五年級數學上冊 第4講 包含與排除（教師版）

第4講包含與排除內容概述有重疊部分酌若干對象的計數問題．能利用文氏圖進行輔助分析，弄清文氏圖中每部分的含義；結合文氏圖理解兩個對象和三個對象酌容斥原理；靈活處理具有一些不確定性酌計數問題，以及其他形式的重復計數問題．典型問題興趣篇1．暑假里，小悅和冬冬一起討論“金陵十八景”．他們發(fā)現十八景中的每一處都有人去過，而且有五處是兩人都去過的．如果小悅去過其中的十二景，那么冬冬去過其中的幾景？冬冬去的景有18+5-12=11處2．在一群小朋友中，有12人看過動畫片《黑貓警長》，有21人看過動畫片《大鬧天宮》，并且有8人兩部動畫片都看過．請問：至少看過其中一部的小朋友有多少人？至少看過一部的小朋友有12+21-8=25人3．五年級一班45個學生參加期末考試，成績公布后，數學得滿分的有10人，數學及語文均得滿分的有3人，這兩科都沒有得滿分的有29人．請問：語文成績得滿分的有多少人？至少有一科得滿分的人數是：45-29=16人，這樣語文得滿分的人數是：16+3-10=9人4．某餐館有27道招牌菜．小悅吃過其中的13道，冬冬吃過其中的7道，而且有2道菜是兩人都吃過的．請問：有多少道招牌菜是兩人都沒有吃過的？至少有一人吃過的菜有13+7-2=18道，這樣兩人都沒吃過的菜有27-18=9道。5．如圖4-I，已知甲、乙、丙三個圓的面積均為30，甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部分的面積分別為6、8、5，同時被這三個圓覆蓋的部分的面積為2．請問：(1)只被甲或乙覆蓋，卻不被丙覆蓋的部分的面積是多少？(2)只被這3個圓中某一個圓覆蓋的部分的面積是多少？只被甲覆蓋的部分有30-6-5+2=21，只被乙覆蓋的部分有30-6-8+2=18，這樣只被甲或乙覆蓋的部分有21+18=39甲、乙、丙三個圓覆蓋的總面積為30×3-6-8-5+2=73，73-6-8-5+2×2=586．在一個由30人組成的合唱隊中，每個人都愛喝紅茶、綠茶、花茶中的一種或者幾種，其中有10個人愛喝紅茶，12個人不愛喝紅茶卻愛喝綠茶，請問：只愛喝花茶的有多少人？因為A+D+G+F=10，B+E=12，且一共是30人，所以只喝花茶的人是C在的部分，有30-10-12=8人7．光明小學五年級課外活動有體育、音樂、書法三個小組，參加的人數分別是54人、46人、36人．同時參加體育小組和音樂小組的有4人，同時參加體育小組和書法小組的有7人，同時參加音樂小組和書法小組的有10人，三組都參加的有2人．光明小學五年級參加課外活動的一共有多少人？光明小學參加課外活動的人有54+46+36-4-7-10+2=117人8．衛(wèi)生部對120種食物是否含有維生素A、C、E進行調查，結果發(fā)現：含維生素A的有62種，含維生素C的有90種，含維生素E的有68種，同時含維生素A和C的有48種，同時含維生素A和E的有36種，同時含維生素C和E的有50種，同時含這三種維生素的有25種．請問：(1)這三種維生素都不含的食物有多少種？(2)僅含維生素A的食物有多少種？（1）至少含有一種維生素的食物有62+90+68-48-36-50+25=111種，所以都不含的食物有120-111=9種。（2）僅含A的食物有62-48-36+25=3種9．操場上有50名同學在跑步或跳繩，其中女生有18名，跳繩的同學有31名，跑步的男生有14名．跳繩的女生有多少名？因為這50人只跑步或跳繩，所以E、F都為0，這樣：B+D=18，A+B=31，C=14，所以B=18+31+14-50=13人10．學校舉行棋類比賽，分為象棋、圍棋和軍棋三項，每人最多參加其中兩項．根據報名的人數，學校決定對象棋的前9名、圍棋的前10名和軍棋的前11名發(fā)放獎品．請問：最少有幾人獲得獎品？因為每個人最多參加兩個項目，所以每個人最多活動兩個獎品，而共有9+10+11=30個獎品，所以最少有30÷2=15個人獲得獎品。獲獎分布如下圖（橫線代表獲獎）：拓展篇1．在一個辦公室中，有7個人愛喝茶，10個人愛喝咖啡，3個人既愛喝茶又愛喝咖啡，如果每個人都至少愛喝茶或咖啡中的一種，那么這個辦公室里共有多少人？辦公室有7+10-3=14人2．五年級二班有40名同學，其中有25人沒參加數學小組，有18人參加航模小組，有10人兩個小組都參加．那么只參加了這兩個小組之一的學生共有多少人？只參加航模小組的人有18-10=8人，所以什么都沒參加的人有25-8=17人，所以只參加了兩個小組之一的學生有40-17-10=13人3．在1至100這100個自然數中，既不能被2整除也不能被3整除的數有多少個？如圖，用長方形表示的全部自然數，圓表示中的倍數，圓表示中2的倍數，長方形內兩圓外的部分表示既不是的倍數也不是的倍數的數．由可知，中的倍數有個；由100÷2=50個，可知，中2的倍數有50個；由100÷6=16?4可知，既是的倍數又是2的倍數的數有1個．由包含排除法，或2的倍數有：33+50-16=67(個)．從而不是的倍數也不是2的倍數的數有100-67=33(個)．4．漁鄉(xiāng)小學舉行長跑和游泳比賽，共305人參加．參加長跑比賽的有150名男生和90名女生，參加游泳比賽的有120名男生和70名女生，有110名男生兩項比賽都參加了，請問：只參加游泳比賽而沒有參加長跑比賽的女生有多少人？由A+E=150，B+F=90，E+C=120，E=110.易知C=10，C+D=305-150-90=65，所以D=65-10=55人5．森林里住著一群小白兔，每只小白兔都愛吃蘿卜、白菜和青草中的一種或者幾種．愛吃蘿卜的小白兔中有12只不愛吃白菜；愛吃白菜的小白兔中有23只不愛吃青草；愛吃青草的小白兔中有34只不愛吃蘿卜．如果三種食物都愛吃的小白兔有5只，那么這群小白兔一共有多少只？A+F=12，B+D=23，C+E=34，G=5，所以白兔的只數為12+23+34+5=74只。6．三位基金經理投資若干只股票．張經理買過其中66只，王經理買過其中40只，李經理買過其中23只．張經理和王經理都買過的有17只，王經理和李經理都買過的有13只，李經理和張經理都買過的有9只，三個人都買過的有6只．請問：這三位經理一共買過多少只股票？由公式得：66+40+23-17-13-9+6=96只7．唐僧西天取經共經歷了81難，其中單獨渡過了3難，與孫悟空一起渡過了77難，與豬八戒一起渡過了65難，與沙和尚一起渡過了62難，同時與孫悟空和豬八戒一起渡過了64難，同時與孫悟空和沙和尚一起渡過了61難，同時與豬八戒和沙和尚一起渡過了60難．請問：師徒四人共同渡過的有多少難？因為唐僧只單獨度過了3難，所以余下的78難至少有孫、豬、沙三人中的一人陪他一起度過，這樣孫、豬、沙一起度過的難有78-[77+65+62-64-61-60]=59難，而唐僧一直都在，所以師徒四人同渡的難有59難。8．培英學校有學生1000人，其中有500人訂閱了《中國少年報》，有350人訂閱了《少年文藝》，有250人訂閱了《數學報》，至少訂閱兩種報刊的有400人，訂閱了三種報刊的有100人．請問：培英學校有多少人沒有訂報？至少訂了一種報紙的人有500+350+250-400-100=600人，所以沒有訂報紙的人有1000-600=400人。9．五年級一班有46名學生參加數學、語文、文藝三項課外小組．其中有24人參加了數學小組，20人參加了語文小組，既參加數學小組又參加語文小組的有10人．參加文藝小組的人數是既參加數學小組又參加文藝小組人數的3.5倍，還是三項小組都參加的人數的7倍，既參加文藝小組也參加語文小組的人數等于三項小組都參加的人數的2倍．求參加文藝小組的人數．設三項都參加的人數有X人，則參加朗誦小組的人數為7X人，參加繪畫小組又參加朗誦小組的人數為2X人，參加朗誦小組又參加合唱小組的人數為2X人，于是有46=（24+20+7X-2X-2X-10+X），解得X=3,所以參加朗誦小組的人數為21人。10．圖書室有100本書，借閱圖書者需在圖書上簽名．已知這100本書中有甲、乙、丙三人簽名的分別有33本、44本和55本，其中同時有甲、乙簽名的圖書為29本，同時有甲、丙簽名的圖書為25本，同時有乙、丙簽名的圖書為36本，問：這批圖書中最少有多少本沒有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過？由于甲、丙共同簽名的書只有25本，所以甲、乙、丙都借過的書最多為25本，所以至少一人借過的書，最多有：33+44+55-29-25-36+25=67本，這時沒有被借過的書，至少有：100-67=33本11五年級三班有50名學生，參加語文競賽的有28人，參加數學競賽的有22人，參加英語競賽的有20人．如果每人最多參加兩科競賽，那么該班未參加競賽人數最多可能有多少人？由于參賽的共有28+22+20=70人次，而每人最多只能參加兩項，所以最少有70÷2=35人參賽，這時沒參賽的人最多有50-35=15人。12．甲、乙、丙三人都在讀同一本故事書，書中有100個故事．已知甲讀了85個故事，乙讀了70個故事，丙讀了62個故事．請問：(1)甲、乙、丙三人共同讀過的故事最少有多少個？(2)如果每個人都是從某一個故事開始，按順序連續(xù)往后讀，那么甲、乙、丙三人共同讀過的故事最少有多少個？（1）甲有100-85=15個故事沒讀，乙有100-70=30個故事沒讀，丙有100-62=38個故事沒讀，所以沒讀的故事最多有15+30+38=83個，所以三人共同讀過的書至少有100-83=17個（2）三人都讀過的故事最少有100-30-38=32個超越篇1．森林里住著100只小白兔，凡是不愛吃蘿卜的小白兔都愛吃白菜．其中愛吃蘿卜的小白兔數量是愛吃白菜的小白兔數量的2倍，而不愛吃白菜的小白兔數量是不愛吃蘿卜的小白兔數量的3倍，它們當中有多少只小白兔既愛吃蘿卜又愛吃白菜？有題意知：A+B+C=100，A+C=2×(B+C),A=3B.由第二個式子我們有A=2B+C，在結合第三個式子我們有B=C，這樣第一個式子就可以變成3B+B+B=100，所以B=20，這樣C也就等于20了。2．育才小學匭展上展出了許多幅畫，其中有16幅畫不是六年級的，有15幅畫不是五年級的，五、六年級共展出25幅畫．其他年級的畫共有多少幅？通過16幅畫不是六年級的可以知道，五年級和其他年級的畫作數量之和是16，通過15幅畫不是五年級的可以知道六年級和其他年級的畫作數量之和是15，那也就是說五年級的畫比六年級多1幅，我們還知道五、六年級共展出25幅畫，進而可以求出五年級畫作有13幅，六年級畫作有12幅，那么久可以求出其他年級的畫作共有3幅．3．巨人學校有105名男生和75名女生參加數學競賽，有95名女生和85名男生參加作文競賽．已知該校一共有280名學生參加了競賽，其中只參加數學競賽的男生人數與只參加作文競賽的女生人數相同．請問：只參加數學競賽的女生有多少人？由公式知：E+F=105+75+95+85-280=80，由于A=D,所以有E-F=(A+E)-(F+D)=105-95=10.所以F=35，這樣B=75-35=40人4．冬冬和爸爸媽媽去芬蘭旅游，他們照了很多照片．回家后，冬冬先把所有有自己像的照片放到自己的相冊里，再把剩下的有媽媽像的照片放到媽媽的相冊里，最后把剩下的照片放到爸爸的相冊里，爸爸認為應該把所有有自己像的照片都放到自己相冊里，于是從冬冬和媽媽的相冊里一共拿出了37張照片放到了自己的相冊，媽媽不同意，又把放在冬冬和爸爸的相冊里所有有自己像的45張照片都拿出來放到了自己的相冊．請問：究竟是媽媽和冬冬的合影多，還是爸爸和冬冬的合影多？多幾張？最開始分的時候，A、D、F、G這四部分全在東東那，然后E、C在媽媽那，B在爸爸那。然后爸爸把D、G、E三部分拿到自己那了，再然后媽媽把F、G、E三部分拿回去了。這樣我們就知道D+G+E=37，F+G+E=45，又媽媽與東東的合影部分為F、G，爸爸與東東合影的部分為D、G，易知，與媽媽的多，多F+G+E-（D+G+E）=45-37=8張5．一次測驗共有5道試題．測試后統(tǒng)計如下：有81%的同學做對第1題，有85%的同學做對第2題，有91%的同學做對第3題，有74%的同學做對第4題，有79%的同學做對第5題．如果做對3道或3道以上試題的同學為考試合格，請問：這次考試的合格率最多達百分之幾？最少達百分之幾？第一題錯的有19%人，第二題錯的有15%人，第三題錯的有9%人，第四題錯的有26%人，第五題錯的有21%人。這樣錯的總量為19%+15%+9%+26%+21%=90，所以要使合格率最高是，我們只要然90%的人每人錯一道題，這時候合格率為100%。若要使得合格率最低，我就盡量讓人錯3道題，這樣90%÷3=30%，所以最多有30%的人不合格，也就是至少有70%的人合格。6．五年級一班有22人參加語文競賽，32人參加數學競賽，27人參加英語競賽，其中同時參加語文競賽和數學競賽的有12人，同時參加語文競賽和英語競賽的有14人，同時參加數學競賽和英語競賽的有15人．請問：五年級一班參加競賽的總人數最少是多少？假設三個比賽都參加的有a人，這樣參賽總人數=22+32+27-12-14-15+a=40+a，我要讓參賽人數盡量少，也就是要讓a盡量小。由于同