2021年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《旋轉(zhuǎn)壓軸題》

2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《旋轉(zhuǎn)壓軸題》

1、如圖所示，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片A8CQ,點(diǎn)P為正方形邊上的一點(diǎn)(不

與點(diǎn)A、點(diǎn)。重合)將正方形紙片折疊，使點(diǎn)8落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC

于H，折痕為E凡連接8P、BH.

(1)求證：NAPB=NBPH；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊A。上移動(dòng)時(shí)，的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；

(3)設(shè)AP為x,四邊形EFGP的面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問(wèn)S是否存在

最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(備用圖)

2、把兩個(gè)全等的直角三角板ABC和EFG疊放在一起，使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角

板ABC的斜邊中點(diǎn)。重合，其中NB=NF=30°,斜邊AB和EF長(zhǎng)均為4.

(1)當(dāng)EGLAC于點(diǎn)K,GFLBC于點(diǎn)”時(shí)(如圖①)，求GH：GK的值

(2)現(xiàn)將三角板EFG由圖①所示的位置繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角a滿足條件：

0°<a<30°(如圖②)，EG交AC于點(diǎn)K,G尸交8c于點(diǎn)"G”：GK的值是否改變？

證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

(3)三角板EFG由圖①所示的位置繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，是否存在某位置使APFG

是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角a(精確到0.1°,cos73.2°^0.29)；

若不存在，說(shuō)明理由.

1

3、圖1是邊長(zhǎng)分別為4b和3的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和C'D'E'疊放在一起（C

與C'重合）.

（1）操作：固定△ABC,將△<?'D'E'繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△COE,連接A。、

BE,CE的延長(zhǎng)線交A8于尸（圖2）；

探究：在圖2中，線段BE與40之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你的結(jié)論.

（2）操作：將圖2中的在線段CF上沿著CF方向以每秒1個(gè)單位的速度平移，

平移后的設(shè)為^尸。/?（圖3）；

探究：設(shè)△PQR移動(dòng)的時(shí)間為x秒，與AABC重疊部分的面積為y,求y與x之

間的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)自變量x的取值范圍.

（3）操作：圖1中△（：'D'E'固定，將△ABC移動(dòng)，使頂點(diǎn)C落在C'E'的中點(diǎn)，

邊8c交。'E'于點(diǎn)M,邊AC交。'C于點(diǎn)N,設(shè)/ACC'=a（30°<a<90°（圖

4）；

探究：在圖4中，線段C'N-E'"的值是否隨a的變化而變化？如果沒(méi)有變化，請(qǐng)你

求出C'N-E'"的值，如果有變化，請(qǐng)你說(shuō)明理由.

2

4、如圖1,我們將相同的兩塊含30°角的直角三角板RtZ\DE尸與Rt^ABC疊合，使OE

在AB上，DE過(guò)點(diǎn)C,已知AC=OE=6.

(1)將圖1中的△￡>￡：/繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(DF與AB不重合)，使邊DF、DE分別交

AC、8C于點(diǎn)P、Q,如圖2.

①求證：△CQOS/XAP。；

②連接PQ,設(shè)AP=x,求面積S“CQ關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)將圖1中的△￡>￡：/向左平移(點(diǎn)4、。不重合)，使邊F￡>、FE分別交AC、8c于

點(diǎn)M、N設(shè)如圖3.

①判斷△8EN是什么三角形？并用含/的代數(shù)式表示邊BE和BN；

②連接MN,求面積S.MCN關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在旋轉(zhuǎn)△￡>￡/的過(guò)程中，試探求AC上是否存在點(diǎn)P,使得S"CQ等于平移所得S

△MCN的最大值？說(shuō)明你的理由.

3

5、問(wèn)題發(fā)現(xiàn).

(1)如圖①，Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)。是AB邊上任意一點(diǎn)，

則CD的最小值為.

(2)如圖②，矩形A8CO中，AB=3,8c=4,點(diǎn)M、點(diǎn)N分別在8。、BC上，求CM+MN

的最小值.

(3)如圖③，矩形ABCD中，AB=3,8C=4,點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，且AE=2,點(diǎn)F

是2c邊上的任意一點(diǎn)，把a(bǔ)BEF沿E尸翻折，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G,連接AG、CG,四邊

形AG。的面積是否存在最小值，若存在，求這個(gè)最小值及此時(shí)8尸的長(zhǎng)度.若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

4

6、已知AM是OO直徑，弦垂足為點(diǎn)N,弦C￡＞交AM于點(diǎn)E,連按A8和BE.

(1)如圖1,若COLAB,垂足為點(diǎn)尸，求證：NBED=2NBAM；

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接3。，若NABE=/BDC,求證：AE=2CN；

(3)如圖3,AB=CD,BE：C0=4：7,AE=11,求EM的長(zhǎng).

圖2

7、如圖，在正方形ABC。中，動(dòng)點(diǎn)P在射線CB上(與8、C不重合)，連結(jié)AP,過(guò)。作

。尸〃AP交直線BC于點(diǎn)尸，過(guò)尸作尸EJ_直線8。于點(diǎn)E,連結(jié)AE、PE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在線段CB上時(shí)

①求證：△ABPQ4DCF；

②點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，探究：△AEP的形狀是否發(fā)生變化，若不變，請(qǐng)判斷AAEP的形

狀，并說(shuō)明理由；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)

?(1)中的結(jié)論②是否成立？不必說(shuō)明理由；

②若尸，當(dāng)〃為何值時(shí)，DF平分NBDC?

5

8、己知四邊形ABC。，AD//BC,ABLBC,AD=\,AB=4,BC=3.

(1)如圖1,P為AB邊上的一點(diǎn)，以PO、PC為邊作口PCQ。，請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線尸Q,。。能

否互相垂直，為什么？

(2)如圖1,P為48邊上的一點(diǎn)，以P￡＞、PCM^PCQD,請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線PQ,Z)C的

長(zhǎng)能否相等，為什么？

(3)圖1,若尸為AB邊上一點(diǎn)，以PD,PC為邊作。尸C。。，請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線PQ的長(zhǎng)是否

存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(4)如圖2,若尸為AB邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)尸。到E,使。(〃為常數(shù))，再以

PE、PC為邊作口PCQE,請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，直接寫(xiě)

出這個(gè)最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6

9、若一條直線把一個(gè)平面圖形分成面積相等的兩部分，那么這條直線叫做該平面圖形的“和

諧線”，其“和諧線”被該平面圖形截得的線段叫做該平面圖形的“和諧線段”(例如圓

的直徑就是圓的“和諧線段”)

問(wèn)題探究：

(1)如圖①，已知△ABC中，AB=6,BC=8,ZB=90°,請(qǐng)寫(xiě)出△ABC的兩條“和

諧線段”的長(zhǎng).

(2)如圖②，平行四邊形48。中，AB=6,8c=8,NB=60°,請(qǐng)直接寫(xiě)出該平行

四邊形48C。的“和諧線段”長(zhǎng)的最大值和最小值；

問(wèn)題解決

(3)如圖③，四邊形ABCO是某市規(guī)劃中的商業(yè)區(qū)示意圖，其中AB=2,CD=10,Z

4=135°,N8=90°,tanC=3,現(xiàn)計(jì)劃在商業(yè)區(qū)內(nèi)修一條筆直的單行道MN(小道的

4

寬度不計(jì))，入口M在BC上，出口"在8上，使得為四邊形A8C。“和諧線段”,

在道路一側(cè)△MNC區(qū)域規(guī)劃為公園，為了美觀要求△MNC是以CM為腰的等腰三角形,

請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明設(shè)計(jì)師的想法能否實(shí)現(xiàn)？若可以，請(qǐng)確定點(diǎn)M的位置(即求CM的長(zhǎng))

D

7

10、(1)閱讀理解

利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是一種常用的方法.如圖1,點(diǎn)尸是等邊三角形A8C內(nèi)一點(diǎn),

PA=\,PB=M，PC=2.求N8PC的度數(shù).

為利用已知條件，不妨把a(bǔ)BPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得AAP，C,連接PP',則PP'

的長(zhǎng)為；在△勿〃中，易證/用P'=90°,且NPP'4的度數(shù)為,綜上可得

NBPC的度數(shù)為；

(2)類比遷移

如圖2,點(diǎn)尸是等腰RtZ\ABC內(nèi)的一點(diǎn)，ZACB=90a,PA=2,PB=?,PC=\,求

NAPC的度數(shù)；

(3)拓展應(yīng)用

如圖3,在四邊形A8CO中，BC=3,CD=5,AB=AC=1AD.ZBAC=2ZADC,請(qǐng)直

2

接寫(xiě)出8。的長(zhǎng).

8

答案解析

、如圖所示，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD,點(diǎn)P為正方形AO邊上的一點(diǎn)(不

與點(diǎn)A、點(diǎn)。重合)將正方形紙片折疊，使點(diǎn)8落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC

于，，折痕為EF,連接8尸、BH.

(1)求證：NAPB=4BPH；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在邊上移動(dòng)時(shí)一，的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；

(3)設(shè)AP為x,四邊形EFGP的面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問(wèn)S是否存在

最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

A,--------S---------------1DA,_______&_________,D

(備用圖)

【分析】(1)根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出N

APB=/PBC即可得出答案；

(2)首先證明△A8P絲△QBP,進(jìn)而得出△BC“絲△BQH,即可得出PD+DH+PH^

AP+PD+DH+HC=AD+CD=S；

(3)利用已知得出絲△8%,進(jìn)而利用在RtZXAPE中，(4-BE)2+x1=BE2,利

用二次函數(shù)的最值求出即可.

【解答】(1)證明：如圖1,：PE=BE,

NEBP=NEPB.

又；NEPH=NEBC=90°,

ZEPH-NEPB=NEBC-NEBP.

即/PBC=ZBPH.

5L'：AD//BC,

：.NAPB=APBC.

二NAPB=ZBPH.

9

(2)的周長(zhǎng)不變?yōu)槎ㄖ?.

證明：如圖2,過(guò)B作8QJ_P”，垂足為Q.

由(1)知NAPB=NBPH,

'NAPB=/BPH

在△4BP和△Q8P中,NA=/BQP，

BP=BP

:.XABPQAQBP(A4S).

：.AP^QP,AB=BQ.

又：AB=BC,

：.BC=BQ.

又?.?NC=NBQH=90°,BH=BH,

：.CH=QH.

1△PHD的周長(zhǎng)為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=S.

(3)如圖3,過(guò)F作垂足為M,則FM=BC=48.

又尸為折痕，

J.EFVBP.

：.ZEFM+ZMEF=ZABP+ZBEF=90°,

，ZEFM=ZABP.

又?.?/A=/EMF=90°,

:.△EFM/APBA(ASA).

：.EM=AP=x.

.,.在RtZXAPE中，(4-BE)2+7=“

2

解得，BE=2+V-?

o

2

???CF=BE-EM=2備-x-

o

又?.?折疊的性質(zhì)得出四邊形EFGP與四邊形BEFC全等，

,S=y(BE+CF)BC^j-(4+^—x)X4-

即：S^j-x2-2x+8-

10

配方得，S^-(x-2)2+6,

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理、二

次函數(shù)的最值問(wèn)題等知識(shí)，熟練利用全等三角形的判定得出對(duì)應(yīng)相等關(guān)系是解題關(guān)鍵.

2、把兩個(gè)全等的直角三角板ABC和EFG疊放在一起，使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角

板ABC的斜邊中點(diǎn)0重合，其中NB=N尸=30°,斜邊AB和E廠長(zhǎng)均為4.

（1）當(dāng)EGLAC于點(diǎn)K,GFLBC于點(diǎn)”時(shí)（如圖①），求GH：GK的值

（2）現(xiàn)將三角板EFG由圖①所示的位置繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角a滿足條件:

0°<a<30°（如圖②），EG交AC于點(diǎn)K,G尸交BC于點(diǎn)〃，GH：GK的值是否改變？

證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

（3）三角板EFG由圖①所示的位置繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，是否存在某位置使△BFG

是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角a（精確到0.1°,cos73.2°-0.29）；

若不存在，說(shuō)明理由.

角三角形的三邊長(zhǎng)度，利用三角形的中位線可以求出GK,和G"的值，可以求出其比值.

（2）作GM_LAC于M,GNLBC于N,利用三角形相似可以求出GH與GK的比值不變.

（3）存在.分四種情形畫(huà)出圖形分別求解即可.

【解答】解：（1）,：ZACB=ZEGF=90Q,ZB=ZF=30°

.*.AC=LB,EG=LEF

22

11

"：AB=EF=4

，AC=EG=2,在RtZ\ACB和RtZXEGF中，由勾股定理得

BC=GF=2a，

\'GE±AC,GFLBC

J.GE//BC,GF//AC

：G是AB的中點(diǎn)

：.K,H分別是AC、CB的中點(diǎn)

：.GK,GH是△ABC的中位線

:.GK=LBC=M，G4=LAC=I

22

：.GH：GK=1：5/3.

(2)不變,

理由如下：作GM_L4c于M,GNLBC于N,

:.NGMC=NGNH=90°由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：

Z2=Z1

AGMKsAGNH

.GH=GN

"GKGM'

,:GN：GM=\：加，

：.GH：GK=1：如,

旋轉(zhuǎn)角a滿足條件：0°<a<30°時(shí)，GH：GK的值比值不變.

(4)存在.

①如圖③-1中，當(dāng)a=30°時(shí)，△8FG是等腰三角形.

12

G(O)

圖。-1

②如圖③-2中，當(dāng)a=90°時(shí)，是等腰三角形.

圖。-2

③如圖③-3中，當(dāng)FG=陽(yáng)時(shí)，作于H.

圖。-3

：cos/FGB=gl=-=—.2887,

FG2V3

：.4FGH=732°,

二旋轉(zhuǎn)角=90°+60°-(90°-73.2°)=133.2°

④如圖③-4中，當(dāng)FG=FB時(shí)，同法可得旋轉(zhuǎn)角為346.8°,

13

綜上所述，滿足條件的旋轉(zhuǎn)角為30°、90°、133.2°或346.8°.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，三角形

的中位線定理，直角三角形30度角的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，

屬于中考?jí)狠S題.

3、圖1是邊長(zhǎng)分別為4花和3的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和CD'E'疊放在一起（C

與C'重合）.

（1）操作：固定△ABC,將△（?'D'E'繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到ACDE,連接AC、

BE,CE的延長(zhǎng)線交A8于F（圖2）；

探究：在圖2中，線段8E與A。之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你的結(jié)論.

（2）操作：將圖2中的在線段C尸上沿著C尸方向以每秒1個(gè)單位的速度平移，

平移后的△CDE設(shè)為△PQR（圖3）；

探究：設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為x秒，與△ABC重疊部分的面積為y,求y與x之

間的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)自變量x的取值范圍.

（3）操作：圖1中△<：'D'E'固定，將△ABC移動(dòng)，使頂點(diǎn)C落在C'E'的中點(diǎn)，

邊BC交。'E'于點(diǎn)M,邊AC交。'C于點(diǎn)N,設(shè)/ACC'=a（30°<a<90°（圖

4）：

探究：在圖4中，線段C'N-E'例的值是否隨a的變化而變化？如果沒(méi)有變化，請(qǐng)你

求出C'N-E'M的值，如果有變化，請(qǐng)你說(shuō)明理由.

14

【分析】(1)BE=AD,可通過(guò)證三角形BEC和AC。全等來(lái)得出.

(2)由于重合部分的面積無(wú)法直接求出，因此可用△RPQ的面積減去aRST的面積來(lái)求

得(S、T為RP、RQ與4c的交點(diǎn)).△PR。的面積易求得.關(guān)鍵是△RST的面積，三角

形RST中，由于/RTS=NCTQ=60°-/TCQ=30°,而NR=60°,因此△RST是直

角三角形，只需求出RS和ST的長(zhǎng)即可.上面已經(jīng)求得了NQTC=/QCT=30°,因此

R7=RQ-Q7=R。-QC=3-x,然后根據(jù)△/?△中特殊角的度數(shù)即可得出RS和"的長(zhǎng)，

進(jìn)而可得出y,x的函數(shù)關(guān)系式.

(3)本題可通過(guò)證M和△NCC'相似來(lái)求解.

【解答】解：(1)BE^AD

證明：?.,△ABC與△OCE是等邊三角形

：.ZACB=ZDCE=60°,CA=CB,CE=CD

：.NBCE=NACD

AABCE^AACD

：.BE=AD.

(2)如圖在△CQT中

ZTCQ=3O°NRQP=60°

：.ZQTC=30°

:.NQTC=NTCQ

QT=QC=x

:?RT=3-x

,??NRTS+NR=90°

???/RST=90°

:.y=顯義*■-?(3-x)2=一區(qū)(3-x)2+.^fi(0WxW3).

4884

15

(3)答：CN'E'例的值不變，理由為:

證明：VZACB=60°

：.ZMCE'+ZNCC'=120°

VZCNC+ZNCC1=120°

AZMCE'=ZCNC'

VZE'=NC'

...△E'MCs/\CCN

?E'。二E'C

"cyC"C?N"

：.C'N?E'M=CC?E'C=nx3=2.

224

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)和平移變換、等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和

性質(zhì)以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較高.

4、如圖1,我們將相同的兩塊含30°角的直角三角板RtZYDEF與Rt/XABC疊合，使。E

在AB上，OE過(guò)點(diǎn)C,已知AC=QE=6.

(1)將圖1中的△￡)￡：/繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(。尸與AB不重合)，使邊￡>/、OE分別交

AC.BC于點(diǎn)P、Q,如圖2.

①求證：ACQDsAAPD；

②連接PQ，設(shè)AP=x,求面積SMCQ關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)將圖1中的△OEF向左平移(點(diǎn)4、。不重合)，使邊F￡>、FE分別交AC、8c于

點(diǎn)用、N設(shè)4例="如圖3.

①判斷△8EN是什么三角形？并用含t的代數(shù)式表示邊BE和BN；

②連接MM求面積SAMCN關(guān)于，的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，試探求AC上是否存在點(diǎn)P,使得SMCQ等于平移所得S

△MCN的最大值？說(shuō)明你的理由.

16

【分析】(1)①易得N8C￡>=/A=60°,NADP=NCDE,那么可得△CQOS/^APQ②

利用相似可得CQ=，金，那么PC—6~x.口J表示出S&PCQ

(2)①由外角NFEN=60°,ZB=30°,可得NBNE=30°，:.NE=BN,那么△BEN

是等腰三角形.易得AB=12,那么BE=12-AD-OE=6-L.過(guò)E作EG_L

22

BN于點(diǎn)、G.利用30°的三角函數(shù)可求得8G,進(jìn)而求得BN

②容易利用f表示出MC、CN,即可表示出所求面積

(3)利用二次函數(shù)的最值表示出SAMCN的最大值,讓前面所求的面積的代數(shù)式等于即可.

【解答】解：(1)①證明：VZF=ZB=30°,乙4cB=NBO尸=90°AZBCD=ZA

=60°,VZADP+ZPDC=90Q,ZCDE+ZP￡)C=90°：./\CQD^/\APD

②?.,在RtZ\AOC中，AD=3,DC=3y/3

又,：XCgs/\APD,CQ=y/sx.

:&PCQ=~^^X2+3Y[3X

2

(2)①△BEN是等腰三角形.BE=6-L,BN=J^(6-L).

22

②S^MOV=L(6-f)X?=-叵(f-3)2-9]

224

(3)存在.

由題意建立方程-國(guó)+3后=還

24

17

解得x=6+3&或6-3&

22_

即當(dāng)”=6+愛(ài)或AP=殳|叵時(shí),SMCQ等于SZSMCN的最大值.

【點(diǎn)評(píng)】用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例.

5、問(wèn)題發(fā)現(xiàn).

(1)如圖①，Rt/VLBC中，/C=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)。是AB邊上任意一點(diǎn)，

則C￡>的最小值為」2.

一二一

(2)如圖②，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,點(diǎn)M、點(diǎn)N分別在BD、BC上，求CM+MN

的最小值.

(3)如圖③，矩形ABCZ)中，AB=3,BC=4,點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，且AE=2,點(diǎn)尸

是8c邊上的任意一點(diǎn)，把△〃￡：/沿EF翻折，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G,連接AG、CG,四邊

形AGC。的面積是否存在最小值，若存在，求這個(gè)最小值及此時(shí)BF的長(zhǎng)度.若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離最小，再用三角形的面積即可得出結(jié)論；

(2)先根據(jù)軸對(duì)稱確定出點(diǎn)M和N的位置，再利用面積求出CF,進(jìn)而求出CE,最后

用三角函數(shù)即可求出CM+MN的最小值；

(3)先確定出EG_L4C時(shí)，四邊形AGCO的面積最小，再用銳角三角函數(shù)求出點(diǎn)G到

AC的距離，最后用面積之和即可得出結(jié)論，再用相似三角形得出的比例式求出CF即可

求出BF.

【解答】解：(1)如圖①，過(guò)點(diǎn)C作C￡>J_AB于。，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最小，

此時(shí)CO最小，

在Rt^ABC中，AC=3,BC=4,根據(jù)勾股定理得，48=5,

Lex8C=L18XCD,

22

.co=ACXBC=12

‘""AB5"

18

故答案為空；

5

(2)如圖②，作出點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E,

過(guò)點(diǎn)E作ENLBC于N,交BD于M,連接CM,此時(shí)CM+MN=EN最?。?/p>

?.?四邊形A8C。是矩形，

：.ZBCD=90°,CD=AB=3,根據(jù)勾股定理得，BD=5,

'."CE1.BC,

：.LBDXCF=LexCD,

22

?pBCXCD^12

"'C=BDV

由對(duì)稱得，CE=2CF=N1,

5

在RtZ\8CF中，cosNBCF=C^=旦，

BC5

AsinZBCF=A,

5

在RtACEN中，EN=C￡sinNBCE=竺x—=—;

5525

即：CM+MN的最小值為里?；

25

(3)如圖3,

；四邊形A8C。是矩形，

：.CD=AB=3,AO=BC=4,/A8C=/￡>=90°,根據(jù)勾股定理得，AC=5,

"：AB=3,AE=2,

點(diǎn)尸在8C上的任何位置時(shí)，點(diǎn)G始終在4c的下方，

設(shè)點(diǎn)G到AC的距離為h,

：S四邊)gAGCD=SAACD+S“CG=L￡)XCO+Lex〃=Lx4X3+l>X5X人=邑+6,

22222

...要四邊形AGCO的面積最小,即：/?最小，

?點(diǎn)G是以點(diǎn)E為圓心，BE=\為半徑的圓上在矩形ABC。內(nèi)部的一部分點(diǎn)，

.,.EGLAC時(shí)，〃最小，

由折疊知/瓦；/=/48。=90°,

延長(zhǎng)EG交AC于H,則EHL4C,

在RtZXABC中，sin/BAC=K=且，

AC5

19

在RtZVLEH中，AE=2,sinZBAC=M=A,

AE5

:.EH=&E=&,

55

:.h=EH-EG=&-1=*,

55

?'?S四邊形AGC￡>垠小=S/?+6=$X'>+6=」^,

2252

過(guò)點(diǎn)F作FMA.AC于M,

YEHLFG,EH±AC,

四邊形FGHM是矩形，

:.FM=GH=3

5

VZFCM^ZACB,/CMF=C84=90°,

.?.△CM/S/XCBA,

.CFFM

"AC^AB"

3_

?CF

,?~T話，

CF=1

：.BF=BC-CF=4-1=3.

E

【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，軸對(duì)稱，解

本題的關(guān)鍵是確定出滿足條件的點(diǎn)的位置，是一道很好的中考常考題.

6、已知AM是。。直徑，弦8C_LAM,垂足為點(diǎn)N,弦C。交AM于點(diǎn)E,連按A8和BE.

(1)如圖1,若CD_LAB,垂足為點(diǎn)凡求證：NBED=2NBAM；

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接8。，若NABE=NBDC,求證：AE=2CN；

(3)如圖3,AB=CD,BE：C￡)=4：7,AE=11,求EM的長(zhǎng).

20

【分析】(I)根據(jù)垂徑定理可得8N=CM根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得仍=EC,從而可

得NBED=2/BCD,只需證明即可；

(2)連接AC,如圖2,易得BC=2CN,要證AE=2CN,只需證4E=8C,只需證△ABE

qACDB,只需證8E=B。即可；

(3)過(guò)點(diǎn)。作于尸，作OHJ_BE于"，作OQ_LC￡＞于Q,連接0C,如圖3,

由AB=C?？赏瞥鯫P=OQ,易證/BEA=NCE4,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得O"=OQ,

即可得到OP=OH,則有也些=姻_=型=工，從而可得也逆=歿=工.由AE

^AEBOBEBE4SAEB0EO4

=11可求出40、EO,就可求出AM、EM.

【解答】解：(1):BC工AM,CD1AB,

：.ZENC=ZEFA=900.

V/AEF=/CEN,

：.ZBAM=ZBCD.

?:AM是。。直徑，弦3C_L4M,

:?BN=CN,

：?EB=EC,

：.ZEBC=ZBCDf

：.NBED=2/BCD=2/BAM；

(2)連接AC,如圖2,

YAM是OO直徑，弦

??-BM=CM，

：.ZBAM=ZCAM,

：.ZBDC=ZBAC=2ZBAM=/BED,

:?BD=BE.

在AABE和△CD5中,

21

'/BAE二NDCB

,ZABE=ZCDB，

BE=DB

???LABEmACDB,

：.AE=CB.

?：BN=CN,

：.AE=CB=2CN；

(3)過(guò)點(diǎn)。作0PL4B于P,作于H,作。Q1.CD于Q,連接0C,如圖3,

則有AP=3P=X43,CQ=DQ=LCD.

22

VAB=CD,

：.AP=CQ,

,"10P^VOA2-AP2=VOC2-CQ2=OQ-

TAM垂直平分BC,

:?EB=EC,

：.ZBEA=ZCEA.

VOHA.BE,OQLCD,

：.OH=OQ,

：?OP=OQ=OH,

yAB-OP

.2AABO__AB_CD_7

BEBE

^AEBOyBE-OHT

y..SAAB0=A0

^AEBOEO

?A0=l

**EOT

設(shè)AO=7%則EO=4億

：.AE=AO+EO=l\k=\\,

"=L

???AO=7,EO=4,

???AM=2AO=14,

.\EM=AM-AE=14-11=3.

22

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定

與性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、等角的余角相等、等高（或

同高）三角形的面積比等于底的比等知識(shí)，證到是解決第（2）小題的關(guān)鍵，證

到OP=OH是解決第（3）小題的關(guān)鍵.

7、如圖，在正方形A8C。中，動(dòng)點(diǎn)P在射線CB上（與8、C不重合），連結(jié)AP,過(guò)。作

DF//AP交直線BC于點(diǎn)F,過(guò)尸作FEL直線BD于點(diǎn)E,連結(jié)AE.PE.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在線段CB上時(shí)

①求證：△ABP會(huì)△￡>"；

②點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，探究：△AEP的形狀是否發(fā)生變化，若不變，請(qǐng)判斷△AEP的形

狀，并說(shuō)明理由；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)

@（1）中的結(jié)論②是否成立？不必說(shuō)明理由；

②若3C=〃?3P,當(dāng)“為何值時(shí)，DF平分NBDC?

【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=￡>C,ZABC=ZDCF=90°,利用AAS定

理證明AABP絲△OCF；

②證明△A3E絲△C8E,得到AE=CE,NAEB=NCEB,證明AEBP烏△EFC,根據(jù)全

等三角形的性質(zhì)證明；

（2）①利用與（1）相似的方法解答；

②不妨設(shè)PB=1,則BC=〃.根據(jù)角平分線的性質(zhì)列出方程，解方程即可.

【解答】（1）①證明：如圖1中，

23

圖1

?.,四邊形ABCD是正方形，

：.AB=DC,ZABC^ZDCF=90°,

,JDF//AP,

：.NAPB=NDFC,

在△4BP和△￡)(7/中，

"ZAPB=ZD

-ZABP=ZDCF>

AB=DC

工AABP會(huì)ADCF(SAS)；

@AAEP的形狀不發(fā)生變化，△AEP是等腰直角三角形,

在△ABE和aCBE中，

，BA=BC

<ZABE=ZCBE-

BE=BE

:./\ABE且ACBE(SAS),

：.AE=CE,NAEB=NCEB,

'JFEVBD,ZEBF=45Q,

：.EB=EF,NEBF=NEFB=45°

■:XABP坦ADCF,

：.BP=FC,

：./\EBP^/\EFC(SAS),

24

：.EP=EC,NBEP=NFEC,

：.AE=EP,

NAEB+NBEP=NBEC+NCEF=90°,

...△4EP是等腰直角三角形;

圖2

(2)①(1)中的結(jié)論②成立，

證明方法與(1)相同；

②如圖2中，不妨設(shè)PB=1,貝ij8C=".

若。/平分NBCC,

則EF=CF,

?.。=旅=1,

：.BF=n-1,

是等腰直角三角形

:,BF=?EF=?,

：.n-1=^2>

解得"=J加1

...當(dāng)〃=揚(yáng)1時(shí)，。尸平分/BOC.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于四邊形綜合題，本題了是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、

等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考

?？碱}型.

8、已知四邊形ABC。，AD//BC,ABLBC,AD=\,AB=4,BC=3.

(1)如圖1,P為AB邊上的一點(diǎn)，以P。、PC為邊作口PCQ。，請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線尸Q,QC能

否互相垂直，為什么？

(2)如圖1,P為AB邊上的一點(diǎn)，以P。、PC為邊作。PCQO,請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線尸。，0c的

長(zhǎng)能否相等，為什么？

(3)圖1,若P為AB邊上一點(diǎn)，以PD,PC為邊作口PC。。，請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線PQ的長(zhǎng)是否

25

存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(4)如圖2,若P為AB邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)到E,使。(〃為常數(shù))，再以

PE、PC為邊作口PCQE,請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，直接寫(xiě)

【分析】(1)利用對(duì)角線PQ，OC垂直時(shí)，平行四邊形即為菱形進(jìn)而得出答案：

(2)四邊形PC。。是平行四邊形，若對(duì)角線尸。、OC相等，則四邊形PC。。是矩形，

然后利用矩形的性質(zhì)，設(shè)可得方程7+32+(2-x)2+1=8,由判別式△<(),可

知此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即對(duì)角線PQ,0c的長(zhǎng)不可能相等；

(3)首先證明△AOP絲△4CQ(A4S),進(jìn)而求得8H的長(zhǎng)，即可求得答案；

(4)作QHLBC,交BC的延長(zhǎng)線于H,易證Rt^ADP^>Rt/\QHC.由DE=nPD,可

昨8H=3+〃+1="+4.由圖知，當(dāng)PQ_LAB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小值為〃+4,-些—=也,

(l-m)PDHC

得出B”=3+〃+l=〃+4,進(jìn)而得出答案.

【解答】解：(1)當(dāng)對(duì)角線PQ,0c互相垂直，則DPC。。是菱形，

故PD=PC,

當(dāng)PO=PC時(shí)，此時(shí)AP=8C=3,AD=BP=l,

即當(dāng)AP=BC=3,A￡>=BP=1時(shí)，對(duì)角線P。，DC互相垂直；

(2)過(guò)點(diǎn)。作。ELBC于點(diǎn)E,

?.?梯形ABC。，AD//BC,AB1.BC

二四邊形ABED是矩形，

：.DE=AB=4,BE=AD=\,

:.CE=BC-BE=2,

:.DC=2屈,

26

V四邊形PCQD是平行四邊形，

若對(duì)角線尸Q、。。相等，則四邊形PCQQ是矩形，

設(shè)PB—x,則AP=4-x,

在RtA^PC中，PD1+PC1=DC1,即)+32+(4-%)2+1=(2泥)2,

化簡(jiǎn)得x2-4x+3=0,

；△=(-4)2-4XlX3=4>0,

，詢用得：XI=1,"2=3,

，即對(duì)角線尸。與DC可能相等,此時(shí)A尸=1或3；

(3)如圖2,作Q/7_L3C,交3c的延長(zhǎng)線于從

'//APQ=/HQP,

：.ZAPD+ZDPQ=NPQC+NCQH,

?:PD〃QC,

：.ZDPQ=ZCQP,

：.ZAPD=ZCQH,

在和△”C。中，

<ZA=ZH

,ZAPD=ZHQC

PD=QC

A/\ADP^/\HCQ(A4S),

：.AD=CH=1,

：.BH=BC+CH=3+2=4,

???當(dāng)尸。時(shí),P。的長(zhǎng)最小,即為4.

(4)如圖3,作QH_LBC,交3C的延長(zhǎng)線于H,

^ABZ/QH.

，NAPD+NDPQ=ZPQC+ZCQH.

??,以PE,PC為邊作□PC。。

：.PE//CQ,

：.ZDPQ=ZPQC,

：.4APD=/CQH,

：.Rt/\ADP^Rt/\QHC.

27

?PD——APHijPD—AD

QCHQPEHC

：DE=nPD,

?PD=AD

*(l-m)PD而'

：AD=1,

,.HC="+1,

.?BC=3,

\BH=3+n+\=n+4.

?.由圖知，當(dāng)PQLAB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小值為〃+4,

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、

矩形的性質(zhì)，注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵.

9、若一條直線把一個(gè)平面圖形分成面積相等的兩部分，那么這條直線叫做該平面圖形的“和

諧線”，其“和諧線”被該平面圖形截得的線段叫做該平面圖形的“和諧線段”(例如圓

的直徑就是圓的“和諧線段”)

問(wèn)題探究：

(1)如圖①，已知△ABC中，43=6,BC=8,Zfi=90°,請(qǐng)寫(xiě)出aABC的兩條“和

諧線段”的長(zhǎng).

(2)如圖②，平行四邊形ABCD中，AB=6,BC=8,28=60°,請(qǐng)直接寫(xiě)出該平行

四邊形ABCC的“和諧線段”長(zhǎng)的最大值和最小值；

問(wèn)題解決

(3)如圖③，四邊形ABCO是某市規(guī)劃中的商業(yè)區(qū)示意圖，其中AB=2,CD-10,Z

A=135°,/B=90°,tanC=旦，現(xiàn)計(jì)劃在商業(yè)區(qū)內(nèi)修一條筆直的單行道MN(小道的

4

寬度不計(jì))，入口M在8c上，出口N在C。上，使得MN為四邊形ABCO“和諧線段”,

在道路一側(cè)△MNC區(qū)域規(guī)劃為公園，為了美觀要求是以CM為腰的等腰三角形,

28

請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明設(shè)計(jì)師的想法能否實(shí)現(xiàn)？若可以，請(qǐng)確定點(diǎn)M的位置（即求CM的長(zhǎng)）

【分析】（1）作△ABC的中線AE,BD,CF.線段BD,CF都是AABC的和諧線段.

（2）作AE_LBC于E,CFLA8于凡連接AC,8。交于點(diǎn)0.經(jīng)過(guò)點(diǎn)0的中線都是平

行四邊形48C。的“和諧線”.求出平行四邊形對(duì)邊之間的距離，對(duì)角線的從即可判斷.

（3）構(gòu)造直徑三角形，求出四邊形A8CO的面積，分兩種情形分別求解即可.

【解答】解：（1）作△ABC的中線AE,BD,CF.線段AE,BD,CF都是△ABC的和諧

線段.

在Rt/XABC中，：/ABC=90°,AB=6,BC=8,

,，MC=V62+82=10,

BD--^AC—51AE=q62+<2=25/13,CF=Q§2+g2=J73.

(2)作AELBC于E,CFLAB于F,連接AC,8。交于點(diǎn)O.經(jīng)過(guò)點(diǎn)。的中線都是平

在RtzMBE中，VZAEB=90°,AB=6,ZABE=60°,

：.AE=AB?sm60',=3?,

同法可求：b=4?,

平行四邊形ABC。的“和諧線段”長(zhǎng)的最小值為3d

作DH1.BC交BC的延長(zhǎng)線于H.易知CH=BE=3,

29

在RtZYBZW中，9=癡2+8產(chǎn)J1]2+（加）2=2折

在RtZXACE中，AC=7AE2+EC2=7（3V3）2+52=

平行四邊形A8CD的“和諧線段”長(zhǎng)的最大值為2幅.

(3)如圖③-1中，作DELBC于E,AFLDE于F.

:.DE=6,EC=8,

?.?四邊形ABE尸是矩形，

：.AB=EF=2,

：.DF=4,

'：ZDAB=\3>5°,/BA尸=90°,

：.ZDAF=45°,

：.AF=BE=DF=4,

/.BC=4+8=12,

，S四邊形ABCD=2?(2+6)X4+Ax6X8=40,

22

CH4

：.NH=^x,

5

?SAMNC=23

30

/.A*_^V*X=20,

25