黑龍江省安達(dá)市育才高中2022年高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知拋物線y2=2px（p>0）,尸為拋物線的焦點(diǎn)且MN為過(guò)焦點(diǎn)的弦，若|MN|=8,則AOMN的面

積為（）

A.2A/2B.3A/2C.D.----

2

2.一個(gè)封閉的棱長(zhǎng)為2的正方體容器，當(dāng)水平放置時(shí)，如圖，水面的高度正好為棱長(zhǎng)的一半.若將該正方體繞下底面

（底面與水平面平行）的某條棱任意旋轉(zhuǎn)，則容器里水面的最大高度為（）

B.V2C.百D.272

3.學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)按照考生原始成績(jī)從高到低分為A、B、C、D、E五個(gè)等級(jí).某班共有36名學(xué)生且全部選考

物理、化學(xué)兩科，這兩科的學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)?nèi)鐖D所示.該班學(xué)生中，這兩科等級(jí)均為A的學(xué)生有5人，這兩科中僅

有一科等級(jí)為A的學(xué)生，其另外一科等級(jí)為8,則該班（）

7級(jí)

科“ABCDE

物理1016910

化學(xué)819720

A.物理化學(xué)等級(jí)都是B的學(xué)生至多有12人

B.物理化學(xué)等級(jí)都是3的學(xué)生至少有5人

C.這兩科只有一科等級(jí)為3且最高等級(jí)為3的學(xué)生至多有18人

D.這兩科只有一科等級(jí)為B且最高等級(jí)為8的學(xué)生至少有1人

4.一個(gè)盒子里有4個(gè)分別標(biāo)有號(hào)碼為1,2,3,4的小球，每次取出一個(gè)，記下它的標(biāo)號(hào)后再放回盒子中，共取3次,

則取得小球標(biāo)號(hào)最大值是4的取法有()

A.17種B.27種C.37種D.47種

5.點(diǎn)。為AABC的三條中線的交點(diǎn)，且。4_LO8,AB=2,則〃.元的值為()

A.4B.8C.6D.12

1

6.已知全集為R,集合A={xy=(x-l)2>,8={%|%2-2x<0},貝!J(\A)nB=()

A.(0,2)B.(1,2]C.[0,1]D.(0,1]

7.如圖所示，三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直

角三角形及一個(gè)小正方形(陰影)，設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為30。，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲50()顆米粒(米粒大小忽略不

計(jì)，取6。1.732),則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()

B.67C.182D.108

x+y<4

所表示的平面區(qū)域上的動(dòng)點(diǎn)，則上的取值范圍是()

8.點(diǎn)P(x,y)為不等式組y<x

x-2

y>0

B.U[h+00)C.(—2,1)D.[—2,1]

.2020

9.二()

1-i

1

A.也B.V2C.1D.-

4

a%an1

10.已知數(shù)列299??一J是首項(xiàng)為8,公比為不得等比數(shù)列，則小等于()

a\2

A.64B.32C.2D.4

11.已知.f(x+2)是偶函數(shù)，/(X)在(-8,2]上單調(diào)遞減，/(0)=0,則/(2—3x)>0的解集是

2B.(|,2)

A.(F，I)U(2，+8)

2222

C.(--，-)D.(Y0,一§)U(§'+8)

12.若復(fù)數(shù)z滿足(l+3i)z=(l+i>,則|z|二()

x/5麻石「Vio

AA.B?——C?-M------nD.------

4525

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)已知cos(a-馬=-3,且aw(-三,0),則2cos?a+夜sin(2a-巴)的值是____________

2524

14.(5分)如圖是一個(gè)算法的流程圖，若輸出y的值是5,則輸入X的值為.

15.函數(shù)y=log0.5,-"+5)在區(qū)間(-8,1)上遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是一

16.從編號(hào)為1,2,3,4的張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張，則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第

一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=x+alnx,aeR.

(I)當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=/(x)在x=l處的切線方程;

(II)求函數(shù)/(x)在［l,e］上的最小值；

13

(HI)若函數(shù)Q(x)=1/(x),當(dāng)a=2時(shí)，/(x)的最大值為M，求證：M<1.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=eT+e'+ac,aeR.

(1)討論的單調(diào)性；

⑵若/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)為，x2,證明：“xj二/"(/)<(&-2乂9一e*).

19.(12分)已知函數(shù)/(》)=%2-6x+a］nx(a>0,beR).

⑴設(shè)匕=a+2,若/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)*,x2,且后一百>1，求證：|/(辦)一/(%2)|>3-41112；

(2)設(shè)g(x)=4(x),g(x)在U,e］不單調(diào)，且北恒成立，求〃的取值范圍.(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

a

20.(12分)已知函數(shù)f(x)=(l+百tanj^cos?》.

(I)若a是第二象限角，且sina=曰，求/(&)的值；

(D)求函數(shù)/(x)的定義域和值域.

21.(12分)如圖，在四棱錐尸一ABCD中，24,底面ABC。，AD//BC,ZABC=90°,

AB=BC=LAO=LPB=2,E為m的中點(diǎn)，尸是PC上的點(diǎn).

22

(1)若EE〃平面B4O,證明：所_1_平面Q4B.

(2)求二面角8—一。的余弦值.

22.(10分)［選修4-5：不等式選講］

設(shè)函數(shù)/(x)Kx+l|.

(1)求不等式/(x)45-/(x—3)的解集；

(2)已知關(guān)于x的不等式2/(x)+|x+a區(qū)x+4在［-1,1］上有解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

根據(jù)IQF1=1可知y2=4x,再利用拋物線的焦半徑公式以及三角形面積公式求解即可.

【詳解】

由題意可知拋物線方程為/=4x，設(shè)點(diǎn),y）點(diǎn)N（9,%）廁由拋物線定義

知,MN|=|MF|+1NF|=玉+馬+2MN|=8則冗］+馬=6.

由y2=4x得y；=4%,貨=4x?則y：+y；=24.

又MN為過(guò)焦點(diǎn)的弦，所以y%=-4，則昆一W=Jy：+￡-2*%=4近,所以S：=|lOF|.|y2-y,|=2^.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的方程應(yīng)用，同時(shí)也考查了焦半徑公式等.屬于中檔題.

2.B

【解析】

根據(jù)已知可知水面的最大高度為正方體面對(duì)角線長(zhǎng)的一半，由此得到結(jié)論.

【詳解】

正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)為2夜，又水的體積是正方體體積的一半，

且正方體繞下底面（底面與水平面平行）的某條棱任意旋轉(zhuǎn)，

所以容器里水面的最大高度為面對(duì)角線長(zhǎng)的一半，

即最大水面高度為0,故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方體的幾何特征，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

根據(jù)題意分別計(jì)算出物理等級(jí)為A,化學(xué)等級(jí)為3的學(xué)生人數(shù)以及物理等級(jí)為3,化學(xué)等級(jí)為A的學(xué)生人數(shù)，結(jié)合表

格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】

根據(jù)題意可知，36名學(xué)生減去5名全A和一科為A另一科為8的學(xué)生10-5+8-5=8人（其中物理A化學(xué)8的有5

人，物理3化學(xué)A的有3人），

表格變?yōu)椋?/p>

ABCDE

物理10-5-5=016-3=13910

化學(xué)8-5-3=019-5=14720

對(duì)于A選項(xiàng)，物理化學(xué)等級(jí)都是8的學(xué)生至多有13人，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)物理。和。，化學(xué)都是B時(shí)，或化學(xué)C和。，物理都是8時(shí)，物理、化學(xué)都是8的人數(shù)最少，至少

為13—7—2=4（人），B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，在表格中，除去物理化學(xué)都是8的學(xué)生，剩下的都是一科為B且最高等級(jí)為B的學(xué)生，

因?yàn)槎际?的學(xué)生最少4人，所以一科為8且最高等級(jí)為8的學(xué)生最多為13+9+1-4=19（人），

C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，物理化學(xué)都是3的最多13人，所以兩科只有一科等級(jí)為3且最高等級(jí)為3的學(xué)生最少14-13=1（人）,

D選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查合情推理，考查推理能力，屬于中等題.

4.C

【解析】

由于是放回抽取，故每次的情況有4種，共有64種；先找到最大值不是4的情況，即三次取出標(biāo)號(hào)均不為4的球的情況，

進(jìn)而求解.

【詳解】

所有可能的情況有43=64種，其中最大值不是4的情況有33=27種,所以取得小球標(biāo)號(hào)最大值是4的取法有

64—27=37種，

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型，考查補(bǔ)集思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

2AC-BC=3AO?,AC=2Ad+B0

可畫出圖形，根據(jù)條件可得《————，從而可解出《一一一，然后根據(jù)Q4_LOB,AB=2進(jìn)

2BC-AC=3BOBC=2B0+A0

行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出ACBC^（2AO+BO）（2BO+AO）=8.

【詳解】

如圖：

點(diǎn)。為AA3C的三條中線的交點(diǎn)

.?.A0=-(AB+AC)=-(2AC-BC),Bd=-(BA+BC)=-(2BC-AC)

2AC-BC=3AOAC=2A0+W

,由《可得:

2BC-AC=3BOBC=2B0+A0

又因OA_LO6,AB=2,

222

ACBC^(2AO+BO)(2BO+AO)=2AO'+2BO=2AB=8?

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形重心的定義及性質(zhì)，向量加法的平行四邊形法則，向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)

算及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

6.D

【解析】

-1)4的定義域,再求得補(bǔ)集；對(duì)于集合3,解得一元二次不等式,

對(duì)于集合A,求得函數(shù)y=(x

再由交集的定義求解即可.

1},.'.6儲(chǔ)={x|x<1},

8={x|x2-2x<0}={x|x(x-2)<0}={x[0<x<2},，@A)n5=(0,l].

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算，考查具體函數(shù)的定義域，考查解一元二次不等式.

7.B

【解析】

根據(jù)幾何概型的概率公式求出對(duì)應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1,則小直角三角形的邊長(zhǎng)為如，

22

則小正方形的邊長(zhǎng)為立-工，小正方形的面積s=(立-=1-—,

22I22)2

則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為

——^-x500=1--x500?(1-0.866)x500=0.134x500=67*

1X1I2)

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用，求出對(duì)應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.

8.B

【解析】

作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，利用z的幾何意義即可得到結(jié)論.

【詳解】

X+M，4

不等式組，為x作出可行域如圖：44,0),B(2,2),。(0,0),

y..O

2=皿的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)「。,了)到。(2,-2)的斜率，由圖象可知04的斜率為1,Q。的斜率為：-1，

x-2

則上里的取值范圍是：(-8,T]|JU，+8).

x-2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義結(jié)合斜率公式是解決本題的關(guān)鍵.

9.A

【解析】

■2020

利用復(fù)數(shù)的乘方和除法法則將復(fù)數(shù)--化為一般形式，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.

1-Z

【詳解】

?202011,?[1

產(chǎn)=吠=產(chǎn)=，匚=口;百正7r5+/

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算，同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)的乘方和除法法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.A

【解析】

根據(jù)題意依次計(jì)算得到答案.

【詳解】

根據(jù)題意知：q=8,生=4,故4=32,2=2,%=64.

q%

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)列值的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

11.D

【解析】

先由/(x+2)是偶函數(shù)，得到/(X)關(guān)于直線x=2對(duì)稱；進(jìn)而得出f(x)單調(diào)性，再分另U討論2-3x22和2-3*<2,

即可求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?(x+2)是偶函數(shù)，所以/(x)關(guān)于直線x=2對(duì)稱；

因此,由/(0)=0得/(4)=0；

又/(x)在(Y0,2］上單調(diào)遞減，則/(X)在［2,上單調(diào)遞增；

所以，當(dāng)2-3x22即x40時(shí),由/(2—3x)>0得/(2—3x)>/(4),所以2-3x>4,

解得x<——;

3

當(dāng)2—3x<2即x>0時(shí)，由f(2-3x)>0得f(2—3x)>/(0),所以2—3x<0,

解得-X>—；

3

22

因此，/(2-3x)>0的解集是(-co,-U(早+⑼.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查由函數(shù)的性質(zhì)解對(duì)應(yīng)不等式，熟記函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性等性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.

12.D

【解析】

31

先化簡(jiǎn)得2=j+gi,再求|Z|得解.

【詳解】

2i2i(l-3i)3j_.

z-----~10--5+51

l+3i

所以|z|=巫.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

由于cos（ar-工）=cos（'一a）=sincr=——,且ere（一四,0）,則cosa=Jl-sinaa=一,得sin2a=2sinacosa=---,

2252525

貝（12cos2a+0sin（2cz-：）=1+cos2a+及（sinlacos:-cos2asin?=1+sin2a=*.

14.0或2

【解析】

依題意，當(dāng)xWl時(shí)，由5=y=2*+4,即2'=1，解得x=0;當(dāng)x>l時(shí)，由5=y=x?+l,解得x=2或x=-2（舍

去）.綜上，得尤=0或2.

15.ae[2,6]

【解析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域列不等式組，解不等式求得。的取值范圍.

【詳解】

a.

—>1

由二次函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得2

l2-a-l+5>0

解得aw[2,6].

故答案為：?e[2,6]

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.

1

16.-

2

【解析】

基本事件總數(shù)〃=4x4=16,第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè)，由此能求

出概率.

【詳解】

解：從編號(hào)為1,2,3,4的張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張，

基本事件總數(shù)〃=4x4=16,

第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè)，分別為：（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,

（2,2）,（2,4）,（3,3）,（4,4）.

所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為尸=三=1.

162

故答案為二.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(I)2x-y-l=0.(H)見解析；(ffl)見解析.

【解析】

試題分析：(I)由題/(x)=x+Inx,XG(0,+OO).

所以/'(x)=l+L故/(1)=1,/'⑴=2.,代入點(diǎn)斜式可得曲線y=在x=l處的切線方程；

X

(n)由題/("=1+@=e8.

XX

(1)當(dāng)“20時(shí)，/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增.則函數(shù)/(X)在［l,e］上的最小值是/⑴=1.

(2)當(dāng)a<0時(shí),令_f(x)>0,即x>_a,令f(x)<0,即x<-&

⑴當(dāng)0<-aWl,即時(shí)，“X)在［l,e］上單調(diào)遞增，

所以/(x)在［l,e］上的最小值是/⑴=1.

(ii)當(dāng)即一eWaW-l時(shí)，由/(力的單調(diào)性可得/(x)在［l,e］上的最小值是/(一。)

(iii)當(dāng)-aNe,即心—e時(shí)，/(x)在［l,e］上單調(diào)遞減，/(x)在［l,e］上的最小值是/(e)=e+a.

,E、廠/\1Hnxwcqe/\2-x-41ar

(m)/(力=一+「-.當(dāng)”=2時(shí)，F(xiàn)(x)=----—.

令g(x)=2-x-41nt,則g(x)是單調(diào)遞減函數(shù).

因?yàn)間⑴=1>0,g(2)=-41n2<0,

所以在(1,2)上存在/,使得g($)=0,即2-尤0-41叫=0.

討論可得尸(x)在(1,不)上單調(diào)遞增，在(%,2)上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)x=x0時(shí)，尸(x)取得最大值是加=/(%)=血駕團(tuán).

xo

z、2

因?yàn)?-x—41nx=0,所以M=2埠=J-+，-1-.由此可證M<』.

2/24J162

試題解析：(I)因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=x+alnx,且a=l,

所以/(x)=x+ln%,x￡(0,+oo).

所以尸(x)=l+：.

所以/(i)=i,r(i)=2.

所以曲線在x=l處的切線方程是>-l=2(x-l),即2x-y-l=0.

(II)因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=x+alrMx>0),所以r(力=1+q=葉區(qū).

(1)當(dāng)時(shí)，/'(x)>0,所以/(x)在(0,y)上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)“X)在［l,e］上的最小值是/(1)=1.

(2)當(dāng)。<0時(shí)，令/'(x)>0,即x+a>0,所以x>一〃

令/'(x)<0,即x+a<0,所以x<—a.

⑴當(dāng)0<-aWl,即心一1時(shí)，“X)在［l,e］上單調(diào)遞增,

所以/(x)在［1,e］上的最小值是"1)=1.

(ii)當(dāng)即一eWaW-l時(shí)，/(x)在［1,-可上單調(diào)遞減，在(一。目上單調(diào)遞增,

所以/(力在［l,e］上的最小值是/(-a)=-a+aln(-a).

(iii)當(dāng)—aNe,即e時(shí)，/(x)在［l,e］上單調(diào)遞減,

所以/(x)在［l,e］上的最小值是〃e)=e+a

綜上所述，當(dāng)aN-l時(shí)，/(力在［1,e］上的最小值是/⑴=1.

當(dāng)-eWaW-1時(shí)，/(x)在［l,e］上的最小值是〃-a)=-a+aln(-a).

當(dāng)時(shí)，/(x)在［l,e］上的最小值是/(e)=e+a

(ni)因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=5/(x),所以尸(力=：+券

所以當(dāng)a=2時(shí)，/(力=2-：41nx

令g(x)=2-x-41nx,所以g(x)是單調(diào)遞減函數(shù).

因?yàn)間(l)=l>0,g(2)=-41n2<0,

所以在(1,2)上存在/,使得g(拓)=0,即2-/一41叫,=0.

所以當(dāng)XG（l,x（））時(shí)，g（x）＞0；當(dāng)xe（天,2）時(shí)，g（x）＜0.

即當(dāng)XG（1,X（））時(shí)，F(xiàn)（x）＞0；當(dāng)xe（用,2）時(shí)，尸（x）＜0.

所以F（x）在（1,%）上單調(diào)遞增，在（不，2）上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)x=/時(shí)，F(xiàn)（x）取得最大值是M=/（/）=?為±2".

九0

z\2

因?yàn)?—%—41nx=0,所以M=一——=—+———.

2%/2%（%4J16

因?yàn)槊?1,2）,所以

3

所以

2

18.（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）求得“X）的導(dǎo)函數(shù)/（X）,對(duì)。分成。＜2,。＞2兩種情況，討論/（x）的單調(diào)性.

（2）由（1）判斷出。的取值范圍，根據(jù)韋達(dá)定理求得為,芻的關(guān)系式，利用差比較法，計(jì)算

x

〃芍)-(4-2巾為-e迎)=a(ef-e'+2x,)f通過(guò)構(gòu)造函數(shù)g(f)=e，-e'+力?>0),利用導(dǎo)數(shù)證得

g(f)<(),由此證得。⑹“一2+2xJ<0,進(jìn)而證得不等式/(%)—/(◎)<("—2乂e"-j)成立.

【詳解】

八、(ex)2-aex+l

(1)f(x)=-ex+tz=----——--------?

當(dāng)aV2時(shí)，r(x)<0,此時(shí)/(x)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>2時(shí)，由/'(6=0解得x=in""m或x=m”半三L?.?￥=€'是增函數(shù)，二此時(shí)〃x)在

',a-Ju2_4]Ca+da2-41a—yja2-4,aJa?-4'

—毛——和In—毛——,+8單調(diào)遞減，在In—\——,ln—f——單調(diào)遞增.

\)\7\)

(2)由(1)知。>2.9?e叼=1,X,+x2=0,Xj=-x2,

A,2

不妨設(shè)玉〉工2，?">0，/(x1)-/(x2)-(?-2)(e-e')

=(e-*-ex'+aYj_(e72—e電+3)_(。_2)(。再—P一』)=々俟一%-ex,+2%),

令g(r)=eT-e，+2，(r>0),

...g'Q)=—e——e，+2=—(8+!)+2W—+2=0,

???g⑺在(0,+。)上是減函數(shù)，g⑺<g(0)=0,

a(e—e*+2內(nèi))<0,即/(內(nèi))一/(x,)<(a—2乂e、'一e'?j.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸

與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

e2—Je4-8eez+Je4-8e

19.(1)證明見解析；(2)---------------，----------------.

44

【解析】

2

⑴先求出r(x),又由打一百>i可判斷出7a)在i,|上單調(diào)遞減，故/(玉)一/(々)|=?一“1吟一1,令

t=3>2,記〃(f)="-2/lnt—l,利用導(dǎo)數(shù)求出〃(/)的最小值即可；

(2)由g(x)在［l,e］上不單調(diào)轉(zhuǎn)化為g'(x)=0在(l,e)上有解，可得助=至四*,令

X

F(x)=3x+"詈+：,分類討論求尸(x)的最大值，再求解*%)而0e即可.

【詳解】

2

(1)已知b=a+2(a>0),f(x)=x-bx+a\nx9

f'(x)=2x-b+-=d)(2i),

XX

由尸(x)=0可得M=l,x2=|,

又由W—X21>1，知］>2

???/(x)在《上單調(diào)遞減,

-aIn--1

2

令可

>29記〃(%)=產(chǎn)—2/ln/—1,則〃'(1)=2/—21nZ—2

h\t)=2—="L0>0⑺在(2,+oo)上單調(diào)遞增；

.?./?'?)>"(2)=2(1-In2)>0,h(t)在(2,+oo)上單調(diào)遞增;

.-./?(0>/z(2)=3-41n2>0,

.??|/(^)-/U2)|>3-4ln2

(2)^(x)=x3-bx2+axlnx,/.gz(x)=3x2-2bx+a\nx+a,

???g（x）在［l,e］上不單調(diào),

g'（x）在（1,e）上有正有負(fù)，二g'（x）=0在（1,e）上有解,

?3x2+a\nx+a”、

2h=------------------,尤e(1,e),

x

?：2Z?+L44e恒成立，

a

、r~\"a+a\nx1百，廣,/\3x2-a\nx(3Inx

記尸(x)=3x+---+-,則尸(x)=——p——---

記G(x)——9,.G(x)一,

xx

G(…G(&)=/

于是知

3I

（i）當(dāng)斤即時(shí)，尸（幻20恒成立，尸（力在（l,e）上單調(diào)增,

/.F（e）=3^+—+—<4e?,

ea

e2-\je4-8ee2+Je、-8e

2a2-e2a+e<0>---------------<a<----------------

44

(ii)當(dāng)。>6e時(shí),

3及+呼=12&>4e,故不滿足題意.

網(wǎng)=3五+++3

24e

e27e4-8ee1+Je4-8e

綜上所述，

44

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

20.(I)上漁(II)函數(shù)的定義域?yàn)閞xeR,且r。版■+值域?yàn)椤?

2,2

【解析】

(1)由a為第二象限角及sin。的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosa及tana的值，再代入/(x)中即

可得到結(jié)果.

(2)函數(shù)“X)解析式利用二倍角和輔助角公式將/(x)化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)x的范圍，即可得到函數(shù)值域.

【詳解】

解：(1)因?yàn)閍是第二象限角，且sina="

3

所以cosa=->/l-sin2a-——

3

g、isinarr

所以tana=------=72,

cosa

所以/(々)=(1—0x血)

jr

(2)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?xxeR,自/HZ乃+,,ZeZ>.

化簡(jiǎn)，得F(x)=(l+Gtanx)=cos2x

/+必咻心

ICOSX)

=cos2x+百sinxcosx

1+cos2xJ3..

---------十——sm2x

22

1

=sin2x+-\+~,

[622

冗

因?yàn)閄ER,且+—,keZ,

2

所以2x+工工2版■+/，

66

所以一1Wsin[2x+?)Ml.

i3

所以函數(shù)的值域?yàn)橐蝗f(wàn)，2.

(注：或許有人會(huì)認(rèn)為“因?yàn)閤Hbr+W，所以/(力/0”，其實(shí)不然，因?yàn)?(一彳］=0.)

【點(diǎn)睛】

本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，三角函數(shù)函數(shù)值求解以及定義域和值域的求解問(wèn)題，涉及到利用二倍角公式和

輔助角公式整理三角函數(shù)關(guān)系式的問(wèn)題，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力，屬于?？碱}型.

21.(1)證明見解析(2)I呵

190

【解析】

(1)因?yàn)锽C//AD,利用線面平行的判定定理可證出8。/平面24。，利用點(diǎn)線面的位置關(guān)系，得出BC〃尸M和

EFHBC,由于B4_L底面ABC。，利用線面垂直的性質(zhì)，得出

PALB