高一數學寒假講義（新人教A專用）【預習】第09講 平面向量的應用（教師卷）

第09講平面向量的應用【學習目標】1、學會運用向量方法解決平面幾何和物理中的問題．2、把解直角三角形問題拓展到解任意三角形問題．【考點目錄】考點一：向量在平面幾何中的應用考點二：向量在解析幾何中的應用考點三：向量在物理學的應用考點四：余弦定理的應用考點五：正弦定理的應用考點六：利用正余弦定理判斷三角形的形狀考點七：正余弦定理舉例應用考點八：解三角形范圍與最值問題【基礎知識】知識點一：向量在平面幾何中的應用向量在平面幾何中的應用主要有以下幾個方面：（1）證明線段相等、平行，常運用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時用到向量減法的意義．（2）證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線（或線段）是否平行，常運用向量平行（共線）的條件：（或）．（3）證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線（線段）是否垂直等，常運用向量垂直的條件：（或）．（4）求與夾角相關的問題，往往利用向量的夾角公式．（5）向量的坐標法，對于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標系，把向量用坐標表示，通過代數運算解決幾何問題．知識點詮釋：用向量知識證明平面幾何問題是向量應用的一個方面，解決這類題的關鍵是正確選擇基底，表示出相關向量，這樣平面圖形的許多性質，如長度、夾角等都可以通過向量的線性運算及數量積表示出來，從而把幾何問題轉化成向量問題，再通過向量的運算法則運算就可以達到解決幾何問題的目的了．知識點二：向量在解析幾何中的應用在平面直角坐標系中，有序實數對（x，y）既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量，使向量與解析幾何有了密切的聯系，特別是有關直線的平行、垂直問題，可以用向量方法解決．常見解析幾何問題及應對方法：（1）斜率相等問題：常用向量平行的性質．（2）垂直條件運用：轉化為向量垂直，然后構造向量數量積為零的等式，最終轉換出關于點的坐標的方程．（3）定比分點問題：轉化為三點共線及向量共線的等式條件．（4）夾角問題：利用公式．知識點三：向量在物理中的應用（1）利用向量知識來確定物理問題，應注意兩方面：一方面是如何把物理問題轉化成數學問題，即將物理問題抽象成數學模型；另一方面是如何利用建立起來的數學模型解釋相關物理現象．（2）明確用向量研究物理問題的相關知識：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成與分解就是向量的加減法；③動量mv是數乘向量；④功即是力F與所產生位移s的數量積．（3）用向量方法解決物理問題的步驟：一是把物理問題中的相關量用向量表示；二是轉化為向量問題的模型，通過向量運算解決問題；三是把結果還原為物理結論．知識點四、余弦定理三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．即：余弦定理的變形公式：知識點五、利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：①已知三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個角；②已知三角形的三條邊，求其三個角．知識點詮釋：在余弦定理中，每一個等式均含有四個量，利用方程的觀點，可以知三求一．知識點六、正弦定理正弦定理：在一個三角形中各邊和它所對角的正弦比相等，即：知識點詮釋：（1）正弦定理適合于任何三角形；（2）可以證明（為的外接圓半徑）；（3）每個等式可視為一個方程：知三求一．（4）利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：=1\*GB3①已知兩個角及任意—邊，求其他兩邊和另一角；=2\*GB3②已知兩邊和其中—邊的對角，求其他兩個角及另一邊．知識點七、解三角形的概念一般地，我們把三角形的各內角以及它們所對的邊叫做三角形的幾何元素．任何一個三角形都有六個元素：三邊、和三角．在三角形中，由已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形．有了關于解三角形的有關定理（如勾股定理、三角形的內角和定理、正弦定理，還有即將學習的余弦定理等），三角學特別是測量學得到了一次飛躍，它可以由已知的三角形的邊和角來推斷未知的邊和角．知識點八、正弦定理在解三角形中的應用利用正弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角；知識點九：利用正、余弦定理解三角形已知兩邊和一邊的對角或已知兩角及一邊時，通常選擇正弦定理來解三角形；已知兩邊及夾角或已知三邊時，通常選擇余弦定理來解三角形．特別是求角時盡量用余弦定理來求，盡量避免分類討論．在中，已知和A時，解的情況主要有以下幾類：①若A為銳角時：一解一解兩解無解②若A為直角或鈍角時：知識點十：三角形的形狀的判定特殊三角形的判定：（1）直角三角形勾股定理：，互余關系：，，；（2）等腰三角形，；用余弦定理判定三角形的形狀（最大角的余弦值的符號）（1）在中，；（2）在中，；（3）在中，；知識點十一、解三角形應用題的步驟解三角形在實際中應用非常廣泛，如測量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識，解題時應認真分析題意，并做到算法簡練，算式工整，計算正確．其解題的一般步驟是：（1）準確理解題意，尤其要理解應用題中的有關名詞和術語；明確已知和所求，理清量與量之間的關系；（2）根據題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標出，將實際問題抽象成解三角形模型；（3）分析與所研究的問題有關的一個或幾個三角形，正確運用正弦定理和余弦定理，有順序的求解；（4）將三角形的解還原為實際問題，注意實際問題中的單位及近似計算要求，回答實際問題．知識點十二、解三角形應用題的基本思路實際問題畫圖數學問題解三角形數學問題的解檢驗實際問題的解【考點剖析】考點一：向量在平面幾何中的應用例1．（2023·全國·高一課時練習）用向量方法證明：菱形對角線互相垂直．已知四邊形是菱形，，是其對角線．求證：．【解析】證明：設，．因為四邊形為菱形，所以，又則，故．所以.例2．（2023·全國·高一課時練習）在平面直角坐標系中，已知A(3，4)，B(5，12)，O為坐標原點，的平分線交線段AB于點D，求點D的坐標．【解析】由題設，，若，則，，∵的平分線交線段AB于點D，且，∴，即，解得.∴.考點二：向量在解析幾何中的應用例3．（2023·全國·高一課時練習）已知點.求：（1）的值；（2）的大??；（3）點到直線的距離.【詳解】解：（1）因為，所以，所以；（2），因為，所以；（3）因為，所以，因為，所以在方向上的投影為，所以點到直線的距離為.考點三：向量在物理學的應用例4．（2023·全國·高一課時練習）兩個力，作用于同一質點，使該質點從點移動到點（其中、分別是x軸正方向、y軸正方向上的單位向量，力的單位：N，位移的單位：m）.求：（1），分別對該質點做的功；（2），的合力對該質點做的功.【解析】（1）根據題意，，，，故對該質點做的功（）；對該質點做的功（）.（2）根據題意，，的合力，故，的合力對該質點做的功（）.考點四：余弦定理的應用例5．（2023·海南華僑中學高二期末）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，（1）求角A；（2）如果，，求△ABC的面積.【解析】解：（1）因為由正弦定理得，即，所以，，所以.（2）又，，所以，所以.例6．（2023·廣東羅湖·高三期末）設的內角、、的對邊分別為、、，且．（1）求角的大??；（2）若邊上的高為，求．【解析】（1）解：由余弦定理，得，所以，，所以，，又因為，所以，，則，，因此，.（2）解：因為的面積，則，由余弦定理，得，所以，，所以，.例7．（2023·黑龍江·建三江分局第一中學高一期中）已知的三內角A,B,C所對的邊分別為，且(1)求角C﹔(2)若，,求的值；【解析】（1）由得,因為,所以,因為,所以,因為,所以.（2）由余弦定理得，所以，因為，所以，所以，解得.考點五：正弦定理的應用例8．（2023·貴州金沙·高二期中）已知的內角，，所對的邊分別為，，，．（1）若，，求外接圓的半徑；（2）若的周長為16，，求．【解析】（1）因為，，，所以，因為，所以，所以外接圓的半徑為；（2）因為的周長為16，，所以，因為，所以，因為，所以，解得．例9．（2023·四川·樂山市教育科學研究所一模（理））已知的內角，，所對的邊分別為，，，且滿足.（1）求角的大小；（2）若，，求的周長.【解析】（1）因為，所以，由余弦定理可得：，又因為，所以.（2）由已知所以，由已知及余弦定理得，即，所以，解得：或（舍），所以的周長為.考點六：利用正余弦定理判斷三角形的形狀例10．（多選題）（2023·廣東·深圳市華美外國語（國際）學校高一期中）在中，角所對的邊分別為，下列說法中正確的是（

）A．若，則 B．若，則為等腰直角三角形C． D．若，則為鈍角三角形【答案】ACD【解析】對于A，若，所以，利用正弦定理可得，所以，故A正確；對于B，由于，利用正弦定理可得，整理得，即，所以或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；對于C，由正弦定理，所以，故C正確；對于D，由于，所以，因為，所以中必有一個鈍角，故為鈍角三角形，故D正確.故選：ACD.考點七：正余弦定理舉例應用例11．（2023·福建三明·高一期末）如圖，某景區(qū)擬開辟一個平面示意圖為五邊形ABCDE的觀光步行道，BE為電瓶車專用道，，，．(1)求BE的長；(2)若，求五邊形ABCDE的周長．【解析】（1）由，，可得：，，而，故，在直角△中，則.（2）由（1）知：，則，，由且，則，所以.所以五邊形ABCDE的周長.例12．（2023·山東濱州·高一期末）如圖，在圓內接四邊形ABCD中，，，，的面積為.(1)求AC；(2)求.【解析】（1）因為的面積為，所以.又因為，，所以.由余弦定理得，，，所以.（2）因為ABCD為圓內接四邊形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因為，所以，所以.例13．（2023·吉林·東北師大附中高一階段練習）一艘船向正北方向航行，在點處看燈塔在北偏東的方向上，且距離為海里，這艘船航行40海里后到達點.此時燈塔在船只北偏東的方向上且距離為海里，求及.【解析】在中，,由余弦定理得：，在中，由正弦定理得,因為,故,所以,故答案為：，考點八：解三角形范圍與最值問題例14．（2023·湖南·長郡中學高一期末）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若_____________．（請從①；②；③這三個條件中任選一個填入上空）(1)求角C；(2)若時，求周長的最大值．【解析】（1）若選①，因為，所以，，因為，所以.若選②，因為，所以，因為，所以，即.因為，所以，即.若選③，因為，所以，即，所以，，所以.（2）由①②③可得，由余弦定理：，即，所以，解得，當且僅當時取等號.所以周長的最大值是.例15．（2023·江蘇宿遷·高一期末）在中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，在①；②.兩個條件中任選一個，補充在下面問題中（將選的序號填在橫線處），已知，______．(1)若，求b；(2)求面積S的最大值．【解析】(1)若選①，則所以，即由，，得，可得，所以．若選②，則所以，由，得中，由正弦定理，可得.(2)中，，所以，即解得，當且僅當取等號．所以面積，所以當時，面積S取得最大值.例16．（2023·山西省長治市第二中學校高一期末）的內角的對邊分別為.的面積為，且.(1)求角；(2)求的最大值.【解析】(1)，，，，；(2)由正弦定理得：，，，，，所以的最大值為.例17．（2023·湖北·武漢市第四十三中學高一期中）已知分別為三個內角的對邊，，且，(1)求；(2)若，求的取值范圍.【解析】(1)由題意得：，由正弦定理得：，因為，所以，因為，所以，所以，即，因為，所以，所以，(2)因為，所以由正弦定理得：，，因為，所以，所以，的取值范圍是【真題演練】1．（2023·全國·高考真題（理））魏晉時劉徽撰寫的《海島算經》是有關測量的數學著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距【答案】A【解析】如圖所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故選：A.2．（2023·全國·高考真題（文））在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【解析】設，結合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.3．（2023·浙江·高考真題）我國南宋著名數學家秦九韶，發(fā)現了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數學的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．【答案】.【解析】因為，所以．故答案為：.4．（2023·天津·高考真題）在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【解析】（1）因為，即，而，代入得，解得：．（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．（3）因為，所以，故，又，所以，，而，所以，故．5．（2023·全國·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【解析】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.6．（2023·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．【解析】（1）因為，則，由已知可得，可得，因此，.（2）由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長為.7．（2023·全國·高考真題（文））記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據余弦定理可知，，化簡得：，故原等式成立．8．（2023·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【解析】（1）由于，，則．因為，由正弦定理知，則．（2）因為，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．9．（2023·天津·高考真題）在，角所對的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．【解析】（I）因為，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，所以.10．（2023·全國·高考真題）在中，角、、所對的邊長分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【解析】（1）因為，則，則，故，，，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關系可得，可得，，故.11．（2023·北京·高考真題）在中，，．（1）求；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長．條件①：；條件②：的周長為；條件③：的面積為；【解析】（1），則由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若選擇①：由正弦定理結合（1）可得，與矛盾，故這樣的不存在；若選擇②：由（1）可得，設的外接圓半徑為，則由正弦定理可得，，則周長，解得，則，由余弦定理可得邊上的中線的長度為：；若選擇③：由（1）可得，即，則，解得，則由余弦定理可得邊上的中線的長度為：.12．（2023·浙江·高考真題）在中，，M是的中點，，則___________，___________.【答案】

【解析】由題意作出圖形，如圖，在中，由余弦定理得，即，解得（負值舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案為：；.【過關檢測】一、單選題1．（2023·全國·高一課時練習）在中，，則的值為（

）A． B．－ C．－ D．【答案】C【解析】因為，所以設，由余弦定理可得.故選：C.2．（2023·黑龍江·齊齊哈爾三立高級中學有限公司高一階段練習）如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取、兩點，從、兩點分別測得樹尖的仰角為、，且、兩點之間的距離為，則樹的高度為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在，，，，又，由正弦定理得：，，樹的高度為(m).故選：A．3．（2023·全國·高一課時練習）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列四個條件中能夠使角A被唯一確定的是（

）①；②；③，；④，b＝2，．A．①② B．②③ C．②④ D．②③④【答案】B【解析】對于①，則或，故①不滿足題意；對于②，則，故②滿足題意；對于③，，則，，，∵，∴，∴，則角被唯一確定，故③滿足題意；對于④，，，∵，∴如圖所示，角不唯一，故④不滿足題意．故選：B．4．（2023·全國·高一課時練習）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，，由正弦定理得.故選：B.5．（2023·全國·高一課時練習）在△中，內角的對邊分別是，且，則等于（

）A．1 B． C．3 D．【答案】A【解析】在三角形中，由正弦定理可得：.故選：A.6．（2023·全國·高一課時練習）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則角的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，，由正弦定理可得，所以，即，因為，所以，因為，所以.故選：D.7．（2023·浙江·高一期中）一海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么B，C兩點間的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】C【解析】如圖，作出，由題意可知，海里，，則，因為，所以海里，即B，C兩點間的距離是海里.故選：C.8．（2023·湖北·丹江口市第一中學高一階段練習）的內角的對邊分別為，則下列說法不正確的是（

）A．若，則B．若，則有兩解C．若為鈍角三角形，則D．若三角形為斜三角形，則【答案】C【解析】對于A選項，若，則，由正弦定理可得，所以，，故A選項正確；對于B選項，，則，如圖：所以有兩解，B選項正確；對于C選項，若為鈍角三角形且為鈍角，則，可得，C選項錯誤；對于D，因為，所以因為，所以，所以，所以D正確.故選：C.二、多選題9．（2023·浙江·良渚高級中學高一階段練習）在中，內角所對的邊分別為，下列各組條件中使得有兩個解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】CD【解析】A項：因為，所以.由正弦定理可得，，無解，A錯誤；B項：因為，所以.由正弦定理可得，，只有一個解，B錯誤；C項：因為，由正弦定理可得，.又，所以，此時有兩個解，即有兩個解，C正確；D項：因為，由正弦定理可得，.又，所以，此時有兩個解，即有兩個解，D正確.故選：CD.10．（2023·黑龍江·哈九中高一期中）在中，角所對的邊分別為，已知，則下列判斷中正確的是（

）A．若，則 B．若，則該三角形有兩解C．周長有最大值12 D．面積有最小值【答案】ABC【解析】對于A，，，由正弦定理得所以，故A正確；對于B，由正弦定理得得，所以，因為有兩個解，所以該三角形有兩解，故B正確；對于C，由，得，所以，當且僅當時取等號，此時三角形周長最大為等邊三角形，周長為12，故C對；對于D，由得,故由于，無最小值，所以面積無最小值，有最大值為，故D錯誤.故選：ABC11．（2023·福建福州·高一期末）在銳角中，角、、所對的邊分別為、、，已知，且，則（

）A． B．角的取值范圍是C．的取值范圍是 D．的取值范圍是【答案】AD【解析】因為，所以，，，則，所以或．因為，所以，所以，則，故A正確；因為，所以．因為是銳角三角形，所以，即，解得，所以，則，故B錯誤，D正確；因為，所以，所以，則C錯誤．故選：AD三、填空題12．（2023·上?！とA東師范大學第三附屬中學高一階段練習）在中，若，，，則_____．【答案】或【解析】由正弦定理可知，，即，解得，，或，故答案為：或13．（2023·上海市曹楊中學高一期末）在中，，則的外接圓半徑為______．【答案】1【解析】如圖，設外接圓圓心為O，半徑為r..延長BO交外接圓于，連接.則故，得.故答案為：.14．（2023·遼寧·沈陽市第四十中學高一階段練習）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則cosB的值為___________.【答案】【解析】依題意，，，，，由正弦定理得，所以.故答案為：15．（2023·山東省莒南第一中學高一階段練習）在中，角所對的邊分別為，①若，則；②若，則一定為等腰三角形；③若，則為直角三角形；④若為銳角三角形，則.以上結論中正確的有___________.（填正確結論的序號）【答案】①③【解析】①因為，由正弦定理得，所以，正確；②因為，且在中，，所以或，即或，故為等腰三角形或直角三角形，錯誤；③由二倍角公式得，化簡得，由正弦定理得，所以為直角三角形，正確；④若為銳角三角形，則，，當時得，由正弦函數的單調性得，則，與為銳角三角形矛盾，錯誤.故答案為：①③.四、解答