【初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽】 專題06 邏輯推理競(jìng)賽綜合-50題真題專項(xiàng)訓(xùn)練（全國(guó)競(jìng)賽專用）原卷版

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)【初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽】專題06邏輯推理競(jìng)賽綜合-50題真題專項(xiàng)訓(xùn)練（全國(guó)競(jìng)賽專用）1．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）有一個(gè)黑盒和8個(gè)分別標(biāo)上1，2，…，8的白盒，8個(gè)白盒中共有8個(gè)球，允許進(jìn)行如下操作：若標(biāo)號(hào)為的白盒內(nèi)恰有個(gè)球，則取出這個(gè)球，分別放入黑盒及標(biāo)號(hào)為1，2，…，的白盒中各一個(gè)球．證明：存在唯一一種放法，使得8個(gè)球開始都在白盒中，經(jīng)過(guò)有限次操作后，使球全部在黑盒中．2．（2022·福建·九年級(jí)統(tǒng)考競(jìng)賽）已知矩形ABCD的邊AB=21，BC=19，r是給定的小于1的正實(shí)數(shù)．(1)在矩形ABCD內(nèi)任意放入114個(gè)直徑為1的圓．證明：在矩形ABCD內(nèi)一定還可以放入一個(gè)直徑為r的圓，它和這114個(gè)圓都沒(méi)有交點(diǎn)（也不在某個(gè)圓的內(nèi)部）；(2)在矩形ABCD內(nèi)任意放入95個(gè)單位正方形（邊長(zhǎng)為1的正方形）．證明：在矩形ABCD內(nèi)一定還可以放入一個(gè)直徑為r的圓，它和這95個(gè)正方形都沒(méi)有交點(diǎn)（也不在某個(gè)正方形的內(nèi)部）．3．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）表（1）是一個(gè)英文字母顯示盒，每一次操作可以使一行4個(gè)字母同時(shí)改變或者使某列4個(gè)字母同時(shí)改變，改變的規(guī)則是按照英文字母表的順序，每個(gè)字母變成它們下一個(gè)字母（即變成，變成，…，變成，變成）．問(wèn)能否經(jīng)過(guò)有限次操作，使表（1）變成表（2）？如果能，請(qǐng)寫出變化過(guò)程；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）

（2）4．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）正五邊形的每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)整數(shù)，使得5個(gè)整數(shù)的和為正數(shù)，若其中相鄰3個(gè)頂點(diǎn)上的整數(shù)依次為，，且，則要進(jìn)行以下調(diào)整：整數(shù)，，分別換成，，．要是5個(gè)整數(shù)中至少還有一個(gè)是負(fù)數(shù)，這種變換還要繼續(xù)下去．問(wèn)：這樣的變換進(jìn)行有限次后是否必然終止？5．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）假設(shè)黑板上已寫一個(gè)數(shù)2，然后甲、乙兩人輪流寫數(shù)，若剛才寫的數(shù)為，則接著寫的人可以寫至中任意一個(gè)數(shù)，若甲先寫，誰(shuí)先寫出2010則誰(shuí)獲勝．問(wèn)誰(shuí)有必勝策略？6．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）A，B，C三人做游戲，規(guī)則如下：三張牌每張上寫一個(gè)正整數(shù)，這三個(gè)數(shù)是，且，三張牌混合后再分給三個(gè)人，使每人各得一張，再按牌上的數(shù)分得小球，接著將牌收回重發(fā)，但分得的小球仍留在各人手中，這個(gè)游戲（發(fā)牌、分球、收牌）至少要進(jìn)行兩次，最后一次結(jié)束后，A，B，C分別得20，10，9個(gè)球，還知道B在最后一次游戲中得r個(gè)球問(wèn)：誰(shuí)在第一次得q個(gè)球?7．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）甲、乙兩人輪流做如下游戲：甲每次可將平面上某點(diǎn)標(biāo)以紅色，乙接著將平面內(nèi)10個(gè)未染色的點(diǎn)標(biāo)以綠色．甲先開始，如果到某步有3個(gè)紅點(diǎn)成為一個(gè)等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，那么甲獲勝問(wèn)：是否乙總可以做到不讓甲獲勝？8．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）這里有8個(gè)人在說(shuō)話，他們說(shuō)的話包括自己在內(nèi)，請(qǐng)認(rèn)真讀他們說(shuō)的話，然后回答下列問(wèn)題：張一：“我們中間至少有1個(gè)人說(shuō)的是正確的．”王二：“我們中間至少有2個(gè)人說(shuō)的是正確的．”趙三：“我們中間至少有3個(gè)人說(shuō)的是正確的．”李四：“我們中間至少有4個(gè)人說(shuō)的是正確的．”錢五：“我們中間至少有1個(gè)人說(shuō)的是錯(cuò)誤的．”徐六：“我們中間至少有2個(gè)人說(shuō)的是錯(cuò)誤的．”亞七：“我們中間至少有3個(gè)人說(shuō)的是錯(cuò)誤的．”孫八：“我們中間至少有4個(gè)人說(shuō)的是錯(cuò)誤的．”說(shuō)錯(cuò)話的是誰(shuí)?（有幾個(gè)人就畫上幾個(gè)記號(hào)，如果沒(méi)有就回答沒(méi)有）9．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）某大學(xué)的四位學(xué)生張亮、胡佳、李坤和王勇分別來(lái)自北京、上海、湖南和黑龍江，他們學(xué)的專業(yè)分別是數(shù)學(xué)、物理、計(jì)算機(jī)和英語(yǔ)．除此以外，還知道：（1）張亮學(xué)習(xí)的專業(yè)是數(shù)學(xué)和物理中一門，不是南方人；（2）胡佳是南方人，學(xué)的專業(yè)既不是數(shù)學(xué)也不是物理；（3）李坤和北京來(lái)的學(xué)生及學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生三人同住在一棟宿舍；（4）湖南來(lái)的學(xué)生學(xué)的專業(yè)不是計(jì)算機(jī)；（5）王勇不是北京來(lái)的學(xué)生，年齡比黑龍江來(lái)的學(xué)生以及學(xué)計(jì)算機(jī)的學(xué)生這二人都?。鶕?jù)這些情況，你能否判斷這四位學(xué)生各來(lái)自什么地方?各學(xué)習(xí)什么專業(yè)?10．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）世界杯足球賽第一輪比賽中，每個(gè)小組有4支球隊(duì)，每?jī)申?duì)之間各賽一場(chǎng)，勝者得3分，負(fù)者得零分，平局時(shí)兩隊(duì)各得1分，每個(gè)小組總分多的兩個(gè)隊(duì)出線，進(jìn)入第二輪比賽．（1）有人說(shuō)：“得6分的隊(duì)一定出線，得2分的隊(duì)一定不出線．”請(qǐng)判斷并說(shuō)明對(duì)錯(cuò)；（2）如果小組比賽中至少有一場(chǎng)平局，那么上述說(shuō)法是否正確?11．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）甲、乙、丙、丁四個(gè)人比賽乒乓球，每?jī)扇硕家愐粓?chǎng)，結(jié)果甲勝了丁，并且甲、乙、丙勝的場(chǎng)數(shù)相同．問(wèn)丁勝了幾場(chǎng)？12．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）能否找到這樣的四個(gè)正整數(shù)，使得它們中任意兩個(gè)之積與2002的和是完全平方數(shù)？若能夠，請(qǐng)舉出一例；若不能夠，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）13位小運(yùn)動(dòng)員，他們身穿運(yùn)動(dòng)服的號(hào)碼分別是號(hào)，問(wèn)這13名運(yùn)動(dòng)員能否站成一個(gè)圓圈，使任意相鄰兩名運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼數(shù)之差的絕對(duì)值不小于3且不大于5．如果能，試舉一例；如果不能，說(shuō)明理由．14．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）證明：在平面直角坐標(biāo)系中，不存在以整點(diǎn)為頂點(diǎn)的正三角形．15．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）100名運(yùn)動(dòng)員參加賽跑，已知其中任意12人中總有2人是彼此熟悉的，求證：運(yùn)動(dòng)的號(hào)碼不論如何編排（未必是從1到100），總可以找到兩個(gè)彼此熟悉的運(yùn)動(dòng)員，他們的號(hào)碼的最高數(shù)位的數(shù)字相同．16．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）在一次馬拉松長(zhǎng)跑比賽上，有100位選手參加，大會(huì)準(zhǔn)備了100塊標(biāo)有整數(shù)1到100的號(hào)碼布，分發(fā)給每位選手，選手們被要求在比賽結(jié)束時(shí)，將自己的號(hào)碼布上的數(shù)與到達(dá)終點(diǎn)時(shí)的名次相加，并將這個(gè)和數(shù)交上去．問(wèn)：這樣交上去的100個(gè)數(shù)的末2位數(shù)字是否可能都不同？請(qǐng)回答可能或不可能，并清楚地說(shuō)明理由（注

沒(méi)有同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)的選手）．17．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）（1）是否存在正整數(shù)使？（2）設(shè)是給定的正整數(shù)，是否存在正整數(shù)使？18．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）設(shè)甲有一條長(zhǎng)為的線段，乙有一條長(zhǎng)為的線段，甲先將自己的線段分成3段．然后乙也將自己的線段分成3段，如果可用分得的6條線段組成兩個(gè)三角形，則乙勝；否則甲勝．問(wèn)甲、乙兩人誰(shuí)能根據(jù)比值的大小保證自己獲勝？他該如何進(jìn)行？19．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）在六張紙片的正面分別寫上整數(shù)，打亂次序后，將紙片翻過(guò)來(lái)，在它的反面也隨意分別寫上這六個(gè)整數(shù)，然后計(jì)算每張紙片正面與反面所寫數(shù)之差的絕對(duì)值．請(qǐng)你證明：所得的六個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)是相同的．20．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知平面內(nèi)任意四點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不共線．試問(wèn)：是否一定能從這樣的四點(diǎn)中選出三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，使得這個(gè)三角形至少有一個(gè)內(nèi)角不大于？請(qǐng)證明你的結(jié)論．21．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）在中任選20個(gè)不同的數(shù)，其中至少有4個(gè)不同的數(shù)使得．22．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）一群小朋友購(gòu)買售價(jià)是3元和5元的兩種商品，每人購(gòu)買的商品最少是1件，他們也可以購(gòu)買相同的商品，但每人購(gòu)買的總金額不超過(guò)15元．若小朋友中至少有三人購(gòu)買的兩種商品的數(shù)量完全相同，問(wèn)這群小朋友最少有多少人？23．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）將數(shù)字任意填在八邊形的頂點(diǎn)處，每個(gè)頂點(diǎn)上恰填一個(gè)數(shù)字，記上所填3個(gè)數(shù)字之和為．（1）試給出一種填法，使每個(gè)都大于或等于12；（2）請(qǐng)證明任何填法都不可能使每個(gè)都大于或等于13．24．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）證明：10個(gè)互不相同的兩位數(shù)中，一定可選出兩組數(shù)，使這兩組沒(méi)有公共的數(shù)，而且兩組中各數(shù)的和相等．25．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）一個(gè)書架有五層，從下到上依次為第一層，第二層，…，第五層．今把15冊(cè)圖書分放在書架的各層上，有些層可不放．證明：無(wú)論怎樣放法，書架每層上的圖書冊(cè)數(shù)以及相鄰兩層上圖書冊(cè)數(shù)之和，這些數(shù)中至少有兩個(gè)是相等的．26．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）某學(xué)生為了準(zhǔn)備參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，連續(xù)做了5周習(xí)題，他每天至少做一道習(xí)題，每周至多做10道習(xí)題．證明：他一定在連續(xù)若干天內(nèi)恰做了19道習(xí)題．27．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）從正整數(shù)中任取n個(gè)數(shù)．（1）求證：當(dāng)時(shí)，無(wú)論怎樣選取n個(gè)數(shù)，總存在其中4個(gè)數(shù)的和等于4017；（2）當(dāng)（n是正整數(shù)），上述結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．28．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）平面內(nèi)任給5個(gè)點(diǎn)，其中任意3點(diǎn)不共線證明：這5點(diǎn)中必有4點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)．29．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）桌上放著2010根火柴，甲、乙兩人輪流從中取走火柴，每次可取走1根或2根火柴，甲先?。l(shuí)先取到最后一根火柴誰(shuí)獲勝．問(wèn)誰(shuí)有獲勝策略？他應(yīng)該怎樣操作？30．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）（1）將從1到2010的正整數(shù)任意分為10組，使得每個(gè)數(shù)恰屬于一組．證明：存在兩個(gè)正整數(shù)屬于同一組且；（2）試將從1到2009的正整數(shù)適當(dāng)?shù)胤殖?0組，使每個(gè)數(shù)恰屬于一組且不存在兩個(gè)正整數(shù)屬于同一組且滿足．31．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）20個(gè)球隊(duì)比賽若干場(chǎng)后發(fā)現(xiàn)每?jī)蓚€(gè)隊(duì)至多比賽了一場(chǎng)，并且任意3個(gè)隊(duì)中必有兩個(gè)隊(duì)比賽了一場(chǎng)．證明：這時(shí)至少比賽了90場(chǎng)，并請(qǐng)安排一種比賽方法使得20個(gè)隊(duì)之間恰比賽了90場(chǎng)并且每?jī)蓚€(gè)隊(duì)至多比賽一場(chǎng)，而每3個(gè)隊(duì)中必有兩個(gè)隊(duì)比賽了一場(chǎng)．32．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）一個(gè)盒子內(nèi)裝有200根火柴，甲、乙兩人輪流從盒子內(nèi)取火柴，每次至少取1根火柴，至多取20根火柴，且拿到最后一根火柴的人獲勝問(wèn)是先取火柴的甲還是后取火柴的乙有必勝策略？33．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）在的方格紙帶的最左端的小方格內(nèi)放一枚棋子，甲、乙兩人輪流移動(dòng)這枚棋子，每移動(dòng)一次只允許棋子向右移1格，10格或11格，誰(shuí)把棋子移到最右端方格內(nèi)，則誰(shuí)贏．問(wèn)是先走的甲還是后走的乙有必勝策略？34．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）將正2010邊形的頂點(diǎn)相間染紅、藍(lán)兩色，甲、乙兩人輪流畫兩端點(diǎn)同色的對(duì)角線，但不能與自己前面畫的對(duì)角線相交，也不能畫已經(jīng)畫過(guò)的對(duì)角線．甲先畫，誰(shuí)不能畫了就算誰(shuí)輸．問(wèn)甲必勝還是乙必勝？35．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）甲、兩人進(jìn)行如下游戲，甲先開始兩人輪流從1，2，3，…，100，101中每次任意勾去9個(gè)數(shù)，經(jīng)過(guò)11次勾掉后，還剩兩個(gè)數(shù)，這時(shí)所余兩數(shù)之差即為甲得的分?jǐn)?shù)．試證不論乙怎么做，甲可保證自己至少得55分．36．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知30個(gè)數(shù)1，2，3，…，30．甲、乙兩人輪流將“”號(hào)或“”號(hào)放在這些數(shù)的前面（放的順序不限），30步后計(jì)算代數(shù)和的絕對(duì)值．甲要使盡量小．而乙則要使盡量大，乙能保證的最大值是多少？37．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）甲、乙兩人在一個(gè)的方格紙上玩填數(shù)游戲：甲先填且兩人輪流在空格中填數(shù)，甲每次選擇一個(gè)空格寫上數(shù)字1，乙每次選擇一個(gè)空格寫上數(shù)字0，填完后計(jì)算每個(gè)正方形內(nèi)9個(gè)數(shù)之和，并將這些和數(shù)中的最大數(shù)記為．甲盡量使增大，乙盡量使減小，問(wèn)甲可使獲得的最大值是多少？38．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）將4粒圍棋子均勻放在一個(gè)圓周上，若相鄰兩粒棋子同色，則在它們之間放一粒黑子，若相鄰兩粒棋子不同色，則在它們之間放一粒白子，然后把原來(lái)的4粒棋子拿走．證明：經(jīng)過(guò)若干次這樣操作以后，所有棋子都為黑子，并且這樣的操作至多進(jìn)行4次．39．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）黑板上寫有個(gè)實(shí)數(shù)，允許從中擦去兩個(gè)數(shù)，例如和，而寫上另一個(gè)數(shù)，這種操作進(jìn)行次，最后黑板上只剩下一個(gè)數(shù)．已知開始時(shí)黑板上寫的個(gè)數(shù)都是1，求證：最后剩下的那個(gè)數(shù)不小于．40．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）在凸邊形的頂點(diǎn)處放置一些火柴，每次操作允許將某個(gè)頂點(diǎn)處的兩根火柴移動(dòng)，分別放到它兩側(cè)相鄰的頂點(diǎn)處各1根．求證：如果若干次移動(dòng)后，各頂點(diǎn)處的火柴數(shù)恢復(fù)到和原來(lái)的一樣，那么操作次數(shù)為的倍數(shù)．41．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）6只盤子排成一行，每次操作任取兩只盤子將它們移動(dòng)到相鄰（或左或右）的位置上，盤子可以重疊，問(wèn)能否經(jīng)過(guò)有限次操作使6只盤子疊在一起？42．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知黑板上寫著兩個(gè)數(shù)：1和2，現(xiàn)允許按如下規(guī)則寫出新的數(shù)：當(dāng)黑板上有和時(shí)，可以寫上數(shù)．試問(wèn)：能否在黑板上寫出數(shù)13121和12131？43．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）將4個(gè)數(shù)1，9，8，8寫成一行并進(jìn)行如下操作：對(duì)每一對(duì)相鄰的數(shù)，用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，然后將所得之差寫在這兩個(gè)數(shù)之間，算是完成了一次操作，然后再對(duì)這個(gè)由7個(gè)數(shù)排成的數(shù)進(jìn)行同樣的操作．如此繼續(xù)下去，共操作100次，求最后得到的一行數(shù)的和．44．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）現(xiàn)有一個(gè)正方體和2種顏色：紅色和綠色．甲、乙兩人做如下游戲：甲先選取正方體的3條棱，并將它們涂上紅色，乙從尚未涂色的棱中選取3條棱，并將它們涂上紅色，最后乙將剩下的3條涂上綠色．誰(shuí)能首先把一面的四條棱涂成相同的顏色，誰(shuí)就獲勝．問(wèn)甲有必勝策略嗎？45．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）甲、乙兩人輪流在的方格棋盤上放置棋子，甲執(zhí)白先放，乙執(zhí)黑后放．每顆棋子都放于空格之中，但若一空格的4個(gè)鄰格（即有公共邊的方格）已被同色棋子占領(lǐng)，則禁止在其中再放此種顏色的棋子．