現(xiàn)代控制理論-3

3線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性

3.1能控性和能觀測性的概念3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性3.3連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性3.4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性3.5連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀測性3.6線性系統(tǒng)能控性與能觀測性的對偶關(guān)系3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測性標(biāo)準(zhǔn)形3.8傳遞函數(shù)中零極點(diǎn)對消與狀態(tài)能控性和能觀測性的關(guān)系3.9線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性和能觀測性的分解1編輯ppt3.1能控性和能觀測性的概念能控性系統(tǒng)的當(dāng)前時(shí)刻及其狀態(tài)，研究是否存在一個(gè)容許控制，使得系統(tǒng)在該控制的作用下在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)希望的特定狀態(tài)。能觀測性系統(tǒng)及其在某時(shí)間段上的輸出，研究可否依據(jù)這一時(shí)間段上的輸出確定系統(tǒng)這一時(shí)間段上的狀態(tài)。能控性和能觀測性是現(xiàn)代控制理論中兩個(gè)根底性概念，由卡爾曼〔R.E.Kalman〕于1960年首次提出。u(t)能否引起x(t)的變化？

y(t)能否反映x(t)的變化？

2編輯ppt3.1能控性和能觀測性的概念一個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)。圖中RC網(wǎng)絡(luò)的輸入端是電流源i，輸出端開路。取電容C1和C2上的電壓v1和v2為該系統(tǒng)的兩個(gè)狀態(tài)變量。v1是能控的v2是不能控的V2是能觀測的v1是不能觀測的3編輯ppt3.1能控性和能觀測性的概念在最優(yōu)控制問題中，其任務(wù)是尋求輸入u(t)使?fàn)顟B(tài)軌跡達(dá)到最優(yōu)，那么要求狀態(tài)能控。但狀態(tài)x(t)的值通常是難以直接測量的，往往需要從測得的輸出y(t)中估計(jì)出來。4編輯ppt3.1能控性和能觀測性的概念例分析如下系統(tǒng)的能控性和能觀測性解將其表示為標(biāo)量方程組的形式說明系統(tǒng)的狀態(tài)是不能控和不能觀測的。輸入u不能控制狀態(tài)變量x1，故x1是不能控的輸出y不能反映狀態(tài)變量x2，故x2是不能觀測的5編輯ppt3.1能控性和能觀測性的概念例分析如下系統(tǒng)的能控性和能觀測性解將其表示為標(biāo)量方程組的形式實(shí)際上，系統(tǒng)的狀態(tài)既不是完全能控的，也不是完全能觀測的。

所有狀態(tài)變量都是能控和能觀測的？6編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u(t)，能在有限時(shí)間區(qū)間[t0,tf]內(nèi)使得系統(tǒng)的某一初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到指定的任一終端狀態(tài)x(tf)，那么稱初始狀態(tài)x(t0)是能控的。假設(shè)系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，那么稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，或簡稱是能控的。狀態(tài)平面中點(diǎn)P能在u(t)作用下被驅(qū)動(dòng)到任一指定狀態(tài)P1,P2,???,Pn，那么點(diǎn)P是能控的狀態(tài)。假設(shè)“能控狀態(tài)〞充滿整個(gè)狀態(tài)空間,那么該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。由此可看出，系統(tǒng)中某一狀態(tài)能控和系統(tǒng)狀態(tài)完全能控在含義上是不同的。3.2.1狀態(tài)能控性定義定義對于連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)7編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性能控性和能達(dá)性問題

(1)能控性定義：對于給定連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)假設(shè)存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u(t)，能在有限時(shí)間區(qū)間[t0,tf]內(nèi)，將系統(tǒng)從任一初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)，即x(tf)＝0，那么稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。(2)能達(dá)性定義：對于給定連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)假設(shè)存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u(t)，能在有限時(shí)間區(qū)間[t0,tf]內(nèi)，將狀態(tài)x(t)從原點(diǎn)轉(zhuǎn)移到任一指定的終端〔目標(biāo)〕狀態(tài)x(tf)，那么稱系統(tǒng)是能達(dá)的。對線性定常系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性是完全等價(jià)的。

分析狀態(tài)能控性問題時(shí)Σ(A,B)

簡記為8編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性3.2.2狀態(tài)能控性的判別準(zhǔn)那么定理3.1對于n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)Σ(A,B)，其狀態(tài)完全能控的充分條件時(shí)由A，B陣所構(gòu)成的能控性判別矩陣

滿秩，即證明(1)能控性判別準(zhǔn)那么一因?yàn)楦鶕?jù)能控性定義，在終態(tài)時(shí)刻t1，有x(t1)=0所以9編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性對于任意給定的x(0)，能夠唯一解出bi〔或u〕的條件是：滿秩，即10編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性例試判別如下連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性。解構(gòu)造能控性判別矩陣這是一個(gè)奇異陣，即所以該系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的，即系統(tǒng)狀態(tài)不能控。解系統(tǒng)的能控性判別矩陣為所以該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。例試判別如下連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性。因?yàn)?，所?1編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性解該系統(tǒng)的能控性判別矩陣為因?yàn)閞ank[Qc]

=1<n，所以該系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的。該系統(tǒng)是由兩個(gè)結(jié)構(gòu)上完全相同，且又不是相互獨(dú)立的一階系統(tǒng)組成的。顯然，只有在其初始狀態(tài)x1(t0)和x2(t0)相同的條件下，才存在某一u(t)，將x1(t0)和x2(t0)在有限時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)。否那么是不可能的。例試判別連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。12編輯ppt而|Qc|≠0表示矩陣Qc=[b

Ab…An-1b]有且僅有n個(gè)線性無關(guān)的列，也就是Qc的秩為n，即必須是非奇異矩陣，換句話說，矩陣Qc的逆存在，即3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性推論對于單輸入情況，假設(shè)可求得到相應(yīng)的控制作用u，使?fàn)顟B(tài)變量從任意x0轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)，那么矩陣因此，可以把|Qc|≠0作為單輸入情況下的能控性判據(jù)。對于多輸入情況，Qc不是方陣，不能用此結(jié)論。但有因此，可以把|QcQcT|≠0作為多輸入系統(tǒng)的能控性判據(jù)。13編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性例試判別三階雙輸入系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。觀察Qc第一行和第三行完全相同，顯見所以該系統(tǒng)是不能控的。解首先構(gòu)造能控性判別矩陣容易得到14編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性線性非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性通過線性變換把矩陣A化成約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，然后根據(jù)這一標(biāo)準(zhǔn)形來判別系統(tǒng)的能控性。證明系統(tǒng)Σ(A,B)的能控性判斷陣為系統(tǒng)的能控性判斷陣為因是P-1滿秩的，所以的秩與Qc的秩相同。(2)能控性判別準(zhǔn)那么二15編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性定理3.2假設(shè)系統(tǒng)Σ(A,B)具有互異的特征值，那么其狀態(tài)完全能控的充分必要條件是經(jīng)線性變換后的對角標(biāo)準(zhǔn)形陣中不包含元素全為零的行。定理3.3假設(shè)系統(tǒng)Σ(A,B)具有互異的重特征值，那么系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件，是經(jīng)線性變換的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形與每個(gè)約當(dāng)塊Ji對應(yīng)的i的最后一行的元素不全為零。其中16編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性例試判別以下連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性。解

A陣具有互不相同的特征值。系統(tǒng)(I)和(III)是能控的。

其特征值相同，盡管b陣的元素不為零，但系統(tǒng)狀態(tài)不能控。注意：特征值互不相同條件。某些具有重特征值的矩陣，也能化成對角線標(biāo)準(zhǔn)形。因?yàn)閞ank[Qc]

=1<n17編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性例試判斷以下連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性。解系統(tǒng)(I)和(III)是狀態(tài)完全能控的，而系統(tǒng)(II)和(IV)因?qū)?yīng)約當(dāng)小塊最后一行存在元素為零的行，故狀態(tài)不完全能控。注意：特征值互不相同條件第一行與第三行成比例18編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性定理3.3〔附〕假設(shè)系統(tǒng)Σ(A,B)具有相同的重特征值，那么系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件，是經(jīng)線性變換的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形相同特征值下的約當(dāng)塊Ji對應(yīng)的i的最后一行線性無關(guān)。其中例試判斷以下連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性。J1J2B2B1B1和B2的最后一行成比例，不是線性無關(guān)的，所以不能控。19編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性具有相同特征值的線性變換舉例特征值為l1=2時(shí)任選l2=1時(shí)任選任選20編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性假設(shè)存在一分段連續(xù)的輸入信號u(t)，在有限時(shí)間[t0,tf]內(nèi)，能把任一給定的初始輸出y(t0)轉(zhuǎn)移到任意指定的最終輸出y(tf)，那么稱系統(tǒng)輸出是完全能控的。3.2.3輸出能控性定義及判別準(zhǔn)那么輸出的能控性是指系統(tǒng)的輸入能否控制系統(tǒng)的輸出定義對于n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)定理3.4對于n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)輸出完全能控的充要條件，是21編輯ppt3.2連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性例

試分析系統(tǒng)的輸出能控性和狀態(tài)能控性。解故輸出能控性判別矩陣為說明系統(tǒng)是輸出完全能控的。再來分析系統(tǒng)的狀態(tài)能控性說明系統(tǒng)狀態(tài)是不完全能控的。狀態(tài)能控性與輸出能控性無關(guān)22編輯ppt3.3 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性問題：能否通過對輸出的有限時(shí)間的測量識別出系統(tǒng)的狀態(tài)

定義設(shè)連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程是如果對任意給定的輸入u，存在一有限觀測時(shí)間tf>t0，使得根據(jù)[t0,tf]期間的輸出y(t)能唯一地確定系統(tǒng)的初態(tài)x(t0)，那么稱狀態(tài)x(t0)是能觀測的。假設(shè)系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)都是能觀測的，那么稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，或簡稱能觀測的。簡記為

Σ(A,C)②如果m＝n，且C非奇異，則：，顯然這不需要觀測時(shí)間。但是一般m<n。為了能唯一求出n個(gè)狀態(tài)變量，需要多個(gè)時(shí)刻輸出的測量值：y(t0)，y(t1)，???，y(tf)。因此需要定義觀測時(shí)間tf>t0。簡要說明①因?yàn)槟苡^測性表示y(t)反映x(t)的能力，不妨令u＝0。3.3.1線性定常系統(tǒng)能觀測性的定義23編輯ppt3.3 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性定理3.5n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)Σ(A,C)狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是其能觀測判別矩陣3.3.2能觀測性判別準(zhǔn)那么同樣有秩判據(jù)和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形判據(jù)滿秩，即rank[Qo]

=n或(1)能觀測性判別準(zhǔn)那么一24編輯ppt3.3 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性證明對于任意給定的x(0)，有由上式，根據(jù)得到的y(t)，可以唯一地確定x(0)的條件是滿秩，即rank[Qo]

=n25編輯ppt3.3 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性例試判別連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性。解構(gòu)造能觀測性判別矩陣因?yàn)閞ank[Qo]＝2=n，所以系統(tǒng)是能觀測的。26編輯ppt3.3 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性例試判別系統(tǒng)的能觀測性。解構(gòu)成的能觀測性判別矩陣 rank[Qo]=1<n是奇異陣，所以系統(tǒng)狀態(tài)是不能觀測的。從輸出方程看，y中既含有x1又含有x2，似乎能通過對y的觀測獲得x1和x2的信息，但是系統(tǒng)狀態(tài)是不能觀測的。從該系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖看，這是一個(gè)由兩個(gè)結(jié)構(gòu)完全相同的一階系統(tǒng)并聯(lián)起來的系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)x10=–x20，由它們所激勵(lì)的系統(tǒng)輸出為顯然，對于這種情況，系統(tǒng)的初始狀態(tài)x10和x20是不能觀測的。

27編輯ppt3.3 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性推論對單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)能觀測的充分必要條件為Qo是非奇異矩陣。換句話說|Qo|≠0是系統(tǒng)能觀測的充分必要條件。|Qo|≠0表示了矩陣Qo有且僅有n個(gè)行向量是線性獨(dú)立的，即rank[Qo]=n。對于多輸出系統(tǒng)，Qo是nm×n陣不是方陣，但有如下關(guān)系：因此，可把作為多輸出系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)。rank[Qo]=rank[QToQo]|QToQo|≠028編輯ppt3.3 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性例試判斷以下連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性。顯然，系統(tǒng)(I)是能觀測的，系統(tǒng)(II)是不能觀測的。

(2)能觀測判別準(zhǔn)那么二定理3.6若n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)Σ(A,C)具有互異的特征值，則其狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后的對角線標(biāo)準(zhǔn)形陣中不含有元素全為零的列。29編輯ppt3.3 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性其中與每個(gè)約當(dāng)塊Ji對應(yīng)的i的首列的元素不全為零。例試判斷下面兩個(gè)連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測性。解根據(jù)上述定理，(I)是能觀測的，(II)是不能觀測的。定理3.7若n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)Σ(A,C)具有互異的重特征值，則系統(tǒng)能觀測的充分必要條件是經(jīng)線性非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型30編輯ppt定理3.7〔附〕假設(shè)系統(tǒng)Σ(A,B)具有相同的重特征值，那么系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的充要條件是經(jīng)線性變換的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形例試判斷以下連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性。J1J2C2C1C1和C2的首列成比例，不是線性無關(guān)的，所以不能觀測。3.3 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀測性相同特征值下的約當(dāng)塊Ji對應(yīng)的的首列線性無關(guān)。31編輯ppt3.4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性3.4.1能控性定義與判據(jù)若存在控制序列{u(0),u(1),???,u(l-1)}（l≤n）能將某個(gè)初始狀態(tài)x(0)在第l步上到達(dá)零狀態(tài)，即x(l)=0，則稱初始狀態(tài)x(0)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，或簡稱系統(tǒng)是狀態(tài)能控的。(1)能控性定義定義對于n階離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)例設(shè)離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試分析能否找到控制作用u(0),u(1),u(2),將初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。32編輯ppt3.4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性解利用遞推方法為檢驗(yàn)系統(tǒng)能否在第一步使x(0)轉(zhuǎn)移到零，對上式令x(1)=0，倘假設(shè)能夠解出u(0)，那么表示在第一步就可以把給定初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零，且控制作用即為u(0)。為此令x(1)=0，那么有計(jì)算說明對該系統(tǒng)假設(shè)取u(0)=-3，那么能將x0=[211]T在第一步轉(zhuǎn)移到零。33編輯ppt3.4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性例假設(shè)上例系統(tǒng)初始狀態(tài)為解由遞推公式，有顯然，對于上式假設(shè)令x(1)=0，解不出u(0)，這說明對于本例初始狀態(tài)是不能在第一步轉(zhuǎn)移到零，再遞推一步。能否找到控制序列，將其轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。34編輯ppt3.4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性假設(shè)令x(2)=0，仍無法解出u(0)、u(1)，再遞推一步。假設(shè)令x(3)=0，上式是一個(gè)含有三個(gè)未知量的線性齊次方程，有唯一解：35編輯ppt(2)能控性判別準(zhǔn)那么3.4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性狀態(tài)完全能控的充分必要條件是能控性判別矩陣滿秩。即解構(gòu)造能控性判別矩陣顯然rank[Qc]＝1<n，所以系統(tǒng)是不能控的。例試判別系統(tǒng)能控性。離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的G、h為定理3.8對于n階離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)36編輯ppt從前三列可以看出rank[Qc]=3所以系統(tǒng)是能控的。3.4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性解 首先計(jì)算 于是需要指出，多輸入系統(tǒng)能控判別矩陣是一個(gè)n×nr階矩陣。有時(shí)并不需要對整個(gè)Qc陣檢驗(yàn)其秩，只需要從Qc陣中構(gòu)成一個(gè)n×n陣檢驗(yàn)其秩，就可用于判斷狀態(tài)能控性。例試判別系統(tǒng)狀態(tài)的能控性。設(shè)離散系統(tǒng)G、H為37編輯ppt假設(shè)能夠根據(jù)在有限個(gè)采樣瞬間上測量到的y(k)，即y(0)，y(1)，…，y(l–1)，可以唯一地確定出系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)x(0)=x0，那么稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，或簡稱是能觀測的。定義對于n階離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)3.4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是能觀測性判別矩陣的秩為n，即rank[Qo]=n定理3.9對于n階離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)3.4.2能觀測性定義與判據(jù)(1)能觀測性定義(2)能觀測性判別準(zhǔn)那么38編輯ppt3.4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性例設(shè)離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的G、C為解該系統(tǒng)能觀測性判別矩陣為所以rank[Qo]=3，故該系統(tǒng)狀態(tài)是能觀測的。試判別其狀態(tài)能觀測性。取前三行39編輯ppt3.4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性顯然，該連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)是能控且能觀測的。3.4.3采樣周期對離散時(shí)間線性系統(tǒng)能控性和能觀測性的影響一個(gè)連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)在其離散化后其能控性和能觀測性是否發(fā)生改變？例設(shè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為解其能控性判別矩陣和能觀測性判別矩陣分別為試確定使離散時(shí)間線性系統(tǒng)能控、能觀測的采樣周期。40編輯ppt3.4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性取采樣周期為T，將上述系統(tǒng)離散化，因于是離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性判別矩陣41編輯ppt3.4離散時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性若則有則離散化后的系統(tǒng)ΣT(G,H,C)也必不能控(不能觀測)①若系統(tǒng)Σ(A,B,C)不能控(不能觀測)②則離散化后的系統(tǒng)ΣT(G,H,C)不一定能控(能觀測)，與T有關(guān)若系統(tǒng)Σ(A,B,C)能控(能觀測)說明假設(shè)欲使離散時(shí)間系統(tǒng)是能控及能觀測的，采樣周期應(yīng)滿足42編輯ppt3.5連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性與能觀測性3.5.1能控性定義與判別準(zhǔn)那么對于初始時(shí)刻t0的某給定初始狀態(tài)x(t0)=x0，存在另一個(gè)有限時(shí)刻tf，tf>t0和定義在時(shí)間區(qū)間[t0,tf]上容許控制u，使得系統(tǒng)在這個(gè)控制作用下，從x0出發(fā)的軌線在tf時(shí)刻到達(dá)零狀態(tài)即x(tf)=0，那么稱x0在t0時(shí)刻是系統(tǒng)的一個(gè)能控狀態(tài)。如果狀態(tài)空間上的所有狀態(tài)在t0時(shí)刻都是能控的，那么稱系統(tǒng)在t0時(shí)刻是狀態(tài)完全能控的。(1)能控性定義定義假設(shè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)可以看出，時(shí)變系統(tǒng)的能控性定義和定常系統(tǒng)的能控性定義根本相同，但考慮到A(t)、B(t)是時(shí)變矩陣，其狀態(tài)向量的轉(zhuǎn)移與起始時(shí)刻t0的選取有關(guān)，所以時(shí)變系統(tǒng)的能控性與所選擇的初始時(shí)刻t0有關(guān)。43編輯ppt3.5連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性與能觀測性則系統(tǒng)在時(shí)刻完全能控的充分條件為，存在一個(gè)有限時(shí)刻，使定理3.10對n階連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)設(shè)A(t)和B(t)對t為(n-1)階連續(xù)可微，定義如下一組矩陣：(2)能控性判別準(zhǔn)那么44編輯ppt對于初始時(shí)刻t0，存在另一時(shí)刻tf>t0,使得根據(jù)時(shí)間區(qū)間[t0,tf]上輸出y(t)的測量值，能夠唯一地確定系統(tǒng)在t0時(shí)刻的初始狀態(tài)x(t0)=x0，那么稱x0為在t0時(shí)刻能觀測狀態(tài)。假設(shè)系統(tǒng)在t0時(shí)刻的所有狀態(tài)都是能觀測的，那么稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，簡稱系統(tǒng)是能觀測的。3.5連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性與能觀測性那么稱x0為t0時(shí)刻不能觀測的狀態(tài)，系統(tǒng)在t0時(shí)刻是不能觀測的。(1)能觀測性定義定義對于連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)3.5.2能觀測性定義與判據(jù)反之，如果在t0時(shí)刻的初始狀態(tài)x(t0)=x0，所引起的系統(tǒng)輸出y(t)恒等于零，即45編輯ppt3.5連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性與能觀測性則系統(tǒng)在時(shí)刻完全能觀測的充分條件為，存在一個(gè)有限時(shí)刻，使定理3.11對于n階連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)設(shè)A(t)和C(t)對t(n-1)階連續(xù)可微，定義如下一組矩陣(2)能觀測性判別準(zhǔn)那么46編輯ppt3.6線性系統(tǒng)能控性與能觀測性的對偶關(guān)系一個(gè)系統(tǒng)的能觀測性等價(jià)于其對偶系統(tǒng)的能控性

一個(gè)系統(tǒng)的能控性

等價(jià)于其對偶系統(tǒng)的能觀測性定義對于定常系統(tǒng)Σ1和Σ2其狀態(tài)空間描述分別為那么稱系統(tǒng)Σ1和Σ2是互為對偶的。其中，x與x*為n維狀態(tài)向量，u為r維，y為m維，u*為m維，y*為r維。假設(shè)系統(tǒng)Σ1和Σ2滿足以下關(guān)系3.6.1對偶系統(tǒng)47編輯ppt系統(tǒng)Σ1的傳遞函數(shù)陣為m×r矩陣：3.6線性系統(tǒng)能控性與能觀測性的對偶關(guān)系對偶系統(tǒng)的示意圖對偶系統(tǒng)的特征方程相同：系統(tǒng)Σ2的傳遞函數(shù)陣為：對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣互為轉(zhuǎn)置48編輯ppt定理3.12設(shè)Σ1(A,B,C)和Σ2(A*,B*,C*)是互為對偶的兩個(gè)系統(tǒng)，那么Σ1的能控性等價(jià)于Σ2的能觀測性；Σ1的能觀測性等價(jià)于Σ2的能控性。3.6線性系統(tǒng)能控性與能觀測性的對偶關(guān)系而系統(tǒng)Σ2的能觀測性判別矩陣為是完全相同的。同理Σ1的能觀測性判別矩陣為而系統(tǒng)Σ2的能控性判別矩陣為也是完全相同的。3.6.2對偶定理證明系統(tǒng)Σ1的能控性判別矩陣為49編輯ppt3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形假設(shè)n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)Σ(A,B)是完全能控的，那么對多輸入多輸出系統(tǒng)，把(A,B)和(A,C)化為標(biāo)準(zhǔn)形，可以有多種不同的方法。對于單輸入單輸出系統(tǒng)，其能控性判別矩陣和能觀測性判別矩陣只有唯一的一組線性無關(guān)的向量。因此，當(dāng)(A,B)表為能控標(biāo)準(zhǔn)形和(A,C)表為能觀測標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，其表示方法是唯一的。所以僅討論單輸入單輸出系統(tǒng)。

這說明，能控性矩陣中有且僅有n個(gè)列向量是線性無關(guān)的。如果取這些線性無關(guān)的列向量以某種線性組合，便可導(dǎo)出狀態(tài)空間描述的能控標(biāo)準(zhǔn)形。能觀測問題同樣。3.7.1問題的提法50編輯ppt3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形3.7.2能控標(biāo)準(zhǔn)形定理3.13假設(shè)連續(xù)時(shí)間線性定常單輸入單輸出系統(tǒng)Σ(A,b,c)是狀態(tài)完全能控的，那么使系統(tǒng)為能控標(biāo)準(zhǔn)形的變換陣為其中，ai為特征多項(xiàng)式的系數(shù)。通過線性變換得能控標(biāo)準(zhǔn)形Σ(Ac,bc,cc)：51編輯ppt3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形利用和，可得據(jù)凱萊-哈密頓定理有據(jù)此，可導(dǎo)出證明〔1〕推證Ac52編輯ppt3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形于是，有將上式左乘，就可證得Ac。53編輯ppt3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形(2)推證bc由，有，即將上式左乘，就可證得bc。(3)推證cc由，有展開即可。54編輯ppt3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形由能控標(biāo)準(zhǔn)形可以求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)55編輯ppt3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形例試將如下狀態(tài)空間描述變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形。解先判別其能控性rank[Qc]=3，所以系統(tǒng)是能控的。再計(jì)算系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式則a1=0，a2=–9，a3=256編輯ppt3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形變換為能觀測標(biāo)準(zhǔn)形(Ao,bo,co)：定理3.14假設(shè)n階線性定常單輸入單輸出系統(tǒng)Σ(A,b,c)是能觀測的，那么存在線性變換其中是特征多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)。3.7.3能觀測標(biāo)準(zhǔn)形57編輯ppt3.7能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形那么a1=0，a2=–9，a3=2解首先構(gòu)造能觀測性判別矩陣因rank[Qo]=3，所以系統(tǒng)是能觀測的。系統(tǒng)的特征式為例試將如下狀態(tài)空間描述變換為能觀測標(biāo)準(zhǔn)形。

=58編輯ppt顯然，在這種狀態(tài)變量選擇下系統(tǒng)是不能控但是能觀測的。從傳遞函數(shù)會(huì)發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有零極點(diǎn)對消現(xiàn)象。3.8傳函中零極點(diǎn)對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系例3-26試判別系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀測性。解定義

于是系統(tǒng)能控性判別矩陣Qc和能觀測性判別矩陣Qo分別為以下只討論單輸入-單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中零極點(diǎn)對消與狀態(tài)能控和能觀測之間的關(guān)系。59編輯ppt證明假定系統(tǒng)是具有相異特征值的n階單輸入-單輸出系統(tǒng)，其狀態(tài)空間描述為Σ(A,b,c)，利用線性變換可將矩陣A對角化，得到等價(jià)系統(tǒng)為3.8傳函中零極點(diǎn)對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系

定理3.15假設(shè)線性定常單輸入-單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)中有零極點(diǎn)對消，那么系統(tǒng)將是狀態(tài)不能控或狀態(tài)不能觀測的，其結(jié)果與狀態(tài)變量選擇有關(guān)，反之，假設(shè)系統(tǒng)中沒有零極點(diǎn)對消，那么該系統(tǒng)是完全能控且完全能觀測的。由于是對角陣，第i個(gè)狀態(tài)方程是兩邊取Laplace變換，得

60編輯ppt3.8傳函中零極點(diǎn)對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系將代入，則對特征值相異的n階系統(tǒng)，假定傳遞函數(shù)形式是展成部分分式si為Y(s)/U(s)在s=li處留數(shù)狀態(tài)能控要求≠0，能觀測要求≠0

一個(gè)即能控又能觀測的系統(tǒng)要求si≠0

61編輯ppt3.8傳函中零極點(diǎn)對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系解組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)為由G(s)可以看出，當(dāng)b=l2時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)發(fā)生零極點(diǎn)對消現(xiàn)象，系統(tǒng)不是即能控又能觀測的。

為了分析這個(gè)不確定性，建立該系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖：

例設(shè)有一個(gè)由前后兩個(gè)子系統(tǒng)串聯(lián)組成的組合系統(tǒng)：G1(s)G2(s)試判斷串聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀測性。62編輯ppt3.8傳函中零極點(diǎn)對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系當(dāng)b=l2時(shí)〔即G(s)出現(xiàn)零極點(diǎn)對消〕那么該串聯(lián)系統(tǒng)是不能控但能觀測的。系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為其能控性和能觀測性判別矩陣為63編輯ppt3.8傳函中零極點(diǎn)對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系例如果將上例系統(tǒng)中兩個(gè)子系統(tǒng)的位置互換一下，如圖。試判斷該系統(tǒng)的能控性和能觀測性。顯見，當(dāng)b=l2時(shí)rank[Qo]=1<2，系統(tǒng)是能控但不能觀測的。其能控性和能觀測性判別矩陣為解系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為64編輯ppt3.8傳函中零極點(diǎn)對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系從上面討論可知，由傳遞函數(shù)討論系統(tǒng)的能控性和能觀測性時(shí)，假設(shè)有零極點(diǎn)對消，系統(tǒng)是能控不能觀測，還是能觀測而不能控，與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān)。假設(shè)被消去的零點(diǎn)與u發(fā)生聯(lián)系那么系統(tǒng)為不能控的；假設(shè)被消去的零點(diǎn)與輸出y發(fā)生聯(lián)系那么系統(tǒng)是不能觀測的。進(jìn)一步，假設(shè)該零點(diǎn)既與輸入u發(fā)生聯(lián)系，又與輸出y發(fā)生聯(lián)系，那么該系統(tǒng)是既不能控也不能觀測的。狀態(tài)變量圖

串聯(lián)系統(tǒng)傳遞函數(shù)考慮系統(tǒng)傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)圖

Gr(s)

Gp(s)

系統(tǒng)穩(wěn)定65編輯ppt3.8傳函中零極點(diǎn)對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系因此（不能控），（能觀測）該系統(tǒng)的能控性和能觀測性判別矩陣為建立狀態(tài)空間描述說明系統(tǒng)有一極點(diǎn)在右半平面，故該系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的?？疾煸撓到y(tǒng)的特征多項(xiàng)式66編輯ppt3.9線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測性的分解能控且能觀測子系統(tǒng)不完全能控和不完全能觀測系統(tǒng)線性變換能控但不能觀測子系統(tǒng)不能控但能觀測子系統(tǒng)不能控且不能觀測子系統(tǒng)則存在線性變換，可將Σ(A,B,C)變換為定理3.16假設(shè)n階連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)Σ(A,B,C)是狀態(tài)不完全能控的，其能控性判別矩陣的秩為3.9.1系統(tǒng)按能控性分解67編輯ppt3.9線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測性的分解其中nc維子系統(tǒng)是能控的，而(n-nc)維子系統(tǒng)是不能控的。

非奇異變換陣