高二數(shù)學寒假講義練習（新人教A專用）第10講 函數(shù)的極值與最大（?。┲担ń處熅恚?/h1>

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第10講函數(shù)的極值與最大（?。┲怠尽究键c目錄】【【知識梳理】知識點1函數(shù)的極值點和極值(1)極小值點與極小值若函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，就把點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)極大值點與極大值若函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，就把點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．(3)極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值．知識點2函數(shù)極值的求法與步驟(1)求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當f′(x0)＝0時，①如果在x0附近的左側(cè)函數(shù)單調(diào)遞增，即f′(x)>0，在x0的右側(cè)函數(shù)單調(diào)遞減，即f′(x)<0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側(cè)函數(shù)單調(diào)遞減，即f′(x)<0，在x0的右側(cè)函數(shù)單調(diào)遞增，即f′(x)>0，那么f(x0)是極小值．(2)求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟①確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③列表；④利用f′(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據(jù)極值點左右兩側(cè)單調(diào)性的變化情況求極值．注：已知函數(shù)的極值求參數(shù)時應注意兩點(1)待定系數(shù)法：常根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值兩個條件列出方程組，用待定系數(shù)法求解．(2)驗證：因為導數(shù)值為0不一定此點就是極值點，故利用上述方程組解出的解必須驗證．知識點3函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)(1)函數(shù)的最大(小)值的存在性一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)一般地，求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．知識點4用導數(shù)求函數(shù)f(x)最值的基本方法(1)求導函數(shù)：求函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)；(2)求極值嫌疑點：即f′(x)不存在的點和f′(x)＝0的點；表；(4)求極值：依(3)的表中所反應的相關(guān)信息，求出f(x)的極值點和極值；(5)求區(qū)間端點的函數(shù)值；(6)求最值：比較極值嫌疑點和區(qū)間端點的函數(shù)值后，得出函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的最大值和最小值.注：1.求解函數(shù)在固定區(qū)間上的最值，需注意以下幾點(1)對函數(shù)進行準確求導，并檢驗f′(x)＝0的根是否在給定區(qū)間內(nèi)．(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，正確確定極值和端點函數(shù)值．(3)比較極值與端點函數(shù)值的大小，確定最值．2.對參數(shù)進行討論，其實質(zhì)是討論導函數(shù)大于0，等于0，小于0三種情況．若導函數(shù)恒不等于0，則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最值在端點處取得；若導函數(shù)可能等于0，則求出極值點后求極值，再與端點值比較后確定最值．【【考點剖析】考點一求函數(shù)的極值點和極值1．（2023秋·四川雅安·高二雅安中學?？茧A段練習）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又存在極值的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本初等函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的極值與導數(shù)的關(guān)系可判斷各選項.【詳解】對于A選項，函數(shù)為奇函數(shù)，且該函數(shù)在上單調(diào)遞增，A項不滿足條件；對于B選項，函數(shù)的定義域為，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，B選項不滿足條件；對于C選項，函數(shù)的導數(shù)為，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，C選項不滿足條件；對于D選項，令，該函數(shù)的定義域為，，即函數(shù)為奇函數(shù)，，當時，，當時，，所以，為函數(shù)的極小值點，D選項滿足條件.故選：D.2．（2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，則（

）A．有極小值，無極大值 B．有極大值，無極小值C．既有極小值又有極大值 D．無極小值也無極大值【答案】C【分析】求得，利用導數(shù)得到函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的概念，即可求解.【詳解】由題意函數(shù)，可得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得極大值；當時，函數(shù)取得極小值.故選：C.3．【多選】（2023秋·福建寧德·高二古田縣第一中學?？茧A段練習）設，函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當時，函數(shù)沒有極大值，有極小值B．當時，函數(shù)既有極大值也有極小值C．當時，函數(shù)有極大值，沒有極小值D．當時，函數(shù)沒有極值【答案】AD【分析】求得當時函數(shù)的極值情況判斷選項A；求得當時函數(shù)的極值情況判斷選項B；求得當時函數(shù)的極值情況判斷選項C；求得當時函數(shù)的極值情況判斷選項D.【詳解】，令，則選項A：當時，，則單調(diào)遞增，，則可令當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，則函數(shù)沒有極大值，有極小值.判斷正確；選項B：當時，，則單調(diào)遞增，，則可令當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，則函數(shù)沒有極大值，有極小值.判斷錯誤；選項C：當時，，則單調(diào)遞增又，則當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，則函數(shù)沒有極大值，有極小值.判斷錯誤；選項D：當時，由，可得，由，可得則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增則當時，函數(shù)取極小值故在恒成立，即在恒成立，則單調(diào)遞增，故函數(shù)沒有極值.判斷正確.故選：AD4．【多選】（2023秋·湖北武漢·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)既存在極大值又存在極小值 B．函數(shù)存在個不同的零點C．函數(shù)的最小值是 D．若時，，則的最大值為【答案】ACD【分析】利用導數(shù)研究的單調(diào)性判斷極值情況，再結(jié)合零點存在性定理判斷零點個數(shù)，進而確定最小值，應用數(shù)形結(jié)合判斷參數(shù)t的最值.【詳解】由題設，，所以上，遞減；上，遞增；上，遞減；故在上取極小值，上取極大值，A正確；又，，，當趨于正無窮時無限趨向于0且，故存在兩個不同零點，B錯誤；由B分析知：在上值域為，在上值域為，在上，故在R上的值域為，即最小值是，C正確；由上分析可得如下函數(shù)圖象：要使時，只需即可，故的最大值為，D正確.故選：ACD5．（2023春·高二?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)若，求函數(shù)的極值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)極大值為，無極小值(2)答案見解析【分析】（1）先對求導，利用導數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系得到的單調(diào)性，從而求得的極值；（2）求出的導數(shù)，分類討論的范圍，即可求出的單調(diào)區(qū)間．【詳解】（1）當時，，則，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，無極小值.（2）因為，則，當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當時，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上：當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.6．（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，極大值是，極小值是(2)最大值為，最小值為．【分析】（1）對求導，根據(jù)導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進一步確定極值即可；（2）根據(jù)極值和端點值即可確定最值.【詳解】（1）．令，得或；令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．所以的極大值是，的極小值是．（2）因為，由（1）知，在區(qū)間上，有極小值，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為．考點二利用函數(shù)的極值求參數(shù)7．（2023秋·四川資陽·高二?？计谥校┖瘮?shù)在處有極值為，那么，的值為（

）A．， B．，C．，或， D．，【答案】A【分析】由題意可知，由此可求出，并驗證即可求解．【詳解】，由題意可知即，則解得或，當時，，在處不存在極值，不符合題意；當時，，，，，，符合題意．，故選：A．8．（2023秋·黑龍江佳木斯·高二建三江分局第一中學?？计谀┮阎瘮?shù)在時有極值0，則=______.【答案】【分析】對函數(shù)進行求導，根據(jù)函數(shù)在時有極值0，可以得到，代入求解，并進行檢驗，即可求出結(jié)果.【詳解】∵，，函數(shù)在時有極值0，可得即，解得或，若時，函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值，故舍，所以，所以故答案為：．9．（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)有極值，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求導，由題設得必有兩個不等的實根，再利用判別式求解即可.【詳解】由題意知，定義域為R，，要使函數(shù)有極值，則必有兩個不等的實根，則，解得.故選：D.10．（2021春·陜西咸陽·高二?？计谥校┮阎獩]有極值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系可知，或恒成立，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因為，所以，因為沒有極值，所以或恒成立，又因為開口向上，所以恒成立，即，所以，整理得，解得，所以.故選：C.11．（2023秋·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）若函數(shù)在內(nèi)有極大值，則a的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，進而得出函數(shù)的極值點，根據(jù)題意，結(jié)合圖象即可得a的取值范圍.【詳解】由，得，令或，令，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，如圖，由圖可知函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，又函數(shù)在內(nèi)有極大值，故.故選：A.12．（2023·高二課時練習）已知函數(shù)既存在極大值又存在極小值，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】【分析】函數(shù)既存在極大值又存在極小值等價于方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)根，得到不等式組，解出答案即可【詳解】解：由可得，∵既存在極大值又存在極小值，∴方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)根，需滿足，解得，故所求實數(shù)a的取值范圍為.13．（2023春·山東濟南·高二濟南市歷城第二中學校考期末）若函數(shù)在和兩處取到極值，則實數(shù)的取值范圍是___________；若，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】

【分析】對求導后令，再根據(jù)是導函數(shù)的兩根，數(shù)形結(jié)合分析兩根的關(guān)系求解.【詳解】解：①已知函數(shù)，則，若函數(shù)在和兩處取到極值，則和是函數(shù)的兩個零點，即是方程，即的兩個根，所以函數(shù)的圖像與直線有兩個不同的交點且交點的橫坐標分別為，由于，所以當或時，；當時，；故的減區(qū)間有和，增區(qū)間有，且當時，，作出的草圖：由圖可知要滿足函數(shù)有兩個零點，需使，所以實數(shù)的取值范圍是，②，且若，即，取，并令，則，所以，解得，此時，故，即實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.考點三函數(shù)（導函數(shù)）的圖像與極值的關(guān)系14．（2023秋·上海金山·高二上海市金山中學?？计谀┤鐖D是函數(shù)的導函數(shù)的圖象：①函數(shù)在區(qū)間上嚴格遞減；

②；③函數(shù)在處取極大值；

④函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個極小值點．則上述說法正確的是______．【答案】②④【分析】根據(jù)導函數(shù)圖象分析得到函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷是否為極值點，比較出函數(shù)值的大小，判斷出正確答案.【詳解】由導函數(shù)的圖象可知：函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故①錯誤，②正確；由導函數(shù)的圖象可知：在上均單調(diào)遞增，故不是函數(shù)的極大值點，③錯誤；由導函數(shù)圖象可得：在區(qū)間內(nèi)有，且在與上導函數(shù)小于0，在和上導函數(shù)大于0，故和為函數(shù)的兩個極小值點，故在區(qū)間內(nèi)有兩個極小值點，④正確.故答案為：②④15．【多選】（2023秋·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習）如圖是導函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（

）A．為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間B．為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在處取得極小值【答案】AD【分析】A.利用導數(shù)的正負與函數(shù)的增減的關(guān)系判斷；B.利用導數(shù)的正負與函數(shù)的增減的關(guān)系判斷；C.利用極值點的定義判斷；D.利用極值點的定義判斷.【詳解】A.因為在上成立，所以是的單調(diào)遞增區(qū)間，故正確；B.因為時，，時，，所以在上不單調(diào)，故錯誤；C.因為時，，時，，函數(shù)在處無極值，故錯誤；D.因為時，，時，，所以函數(shù)在處取得極小值，故正確；故選：AD16．（2023秋·北京西城·高二統(tǒng)考期末）設函數(shù)的極小值為－8，其導函數(shù)的圖象過點（－2，0），如圖所示，則＝（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題設，根據(jù)所過的點可得，結(jié)合圖象求出極小值點并代入求參數(shù)，即可得解析式，注意驗證所得參數(shù)是否符合題設.【詳解】由題設，，則，故，所以，令，可得或，由圖知：且處有極小值，所以，即，，經(jīng)驗證滿足題設，故.故選：B17．（2023·高二單元測試）函數(shù)的定義域為，導函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則下列命題不正確的是（

）．A．函數(shù)在內(nèi)一定不存在最小值B．函數(shù)在內(nèi)只有一個極小值點C．函數(shù)在內(nèi)有兩個極大值點D．函數(shù)在內(nèi)可能沒有零點【答案】A【分析】根據(jù)導函數(shù)圖象得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可判斷函數(shù)的極值，從而得解；【詳解】解：設的根為，，，且，則由圖可知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極小值，當，時，是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最小值，所以A錯誤，B正確；函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極大值、，所以C正確；當，，時，函數(shù)在內(nèi)沒有零點，所以D正確．故選：A．18．（2023秋·貴州遵義·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的導函數(shù)為的圖象如圖所示，關(guān)于函數(shù)，下列說法不正確的是（

）A．函數(shù)在，上單調(diào)遞增B．函數(shù)在，上單調(diào)遞減C．函數(shù)存在兩個極值點D．函數(shù)有最小值，但是無最大值【答案】C【分析】根據(jù)導函數(shù)的圖象判斷導函數(shù)的正負，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值【詳解】由導函數(shù)的圖象可知，當或時，，當或時，，所以在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以和為極小值點，為極大值點，所以函數(shù)有3個極值點，所以和中的最小的，為函數(shù)的最小值，無最大值，所以ABD正確，C錯誤，故選：C19．【多選】（2023秋·遼寧錦州·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域為，它的導函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是的極小值點C．函數(shù)在上有極大值 D．是的極大值點【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)極值的定義，結(jié)合導數(shù)的性質(zhì)和導函數(shù)的圖象逐一判斷即可.【詳解】由的圖象可知：當時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，因此有，是的極大值點，所以選項A、D正確；當，或時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上沒有極大值，且不是的極小值點，所以選項B、C不正確，故選：AD考點四求函數(shù)的最值20．（2023秋·四川樂山·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則函數(shù)在上的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】求導確定函數(shù)在上的單調(diào)性，求出最小值即可.【詳解】，當時，，則在上單調(diào)遞增，則在上的最小值為.故選：A.21．（2023秋·四川樂山·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則函數(shù)在的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】利用導函數(shù)求得函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，進而求得函數(shù)在的最小值【詳解】，，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.則在時取得最小值故選：A22．（2023秋·四川綿陽·高二?？计谥校┖瘮?shù)在區(qū)間上取得最大值時的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】對函數(shù)求導，判斷其在的單調(diào)性，進而求得其最大值.【詳解】由得，令，即在區(qū)間上解得，當時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，所以當時，取得最大值.故選：B.23．（2023·高二課時練習）設函數(shù)，若對任意的有恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，然后利用導數(shù)求函數(shù)的最大值，即可求解.【詳解】，令，得或.當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，，所以因為對任意的有恒成立，所以，即.故選：C24．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第六中學校校考期末）若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】A【分析】由得，令，利用的單調(diào)性可得，轉(zhuǎn)化為對任意時恒成立，令，利用導數(shù)求出的最值可得答案.【詳解】由得，令，因為都是單調(diào)遞增函數(shù)，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即對任意時恒成立，令，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，所以，即.故選：A.考點五由函數(shù)的最值求參數(shù)25．（2023秋·山東煙臺·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最小值為0，則實數(shù)a的值為（

）A．－2 B．－1 C．2 D．【答案】C【分析】對函數(shù)求導后，分和兩種情況求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最小值，使最小值等于零，從而可出實數(shù)a的值【詳解】由，得，當時，在上恒成立，所以在上遞增，所以，解得（舍去），當時，由，得或，當時，在上恒成立，所以在上遞增，所以，解得（舍去），當時，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以當時，取得最小值，所以，解得（舍去），當時，當時，，所以在上遞減，所以，解得，綜上，，故選：C26．（2023秋·吉林·高二校聯(lián)考期末）當時，函數(shù)取得最小值，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出導函數(shù)，由題意，解得，即可計算.【詳解】當時，函數(shù)取得最小值，所以，所以，得，又，根據(jù)函數(shù)在處取得最值，所以即得，所以，.故選：C.27．（2023秋·廣東潮州·高二饒平縣第二中學?？奸_學考試）若函數(shù)的最大值為，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由基本不等式求得x＜0時，f（x）的值域，由題意可得x＞0時，f（x）的值域應該包含在x＜0時的值域內(nèi)，轉(zhuǎn)化為在x＞0時恒成立．利用導數(shù)求出的最大值即可.【詳解】當x＜0時，，當且僅當x＝?1時，f（x）取得最大值f（?1）＝a?2，由題意可得x＞0時，的值域包含于（?∞，a?2]，即在x＞0時恒成立即在x＞0時恒成立即設當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞減，故選：C．28．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習）若函數(shù)有最小值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導得，分類討論判斷得單調(diào)性，進而根據(jù)最值分析求解.【詳解】由題意可得：∵，則當，則當時恒成立，即∴在上單調(diào)遞減，則在上無最值，即不成立當，則當時恒成立，即∴在上單調(diào)遞增，則在上無最值，即不成立當，令，則∴在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則在上有最小值，即成立故選：A.29．（2023秋·河南鄭州·高二河南省實驗中學校考期中）已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，導函數(shù)的正負確定單調(diào)性進而取最值可求.【詳解】由得，由于均為單調(diào)遞增函數(shù)，故在單調(diào)遞增，因為在有最小值，故故選：A30．（2023秋·福建龍巖·高二福建省龍巖第一中學?？茧A段練習）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最小值，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到，令得到或1，即得解.【詳解】解：由題得，.令，解得或；令，解得，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值.若在區(qū)間內(nèi)有最小值，則極小值即最小值，所以，解得，令，可得，可得，解得或1，由題得，綜上.故選：C.考點六由極值與最值關(guān)系求參數(shù)范圍31．（2023·高二課時練習）已知函數(shù)，若對任意的，，都有恒成立，則實數(shù)k的最大值是（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)解析式化簡恒成立為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求其最小值，即可求得答案.【詳解】∵，∴,∵恒成立，且，∴恒成立，令，，則,因為是時的遞增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，且，∴當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，∴，∴，故實數(shù)k的最大值是0，故選：B．32．（2023秋·青海西寧·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖象，設，則有，即有，于是有，令，求導，利用導數(shù)求出的最大值即可.【詳解】解：由函數(shù)的圖象可知，不妨設，有，可得，有，令，有，令，可得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，可得，故的最大值為.故選：D.33．（2023秋·遼寧遼陽·高二遼陽市第一高級中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，若有且只有兩個整數(shù)解，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將問題化為有且只有兩個整數(shù)解，利用導數(shù)研究的性質(zhì)，并畫出與的圖象，判斷它們交點橫坐標的范圍，列不等式組求k的范圍.【詳解】由題設，定義域為，則可得，令，則，所以時，即遞增，值域為；時，即遞減，值域為；而恒過，函數(shù)圖象如下：要使有且只有兩個整數(shù)解，則與必有兩個交點，若交點的橫坐標為，則，所以，即.故選：C34．（2023秋·福建龍巖·高二統(tǒng)考期末）若且）恒成立，則a的取值范圍是（

）A．（0，1） B．（1，+∞） C． D．【答案】C【分析】當時，原題等價于在區(qū)間上恒成立，令，利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間和最值，分析計算，即可得答案，當，分析得不符合題意，綜合即可得答案.【詳解】當時，由題意與互為反函數(shù)，所求等價于在區(qū)間上恒成立，令，則，令，解得，當時，，則為減函數(shù)，當時，，則為增函數(shù)，所以在處取得極小值，也為最小值，所以，整理可得，因為，所以，所以，則，所以，則，解得；當時，不符合題意，故舍去，所以a的取值范圍是故選：C35．（2023秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）若關(guān)于x的不等式對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，故，原不等式變?yōu)?，進而令，利用最值分析法，通過對的導數(shù)進行討論，即得.【詳解】由題意得，，令，故，故.令，則.若，則，則在上單調(diào)遞增，又，則當時，，不合題意，舍去；若，則當時，，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，所以若，則當，，舍去；若，則當，，舍去；若，則，符合題意，故.故選：A【【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023秋·貴州畢節(jié)·高二統(tǒng)考期末）已知為函數(shù)的極大值點，則（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極大值點.【詳解】解：因為，所以，所以當或時，當時，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以的極大值點為，即.故選：B2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市阿城區(qū)第一中學校校聯(lián)考期末）若函數(shù)有2個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求導，根據(jù)題意可得有2個不同的正實數(shù)根，從而可得出答案.【詳解】解：，因為函數(shù)的定義域為，且函數(shù)有2個極值點，則有2個不同的正實數(shù)根，所以且，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B．3．（2023秋·廣東佛山·高二佛山市第四中學校考期末）設函數(shù)的導函數(shù)為，的部分圖象如圖所示，則（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)在處取得極小值D．函數(shù)在處取得極大值【答案】B【分析】直接由導函數(shù)圖象判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而得到函數(shù)的極值，依次判斷4個選項即可.【詳解】由圖象可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，A錯誤；函數(shù)在上單調(diào)遞增，B正確，C錯誤；函數(shù)在處取得極小值，D錯誤.故選：B.4．（2023春·江蘇連云港·高二?？计谀┖瘮?shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．為函數(shù)的零點 B．為函數(shù)的極大值點C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．是函數(shù)的最小值【答案】C【分析】根據(jù)導函數(shù)圖象，導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】由的圖象可得，當時，，當時，，當時，，當時，所以在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，所以為的極小值點，所以B選項錯誤，C選項正確；是的零點，但不一定是的零點，所以A錯誤；是函數(shù)的極小值，但不一定是最小值，所以D錯誤.故選：C5．（2023秋·青海西寧·高二校聯(lián)考期末）給定函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．函數(shù)有兩個零點 B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的最小值是 D．當或時，方程有1個解【答案】A【分析】利用導數(shù)判斷并畫出函數(shù)的大致圖像，結(jié)合圖像逐項分析選項即可.【詳解】因為，所以，由，得，所以在單調(diào)遞增，由，得，所以在單調(diào)遞減，又因為，恒成立，，，結(jié)合單調(diào)性可知，大致圖像如下：對于A選項，由圖像知，函數(shù)只有一個零點，故A錯誤；對于B選項，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，而，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C選項，函數(shù)的最小值是，故C正確；對于D選項，由圖像可知，當或時，方程有1個解，故D正確.故選：A.6．（2023秋·上海寶山·高二上海市行知中學?？计谀╆P(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（

）①是的極大值點②函數(shù)有且只有1個零點

③存在正實數(shù)，使得成立

④對任意兩個正實數(shù)，且，若，則A．①④ B．②③ C．②④ D．①③【答案】C【分析】對于①，根據(jù)極大值點的定義，求導，研究導數(shù)與零的大小關(guān)系，可得答案；對于②，構(gòu)造函數(shù)，求導研究其單調(diào)性，根據(jù)零點存在定理，可得答案；對于③，采用變量分離，構(gòu)造函數(shù)，研究單調(diào)性與最值，可得答案；對于④，以直線為對稱軸，構(gòu)造函數(shù)，求導研究其單調(diào)性和最值，可得答案.【詳解】解：對于①，由，求導得，令，解得，可得下表：極小值則為函數(shù)的極小值點，故①錯誤；對于②，由，求導得：，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，當時，，由，故函數(shù)有且只有1個零點，故②正確；對于③，由題意，等價于存在正實數(shù)，使得，令，求導得，令，則，在上，，函數(shù)單調(diào)遞增；在上，，函數(shù)單調(diào)遞減，，，在上單調(diào)遞減，無最小值，不存在正實數(shù)，使得恒成立，故③錯誤；對于④，令，則，，令，則，在上單調(diào)遞減，則，即，令，由，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，則，當時，顯然成立，故④正確.故選：C.二、多選題7．（2023秋·河北廊坊·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，以下結(jié)論中正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．有無數(shù)個零點C．的最小值為 D．的最大值為1【答案】ABD【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)及導數(shù)與單調(diào)性及極值，及最值關(guān)系檢驗各選項即可判斷.【詳解】對于A選項：因為的定義域為，則，所以是偶函數(shù)，A選項正確；對于B選項：令，則，所以，解得，所以有無數(shù)個零點，B選項正確；對于C選項：因為，所以若的最小值為，則是的一個極小值點，而，則，不是函數(shù)的極小值點，C選項錯誤；對于D選項：因為，當時，取到最大值1，取到最小值1，所以此時取到最大值1，D選項正確；故選：ABD.8．（2023秋·遼寧遼陽·高二遼陽市第一高級中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當時，在點的切線方程是B．當時，在R上是減函數(shù)C．若只有一個極值點，則或D．若有兩個極值點，則【答案】ABD【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，可判斷A的正誤；求導可得解析式，設，利用導數(shù)可得的單調(diào)性和最值，結(jié)合a的范圍，可得的正負，即可判斷B的正誤；當時，可得恒成立，即可得恒成立，則單調(diào)遞減，分析可判斷C的正誤；根據(jù)有兩個極值點，可得有2個實根，根據(jù)的單調(diào)性和最值，分析即可得答案.【詳解】對于A：當時，，則，即切點（0,0）又，所以切線的斜率，所以切線方程為，即，故A正確；對于B：由題意得，設，則，令，解得，當時，，則為增函數(shù)，當時，，則為減函數(shù)，所以，因為，所以，，所以，又恒成立，所以在R上恒成立，則在R上是減函數(shù)，故B正確；對于C：當時，由B選項可得，所以恒成立，即恒成立，所以在R上是單調(diào)減函數(shù)，無極值點，反之若只有一個極值點，不成立，故C錯誤；對于D：若有兩個極值點，則有2個實根，因為恒成立，所以有2個實根，由B選項可得，所以，解得.又，根據(jù)零點存在性定理可得，在和分別存在1個零點，結(jié)合的單調(diào)性可得滿足題意，故D正確；故選：ABD9．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第六中學校?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在上的函數(shù)，是的導函數(shù)，若，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增B．函數(shù)在定義域上有極小值C．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為D．不等式的解集為【答案】AC【分析】令，得到，求得，令，利用導數(shù)得到，進而得到，可判定A正確，B不正確；求得，進而可判定C正確；設且，求得，可得，進而可判定D錯誤.【詳解】令，則，因為，可得，又由，可得，令，可得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以，即，所以單調(diào)遞增，所以A正確，B不正確；由函數(shù)，可得，令，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以C正確；設，則，則因為，所以，所以，令，則注意到時，，進而單減，知時“，即.”時單減，而，所以D錯誤.故選：AC.三、填空題10．（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在處取得極值0，則______．【答案】11【分析】求出導函數(shù)，然后由極值點和極值求出參數(shù)值即可得，注意檢驗符合極值點的定義．【詳解】，則，即，解得或當時，，不符合題意，舍去；當時，，令，得或；令，得．所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，符合題意，則．故答案為：11．11．（2023秋·上海金山·高二上海市金山中學?？计谀┮阎呛瘮?shù)的極小值點，則_____．【答案】【分析】求導，根據(jù)是函數(shù)的極小值點，由求解，并檢驗即可.【詳解】解：因為函數(shù)，所以，因為是函數(shù)的極小值點，所以，即，解得或，當時，，當或時，，當時，，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值，不符合題意；當時，，當或時，，當時，，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當時，函數(shù)取得極小值，符合題意；所以，故答案為：12．（2023秋·新疆阿克蘇·高二?？计谀┤艉瘮?shù)有兩個極值點，則實數(shù)取值范圍是______【答案】【分析】結(jié)合已知條件可知有兩個不同的實數(shù)根，然后利用一元二次函數(shù)的判別式即可求解.【詳解】由題意可知，，∵有兩個極值點，∴有兩個不同的實數(shù)根，故，即或.從而實數(shù)取值范圍是.故答案為：.13．（2023秋·山東泰安·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，則的最大值為___________.【答案】1【分析】利用導數(shù)和基本不等式求出函數(shù)的單調(diào)性，即得解.【詳解】函數(shù)，，所以，當且僅當，即時等號成立，又因為，所以，所以在時單調(diào)遞增，其最大值為.故答案為：114．（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程，有且僅有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】首先利用導函數(shù)求的單調(diào)性，作出函數(shù)的大致圖象，將方程解得問題轉(zhuǎn)換成交點問題即可求解出答案