表示光譜儀觀察到的鐳射譜線變窄，或光的頻帶寬度Δv的減小，這就是鐳射的單色性。圖圖1.5.1(b)表示在雷射器輸出反射鏡面上放置雙縫光闌時，鐳射可以形成清晰的干涉圖象，而自發(fā)輻射光卻不能形成干涉，這就是鐳射的空間相干性。圖圖1.5.1（c)表示鐳射沿光腔軸向傳播，並具有很好的方向性，而普通光向各個方向傳播。固1.5.1(d)表示從螢光(自發(fā)輻射)向鐳射轉(zhuǎn)變時，光強急劇增加，這就是鐳射的高強度。所有這些現(xiàn)象都可以在本章前幾節(jié)所述概念的基礎(chǔ)上得到定性的解釋。

以上所述，一般通稱為鐳射的四性：單色性、相干性、方向性和高亮度。實際上，這四性本質(zhì)上可歸結(jié)為一性，即鐳射具有很高的光子簡並度。也就是說，鐳射可以在很大的相干體積內(nèi)有很高的相干光強。鐳射的這一特性正是由於受激輻射的本性和光腔的選模作用才得以實現(xiàn)的。以下我們將鐳射的相干性分為空間相干性、時間相干性和相干光強3方面討論。一，鐳射的空間相干性和方向性光束的空間相干性和它的方向性(用光束發(fā)散角描述)是緊密聯(lián)繫的。對於普通光源，從(1.1.20)式可以看出，只有當(dāng)光束發(fā)散角小於某一限度，即Δθ≤λ／Δx時．光束才具有明顯的空間相干性。例如，一個理想的平面光波是完全空間相干光，同時它的發(fā)散角為零。

對於雷射器也有類似的關(guān)係。通常把光波場的空間分佈分解為沿傳播方向(腔軸方向)的分佈E(z)和在垂直於傳播方向的橫截面上的分佈E(x，y)。因而光腔模式可以分解為縱模和橫模。它們分別代表光腔模式的縱向(腔鈾方向)光場分佈和橫向光場分佈，用符號TEMmn標(biāo)誌不同橫摸的光場分佈。TEM代表光波是橫電磁，m、n分別表示在x和y方向(軸對稱情況)光場通過零值的次數(shù)。TEM。。模稱為基模，其他稱為高次模。雷射光束的空間相干性和方向性都與鐳射的橫模結(jié)構(gòu)相聯(lián)系。如果鐳射是TEM。。單橫模結(jié)構(gòu)，則如1.1所述，同一模式內(nèi)的光波場是空間相干的，而另一方面．單橫模結(jié)構(gòu)又具有最好的方向性。反之，如果鐳射是多橫模結(jié)構(gòu)，由於不同模式的光波場是非相干的，所以鐳射的空間相干性程度減小，而另一方面多橫模就意味著方向性變差(高次模發(fā)散角加大)。這表明，鐳射的方向性越好，它的空間相干性程度就越高。鐳射的高度空間相干性在物理上是容易理解的。以平行平面腔TEM。。單橫模鐳射器為例，工作物質(zhì)內(nèi)所有激發(fā)態(tài)原於在同一TEM。。模光波場激發(fā)(控制)下受激輻射，並且受激輻射光與激發(fā)光波場同相位、同頻率、同偏振和同方向．即所有原子的受激輻射都在TEM。。模內(nèi)，因而雷射器發(fā)出的TEM。。模雷射光束接近於沿腔鈾傳播的平面波即接近於完全空間相干光並具有很小的光束發(fā)散角。 由此可見，為了提高雷射器的空間相干性，首先應(yīng)限制雷射器工作在TEM。。單橫模；其次，合理選擇光腔的類型以及增加腔長以利於提高光束的方向性。另外，許多實際因素，如工作物質(zhì)的不均勻姓、光腔的加工和調(diào)整誤差等都會導(dǎo)致方向性變差。鐳射所能達到的最小光束發(fā)散角還要受到衍射效應(yīng)的限制，它不能小於鐳射通過輸出孔徑時的衍射角θm。θm稱為衍射極限。設(shè)光腔輸出孔徑為2α，則衍射極限θm為θm≈λ/2α[rad]（1.5.1）例如對氨氖氣體雷射器，λ＝0.63微米，取2α＝3毫米，則θm≈2*10-4弧度。

不同類型雷射器的方向性差別很大，它與工作物質(zhì)的類型和均勻性、光腔類型和腔長、激勵方式以及雷射器的工作狀態(tài)有關(guān)，氣體雷射器由於工作物質(zhì)有良好的均勻性．並且腔長一般較大，所以有最好的方向性，可達到θm≈10-3弧度，He—Ne雷射器甚至可達3x10-4

弧度，這已十分接近其衍射極限θm。固體雷射器方向性較差．一般在10-2弧度量級。其主要原因是，有許多因素造成固體材料的光學(xué)非均勻性，以及一般固體雷射器使用的腔長較短和激勵的非均勻性等，半導(dǎo)體雷射器的方向性最差，一般在(5～10)xI0-2?；《攘考?。雷射光束的空間相干性和方向性對它的聚焦性能有重要影響?？梢宰C明，當(dāng)一束發(fā)散角為θ的單色光被焦距為F的透鏡聚焦時，焦面光斑直徑D為

D=Fθ(1.5.2)在θ等於衍射極限θm。的情況下，則有

Dm≈Fλ/2α(1.5.3)這表示在理想情況下，有可能將鐳射的巨大能量聚焦到直徑為光波波長量級的光斑上，形成極高的能量密度。三時間相干性和單色性鐳射的相干時間τc和單色性Δv存在簡單的關(guān)係：

τc=1/Δv即單色性越高，相干時間越長。對於單橫模(TEM。。)雷射器，其單色性取決於它的縱模結(jié)構(gòu)和模式的頻帶寬度。如果鐳射在多個縱模上振盪，則由第二章可知，鐳射由多個相隔Δvq(縱模間隔)的不同頻率的光所組成，故單色性較差，如圖圖l.5.2所示。

理論分析證明，單程雷射器的譜線寬度Δvs極窄(見第五章)。例如。對單模輸出功率P。＝1mM的He—Ne雷射器．取δ＝0．01，L＝1m，則Δvs≈5Xl0-4Hz，這顯然是極高的單色性。但實際上很難達到達一理論極限。在實際的雷射器中，有一系列不穩(wěn)定因素(如溫度、振動、氣流、激勵等)導(dǎo)致光腔諧振頻率的不穩(wěn)定，因此單縱模雷射器的單色性主要由其頻率穩(wěn)定性決定。

單模穩(wěn)頻氣體雷射器的單色性最好，一般可達106一103

，在採用最嚴(yán)格穩(wěn)頻措施的條件下，曾在He—Ne雷射器中觀察到約2Hz的帶寬。固體雷射器的單色性較差，主要是因為工作物質(zhì)的增益曲線很寬，故很難保證單縱模工作。半導(dǎo)體雷射器的單色性最差。練上所述，雷射器的單模工作(選模技術(shù))和穩(wěn)頻對於提高相干性十分重要，一個穩(wěn)頻的TEM。。單縱模雷射器發(fā)出的鐳射接近於理想的單色平面光波，即完全相干光。

三鐳射的高亮度(強相干光)提高輸出功率和效率是發(fā)展雷射器的重要課題。目前，氣體雷射器(如CO2)能產(chǎn)生最大的連續(xù)功率，固體雷射器能產(chǎn)生最高的脈衝功率，尤其是採用光腔Q調(diào)製技術(shù)和鐳射放大器後，可使鐳射振盪時間壓縮到極小的數(shù)值(例如10-9s量級)，從而獲得極高的脈衝功率。進一步壓縮鐳射脈寬，還可採用鎖模技術(shù)，可使脈寬達到10-15秒。尤其重要的是鐳射功率（能量）可以集中在單一（或少數(shù)）模式中，因而具有極高的光子簡並度。這是區(qū)別普通光的重要特徵。

充分利用本節(jié)所描述雷射器的所有特性，即高單模功率，高單色性和方向性，可獲得極高的功率密度。例如，將一個千兆瓦級（109W）的調(diào)Q鐳射脈衝聚焦到直徑為5um的光斑上，則所獲得的功率密度可達1015W/cm2。這是普通光源根本無法達到的

第二章開放式光腔與高斯光束本章將討論光腔模式問題。模式問題在鐳射技術(shù)中具有重要的理論和實踐意義。它是理解鐳射的相干性、方向性、單色性等一系列重要特性，進行雷射器件的設(shè)計和裝調(diào)的基礎(chǔ)，也是研究和掌握鐳射本技術(shù)和應(yīng)用的基礎(chǔ)?！鶕?jù)幾何偏折損耗的高低．開放式光腔可以分為穩(wěn)定腔和非穩(wěn)腔。穩(wěn)定腔的幾何偏折損耗很低，絕大多數(shù)中、小功率器件都採用穩(wěn)定腔。穩(wěn)定腔的模式理論是腔模理論中比較成熟的部分。由於穩(wěn)定腔應(yīng)用廣泛，其模式理論具有最廣泛、最重要的實踐意義穩(wěn)定腔模式理論是以共焦腔模的解析理論為基礎(chǔ)的。由解析理論得出，對方形鏡共焦腔，鏡面上的場分佈可用厄米—高斯函數(shù)表示．而對圓形鏡共焦腔，鏡面上的場由拉蓋爾—高斯函數(shù)描述。並且整個腔內(nèi)(以及腔外)空間中的場都可以表示為厄米—高斯光束或拉蓋子爾---高斯光束的形式。據(jù)此，共焦腔振盪模的一系列基本持征都可以解析地表示出來。在高斯光束傳輸規(guī)律的基礎(chǔ)上，可以建立一般(非共焦的)穩(wěn)定球面腔與共焦腔之間的等價性從而進一步將共焦腔模式解析理論的結(jié)果推廣到一般穩(wěn)定球面腔，解決應(yīng)用最廣的這一大類諧振腔的模式問題。

採用穩(wěn)定腔的雷射器所發(fā)出的鐳射，將以高斯光束的形式在空間傳輸。因此，研究高斯光束在空間的傳輸規(guī)律．以及光學(xué)系統(tǒng)對高斯光束的變換規(guī)律，就成為鐳射的理論和實際應(yīng)用中的重要問題。本章將討論最簡單和最基本的情形，即高斯光束在自由空間(以及均勻各向同性介質(zhì))中的傳輸和簡單透鏡(或球面反射鏡)系統(tǒng)對高斯光束的變換。

穩(wěn)定腔雖有損耗低的優(yōu)點，但它不適用於某些高功率雷射器。這些雷射器要實現(xiàn)高功率基橫模運轉(zhuǎn)，以便有盡可能高的輸出功率和盡可能好的光束品質(zhì)。穩(wěn)定腔內(nèi)基橫模的模體積太小，且與反射鏡鏡面尺寸無關(guān)。這意味著增大啟動介質(zhì)的橫向尺寸無助於雷射器輸出功率的提高．反而容易導(dǎo)致雷射器的多橫模運轉(zhuǎn)，降低輸出光束的品質(zhì)。所以穩(wěn)定腔無法運用於上述情形。非穩(wěn)腔卻能同時滿足這兩個要求——高輸出功率和良好光束品質(zhì)。非穩(wěn)腔的損耗主要是傍軸光線的發(fā)散損耗，單程損耗很高，可達百分之幾十。為獲得高功率輸出，工作物質(zhì)的橫向尺寸拄往較大，因此衍射損耗可以忽略，可以採用幾何光學(xué)的分析方法。幾何光學(xué)分析方法表明非穩(wěn)腔曲線上僅存在一對共扼象點，非穩(wěn)腔中的基模就是從這一對共扼象點發(fā)出的自再現(xiàn)球面被。運用幾何光學(xué)分析方法還可給非穩(wěn)腔的損耗特徵及輸出光束特徵。2．1光腔理論的一般問題一光腔的構(gòu)成和分類在啟動物質(zhì)的兩端恰當(dāng)?shù)胤胖脙蓚€反射鏡片，就構(gòu)成一個最簡單的光學(xué)諧振腔。

在鐳射技術(shù)發(fā)展歷史上最早提出的是所謂平行平面腔，它由兩塊平行平面反射鏡組成。這種裝置在光學(xué)上稱為法布裏—珀羅干涉儀，簡記為F—P腔。隨著鐳射技術(shù)的發(fā)展，以後又廣泛採用由兩塊具有公共軸線的球面鏡構(gòu)成的諧振腔，稱為共鈾球面腔，其中有一個反射鏡為(或兩個都為)平面的腔是這類腔的特例。從理論上分析這類腔時，通常認為其側(cè)面沒有光學(xué)邊界(這是一種理想化的處理方法)．因此將這類諧振腔稱為開放式光學(xué)諧振腔，或簡稱開腔。根據(jù)光學(xué)幾何逸出損耗的高低，開腔通常又可分為穩(wěn)定腔、非穩(wěn)腔和臨界腔三類。氣體雷射器是採用開腔的典型例子。

固體雷射器的情形與此有所不同。由於固體鐳射材料通常都具有比較高的折射率(例如，紅寶石的折射率為1．76)，在側(cè)壁磨光的情況下．那些與軸線交角不太大的光線將在側(cè)壁上發(fā)生全內(nèi)反射。因此，如果腔的反射鏡緊貼著鐳射棒的兩端，則將形成類似於微波技術(shù)中所採用的“封閉腔。從理論上分析這類腔時，應(yīng)將它們作為介質(zhì)腔來處理。但是，通常的固體雷射器的鐳射棒與腔反射鏡往往是分離的，這時，如果棒的直徑遠比激射波長大，而棒的長度又遠比兩腔鏡之間的距離短，則這種腔的特性基本上與開腔類似。半導(dǎo)體雷射器是使用介質(zhì)腔的典型例子，而且腔的橫向尺寸往往與波長可以比較，因此．這是一種真正的介質(zhì)波導(dǎo)腔。

另一種光腔是所謂氣體波導(dǎo)鐳射諧振腔，其典型結(jié)構(gòu)是在一段空心介質(zhì)波導(dǎo)管兩端適當(dāng)位置處放置兩塊適當(dāng)曲率的反射鏡片。這樣，在空心介質(zhì)波導(dǎo)管內(nèi)，場服從波導(dǎo)管中的傳輸規(guī)律，而在波導(dǎo)管與腔境之間的空間中，場按與開腔中類似的規(guī)律傳播。這種腔與開腔的差別在於：波導(dǎo)管的孔徑往往較小(雖然通常仍遠比波長為大)，以致不能忽略側(cè)面邊界的影響。幾種類型的光腔的典型結(jié)構(gòu)如圖圖2.1.1所示，腔的大致分類如表表2.1。

由兩個以上的反射鏡構(gòu)成諧振腔的情況也是常見的，折疊勝和環(huán)形腔就是這類諧振腔的例子。光學(xué)諧振腔的構(gòu)成方式還很多，在由兩個或多個反射鏡構(gòu)成的開腔內(nèi)插入透鏡一類光學(xué)元件而構(gòu)成複合腔就是一例。除了前面講過的端面回饋的諧振腔外，近年來又發(fā)展了分佈回饋式諧振腔，在半導(dǎo)體雷射器及集成光學(xué)中已採用這類諧振腔。諧振腔可以按不同的方法分類，如分為端面回饋腔與分佈回饋腔，球面腔與非球面腔．高損耗腔與低損耗強，駐波腔與行波腔，兩鏡腔與多鏡腔，簡單腔與複合腔等。在本書中，我們只討論由兩個球面鏡構(gòu)成的開放式光學(xué)諧振降，因為它們是最簡單相最常用的。同時，折疊腔、環(huán)形腔、複合腔等比較複雜的開腔往往可以化為等效的兩鏡腔來處理。近年來，由於半導(dǎo)體雷射器及氣體波導(dǎo)雷射器的迅速進展與走向?qū)嵱?，介質(zhì)波導(dǎo)腔與氣體空心波導(dǎo)腔在理論上以及實踐上都變得日益重要。二模的概念腔與模的一般聯(lián)繫無論是閉腔或是開腔，都將對腔內(nèi)的電磁場施以一定的約束。一切被約束在空間有限範(fàn)圍內(nèi)的電磁場都將只能存在於一系列分立的本征狀態(tài)之中，場的每一個本征態(tài)將具有一定的振盪頻率和一定的空間分佈。在鐳射技術(shù)的術(shù)語中，通常將光學(xué)諧振腔內(nèi)可能存在的電磁場的本征態(tài)稱為腔的模式。從光子的觀點來看，鐳射模式也就是腔內(nèi)可能區(qū)分的光子的狀態(tài)。

腔內(nèi)電磁場的本征態(tài)應(yīng)由麥克斯韋方程組及腔的邊界條件決定。由於不同類型和結(jié)構(gòu)的諧振腔邊界條件各不相同，因此諧振腔的模式也將各不相同。對閉腔一般可以通過直接求解麥克斯韋方程組來決定其模式，而尋求開膠模式的問題通常歸結(jié)為求解一定類型的積分方程。但不管是閉腔還是開腔．一旦給定了降的具體結(jié)構(gòu)，則其中振盪模的特徵也就隨之確定下來，這就是腔與模的一般聯(lián)繫。實際上，光學(xué)諧振腔理論也就是鐳射模式理論。我們的目的是弄清楚鐳射模式的基本特徵及其與腔的結(jié)構(gòu)之間的具體依賴關(guān)係。所謂模的基本特徵，主要指的是：每一個摸的電磁場分佈，特別是在腔的橫截面內(nèi)的場分佈；模的諧振頻率；每一個模在腔內(nèi)往返一次經(jīng)受的相對功率損耗；與每一個模相對應(yīng)的雷射光束的發(fā)散角。只要知道了腔的參數(shù)，就可以唯一地確定模的上述特徵。

在進入嚴(yán)格的模式理論以前，本節(jié)利用均勻平面波模型討論開腔中傍軸傳播模式的諧振條件，建立關(guān)於縱模頻率間隔的普遍表示式。這一表示式對各種類型的開腔甚至閉腔都基本上是正確的。

考察均勻平面波在F—P腔中沿軸線方向往返傳播的情形。當(dāng)波在腔鏡上反射時，入射波和反射波將會發(fā)生干涉，多次往復(fù)反射時就會發(fā)生多光束干涉。為了能在腔內(nèi)形成穩(wěn)定振盪，要求波能因干涉而得到加強。發(fā)生相長干涉的條件是：波從某一點出發(fā)，經(jīng)腔內(nèi)往返一周再回到原來位置時，應(yīng)與初始出發(fā)波同相(即相差為2л的整數(shù)倍)。如果以ΔΦ表示均勻平面波在腔內(nèi)往返一周時的相位滯後，則相長干涉條件可以表為（2.1.1）式中λ0為光在真空中的波長，L’為腔的光學(xué)長度，q為整數(shù)。將滿足上式的波長以λ0q來標(biāo)記，則有

（2.1.2）上式也可以用頻率vq=c/λ0q來表示：

（2.1.3）

上述討論表明：L’一定的諧振腔只對頻率滿足式(2.1.3)的光波才能提供正反蝕，使之諧振。式(2.1.2)、式(2.1.3)就是F—P腔中沿抽向傳播的平面波的諧振條件。滿足(2.1.2)式的λ0q稱為腔的諧振波長，而滿足式(2—1—3)的vq稱為腔的諧振頻率。該式表明．F—P腔中的諧振頻率是分立的。式(2—1—1)通常又稱為光腔的駐波條件，因為當(dāng)光的波長和腔的光學(xué)長度滿足該關(guān)式時，將在腔內(nèi)形成駐被。式(2—1—2)表明，達到諧振時，腔的光學(xué)長度應(yīng)為半波長的整數(shù)倍。這正是腔內(nèi)駐波的特徵。當(dāng)整個光腔內(nèi)充滿折射率為η的均勻物質(zhì)時，有

（2.1.4）式中L為腔的幾何長度(簡稱腔長)。此時，式(2—1—2)可以寫成

L=qλq/2（2.1.5）式中/λq＝λ0q／η為物質(zhì)中的諧振波長(見圖圖2—1—2)。

可以將F—P腔中滿足式(2—1—3)的平面駐波場稱為腔的本征模式。其特點是：在腔的橫截面內(nèi)場分佈是均勻的，而沿腔的軸線方向(縱向)形成駐波，駐波的波節(jié)數(shù)由q決定。通常將由整數(shù)q所表徵的腔內(nèi)縱向場分佈稱為強的縱模。不同的q值相應(yīng)於不同的縱摸。在這裏所討論的簡化模型中，縱摸q單值地決定摸的諧振頻率。

腔的相鄰兩個縱模的頻率之差Δvq稱為縱摸間隔。由式(2—1—3)得出

（2.1.16）可以看出，Δvq與q無關(guān)，對一定的光腔為一常數(shù)，因而腔的縱摸在頻率尺度上是等距離排列的，如圖圖2—1—3所示。其形狀象一把梳子，常常稱為“頗率梳”．圖中每一個縱模均以具有一定寬度Δvc的譜線表示。

對L＝10cm的氣體雷射器(設(shè)η=1)，由式(2—1—6)得出

Δvq＝1.5×109Hz對L＝100cm的氣體雷射器

Δvq＝1.5×108Hz對L＝10cm、η=1.76的紅寶石雷射器

Δvq＝8.5×108Hz上述例子給出了縱模間隔的數(shù)量概念。腔長L越小，縱模間隔越大。

應(yīng)該指出，微波諧振腔的尺寸通常與工作波長具有相同的數(shù)量級，在腔中往往只激發(fā)最低階的本征模式(在微波技術(shù)中又稱為波形)；而光頻諧振腔的尺寸一般遠遠大於波長，因而總是工作在極高次的諧波上，即式(2—1—2)和式(2—1—3)中的整數(shù)q通常為一個大的整數(shù)，一般具有104～105的數(shù)量級。

三，光腔的損耗損耗的大小是評價諧振腔的一個重要指標(biāo)，也是腔模理論的重要研究課題。光學(xué)的損耗大致包括如下幾個方面：

（1）幾何偏拆損耗。光線在腔內(nèi)往返傳播時，可能從腔的側(cè)面偏折出去，這種損耗為幾何偏折損耗。其大小首先取決於腔的類型和幾何尺寸。例如，穩(wěn)定腔內(nèi)傍抽光線的幾何損托應(yīng)為各零，非穩(wěn)腔則有較高的幾何損耗。以非穩(wěn)腔而論，不同幾何尺寸的非穩(wěn)腔其損耗大小亦各不相同。其次，幾何損耗的高低依模式的不同而異。比如同一平行平面腔內(nèi)的高階橫模由於其傳播方向與鈾的夾角較大，因而其幾何損耗也比低階橫模為大。

(2)衍射損耗。由於腔的反射鏡片通常具有有限大小的孔徑，因而當(dāng)光在鏡面上發(fā)生衍射時，必將造成一部分能量損失。本節(jié)以及本書後面幾章的分析表明，