三角形三線課件

三角形三線課件目錄CONTENTS三角形基本概念與性質(zhì)三角形中線性質(zhì)與應(yīng)用三角形高線性質(zhì)與應(yīng)用三角形角平分線性質(zhì)與應(yīng)用三角形三線綜合應(yīng)用總結(jié)與拓展01CHAPTER三角形基本概念與性質(zhì)由不在同一直線上的三條線段首尾順次連接所組成的封閉圖形。三角形的定義按邊可分為不等邊三角形、等腰三角形和等邊三角形；按角可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。三角形的分類三角形的定義及分類三角形內(nèi)角和定理三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180°。推論直角三角形的兩個(gè)銳角互余；一個(gè)三角形中至多有一個(gè)直角或一個(gè)鈍角；一個(gè)三角形中至少有兩個(gè)銳角。三角形內(nèi)角和定理三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角。三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。三角形外角性質(zhì)三角形外角性質(zhì)三角形外角的定義等腰三角形的性質(zhì)兩腰相等，兩底角相等；底邊上的高、中線和頂角的平分線互相重合（三線合一）。等邊三角形的性質(zhì)三邊相等，三個(gè)內(nèi)角都等于60°；任意一邊上的高、中線和這邊所對(duì)角的平分線互相重合（三線合一）。特殊三角形性質(zhì)02CHAPTER三角形中線性質(zhì)與應(yīng)用中線定義及性質(zhì)中線定義連接三角形任意兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。中線性質(zhì)三角形的三條中線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的重心，且重心將中線分為2:1的兩段。通過(guò)中線的性質(zhì)，可以證明與中線相關(guān)的線段之間的相等或倍分關(guān)系。利用中線性質(zhì)證明線段相等或倍分關(guān)系通過(guò)連接三角形的兩邊中點(diǎn)，可以構(gòu)造出平行四邊形，從而利用平行四邊形的性質(zhì)解決問(wèn)題。利用中線構(gòu)造平行四邊形中線在解題中的應(yīng)用中線與面積的關(guān)系三角形的中線將三角形分為面積相等的兩個(gè)小三角形。利用中線求三角形面積通過(guò)中線的性質(zhì)，可以求出與中線相關(guān)的三角形的面積。中線與面積關(guān)系已知三角形ABC中，AD是BC邊上的中線，若AB=5cm，AC=3cm，求AD的取值范圍。例題2已知三角形ABC的面積為S，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，求三角形DEF的面積。例題3典型例題解析03CHAPTER三角形高線性質(zhì)與應(yīng)用高線的定義：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱為三角形的高。高線的性質(zhì)銳角三角形三條高線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的垂心。直角三角形的高線就是兩條直角邊，且兩條高線互相垂直。鈍角三角形有兩條高線在三角形外部，交于一點(diǎn)，該點(diǎn)也在三角形的垂心上。高線定義及性質(zhì)利用高證明線段相等或平行通過(guò)證明兩個(gè)三角形的高相等或平行，可以進(jìn)一步證明兩個(gè)三角形全等或相似。利用高求角度在直角三角形中，已知兩條高（即直角邊）可以求出三角形的三個(gè)角度。利用高求面積三角形的面積等于底與對(duì)應(yīng)高的乘積的一半，即$S=frac{1}{2}timestext{底}timestext{高}$。高在解題中的應(yīng)用

高與面積關(guān)系面積公式三角形的面積$S$可以用底$a$和高$h$表示為$S=frac{1}{2}ah$。等底等高三角形面積相等如果兩個(gè)三角形等底等高，則它們的面積相等。面積與高的關(guān)系當(dāng)?shù)撞蛔儠r(shí)，三角形的面積與高成正比；當(dāng)高不變時(shí)，三角形的面積與底成正比。典型例題解析例題1：已知三角形ABC中，AB=AC，D是BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，求證：DE+DF=2√2S△ABC/AB。解析：由于AB=AC，所以∠B=∠C。又因?yàn)镈E⊥AB，DF⊥AC，所以∠BED=∠CFD=90°。因此，△BED∽△CFD，從而DE/DF=BD/CD。又因?yàn)镾△ABC=S△ABD+S△ACD，所以2√2S△ABC/AB=2√2(S△ABD+S△ACD)/AB=2√2(DE×BD/2+DF×CD/2)/AB=(DE+DF)×BC/(2AB)。由于AB=AC，所以BC=2BD=2CD，因此(DE+DF)×BC/(2AB)=DE+DF。例題2：在銳角三角形ABC中，AD、BE、CF分別是BC、CA、AB邊上的高，且AD、BE交于點(diǎn)H，CF、AD交于點(diǎn)G，BE、CF交于點(diǎn)J。求證：H、G、J三點(diǎn)共線。解析：由于AD、BE、CF分別是BC、CA、AB邊上的高，所以∠ADB=∠ADC=∠BEC=∠CFB=90°。因此，∠CAD+∠ACB=90°，∠CBE+∠ABC=90°，從而∠CAD=∠CBE。又因?yàn)椤螦DB=∠BEC=90°，所以△ADB∽△BEC，從而AD/BE=BD/CE。又因?yàn)椤螦DB=∠CFB=90°，所以△ADB∽△CFB，從而AD/CF=BD/BF。因此，BE/CF=CE/BF，即CF/BE=BF/CE。又因?yàn)椤螩FB=∠CEB=90°，所以△CFB∽△CEB，從而∠FBC=∠ECB。因此，∠FHG=∠FJG=∠HJG=180°-∠FBC-∠ECB=180°-2∠ECB，所以H、G、J三點(diǎn)共線。04CHAPTER三角形角平分線性質(zhì)與應(yīng)用定義：三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，連接這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)的線段叫做三角形的角平分線。角平分線將相對(duì)邊分為兩段，這兩段與角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。角平分線是角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的集合。性質(zhì)角平分線定義及性質(zhì)利用角平分線的性質(zhì)，可以求出與角平分線相關(guān)的角度。求角度證明線段比例求面積通過(guò)角平分線的性質(zhì)，可以證明與角平分線相關(guān)的線段之間的比例關(guān)系。角平分線與三角形面積有密切關(guān)系，可用于求解與面積相關(guān)的問(wèn)題。030201角平分線在解題中的應(yīng)用角平分線與面積關(guān)系角平分線將三角形面積分為兩部分，這兩部分面積與角平分線分對(duì)邊為兩段的比例相同。面積分割若已知三角形兩邊及其夾角，可利用角平分線的性質(zhì)求出三角形的面積。面積公式例2在三角形ABC中，AD是角BAC的平分線，M是BC的中點(diǎn)，過(guò)M作ME//AD交BA的延長(zhǎng)線于E，交AC于F。求證：BE=CF=1/2(AB+AC)。例1已知三角形ABC中，AD是角BAC的平分線，交BC于點(diǎn)D。求證：AB/AC=BD/DC。例3已知三角形ABC的面積為S，AD是角BAC的平分線。求證：S(ABD)/S(ACD)=AB/AC。典型例題解析05CHAPTER三角形三線綜合應(yīng)用三角形的三條中線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的重心。重心將每條中線分為兩段，其中一段是另一段的兩倍。重心性質(zhì)三角形的三條高交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的垂心。垂心與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)在三角形的外接圓上。垂心性質(zhì)三角形的三條垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的外心。外心是三角形外接圓的圓心，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。外心性質(zhì)三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心。內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的圓心，到三角形三邊的距離相等。內(nèi)心性質(zhì)三線交點(diǎn)性質(zhì)VS通過(guò)幾何證明或向量方法，可以證明三角形的三條中線、高、垂直平分線或內(nèi)角平分線共點(diǎn)。共點(diǎn)性質(zhì)應(yīng)用利用共點(diǎn)性質(zhì)可以解決與三角形相關(guān)的各種問(wèn)題，如證明線段相等、角相等、面積關(guān)系等。共點(diǎn)證明三線共點(diǎn)問(wèn)題探討利用中線性質(zhì)可以解決與三角形中線相關(guān)的問(wèn)題，如證明中線定理、求三角形面積等。中線應(yīng)用利用高線性質(zhì)可以解決與三角形高相關(guān)的問(wèn)題，如求三角形面積、證明垂線段最短等。高線應(yīng)用利用垂直平分線性質(zhì)可以解決與三角形垂直平分線相關(guān)的問(wèn)題，如證明線段垂直平分、求點(diǎn)到直線的距離等。垂直平分線應(yīng)用利用內(nèi)角平分線性質(zhì)可以解決與三角形內(nèi)角平分線相關(guān)的問(wèn)題，如證明角平分線定理、求三角形內(nèi)角和等。內(nèi)角平分線應(yīng)用三線綜合應(yīng)用舉例已知三角形ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，求證：AD、BE、CF三線共點(diǎn)。例題1根據(jù)中線性質(zhì)，可知D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，因此AD、BE、CF分別是三角形ABC的三條中線。根據(jù)三線交點(diǎn)性質(zhì)中的重心性質(zhì)，可知三條中線交于一點(diǎn)，即AD、BE、CF三線共點(diǎn)。解析已知三角形ABC中，AD是BC邊上的高，AE是角BAC的平分線，AF是BC邊的垂直平分線。求證：AD、AE、AF三線共點(diǎn)。例題2根據(jù)高線性質(zhì)，可知AD是三角形ABC的高；根據(jù)內(nèi)角平分線性質(zhì)，可知AE是角BAC的平分線；根據(jù)垂直平分線性質(zhì)，可知AF是BC邊的垂直平分線。根據(jù)三線交點(diǎn)性質(zhì)中的垂心性質(zhì)和內(nèi)心性質(zhì)，可知三條線交于一點(diǎn)，即AD、AE、AF三線共點(diǎn)。解析典型例題解析06CHAPTER總結(jié)與拓展三角形的基本性質(zhì)：包括三角形的定義、內(nèi)角和、外角和、三邊關(guān)系等。三角形的高、中線與角平分線：定義、性質(zhì)及相互關(guān)系。三角形的相似與全等：相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)。三角形的面積與周長(zhǎng)：計(jì)算公式及應(yīng)用。01020304知識(shí)體系回顧將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，如通過(guò)添加輔助線將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。轉(zhuǎn)化思想將數(shù)量關(guān)系和圖形性質(zhì)結(jié)合起來(lái)，通過(guò)圖形直觀理解數(shù)量關(guān)系。數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)問(wèn)題的不同情況分類討論，分別求解。分類討論思想思想方法提煉審題分析實(shí)施檢驗(yàn)解題策略建議01020304仔細(xì)閱讀題目，明確已知條件和所求問(wèn)題。分析問(wèn)題的本質(zhì)，確