三角恒等變換習題課

三角恒等變換習題課

【網(wǎng)絡體系】核心速填1.C(α±β):cos(α±β)=______________________.2.S(α±β):sin(α±β)=_______________________.3.T(α±β):tan(α±β)=___________.cosαcosβ?sinαsinβsinαcosβ±cosαsinβ4.二倍角公式(1)S2α:sin2α=____________.(2)C2α:cos2α=_____________=_________=1-2sin2α.(3)T2α:tan2α=_______.2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-15.半角公式6.有關(guān)公式的逆用及變形(1)tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ).(2)cos2α=,sin2α=.(3)1±sin2α=(sinα±cosα)2,sinα±cosα=sin.7.輔助角公式f(x)=asinx+bcosx=________________.【例1】試求tan10°+4sin10°的值.【解析】原式所以原式=1.類型二三角函數(shù)式的化簡例3：化簡sin2αsin2β+cos2αcos2β-cos2αcos2β的值為________.方法一:(從“角”入手,復角化單角)原式=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-·(2cos2α-1)(2cos2β-1)=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-·(4cos2α·cos2β-2cos2α-2cos2β+1)=sin2α·sin2β-cos2α·cos2β+cos2α+cos2β-=sin2α·sin2β+cos2α·sin2β+cos2β-=sin2β+cos2β-=1-=.方法二:(從“名”入手,異名化同名)原式=sin2α·sin2β+(1-sin2α)·cos2β-cos2α·cos2β=cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)-cos2α·cos2β=cos2β-cos2β·(sin2α＋cos2α)方法三:(從“冪”入手,利用降冪公式先降次)原式方法四:(從“形”入手,利用配方法,先對二次項配方)原式=(sinα·sinβ-cosα·cosβ)2+2sinα·sinβ·cosα·cosβ-cos2α·cos2β=cos2(α+β)+sin2α·sin2β-cos2α·cos2β=cos2(α+β)-cos(2α+2β)=cos2(α+β)-[2cos2(α+β)-1]=.答案:【方法技巧】1.三角函數(shù)式化簡的基本原則(1)切化弦.(2)異名化同名.(3)異角化同角.(4)高次降冪.(5)分式通分.(6)無理化有理.(7)常數(shù)的處理(特別注意“1”的代換).2.三角函數(shù)式化簡的目標(1)次數(shù)盡可能低.(2)角盡可能少.(3)三角函數(shù)名稱盡可能統(tǒng)一.(4)項數(shù)盡可能少.3.三角函數(shù)式化簡的基本技巧(1)sinα,cosα→湊倍角公式.(2)1±cosα→升冪公式.(3)asinα+bcosα→輔助角公式asinα+bcosα=·sin(α+φ),其中tanφ=或asinα+bcosα=·cos(α-φ),其中tanφ=.類型四利用輔助角公式研究函數(shù)性質(zhì)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合..在△中，，求和的值.作業(yè)：【變式訓練】化簡:【解析】原式【補償訓練】化簡=【解析】原式

答案:1【方法技巧】1.無條件三角恒等式的證明方法(1)左右相推法:即由左推右或由右推左.一般地說,選擇左右相推法的前提是左右的繁簡程度相差較大,這時,往往從較“繁”一邊入手,作恒等變形,直至得到較“簡”的一邊.證明過程中要盯住目標,堅持據(jù)果變形的原則,故可稱為“化繁為簡法”或“據(jù)果變形法”.(2)左右歸一法:即證左右兩邊等于同一個三角函數(shù)式.(3)變更問題法:即把原命題轉(zhuǎn)化為它的等價命題加以證明.2.條件三角恒等式的證明思路(1)仔細地尋找條件和欲證式之間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別,特別是欲證式的特征,如結(jié)構(gòu)特征、函數(shù)名稱特征、角的特征、函數(shù)式的次數(shù)特征等.(2)準確、適時地使用條件.(3)根據(jù)聯(lián)系區(qū)別,化繁為簡,變異為同,一步步逼近目標.類型三三角恒等變換的綜合應用【典例3】已知向量a=(sinx,1),b=(1)當a⊥b時,求|a+b|的值.(2)求函數(shù)f(x)=a·(2b-a)+cos2x的單調(diào)區(qū)間.【解題探究】(1)由a·b=0及|a+b|=代入坐標求解.(2)由數(shù)量積的坐標運算法則化為f(x)=Asin(ωx+φ)+k形式后再求單調(diào)區(qū)間.【解析】(1)當a⊥b時,|a+b|(2)f(x)=2a·b-a2+cos2x=2sinxcosx-1-sin2x-1+cos2x=sin2x+cos2x-2=當2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z)時,f(x)單調(diào)遞增,解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z);當2kπ+≤2x+≤2kπ+π(k∈Z)時,f(x)單調(diào)遞減,解得kπ+≤x≤kπ+π(k∈Z).所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為k∈Z.單調(diào)減區(qū)間為k∈Z.【方法技巧】與三角恒等變形有關(guān)的綜合問題一般有以下兩種類型(1)以三角恒等變形為主要的化簡手段,考查三角函數(shù)的性質(zhì).當給出的三角函數(shù)關(guān)系式較為復雜時,我們要先通過三角恒等變換,將三角函數(shù)的表達式變形化簡,將函數(shù)表達式變形為y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k等形式,然后再根據(jù)化簡后的三角函數(shù),討論其圖象和性質(zhì).(2)以向量運算為載體,考查三角恒等變形.這類問題往往利用向量的知識和公式,通過向量的運算,將向量條件轉(zhuǎn)化為三角條件,然后通過三角變換解決問題;有時還從三角與向量的關(guān)聯(lián)點處設(shè)置問題,把三角函數(shù)中的角與向量的夾角統(tǒng)一為一類問題考查.【變式訓練】已知向量m=(2cosx,2sinx),n=(cosx,cosx),設(shè)f(x)=m·n-1.(1)求f()的值.(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.【解析】(1)因為f(x)=2cos2x+2sinxcosx-1=cos2x+sin2x=2sin所以f()=2sin=2sin=2.(2)f(x)=2sin的最小正周期T=π,由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).【補償訓練】已知α,β∈,且滿足=cos(α+β).(1)求證:tanβ=(2)將tanβ表示成tanα的函數(shù)關(guān)系式.(3)求tanβ的最大值,并求tanβ取最大值時tan(α+β)的值.【解析】(1)=cos(α+β),所以sinβ=(cosαcosβ-sinαsinβ)·sinα,所以