概率論和數(shù)理統(tǒng)計期末考試題庫

概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末復(fù)習(xí)題一

一、填空題(每空2分，共20分)

1、設(shè)X為連續(xù)型隨機變量，則P{X=1}=(0).

2、袋中有50個球，其編號從01至！|50,從中任取一球，其編號中有數(shù)字4的概率為(14/50或7/25).

3、若隨機變量X的分布律為P{X=k}=C(2/3)k,k=l,2,3,4,則C=(81/130).

4、設(shè)X服從N(1,4)分布，丫服從P(l)分布，且X與丫獨立，則

E(XY+1-Y)=(1),D(2Y-X+1)=(17).

5、已知隨機變量X?N(u,。，(X-5)/4服從N(0,1),則u=(5);。=(4).

6、已知隨機變量(X,Y)的分布律為：

XY12

30.150.15

4AB

且X與丫相互獨立。

則A=(0.35),B=(0.35).

7、設(shè)Xi,Xz,…,X”是取自均勻分布u[o,e]的一個樣本，其中。>0,玉,*2,…,x”是一組觀察值，則。的極大

似然估計量為(X(n)).

二、計算題(每題12分，共48分)

1、鑰匙掉了，落在宿舍中的概率為40%,這種情況下找到的概率為0.9;落在教室里的概率為35%,這種情況

下找到的概率為0.3;落在路上的概率為25%,這種情況下找到的概率為0.1,求(1)找到鑰匙的概率；(2)若

鑰匙已經(jīng)找到,則該鑰匙落在教室里的概率.

解：(1)以Ai,魚,A3分別記鑰匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B記找到鑰匙.則

P(Ai)=0.4,P(A2)=0.35,P(A3)=0.25,P(B|A)=0.9,P(B|A2)=0.3,P(B|A3)=0.1

3

所以，P(B)=ZP(A,.)P(B|A,)=0.4x0.9+0.35x0.3+0.25x0.1=0.49

1=1

(2)P(&IB)=(0.35x0.3)/0.49=0.21

2、已知隨機變量X的概率密度為

AA2e~^x>0

/W=-

0x<0

其中入>0為已知參數(shù).(1)求常數(shù)A;⑵求P{-l<X<l/A)};(3)F⑴.

解:(1)由歸一性：1=『7(幻公=『4晨-&公=—4及-，；8=44,所以4=1”

(2)尸{一1<X<1/4}=f公=l—l/e=0.36

(3)/⑴=，3Zx=l-e”

3、設(shè)隨機變量X的分布律為

X-1012

P0.10.20.30.4

且y=X2+2X,求⑴鳳X);⑵E(y);(3)D(X).

解：⑴￡(%)=-1x0.14-0x0.2+1x0.34-2x0.4=1

(2)E(X2)=1x0.1+0x0.2+1x03+4x0.4=2

E(y)=E(X?+2X)=E(X?)+2E(X)=2+2=4

(3)D(X)=E(X2)-[E(X)]2=2-1=1

4、若X?N(u,。，求口，。②的矩估計.

—A—

解：(l)E(X)=u令u=X所以口的矩估計為〃=X

1"

(2)D(X)=E(X2)-[E(X)]2又E(X?)=—XX：

D(X)=￡(X,-X)2=<T2

nHni=}

所以。z的矩估計為=2=iy(x.-x)2

〃仁

三、解答題(12分)

設(shè)某次考試的考生的成績X服從正態(tài)分布，從中隨機地抽取36位考生的成績，算得平均成績?yōu)?6.5

分,標(biāo)準(zhǔn)差為15分，問在顯著性水平0.05下,是否可以認(rèn)為在這次考試中全體考生的平均成績?yōu)?0分？

解：提出假設(shè)檢驗問題：Ho：P=70,Hi；UW70,

X—70-

t=------?t(n-l),其中n=36,x=66.5,s=15,a=0.05,tan(n-1)=to.025(35)=2.03,,,6

S/4n

[?[=|66.5-70|=14<2()3

所以,接受Ho,在顯著性水平0.05下,可認(rèn)為在這次考試中全體考生的平均成績?yōu)?0分

四、綜合題（每小題4分，共20分）

設(shè)二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為：

八f（x.'y）=[5o,其它

試求：⑴常數(shù)C；（2）人（尤）,/r（y）；（3）x與y是否相互獨立?

(4)E(X),E(Y),E(XY)；(5)D(X),D(Y).

附：①(1.96)=0.975；①(1)=0.84；6(2)=0.9772

心破⑼:1.8331;to.025(9)=2.262;Zo05(8)=1.8595,Z0025(8)=2.306

to.os(36)=1.6883;to.025(36)=2.0281;九％(35)=1.6896,rOO25(35)=2.0301

3x23x23x33

解：⑴1=￡￡ceydxdy=c￡ecbc-￡ydy=c-^>-y\'0=^(e-1)

所以,c=9/(e$-l)

⑵當(dāng)0JK1,人（x）=[:為%2力=

當(dāng)X為其它情況時，/x（x）=0

33

-r—e3A,0<x<l

所以，1/%(%)=<e3-l

0,其它

'3y2,0<y<l

同理,

0,其它

一一匹.3/owe0（W]

⑶因為：人⑶萬。）=1.=/（%，、）

0,其它

所以,X與丫相互獨立.

（4）

EX=1x--^—ey'dx=——[xd^

Joe3-le3-lJo

2/+1

3(?-1)

EY={y?>y2dx=-yA|'=-E(XY)=EXEY=2e+i.

J。''4°443—1)

(5)DX^EX2-(EX)2

EX2=f'x2--^e3xdy=—Fx2?|'-f'-2xdx

33

Joe-l-e-ll°J。

5e3-2

=9(？-l)

5e2

DX=v--——~-(2e3+1)2

9(e3-l)9(e3-l)2

g6-lle3+l

9(e3-1)2

DY=EY2-(EY)2

石片=￡/3/辦=|婷；=|

r>y=--(-)2=—

5480

概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末復(fù)習(xí)題二

一、計算題(每題10分，共70分)

1、設(shè)P(A)=1/3,P(B)=1/4,P(AUB)=1/2.求P(AB)、P(A-B).

解：P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)=1/12

P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/4

2、設(shè)有甲乙兩袋，甲袋中裝有3只白球、2只紅球，乙袋中裝有2只白球、3只紅球.今從甲袋中任取一球

放入乙袋，再從乙袋中任取兩球，問兩球都為白球的概率是多少？

2

解：用A表示“從甲袋中任取一球為紅球”,8表示“從乙袋中任取兩球都為白球貝！|尸(4)=:。

由全概率公式

2C；3C；11

P(B)=P(A)P(同A)+P(由P(同才)_______￡_-I____

5Cl5

3、已知隨機變量X的密度函數(shù)為

x0<x<l

p(x)=<2-Ax\<x<2

0其它

(1)求A.(2)X的分布函數(shù)尸(x).

+00

解：(1)由Jp(x)i/x=l得A=l。

0x<0

Jo"的=#0<x<l

(2)/(x)=〈

1,

工必，+「(2-y)d)，2x——x2-11<x<2

2

1x>2

4、若x,y為相互獨立的分別服從2,1］上均勻分布的隨機變量，試求z=x+y的分布密度函數(shù).

解:顯然(X,y)的聯(lián)合概率密度為/(x,y)=l,0<x<l,0<y<l；否則，f(x,y)=0.先求Z的分

布函數(shù)F(z)=P(X+Y<z)=J]f(x,y)dxdy。

x+y^z

當(dāng)z40時，F(xiàn)(z)=O

zz-xT2

當(dāng)0<zvl時，F(xiàn)(z)=jjf(x,y)dxdy-￡dx^dy=一

x+y<>z

2

當(dāng)l〈z<2時，F(xiàn)(z)=jjf(x,y)dxdy=￡'dx^dy4-J'dx^'dy=2z--——1

x+y<z

當(dāng)z22時，F(xiàn)(z)=jj/(x,y)dxdy=J'dx^dy=1

x+y<z

所以，z的分布密度函數(shù)

z,0<z<1

fz(z)=F'(z)=<2-z,1<z<2

0,其他

5、某鎮(zhèn)年滿18歲的居民中20%受過高等教育.今從中有放回地抽取1600人的隨機樣本，求樣本中19%和

21%之間的人受過高等教育的概率.

解：設(shè)X表示抽取的1600人中受過高等教育的人數(shù)，則XB(1600,0.2),￡X=320,DX=162

304-320X-320336-320,

P{0.19xl600<X>0.21x1600}=P[-<----------<------------

1612

P{-1<v1}。①⑴一①(-1)=2①⑴-1=2x0.8413-1=0.6826。

16

6、某單位職工每天的醫(yī)療費服從正態(tài)分布N(〃,b2),現(xiàn)抽查了25天，得手=170元，§=30元，求職工

每天醫(yī)療費均值〃的雙側(cè)0.95置信區(qū)間.

解：由于人未知，故〃的0.95雙側(cè)置信區(qū)間為

[X-0.025（%）~[=，X+4,025（24）—i=]

代入數(shù)據(jù)得又=17（）,￡=30,〃=25,而25（24）=2.0639,得〃的0.95雙側(cè)置信區(qū)間觀測值為

3030

[170-2.0639又一^,170+2.0639x-=]=[157.4,182.6]

V25<25

7、設(shè)總體X的密度函數(shù)為

ex°~\o<x<i

/（X）=<

0,other

其中e是未知參數(shù)，且e>o。求。的矩估計與極大的似然估計量。

解：設(shè)X1,X2,…，X〃是取自總體的樣本。因為

EX=Jxf（x）dx=^0x°dx=

令EX=》解得。的矩估計為4=由〃。）=口（打尸）=。"[[*<

1-X；=ii=i

"嗎"=-J+yinX,.=0,解得6的極大的似然估計為0=-

d°9七￡lnX,

/=1

二、解答題（9分）

某校數(shù)學(xué)教學(xué)從初一開始實行了某項改革。三年后在初中畢業(yè)數(shù)學(xué)考試中，全市平均成績?yōu)?0分，從

該校抽取的49名學(xué)生成績的平均數(shù)為85分。已知該校這次考試分?jǐn)?shù)服從N（〃，142）分布。問該校這次

考試的平均成績與全市平均成績差異如何？（a=0.05）

解："0：〃=80

由于b已知，用Z檢驗。算得Z=X-M）五=85-80x7=2.5

cr14

由表查得Zo.025=L96。由于z>Zo.025所以拒絕叢，認(rèn)為該校這次考試的平均成績與全市平均成績差異

顯著

三、綜合題（15分）

設(shè)隨機變量(x,n具有下列概率密度

CX0<x<\fi<y<x

f(x,y)=j0

others

(i)求c。(2)x與y是否獨立？為什么？(3)求%x(yk)。

由］=fdxfcxdy=cfx2dx=2得c=3。

(1)JoJoJo3

(2)乂的概率密度八(%)=［：3皿)，=3彳2,0<%<1,否則fx(x)=0；

丫的邊緣概率密度人(〉)=，3北氏=1(1一)/)，0<?；<1,否則人(y)=0。

由于/(x,y)H/x(x)人(y)，所以x與y不獨立。

-,0<y<x

(3)x,0<x<l

0,Other

四、證明題(6分)

設(shè)隨機變數(shù)g具有對稱的分布密度函數(shù)P(x),P(x)=p(-x),證明：對任意的。>0,有

F(-a)=1-F(a)=--￡p(x)dx。.

附：①⑴=0.84,①(1.96)=0.975

%,0s(24)=1.7109,6x(24)=2.0639,r005(25)=1.7081,1(25)=2.0595

r-ap+co

證：F{-d)-p(x)cbc=1-p(x)dx

J—ooJ—a

=1+jp(-x)dx=1-jp(x)dx

=1-F(a)=1-jp(x)dx-￡/p(x)dx=g—「〃(x)dx

概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末復(fù)習(xí)題三

一、計算題(每題10分，共70分)

1、設(shè)P(A)=1/4,P(A-B)=1/8,且A、B獨立。求：P(B)、P(AUB).

解：由1/8=P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)得：P(B)=1/2

P(AUB)==P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=5/8

2、某地有甲乙兩種彩票，它們所占份額比3：2o甲的中獎率為0.1,乙的中獎率為0.3。任購1張彩

票，求中獎的概率。

解：設(shè)A尸“任購1張彩票，購到甲兩種彩票”，Az="任購1張彩票，購到乙兩種彩票”，B="任購1

張彩票，購到中獎彩票則

P(Ai)=3/5,P(Ao)=2/5,P(B|Ai)=0.1,P包也)=0.3

P(B)=P(Ai)P(B|A.)+P(A?)P(B|A2)=9/50

3、設(shè)隨機變數(shù)X的分布函數(shù)為

-0x<0

F(x)=<Ax20<x<1

1x>l

(1)求常數(shù)A。(2)求X的密度函數(shù)。

解：⑴因為R(l—O)=E(1),所以A=1

.lx0<x<1

(2)X的密度函數(shù)p(x)=<廿…

0其匕

4、某鎮(zhèn)年滿18歲的居民中受過高等教育的10%年收入超過10萬。今從中有放回地抽取1600人的隨機樣

本，求樣本中不少于11%的人年收入超過10萬的概率。

解:設(shè)X表示抽取的1600人年收入超過10萬的人數(shù)，則

X8(1600,0.1),EX=160,DX=16x9

P{X>0.11x1600}=1-P{X<176}=

?l-O(-)=l-0.9082=0.0918

5、設(shè)總體X的密度函數(shù)為

(e+i)f,o<x<i

于(x)=<

0,其他

其中。是未知參數(shù)，且8>0。求。的矩估計與極大的似然估計量。

解:E（x）=「x-（e+i）/dx=*1，令又="1,故g的矩估計量為0=匕生。另，似然函數(shù)

J。6+2e+2X-1

頊）=卜+1）"0*丁,0氣＜1

|o,其他

對數(shù)似然函數(shù)為

X

In工⑼=/In?+1)+?！闕nX%

2-1

dln—=旦+金=0

dd3+1白

解得。八的最大似然估計量為。八=T—%1

6、某銀行要測定在業(yè)務(wù)柜臺上處理每筆業(yè)務(wù)所花費的時間，假設(shè)處理每筆業(yè)務(wù)所需時間服從正態(tài)分布，現(xiàn)

隨機地抽取16筆業(yè)務(wù)，測得所需時間為勺，…，乂16（min）?由此算出『=13min,6=5.6min,求處理每

筆業(yè)務(wù)平均所需時間的雙側(cè)0.95置信區(qū)間。

解：由于/未知，故〃的0.95雙側(cè)置信區(qū)間為

口3-Ogg)凳,13+1(15)

]=[10.0159,15.9841]

其中加）25（15）=2.1315由表查得

7、設(shè)隨機變量x與y獨立，且x服從［0,1］上的均勻分布，y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，試求Z=x+y

的概率密度。

解：顯然（x,y）的聯(lián)合概率密度為

e~y,0<x<l,y>0

f(x,y)=<

0,其他

先求Z的分布函數(shù)尸(z)=P(X+y?z)=JJf(x,y)dxdy.

x+y<,z

當(dāng)zWO時，F(xiàn)(z)=0

當(dāng)0<zv1時，F(xiàn)(z)=Jj/(x,y)dxdy=￡dxje~ydy=z-1+e-z

x+y<,z

當(dāng)z21時，F(xiàn)(z)=jj/(x,y)dxdy=J''e~ydy=\-e~z(e-1)

x+yWz

所以，z的分布密度函數(shù)

二、解答題（9分）

某校數(shù)學(xué)教學(xué)從初一開始實行了某項改革。三年后在初中畢業(yè)數(shù)學(xué)考試中，全市平均成績?yōu)?0分，

從該校抽取的49名學(xué)生成績的平均數(shù)為85分。已知該校這次考試分?jǐn)?shù)服從N（〃，142）分布。問該校這

次考試的平均成績與全市平均成績差異如何？（a=0.05）

解："°:〃=80

由于。已知，用Z檢驗。算得Z=又一4右=85-80x7=2.5

cr14

由表查得“025=1.96。由于z>Zo.025所以拒絕從，認(rèn)為該校這次考試的平均成績與全市平均成績

差異顯著

三、綜合題（15分）

設(shè)隨機變量（X,/）具有下列概率密度

c,|v|<x,0<x<l

f(x,y)='0,其他

（1）求c。（2）x與y是否獨立？為什么？（3）求%x（yk）。

解:(1)由l=<:4)，=<?12;0/^=0得0=1。

(2)X的概率密度為fx(x)=J：f(x,y)dy=￡dx=2x,0<x<l,

2x<1

故fx(x)=J^0<oY的概率密度萬(y)=Cf{x,y)dx

0,其他—

當(dāng)0Ky<l時/y(y)=f<ir=l-y=l-|y|

當(dāng)一1<y<0時/y(y)=JtZr=l+^=l-|^|

故y的概率密度：/y（y）='iTWN<i。

-0,其他

由于/（X,y）w/x（x）/y（y），所以X與y不獨立。

四、證明題（6分）

設(shè)隨機變數(shù)J具有對稱的分布密度函數(shù)p(x),即p(x)=p(-x),證明：對任意的。>0,有P

(用<a)=2/⑷一1。

證明：P(?<a=p[x)dx=2cp(x)dx=2[F(a)—；]=2F(a)-l

附：

①($=0.9082,①(1.96)=0.975

?005(15)=1.7531,?0025(15)=2.1315,/005(16)=1.7459,^(16)=2.1199

概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末復(fù)習(xí)題四

一、計算題(共66分)

1、(8分)設(shè)事件A與8互不相容，且P(A)=p,P(8)=q,求下列事件的概率：

P{AB\P(ADB),P(AB\P(AB)?

A與B互不相容，所以P(AB)=P(0)=O,尸(Au5)=尸(A)+P(B)=p+q；由于A與8互不相

容，這時4=A,從而P(A豆)=P(A)=〃；由于萬巨=從而

P(AB)=P(A\jB)=l-P(A<jB)=l-(p+q).

2、(9分)某地有甲乙兩種彩票，它們所占份額比3：2。甲的中獎率為0.1,乙的中獎率為0.3。

任購1張彩票，求中獎的概率。

設(shè)Ak”購到甲種彩票”，A2="購到乙兩種彩票"，B="購到中獎彩票“。則P(AQ=3/5,P(A?)=2/5,

P(BlAD=0.1,P(B|A2)=0.3O

P(B)=P(A.)P(B|Ai)+P(A2)P(B|A2)=9/50。

3、(10分)設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為

0x<()

F(x)=vAx20<x<1

1x>\

(1)求常數(shù)A。(2)求X的密度函數(shù)。

1)因為尸(1-0)=/(1),所以A=1

工…、u,[2%0<x<1

(2)X的密度函數(shù)p(x)=尸(x)=<0苴…

4、(12分)設(shè)隨機向量(X,Y)具有下列概率密度

c,|j|<x,0<x<l

f(x,y)=<

0,其他

(1)求c。(2)X與y是否獨立？為什么？(3)求GX(RX)。

(1)由1=jdxjcdy-c￡2xdx=c得c=1。

(2)X的概率密度為/x(x)=J/(x,yWy=1.dx=2x,0<x<1,

故fx(x)=2%5J)<X<1Y的概率密度力(y)=「7(x,y心

〔0,其他0j

當(dāng)0<y<l時亦(y)=J：辦=]_y=l_|R

當(dāng)_l<y<0時4(y)=Ldx=l+y=1-\y\

.i-帆N<i

故y的概率密度f（y）

Y0,其他

由于y（x,y）*fx（x）A（j）,所以x與y不獨立。

/ay)=K，W

<x<1

⑶力優(yōu)（?。?

fx(y)o,其他

5、（11分）設(shè)總體X的密度函數(shù)為

,0<x<1

/(x)=?

0,other

其中6是未知參數(shù)，且6>°。求夕的矩估計與極大似然估計量。

E(X)=/x.(e+l)x"=6+1,令又="1■,故g的矩估計量為?=匕在。另，似然函數(shù)

0+20+2X-1

(e+i)"nx\o<Xj<1

L（e）=

[0,其他

對數(shù)似然函數(shù)為

In2（0）=力In（夕+1）+空InX、

2-1

de8+1公

解得8的最大似然估計量為3=—1-士。

6、（8分）設(shè)X1,X2，X3，X,是取自總體X的樣本。X的概率密度為

2e~2xx>0

f(x)="

0x<0

寫出X1,X2，X3，X4聯(lián)合概率密度/*”々，￡，七）。

4

聯(lián)合概率密度/a,%,.%）=/（%）/（%）/*3）/（匕）=[6e>0,z=1,2,3,4

0,otuhre

7、（8分）設(shè)隨機變量x與y獨立，且x服從［0,1］上的均勻分布，y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,

試求z=x+y的概率密度。

顯然（X,Y）的聯(lián)合概率密度為

e~y.0<x<l,y>0

f(x,y)="

0,其他

先求Z的分布函數(shù)/(z)=P(X+y?z)="/(x,y)dxdy。

x+y<z

當(dāng)z<0時，F(xiàn)(z)=0

當(dāng)0vzv1時，F(xiàn)(z)=jj/(x,y)dxdy=￡dx])e~ydy=z-1+e~z

x+y<z

當(dāng)z21時，F(xiàn)(z)=jj/(x,y)dxdy=￡'e~ydy=l-e~z(e-1)

x+y^z

所以，z的分布密度函數(shù)

0,z<0

f(z)=F'(z)=<l-e-\0<z<l

(e-l)e~z,z>1

二、應(yīng)用題（共34分）

1、（9分）某商店負(fù)責(zé)供應(yīng)某地區(qū)10000人所需商品，其中一商品在一段時間每人需要一件的概率為

0.8,假定在這一段時間內(nèi)各人購買與否彼此無關(guān)，問商店應(yīng)預(yù)備多少件這種商品，才能以97.5%的概率保

證不會脫銷？（假定該商品在某一段時間內(nèi)每人最多可以買一件）。

解：設(shè)應(yīng)預(yù)備n件，并設(shè)X表示某地區(qū)10000人需要件數(shù)，則X~B（10000,0.8）,則由中心極限定理

得尸{XW〃}a①（〃一片。）＞0.975

則七國四21.96,“N8078.4（件）。

40

2、（8分）若某班某次考試的平均分為80分，標(biāo)準(zhǔn)差為10,試用切比雪夫不等式估計及格率至少為

多少？

解：用隨機變量X表示學(xué)生成績，則數(shù)學(xué)期望E（X）=80,方差D（X）=100,所以P{60<X<100}>

P{60<X<100}=P{|X-80<20）>1--=0.75

400

所以及格率至少為75%。

3、（8分）某廠生產(chǎn)的燈泡壽命（小時）近似服從正態(tài)分布N（8000,1600）,抽取16個燈泡的樣本。

求平均壽命小于7975小時概率。

解：設(shè)燈泡壽命總體為X,因為X?N（8000,1600）,n=16,所以樣本均值X~A^（8OOO,100）,

P{X<7975}=①j7975-8000=1-0（2.5）=0.0062。

4、（9分）已知維尼綸纖度在正常條件下服從N（1.405,0.0482）。某日抽取5根維尼綸，計算得樣本均

值與樣本方差分別為亍=1.414,S2=0.03112。問這一天纖度總體標(biāo)準(zhǔn)差是否正常？（。=°.05）

解H0:（y=0.048.兄：crH0.048

計算

2（n-l）S2（5-1）x0.031122…

Z=-----i-=------77^2-------=13.5

（j-0.048-

查表得/.O25（4）=1L1,/.975（4）=0.484。由于力2>/025（4），所以拒絕"O,即認(rèn)為這一天纖度總體標(biāo)

準(zhǔn)差與0.048有顯著差異。

附：①(1.96)=0.975,0(2.5)=0.9938/^,025(4)=11.1,力嬴⑷=。?儂

概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末復(fù)習(xí)題五及答案

--計算題（本題滿分30分，共有5道小題，每道小題6分）.

1.設(shè)A、B是隨機事件，P（A）=0.7,P（A—B）=0.3,求P須）.

解答：由于A=A8uA與，所以P（A）=P（43）+P（AB）=P（A6）+P（A—B）

所以，P(M=P(4)-P(4-8)=0.7-0.3=0.4,

P(AB)=1-P(A3)=1-0.4=0.6.

1-X2+2X-\

2.設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為f（x）=（-oo<X<-H?）,求鳳X）與。（X）.

2()-I)2

解.禺為儀丫）一1p-x+2x-\_?

/nr*kyzuJ(人j-I—e—[exp*?>I1nn、/人丫、/4i-rr^iI

品后J

V22xj

所以，X~Ml,,所以，￡(x)=l,o(x)=g.

3.袋中有紅球4只，黑球3只，從中任意取出2只，求這2只球的顏色不相同的概率.

解答：設(shè)4=｛任取2只球，顏色不相同｝,則P（A）=^=十;.

4.設(shè)隨機變量X服從區(qū)間（0,2）上的均勻分布，求苧@.

￡%2

221

解答：由于隨機變量X服從區(qū)間（0,2）上的均勻分布，所以￡（x）=l,o（x）=^=*所以,

1

11

Mx2）=D（X）+[E（X）（=；+12=g.所以,o(x)=

￡(X2)44

3

5.設(shè)總體X的密度函數(shù)為

_/x+1*0<%<1

/叫。其它

。>一1為未知參數(shù)，（X，…，X“）是從總體X中抽取的一個樣本，求a的矩估計量.

-wo11

a+1

解答:E(X)=Jxf{x}dx=Jx.(a+\)xadx=j(a+l)xa+1dx-

a+2

-O000

得方程￡（X）=0,解方程，得小后叫個.

a+21-E（X）

2X-1

將招替換成E（X）,得a的矩估計量為法=

1-X

二.計算題（本題滿分40分，共有5道小題，每道小題8分）.

6.已知男人中有5.4%是色盲患者，女人中有0.27%是色盲患者.并且某學(xué)校學(xué)生中男、女生的比例為

2：1,現(xiàn)從這批學(xué)生中隨機地選出一人，發(fā)現(xiàn)此人是色盲患者，試問此人是男生的概率為多少？

解答：設(shè)4=｛選出的學(xué)生為男生｝,8=｛選出的學(xué)生為色盲患者｝,則由Bayes公式，得

從癡.尸⑷，尸（刎

P（A）xP（B|A）+P（A）x

2

-x0.054

=----——---------=0.9756.

-x0.054+-x0.0027

33

7.設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為

F(x)=A+Barctanx(-8cx<+oo)

試求：(1).系數(shù)A與8；(2).概率P{-1<X<1}；(3).隨機變量X的密度函數(shù).

解：

(1).由limF(x)=l,limF(x)=0,得

XT+COX-?-0O

1=limF(x)=lim(A+Barctanx)=A+—B

X->+00Xf+00'2

0=limF(x)=lim(A-Barctanx)=-B

x->-oo“->■<?2

A+-B=l11

解方程組\2,得4=上，B=-

A--B=O2n

I2

所以，

F(x)=—+—arctanx(-oo<x<+oo)

27C

(2).P{-1<X<1}

=F(1)-F(-1)

2

⑶.X的密度函數(shù)為

/（x）=F,（x）=—（—oo<x<欣）.

8.設(shè)二維隨機變量（X,丫）服從平面區(qū)域

D=｛（%,>1）：x2+y2<1]

上的均勻分布.

（1）.試求二維隨機變量（x,丫）的聯(lián)合密度函數(shù)；

（2）.求隨機變量x及丫各自的邊緣密度函數(shù)；

（3）.求E（X）,鳳丫）及E（xy）；

（4）判斷隨機變量x與y是否相互獨立？是否不相關(guān)？

解：

（1）.平面區(qū)域。的面積為萬，所以，二維隨機變量（x,丫）的聯(lián)合密度函數(shù)為

.0（x,y）任。

（2）.當(dāng)-IWXWI時，

X2

所以，隨機變量X的邊緣密度函數(shù)為

=<-7i-x2

AW71

0其它

同理，隨機變量y的邊緣密度函數(shù)為

2

2

fy(y)=t71-y-1<J<1

o其它

⑶.由對稱性，得

+00QI

E(X)=1Vx(x)公=1不、dx=0

-K?

鳳］)=」矯(加=dy=0

—00

4004C0|

E(XY)=JJxyf(x,y)dxdy=—^xydxdy=0

22

_oo-x>x+y<\

(4)由于cov(x,y)=E(xv)—E(X)氏y)=o,所以，隨機變量x與y不相關(guān).但是,

f(x,加AW/y(y)(x2+y2<i)

所以，隨機變量x與y不相互獨立.

9.設(shè)隨機變量x?N(O,1),Y=X2+1,試求隨機變量y的密度函數(shù).

解：

隨機變量X的密度函數(shù)為

*2

f[x)=—j=e2(-oo<X<-KX))

設(shè)隨機變量y的分布函數(shù)為弓(y),則有

4(y)=P{y<y}=p{x2+l?y}=Mx2Wy_1}

①.如果y-l<0,即y<l,則有4(y)=0；

②.如果y>l,則有

40)=尸心吁1}=P{-7FI<XWVFi}

1Vr-iA-2。x2

22

=—；=\edx=i——\edx

J2%_左J2乃i

f2手工

63=厲廠/y>1

0y<0

所以，

力3=媲3=,亞/2jy-1'>

0”0

即

1上

2

f（\——；——=ey>1

0y<0

10.某單位有200臺分機，每臺分機有5%的時間要使用外線通話.假定每臺分機是否使用外線是相互

獨立的，試用中心極限定理估計該單位至少要裝多少條外線，才能以99%以上的概率保證分機使用外線時

不等待.

（已知①（2.33）=0.99,其中①（x）是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）的分布函數(shù).）

解：

設(shè)A=｛某臺分機使用外線｝,則P（A）=0.05

設(shè)X：該單位某時刻使用外線的分機數(shù).則X?3（200，0.05）.

設(shè)需要給單位安裝〃條外線，則要使分機使用外線時不等待，必須XV”，所以，

P｛使用外線時不等待｝=P｛X4〃｝

p\X-200x0.05<“-200x0.051

IV200x0.05x0.95~7200x0.05x0.95j

H-200x0.05

V200x0.05x0.95

由題意，P｛使用外線時不等待｝>0.99,即

n-10

>0.99

查表，得與1922.33

所以，2.33X直？+10=17.18

因此，至少要裝18條外線，才能滿足要求.

三.計算題（本題滿分30分，共有3道小題，每道小題10分）.

11.設(shè)總體X的密度函數(shù)為