第7章 §7.1 第2課時 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的綜合應(yīng)用

本資料分享自高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854專注收集同步資源期待你的加入與分享聯(lián)系QQ309000116加入百度網(wǎng)盤群2500G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動更新，一勞永逸第2課時分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步理解分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的區(qū)別.2.會正確應(yīng)用這兩個計數(shù)原理計數(shù)．導(dǎo)語隨著人們生活水平的提高，車輛擁有量迅速增長，汽車牌號僅用一個字母和數(shù)字表示已經(jīng)不能滿足需求，再加上許多車主還希望車牌號“個性化”，因此，汽車號碼需要進(jìn)行擴(kuò)容，這樣就需要“數(shù)出”某種方案下的所有號碼數(shù)，號碼的個數(shù)是如何進(jìn)行計算的呢？一、組數(shù)問題例1用0,1,2,3,4五個數(shù)字．(1)可以排成多少個三位數(shù)字的電話號碼？(2)可以排成多少個三位數(shù)？(3)可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解(1)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(個)．(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(個)．(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法．因此有12＋18＝30(種)排法．即可以排成30個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．延伸探究由本例中的五個數(shù)字可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？解完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1,3中任取一個，有2種方法；第二步定首位，從1,2,3,4中除去用過的一個，從剩下的3個中任取一個，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的3個數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法．由分步計數(shù)原理知共有2×3×3×2＝36(個)．反思感悟?qū)τ诮M數(shù)問題，應(yīng)掌握以下原則(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵．一般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成，如果正面分類較多，可采用間接法求解．(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)或兩位數(shù)以上的數(shù)的最高位．跟蹤訓(xùn)練1(1)從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A．24B．18C．12D．6答案B解析由于題目要求是奇數(shù)，那么對于此三位數(shù)可以分成兩種情況：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析(3種情況)，之后十位(2種情況)，最后百位(2種情況)，共12種；如果是第二種偶奇奇的情況：個位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種，因此總共有12＋6＝18(種)情況．(2)用0,1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A．243B．252C．261D．279答案B解析0,1,2，…，9共能組成9×10×10＝900(個)三位數(shù)，其中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8＝648(個)，∴有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252(個)．二、占位模型中標(biāo)準(zhǔn)的選擇例2(1)4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個項目，每人報一項，共有多少種報名方法？(2)4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個項目，每項限報一人，且每人至多報一項，共有多少種報名方法？(3)4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？解(1)要完成的是“4名同學(xué)每人從三個項目中選一項報名”這件事，因為每人必報一項，4人都報完才算完成，所以按人分步，且分為四步，又每人可在三項中選一項，選法為3種，所以共有3×3×3×3＝81(種)報名方法．(2)每項限報一人，且每人至多報一項，因此跑步項目有4種選法，跳高項目有3種選法，跳遠(yuǎn)項目只有2種選法．根據(jù)分步計數(shù)原理，可得不同的報名方法有4×3×2＝24(種)．(3)要完成的是“三個項目冠軍的獲取”這件事，因為每項冠軍只能有一人獲得，三項冠軍都有得主，這件事才算完成，所以應(yīng)以“確定三項冠軍得主”為線索進(jìn)行分步，而每項冠軍的得主有4種可能結(jié)果，所以共有4×4×4＝64(種)可能的結(jié)果．反思感悟在占位模型中選擇按元素還是按位置進(jìn)行分解的標(biāo)準(zhǔn)是“唯一性”，即元素是否選、選是否只選一次，位置是否占、占是否只占一次．解題時一般選擇具有“唯一性”的對象進(jìn)行分解．跟蹤訓(xùn)練2(1)高二年級的三個班去甲、乙、丙、丁四個工廠參觀學(xué)習(xí)，去哪個工廠可以自由選擇，甲工廠必須有班級去，則不同的參觀方案有()A．16種 B．18種C．37種 D．48種答案C解析根據(jù)題意，若不考慮限制條件，每個班級都有4種選擇，共有4×4×4＝64(種)方案，其中工廠甲沒有班級去，即每個班都選擇了其他三個工廠，此時每個班級都有3種選擇，共有3×3×3＝27(種)方案，則符合條件的有64－27＝37(種)．(2)甲、乙、丙、丁四人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己的賀卡，則不同取法的種數(shù)有________種．答案9解析不妨由甲先來取，共3種取法，而甲取到誰的將由誰在甲取后第二個來取，共3種取法，余下來的人，都只有1種選擇，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(種)．三、涂色與種植問題例3(1)如圖所示，有A，B，C，D四個區(qū)域，用紅、黃、藍(lán)三種顏色涂色，要求任意兩個相鄰區(qū)域的顏色各不相同，共有________種不同的涂法．答案18解析①若A，C涂色相同，則A，B，C，D可涂顏色的種數(shù)依次是3,2,1,2，則有3×2×1×2＝12(種)不同的涂法．②若A，C涂色不相同，則A，B，C，D可涂顏色的種數(shù)依次是3,2,1,1，則有3×2×1×1＝6(種)不同的涂法．所以根據(jù)分類計數(shù)原理，共有12＋6＝18(種)不同的涂法．(2)從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，則有________種不同的種植方法．答案18解析方法一(直接法)若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2＝6(種)不同的種植方法．同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2＝6(種)不同的種植方法．故不同的種植方法共有6×3＝18(種)．方法二(間接法)從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，有4×3×2＝24(種)，其中不種黃瓜有3×2×1＝6(種)，故共有24－6＝18(種)不同的種植方法．反思感悟涂色與種植問題的四個解答策略涂色與種植問題是考查計數(shù)方法的一種常見問題，由于這類問題常常涉及分類與分步，所以在高考題中經(jīng)常出現(xiàn)，處理這類問題的關(guān)鍵是要找準(zhǔn)分類標(biāo)準(zhǔn)，求解涂色與種植問題一般是直接利用兩個計數(shù)原理求解，常用的方法有：(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域為主分步計數(shù)，并用分步計數(shù)原理計算．(2)以顏色(種植作物)為主分類討論法，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”問題，用分類計數(shù)原理計算．(3)將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題．(4)對于不相鄰的區(qū)域，常分為同色和不同色兩類，這是常用的分類標(biāo)準(zhǔn)．跟蹤訓(xùn)練3(1)如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的種數(shù)為________．答案420解析按照S→A→B→C→D的順序進(jìn)行染色，按照A，C是否同色分類：第一類，A，C同色，則有5×4×3×1×3＝180(種)不同的染色方法．第二類，A，C不同色，則有5×4×3×2×2＝240(種)不同的染色方法．根據(jù)分類計數(shù)原理，共有180＋240＝420(種)不同的染色方法．(2)如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，共有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有________種(用數(shù)字作答)．答案72解析①當(dāng)使用4種顏色時，先著色第1區(qū)域，有4種方法，剩下3種顏色涂其他4個區(qū)域，即有1種顏色涂相對的2塊區(qū)域，有3×2×2＝12(種)，由分步計數(shù)原理得，共有4×12＝48(種)．②當(dāng)使用3種顏色時，從4種顏色中選取3種，有4種方法，先著色第1區(qū)域，有3種方法，剩下2種顏色涂4個區(qū)域，只能是一種顏色涂第2,4區(qū)域，另一種顏色涂第3,5區(qū)域，有2種著色方法．由分步計數(shù)原理得有4×3×2＝24(種)．綜上，共有48＋24＝72(種)．1．知識清單：(1)兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系．(2)兩個計數(shù)原理的應(yīng)用：組數(shù)問題、選取問題、涂色問題及種植問題．2．方法歸納：分類討論、正難則反．3．常見誤區(qū)：分類標(biāo)準(zhǔn)不明確，會出現(xiàn)重復(fù)或遺漏問題．1．在某學(xué)校舉行的“文學(xué)名著閱讀月”活動中，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)相約去學(xué)校圖書室借閱四大名著《紅樓夢》《三國演義》《水滸傳》《西游記》(每種名著至少有5本)，若每人只借閱一本名著，則不同的借閱方案種數(shù)為()A．1024 B．625C．120 D．5答案A解析對于甲來說，有4種借閱可能，同理每人都有4種借閱可能，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有45＝1024(種)借閱方案．2．某市汽車牌照號碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左數(shù)第2個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從0～9這10個數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù))．若某車主第1個號碼(從左到右)只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號碼只想在1,3,6,9中選擇，則他可選的車牌號碼的所有可能情況有()A．180種B．360種C．720種D．960種答案D解析按照車主的要求，從左到右第1個號碼有5種選法，第2個號碼有3種選法，其余3個號碼各有4種選法，因此共有5×3×4×4×4＝960(種)情況．3．從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中，任取兩個不同的數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)為()A．30B．20C．10D．6答案D解析從0,1,2,3,4,5六個數(shù)字中，任取兩個不同的數(shù)字相加，和為偶數(shù)可分為兩類：①取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，共有3種取法；②取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種取法．故由分類計數(shù)原理得，共有N＝3＋3＝6(種)取法．4.如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有________種．(用數(shù)字作答)答案750解析首先給最左邊的一個格子涂色，有6種選擇，左邊第二個格子有5種選擇，第三個格子有5種選擇，第四個格子也有5種選擇，根據(jù)分步計數(shù)原理得，共有6×5×5×5＝750(種)涂色方法．課時對點(diǎn)練1．有7名女同學(xué)和9名男同學(xué)，組成班級乒乓球男女混合雙打代表隊，組隊方法共有()A．7種B．9種C．16種D．63種答案D解析由分步計數(shù)原理可知，組隊方法共有7×9＝63(種)．2．將3張不同的奧運(yùn)會門票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，則不同分法的種數(shù)是()A．2160 B．720C．240 D．120答案B解析第1張門票有10種分法，第2張門票有9種分法，第3張門票有8種分法，由分步計數(shù)原理得共有10×9×8＝720(種)分法．3．某校教學(xué)樓共有5層，每層均有兩個樓梯，由一樓到五樓的走法有()A．10種 B．16種C．25種 D．32種答案B解析走法共分四步，一層到二層2種，二層到三層2種，三層到四層2種，四層到五層2種，一共有24＝16(種)．4．某城市的電話號碼由七位升為八位(首位數(shù)字均不為零)，則該城市可增加的電話部數(shù)是()A．9×8×7×6×5×4×3×2B．8×97C．9×107D．8.1×107答案D解析電話號碼是七位數(shù)字時，該城市可安裝電話9×106部，同理升為八位數(shù)字時為9×107，∴可增加的電話數(shù)是9×107－9×106＝8.1×107.5．某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目．如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為()A．42 B．30C．20 D．12答案A解析原定的5個節(jié)目產(chǎn)生6個空位，將其中1個新節(jié)目插入，有6種不同的插法，然后6個節(jié)目產(chǎn)生7個空位，將另一個新節(jié)目插入，有7種不同的插法．由分步計數(shù)原理知共有7×6＝42(種)不同的插法．6．一個旅游景區(qū)的游覽線路如圖所示，某人從P點(diǎn)處進(jìn)，Q點(diǎn)處出，沿圖中線路游覽A，B，C三個景點(diǎn)及沿途風(fēng)景，則不重復(fù)(除交匯點(diǎn)O外)的不同游覽線路有()A．6種 B．8種C．12種 D．48種答案D解析每個景區(qū)都有2條線路，所以游覽第一個景點(diǎn)有6種選法，游覽第二個景點(diǎn)有4種選法，游覽第三個景點(diǎn)有2種選法，故共有6×4×2＝48(種)不同的游覽線路．7．如圖，從A→C有________種不同的走法．答案6解析分為兩類：不過B點(diǎn)有2種走法，過B點(diǎn)有2×2＝4(種)走法，共有4＋2＝6(種)走法．8.如圖所示，在A，B間有4個焊接點(diǎn)，若焊接點(diǎn)脫落，則可能導(dǎo)致線路不通，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有________種．答案13解析4個焊接點(diǎn)共有24種情況，其中使A，B之間線路通的情況是1,4都通，2和3至少有一個通，此時共有3種可能，故焊接點(diǎn)脫落的情況有24－3＝13(種)．9．(1)有8本不同的書，任選3本分給3個同學(xué)，每人1本，有多少種不同的分法？(2)4位旅客到3個旅館住宿，有多少種不同的住宿方法？解(1)分三步：每位同學(xué)取1本書，第1,2,3位同學(xué)分別有8,7,6種取法，因而由分步計數(shù)原理知，不同的分法共有8×7×6＝336(種)．(2)每位旅客都有3種不同的住宿方法，因而不同的住宿方法共有3×3×3×3＝81(種)．10．用n種不同的顏色為下列兩塊廣告牌著色(如圖甲、乙)，要求在①，②，③，④四個區(qū)域中相鄰(有公共邊界)的區(qū)域不用同一種顏色．(1)若n＝6，為甲著色時共有多少種不同方法？(2)若為乙著色時共有120種不同方法，求n的值．解(1)為①著色有6種方法，為②著色有5種方法，為③著色有4種方法，為④著色也有4種方法．所以共有著色方法6×5×4×4＝480(種)．(2)與(1)的區(qū)別在于與④相鄰的區(qū)域由兩塊變成了三塊，同理，不同的著色方法數(shù)是n(n－1)(n－2)(n－3)．由n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，得(n2－3n)(n2－3n＋2)－120＝0，即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－12×10＝0，所以n2－3n－10＝0，所以n＝5.11．有A，B兩種類型的車床各一臺，現(xiàn)有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都會操作兩種車床，丙只會操作A種車床，要從這三名工人中選兩名分別去操作這兩種車床，則不同的選派方法有()A．6種B．5種C．4種D．3種答案C解析不同的選派情況可分為3類：若選甲、乙，有2種方法；若選甲、丙，有1種方法；若選乙、丙，有1種方法．根據(jù)分類計數(shù)原理知，不同的選派方法有2＋1＋1＝4(種)．12．《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬．設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數(shù)是()A．8B．12C．16D．18答案C解析如圖，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，則D1－A1ABB1，D1－A1AFF1滿足題意，而C1，E1，C，D，E和D1一樣，有2×4＝8(個)，當(dāng)A1ACC1為底面矩形時，有4個滿足題意，當(dāng)A1AEE1為底面矩形時，有4個滿足題意，故共有8＋4＋4＝16(個)．13.如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點(diǎn)而成的三角形中與正八邊形有公共邊的三角形有________個．答案40解析滿足條件的有兩類：第一類，與正八邊形有兩條公共邊的三角形有8個；第二類，與正八邊形有一條公共邊的三角形有8×4＝32(個)，所以滿足條件的三角形共有8＋32＝40(個)．14．體育老師把9個相同的足球放入編號為